第12讲 图形与坐标 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

第12讲 图形与坐标 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 认识平面直角坐标系，能根据坐标描点、由点读出坐标 · · 掌握四个象限及坐标轴上点的坐标特征 · · 掌握平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 · · 掌握两点间距离公式与中点坐标公式 · · 掌握平移与轴对称引起的坐标变化规律 📚 知识梳理 ☆ 1.平面直角坐标系与点的坐标 四个象限符号：第一(+,+)、第二(-,+)、第三(-,-)、第四(+,-) x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，坐标轴上的点不属于任何象限 点(x,y)到x轴的距离是|y|，到y轴的距离是|x| 坐标平面内的点与有序实数对一一对应 概念辨析例题：第四象限内点M到x轴距离3，到y轴距离1，求M坐标 解析：第四象限x>0,y<0，到y轴距离|x|=1，到x轴距离|y|=3，故M(1,-3) ☆ 2.简单图形的坐标表达 平行于x轴的直线上各点纵坐标相同，平行于y轴的直线上各点横坐标相同 建立坐标系后，描出关键点再顺次连线即可表达图形 棋盘、地图、网格中的位置都可用坐标表示 由两个已知点坐标先确定原点位置，再读其余点坐标 概念辨析例题：A(m+2,-1)，B(m-1,-1)，判断直线AB与坐标轴的位置关系 解析：两点纵坐标都是-1相等，故AB平行于x轴，垂直于y轴 ☆ 3.两点间距离公式与中点公式 任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2)间距离AB= AB∥x轴时AB=|x2-x1|；AB∥y轴时AB=|y2-y1| 中点M的坐标为(, ) 点(x,y)到原点距离为 概念辨析例题：A(3,-2)，B(5,4)，求AB的长 解析：AB===0=20 ☆ 4.平移与轴对称 平移：向右(左)平移横坐标加(减)，向上(下)平移纵坐标加(减) 关于x轴对称：(x,y)→(x,-y)，横坐标不变纵坐标变号 关于y轴对称：(x,y)→(-x,y)，纵坐标不变横坐标变号 关于原点对称：(x,y)→(-x,-y)，横纵坐标都变号；平面镜成像即关于镜面轴对称 概念辨析例题：点P(2,3)，求它关于x轴的对称点 解析：关于x轴对称横坐标不变，纵坐标变号，得(2,-3) 📋 知识总结表 核心概念 坐标规律/公式 注意事项 象限符号 一(+,+)二(-,+)三(-,-)四(+,-) 坐标轴上的点不属于象限 坐标轴上点 x轴y=0，y轴x=0 原点(0,0) 到轴距离 到x轴=|y|，到y轴=|x| 距离非负要加绝对值 平行坐标轴 ∥x轴y相同，∥y轴x相同 用于列方程 距离公式 AB= 构造直角三角形 中点公式 M(,) 横纵坐标分别取平均 对称坐标 x轴(x,-y)，y轴(-x,y) 原点对称(-x,-y) ⚠️ 核心考点 【考点1】平面直角坐标系的引入（第1-6题） · · 判断象限看横纵坐标符号 · · y轴上的点横坐标为0列方程 · · 到轴距离记得加绝对值 · · 求坐标时正负号分类讨论 1．（2026•灞桥区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，点P（，﹣a2﹣1）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2026春•郸城县期中）老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将数学课本放在如图所示的位置，则下列各点一定没有被书本遮住的点是（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣1，2） 3．（2025春•内江期末）在平面直角坐标系中，第四象限内的点M到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，则点M的坐标是（　　） A．（3，﹣1） B．（﹣1，3） C．（﹣3，1） D．（1，﹣3） 4．（2025秋•安达市期末）已知点M（2﹣a，5）在y轴上，则a的值为 _____ ． 5．（2025春•滨海新区校级期中）若点A（x，5）与点B（2，5）的距离为3，则x＝_________ ． 6．（2025秋•菏泽月考）点A（m+3，2m+4）在y轴上，则点A的坐标为___________ ． 【考点2】简单图形的坐标表达（第7-17题） · · 纵坐标相同则平行于x轴 · · 横坐标相同则平行于y轴 · · 用中点坐标公式列方程 · · 等腰直角三角形分三种情况讨论 7．（2026春•中山市期中）在平面直角坐标系中，A（m+2，﹣1），B（m﹣1，﹣1），则直线AB与y轴的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定（与m的取值有关） 8．（2025春•海淀区校级期中）平面直角坐标系中A（﹣3，a）和B（b，﹣2）两点，且点B位于第三象限，AB＝4且直线AB∥x轴，则2a﹣b＝（　　） A．3 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣5或3 9．（2025秋•江岸区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（1，0），以AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，则满足条件的点C的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．（2025秋•薛城区期末）定义：在平面直角坐标系中，若两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为，例如：点A（1，2）、点B（3，﹣6），则线段AB的中点M的坐标为，即M（2，﹣2）．请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点E（a﹣2，﹣1），F（b，a﹣b﹣1），线段EF的中点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2，则2a﹣b的值等于 ________ ． 11．（2024秋•灵宝市期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，3），点B（﹣1，0），点D（2，3），点C在x轴上．若CD＝AB，则点C的坐标为 ________________ ． 12．（2024秋•威海期末）已知点A坐标为（2+a，﹣3a﹣4），点B的坐标为（5，﹣3），若AB∥x轴，则a＝___________________ ． 13．（2025秋•未央区校级期中）如图，在数轴上点B表示的数为1，点C表示的数为3，∠BCD＝90°，CD＝1，以点B为圆心，BD为半径画弧交x轴于点A．则点A表示的数为_________________ ． 14．（2025秋•沭阳县月考）已知点P（﹣4a﹣5，3a+1）． （1）若点P在y轴上，试求点P的坐标； （2）若点M（3，7），且PM∥x轴，试求点P的坐标． 15．（2026•渝中区校级自主招生）闵可夫斯基距离，O为坐标原点．记．在坐标系中有一个点P（x，y），满足d（P，O）＝1． （1）若p＝1，则符合要求的P围成的面积； （2）若p＝2，符合要求的P围成的面积为S1；若p＝4，符合要求的P围成的面积为S2，比较S1，S2的大小． 16．（2025秋•金水区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（﹣5，﹣1）、（﹣3，﹣4）、（﹣1，﹣3）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1． （2）已知点P在x轴上，且PA＝PC，则点P的坐标是 ___________ ． （3）若y轴上存在点Q，使△QAC的周长最小，求点Q的坐标． 17．（2025秋•城关区校级期末）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列问题． （1）点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）点Q的坐标（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求a2024+2024的值． 【考点3】物体位置的坐标表示（第18-22题） · · 由已知两点坐标先定原点 · · 先建好坐标系再读其余点 · · 象棋盘、地图按格数坐标 · · 注意一格代表一个单位长度 18．（2026春•赫山区期末）如图是象棋的对弈图（部分），如果棋子“帅”在点（0，﹣3），棋子“仕”在点（﹣1，﹣3），则棋子“马”所在点的坐标是（　　） A．（3，0） B．（0，﹣3） C．（0，3） D．（﹣3，0） 19．（2025秋•铜川期末）如图是故宫内部分建筑的分布图，建立平面直角坐标系，若表示弘义阁的点的坐标为（﹣2，1），表示本仁殿的点的坐标为（1，0），则表示乾清门的点的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣1，5） C．（﹣1，3） D．（4，﹣1） 20．（2025秋•宿迁期末）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为（0，1），（2，1），则“技”的坐标为__________ ． 21．（2026春•岷县期末）如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点（3，0），“兵”位于点（﹣1，1），则“帅”所在位置的坐标是 ___________ ． 22．（2024秋•威海期末）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为___________ ． 【考点4】两点间的距离公式（第23-28题） · · 直接套距离公式算长度 · · 到两点距离相等的点是中点 · · 平行坐标轴直接减坐标 · · 最短路径问题作对称点连线 23．（2025春•西宁期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，5），B（0，b）的距离为4，且直线AB∥x轴，则a+b的算术平方根为________ ． 24．（2026春•松江区期中）DeepSeek公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：A（1，6）表示起点，B（5，8）表示终点．如果软件需要在线段AB之间设置一个中转站，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为 __________ ． 25．（2026•罗庄区一模）在平面直角坐标系中，若点M（m﹣1，m﹣1）与点C（2m+3，m﹣1）之间的距离是5，则m＝_________ ． 26．（2026春•上海校级月考）在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣2）与点B（5，4）之间的距离是 _________________ ． 27．（2023秋•东西湖区期末）“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言．说明数形结合是解决许多数学问题的有效思想．如图，在平面直角坐标系内，以点C（2，1）为圆心，以1为半径的圆上有一动点P（m，n），A，B两点均在y轴上，且A（0，1），B（0，﹣1），则PA2+PB2为 _______________ （用含m、n的代数式表示），PA2+PB2的最大值为 _______ ． 28．（2025秋•朝阳区校级期末）小明在探索平面直角坐标系中任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2）之间的距离时，进行了如下的分类讨论：当AB∥x轴时，A、B两点的纵坐标相同，将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得AB＝|x1﹣x2|；当AB∥y轴时，A、B两点的横坐标相同，同样将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得AB＝|y1﹣y2|；当A、B两点的横、纵坐标都不同时，通过构造如图所示的直角三角形，由勾股定理．以下是小明同学给出的部分推导过程，请你将其补充完整． 解：过A、B分别向x轴、y轴作垂线，两条垂线交于点C． ∵AC∥y轴，BC∥x轴， ∴C（_______ ，_______ ）， ∴AC＝____________ ， BC＝____________ ， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得 ， ∴． 解答以下问题： （1）若A（﹣1，3），B（2，﹣1），则AB＝_____ ． （2）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4）和B（6，﹣3），将线段AB平移到A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，若A′的坐标是（﹣8，a），且AA′＝10，求点B′的坐标． （3）已知点P（x，y）为x轴上一点，则的最小值为________________ ． 【考点5】平移与轴对称（第29-39题） · · 平移各点坐标同加同减 · · 关于x轴横不变纵变号 · · 关于y轴纵不变横变号 · · 平面镜成像关于镜面轴对称 29．（2026•东莞市一模）已知在直角坐标系中，点P的坐标为（2，3），则点P关于x轴的对称点是（　　） A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3） 30．（2025秋•枞阳县期末）点（2，5）关于x轴对称的点的坐标是（　　） A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，﹣5） D．（5，2） 31．（2025秋•思明区校级期末）大量实验表明，平面镜成像有“像与物体关于平面镜对称”的特点．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某刻火焰顶尖S点的坐标是（x，2），此时对应的虚像S′的坐标是（3，2），则x的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 32．（2026春•东河区期末）在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点A（2，﹣1）平移后的对应点为A′（5，2），则点B（﹣3，4）平移后的器对应点B′的坐标是（　　） A．（0，7） B．（﹣6，1） C．（1，5） D．（﹣1，6） 33．（2025秋•思明区校级期末）若平面直角坐标系中，O为坐标系原点，△ABO关于y轴对称，点A的坐标为（1，﹣2），则点B的坐标为____________ ． 34．（2025秋•平安区期末）如图所示的是蜡烛的平面镜成像原理图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若火焰顶部点P的坐标是（﹣4，2），则对应虚像顶部点Q的坐标是__________ ． 35．（2025秋•大兴安岭期末）已知点A（m，4）与点B（3，n）关于x轴对称，则（m+n）2025的值为_______ ． 36．（2026春•乌鲁木齐期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，﹣5），将线段AB向右平移3个单位得到线段CD，交y轴于点E，若图中阴影部分面积是10，则点E的坐标为____________________ ． 37．（2025秋•太和县校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），我们定义它们两点间的坐标距离如下： 若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1和点P2的坐标距离为|x1﹣x2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1和点P2的坐标距离为|y1﹣y2|． 已知点A（3，2），将点A先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B． （1）点B的坐标为 __________ ，A、B两点间的坐标距离为 _____ ； （2）M为x轴正半轴上一点，N为y轴正半轴上一点， ①若点M与点A之间的坐标距离等于4，求点M的坐标； ②若M、N与点A之间的坐标距离均为3，求M、N两点间的坐标距离． 38．（2026春•颍东区期末）【阅读材料】定义：在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（a，b），如果把点P平移，得到点Q（a+t，b﹣t），那么就把Q叫做点P的“t型平移”点． 例如：当t＝﹣5时，点M（2，4）的“﹣5型平移”点的坐标就是N（﹣3，9）． 【问题解决】 （1）点A（3，2）的“3型平移”点的坐标为___________ ； 若点（4，4）的“t型平移”点的坐标是（6，m），则t＝_____ ，m＝_____ ； （2）已知线段AB的两个端点分别是A（1，1），B（3，1）． ①端点A，B的“﹣1型平移”点分别是A1，B1，请在图中画出线段AB及线段AB1； ②若线段AB上的每个点作“t型平移”后，得到的线段与坐标轴有公共点，求t的取值范围． 39．（2025秋•临颍县期中）（1）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（﹣3，m）与点Q（n，2）关于x轴对称，求m﹣n的值． （2）在△ABC中，∠A＝∠B﹣40°，∠C＝∠A+50°，求∠B的度数． 💯 课后巩固 复习建议 · · 判断象限先看横纵坐标符号，坐标轴上的点不属于任何象限 · · 到x轴距离=|y|，到y轴距离=|x|，记得加绝对值 · · 平行于x轴纵坐标相同，平行于y轴横坐标相同，直接列方程 · · 距离公式，中点横纵坐标分别取平均 · · 对称规律：关于x轴纵变号，关于y轴横变号，关于原点都变号 【作业 1】（2025秋•福田区校级期末）2026年某智慧物流企业推出“垂直航线无人机巡检”服务．如图，设基站坐标为原点O（0，0），无人机从巡检起点A（﹣3，1）出发，沿垂直于x轴的固定航线匀速飞行至巡检终点B（﹣3，﹣5）．当无人机位置C（x，y）到基站O的距离大于OA的长度时，需启动“信号增强模式”以保障通信稳定．当无人机处于“信号增强模式”时，y的取值范围为（　　） A．﹣5＜y≤﹣1 B．y＜1 C．﹣1＜y＜1 D．﹣5≤y＜﹣1 【作业 2】（2024秋•田阳区期末）如图，在平面直角坐标系中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是（　　） A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 【作业 3】（2024秋•青羊区校级期中）平面直角坐标系内，点A（﹣2，1）与y轴上的点的最短距离为（　　） A． B．1 C．2 D． 【作业 4】（2024•益阳一模）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A．1 B． C． D．3 【作业 5】（2024•漳州模拟）已知点P（m，m﹣1），Q（2，1），则线段PQ的长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【作业 6】（2025秋•五华县期末）平面直角坐标系中，有点P（2x﹣1，2x）与点Q（5，8），且PQ∥y轴，则点P的坐标为__________ ． 【作业 7】（2025秋•松北区期末）平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣2），则点A关于y轴的对称点坐标____________ ． 【作业 8】（2025秋•大连校级期末）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为____________ ． 【作业 9】（2025•东莞市校级模拟）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B是x轴上的一个动点．以AB为边向右侧作等边三角形ABC，连接OC，在运动过程中，OC的最小值为 _____ ． 【作业 10】（2025秋•安徽期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣1，2）的“长距”为 _____ ； （2）若点B（2a﹣3，﹣5）是“完美点”，求a的值； （3）若点C（3b﹣2，﹣2）的长距为4，且点C在第四象限内，点D的坐标为（﹣5，9﹣2b），试说明点D是“完美点”． 【作业 11】（2025秋•兴庆区校级期末）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．∠A＝∠D＝90°，点A、B、D在一条直线上．请利用图1证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距30千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝18千米，BC＝12千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，求AP的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（0＜x＜12）． 【作业 12】（2026春•闵行区期末）现有有序数对（a，b，c）和（x，y），如果ax+by＝c，则称（a，b，c）“关联”了（x，y），或（x，y）被（a，b，c）“关联”． 例如：5×3+7×（﹣2）＝1，则称（5，7，1）“关联”了（3，﹣2）． （1）下列数对中被（2，1，3）“关联”的有_______ ； ①（1，1），②（﹣4，6），③（﹣1，3），④（5，﹣7）． （2）若（p，q）同时被（5，﹣9，1）和（﹣3，7，1）“关联”，请求出p，q； （3）对于均不为0的a、b、c，数对（a，b，c）“关联”了（m，n）、（1，2）和（2，3），且（m，n）被（2027，﹣2026，﹣1）“关联”，试求数对（m，n）． 【作业 13】（2025春•离石区期中）戏曲小组成员利用周末时间去剧团进行实践学习活动，出发前欣欣将各个剧团的位置标注在如图所示的平面直角坐标系中，其中点A表示“对子戏剧团”的位置，坐标为（﹣1.3），点B表示“咳咳腔剧团”的位置，坐标为（2，2）． （1）根据以上信息，请在示意图中画出欣欣建立的平面直角坐标系． （2）若“弦子腔剧团”的坐标为（0，﹣2），请在平面直角坐标系中标出“弦子腔剧团”的位置，并标注点D． （3）若欣欣在标点C（图中已标注）“壶关秧歌剧团”的位置时，横、纵坐标看反了，则正确的点C应在第_____ 象限． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 图形与坐标 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 认识平面直角坐标系，能根据坐标描点、由点读出坐标 · · 掌握四个象限及坐标轴上点的坐标特征 · · 掌握平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 · · 掌握两点间距离公式与中点坐标公式 · · 掌握平移与轴对称引起的坐标变化规律 📚 知识梳理 ☆ 1.平面直角坐标系与点的坐标 四个象限符号：第一(+,+)、第二(-,+)、第三(-,-)、第四(+,-) x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，坐标轴上的点不属于任何象限 点(x,y)到x轴的距离是|y|，到y轴的距离是|x| 坐标平面内的点与有序实数对一一对应 概念辨析例题：第四象限内点M到x轴距离3，到y轴距离1，求M坐标 解析：第四象限x>0,y<0，到y轴距离|x|=1，到x轴距离|y|=3，故M(1,-3) ☆ 2.简单图形的坐标表达 平行于x轴的直线上各点纵坐标相同，平行于y轴的直线上各点横坐标相同 建立坐标系后，描出关键点再顺次连线即可表达图形 棋盘、地图、网格中的位置都可用坐标表示 由两个已知点坐标先确定原点位置，再读其余点坐标 概念辨析例题：A(m+2,-1)，B(m-1,-1)，判断直线AB与坐标轴的位置关系 解析：两点纵坐标都是-1相等，故AB平行于x轴，垂直于y轴 ☆ 3.两点间距离公式与中点公式 任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2)间距离AB= AB∥x轴时AB=|x2-x1|；AB∥y轴时AB=|y2-y1| 中点M的坐标为(, ) 点(x,y)到原点距离为 概念辨析例题：A(3,-2)，B(5,4)，求AB的长 解析：AB===0=20 ☆ 4.平移与轴对称 平移：向右(左)平移横坐标加(减)，向上(下)平移纵坐标加(减) 关于x轴对称：(x,y)→(x,-y)，横坐标不变纵坐标变号 关于y轴对称：(x,y)→(-x,y)，纵坐标不变横坐标变号 关于原点对称：(x,y)→(-x,-y)，横纵坐标都变号；平面镜成像即关于镜面轴对称 概念辨析例题：点P(2,3)，求它关于x轴的对称点 解析：关于x轴对称横坐标不变，纵坐标变号，得(2,-3) 📋 知识总结表 核心概念 坐标规律/公式 注意事项 象限符号 一(+,+)二(-,+)三(-,-)四(+,-) 坐标轴上的点不属于象限 坐标轴上点 x轴y=0，y轴x=0 原点(0,0) 到轴距离 到x轴=|y|，到y轴=|x| 距离非负要加绝对值 平行坐标轴 ∥x轴y相同，∥y轴x相同 用于列方程 距离公式 AB= 构造直角三角形 中点公式 M(,) 横纵坐标分别取平均 对称坐标 x轴(x,-y)，y轴(-x,y) 原点对称(-x,-y) ⚠️ 核心考点 【考点1】平面直角坐标系的引入（第1-6题） · · 判断象限看横纵坐标符号 · · y轴上的点横坐标为0列方程 · · 到轴距离记得加绝对值 · · 求坐标时正负号分类讨论 1．（2026•灞桥区校级三模）在平面直角坐标系xOy中，点P（，﹣a2﹣1）所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】只需判断点P横纵坐标的正负性，结合象限坐标特征即可求解． 【解答】解：∵点P的横坐标为，， ∴﹣a2﹣1＝﹣（a2+1）＜0， 即点P横坐标为正，纵坐标为负， 根据象限坐标特征，横坐标正纵坐标负的点在第四象限， ∴点P在第四象限． 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标，熟练掌握该知识点是关键． 2．（2026春•郸城县期中）老师在黑板上画出平面直角坐标系，并将数学课本放在如图所示的位置，则下列各点一定没有被书本遮住的点是（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（2，﹣3） C．（2，3） D．（﹣1，2） 【分析】由图知，书本遮住了坐标系中的第一、二、三象限的部分，只有第四象限内的点一定不被书本遮住，由此即可求解． 【解答】解：由图知，第四象限内的点一定不被书本遮盖， ∵（2，﹣3）在第四象限， ∴此点一定不被书本遮住，故选B符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查的是点的坐标，熟知各象限内点的坐标特点是解题的关键． 3．（2025春•内江期末）在平面直角坐标系中，第四象限内的点M到x轴的距离是3，到y轴的距离是1，则点M的坐标是（　　） A．（3，﹣1） B．（﹣1，3） C．（﹣3，1） D．（1，﹣3） 【分析】利用直角坐标中点的坐标解答． 【解答】解：根据题意可知点M的坐标是（1，﹣3），只有选项D符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握点的坐标的意义． 4．（2025秋•安达市期末）已知点M（2﹣a，5）在y轴上，则a的值为 　2　 ． 【分析】根据y轴上点的坐标的横坐标为0，可得出a的值． 【解答】解：∵y轴上点的坐标的横坐标为0，点M（2﹣a，5）在y轴上， ∴2﹣a＝0， ∴a＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查的是坐标轴上的点的坐标的特征，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 5．（2025春•滨海新区校级期中）若点A（x，5）与点B（2，5）的距离为3，则x＝　﹣1或5　 ． 【分析】利用两点间的距离公式得到（x﹣2）2+（5﹣5）2＝32，然后解关于x的方程即可． 【解答】解：根据题意得（x﹣2）2+（5﹣5）2＝32， 解得x＝5或x＝﹣1． 故答案为：﹣1或5． 【点评】本题考查了两点间的距离公式：利用两点间的距离公式直接计算直角坐标系内任意两点间的距离． 6．（2025秋•菏泽月考）点A（m+3，2m+4）在y轴上，则点A的坐标为　（0，﹣2）　 ． 【分析】根据y轴上的点横坐标为0求出m的值，进而求出纵坐标． 【解答】解：由题意得，m+3＝0， ∴m＝﹣3， ∴2m+4＝2×（﹣3）+4＝﹣2， ∴点A的坐标为（0，﹣2）， 故答案为：（0，﹣2）． 【点评】本题考查的是点的坐标，熟知y轴上的点横坐标为0是解题的关键． 【考点2】简单图形的坐标表达（第7-17题） · · 纵坐标相同则平行于x轴 · · 横坐标相同则平行于y轴 · · 用中点坐标公式列方程 · · 等腰直角三角形分三种情况讨论 7．（2026春•中山市期中）在平面直角坐标系中，A（m+2，﹣1），B（m﹣1，﹣1），则直线AB与y轴的位置关系是（　　） A．平行 B．垂直 C．相交但不垂直 D．不能确定（与m的取值有关） 【分析】根据点的坐标与图形的关系求解． 【解答】解：∵A、B两个点的纵坐标相等， ∴直线AB⊥y轴， 故选：B． 【点评】本题考查了坐标与图象的性质，掌握点的坐标的特征是解题的关键． 8．（2025春•海淀区校级期中）平面直角坐标系中A（﹣3，a）和B（b，﹣2）两点，且点B位于第三象限，AB＝4且直线AB∥x轴，则2a﹣b＝（　　） A．3 B．﹣1 C．﹣5 D．﹣5或3 【分析】根据直线AB∥x轴，得出A、B两点的纵坐标相等，进而得出a的值，再根据点B位于第三象限，AB＝4，得出b的值，代入即可得出答案． 【解答】解：由条件可知A、B两点的纵坐标相等， ∴a＝﹣2， ∵AB＝4， ∴b＝﹣7或1， ∴b＝﹣7， ∴2a﹣b＝3． 故选：A． 【点评】本题主要考查坐标与图形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 9．（2025秋•江岸区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，3），B（1，0），以AB为边在第一象限内作等腰直角△ABC，则满足条件的点C的个数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】根据已知条件，分三种情况讨论：①过点B作CB⊥AB，使BC＝AB，过点C作CD⊥x轴于点D，根据已知点的坐标，求出OA，OB，证明△AOB≌△BDC，然后根据全等三角形的性质求出OD和CD，即可求出点C的坐标；②过点A作CA⊥AB，使AC＝AB，过点C作CE⊥y轴于点E，利用全等三角形的性质求出EC和OE，从而求出点C的坐标；③在①中的图形中，过点B作BC″⊥AC′，过点C″作C″M⊥OD，C″N⊥OA，根据等腰三角形的性质，求出点C的坐标即可． 【解答】解：根据已知条件，分三种情况讨论如下： ①如图所示：过点B作CB⊥AB，使BC＝AB，过点C作CD⊥x轴于点D， 由条件可知∠OAB+∠ABO＝∠ABO+∠CBD＝90°， ∴∠OAB＝∠CBD， 由条件可知OA＝3，OB＝1， 在△AOB和△BDC中， ， ∴△AOB≌△BDC（AAS）， ∴OB＝CD＝1，OA＝BD＝3， ∴OD＝1+3＝4， ∴点C（4，1）； ②如图所示：过点A作CA⊥AB，使AC＝AB，过点C作CE⊥y轴于点E， ∴∠CEA＝∠BAC＝90°， 由条件可知OA＝3，OB＝1， ∵∠AOB＝∠CEA＝90°， ∴∠OAB+∠ABO＝∠OAB+∠CAE＝90°， ∴∠ABO＝∠CAE， 在△AOB和△CEA中， ， ∴△AOB≌△CEA（AAS）， ∴OB＝AE＝1，OA＝EC＝3， ∴OE＝OA+AE＝3+1＝4， ∴点C（3，4）； ③如图所示：过点B作BC″⊥AC′，过点C″作C″M⊥OD，C″N⊥OA， 由条件可知OA＝3，OB＝1， ∴， ∵△ABC′是等腰直角三角形， ∴，C″是AC′的中点， ∴， ∴，， ∵BC″⊥AC′，C″M⊥OD，C″N⊥OA， ∴∠C″MO＝∠C″NO＝∠AOB＝90°， ∴四边形OMC″N是矩形， ∴NC″＝OM＝2， ∴， ∴ON＝OA﹣AN＝3﹣1＝2， ∴C″的坐标为（2，2）， 综上可知：满足条件的点C的个数为3， 故选：B． 【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质及等腰直角三角形的性质，作出辅助线构建全等三角形是本题的关键，并注意分类思想的运用． 10．（2025秋•薛城区期末）定义：在平面直角坐标系中，若两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为，例如：点A（1，2）、点B（3，﹣6），则线段AB的中点M的坐标为，即M（2，﹣2）．请利用以上结论解决问题：在平面直角坐标系中，若点E（a﹣2，﹣1），F（b，a﹣b﹣1），线段EF的中点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2，则2a﹣b的值等于 　2或6　 ． 【分析】根据中点坐标公式得，，根据题意分类讨论：当点G在x轴的负半轴上时和当点G在x轴的负正轴上时，利用中点坐标列方程即可求解，熟练掌握坐标轴上点的特征是解题的关键． 【解答】解：依题意得：点G的横坐标为：，纵坐标为：， 由点G恰好位于x轴上，且到y轴的距离是2， 则当点G在x轴的负半轴上时： ， 解得：， ∴2a﹣b＝2×0﹣（﹣2）＝2， 当点G在x轴的正半轴上时： ， 解得：， ∴2a﹣b＝2×4﹣2＝6， 综上所述，2a﹣b的值等于2或6， 故答案为：2或6． 【点评】本题主要考查了坐标轴上点坐标的特征，熟练掌握坐标轴上点的特征是解题的关键． 11．（2024秋•灵宝市期中）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣2，3），点B（﹣1，0），点D（2，3），点C在x轴上．若CD＝AB，则点C的坐标为 　（1，0）或（3，0）　 ． 【分析】根据轴对称的性质即可求解． 【解答】解：∵点A（﹣2，3），点B（﹣1，0）， ∴点A关于直线x＝﹣2的对称点为E（3，0）， 连接AE，则AB＝AE， ∵点A（﹣2，3），点D（2，3）， ∴点A、D关于y轴对称， ∴点B、点E关于y轴的对称点为（1，0）和（3，0）， ∴若点C为（1，0）或（3，0）时，AB＝CD， ∴若CD＝AB，则点C的坐标为（1，0）或（3，0）． 故答案为：（1，0）或（3，0）． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，熟知轴对称的性质是解题的关键． 12．（2024秋•威海期末）已知点A坐标为（2+a，﹣3a﹣4），点B的坐标为（5，﹣3），若AB∥x轴，则a＝　　 ． 【分析】由平行于x轴的点的纵坐标相同，可得﹣3a﹣4＝﹣3，解得a的值，则可得答案，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键． 【解答】解：∵点B的坐标为（5，﹣3），且AB∥x轴， ∴﹣3a﹣4＝﹣3， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握该知识点是关键． 13．（2025秋•未央区校级期中）如图，在数轴上点B表示的数为1，点C表示的数为3，∠BCD＝90°，CD＝1，以点B为圆心，BD为半径画弧交x轴于点A．则点A表示的数为　　 ． 【分析】本题考查的是勾股定理，实数与数轴以及复杂作图，根据勾股定理，结合数轴即可得出结论． 【解答】解：由题知， 在Rt△BCD中， ， 所以， 则点A表示的数为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质及实数与数轴，熟知数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 14．（2025秋•沭阳县月考）已知点P（﹣4a﹣5，3a+1）． （1）若点P在y轴上，试求点P的坐标； （2）若点M（3，7），且PM∥x轴，试求点P的坐标． 【分析】（1）根据y轴上的点的坐标特征：横坐标为0，列方程求出a值，即可得答案； （2）根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等列方程求出a值，即可得答案． 【解答】解：（1）∵点P（﹣4a﹣5，3a+1）在y轴上， ∴﹣4a﹣5＝0， 解得：， ∴， ∴点P坐标为． （2）∵M（3，7），且PM∥x轴，P（﹣4a﹣5，3a+1）， ∴3a+1＝7， 解得：a＝2， ∴﹣4a﹣5＝﹣4×2﹣5＝﹣13， ∴若点M（3，7），且PM∥x轴，则点P坐标为（﹣13，7）． 【点评】本题主要考查了点的坐标性质，熟练掌握坐标轴上的点的性质和平行于坐标轴的点的坐标特点是解题关键． 15．（2026•渝中区校级自主招生）闵可夫斯基距离，O为坐标原点．记．在坐标系中有一个点P（x，y），满足d（P，O）＝1． （1）若p＝1，则符合要求的P围成的面积； （2）若p＝2，符合要求的P围成的面积为S1；若p＝4，符合要求的P围成的面积为S2，比较S1，S2的大小． 【分析】（1）由定义得|x|+|y|＝1，分象限去绝对值得四条线段，拼成菱形，对角线长均为2，面积＝2×2÷2＝2． （2）p＝2 是单位圆，S1＝π，p＝4 得x4+y4＝1，利用x2≤1时，x4≤x2，得圆上任意点满足x4+y4≤1等号仅在（±1，0）、（0，±1）四点， 故圆在四次曲线内部，S2＞S1． 【解答】解：（1）p＝1， 此时 d（P，O）＝1， 即， 亦即|x|+|y|＝1， 分象限讨论： 第一象限（x≥0，y≥0）：x+y＝1，线段：从（1，0）到（0，1）， 第二象限（x≤0，y≥0）：﹣x+y＝1，线段：从（0，1）到（﹣1，0）， 第三象限（x≤0，y≤0）：﹣x﹣y＝1，线段：从（﹣1，0）到（0，﹣1）， 第四象限（x≥0，y≤0）：x﹣y＝1，线段：从（0，﹣1）到（1，0）， 四条线段首尾相连，围成一个以原点为中心、四个顶点分别为（±1，0）和（0，±1）的菱形， 对角线沿坐标轴方向，长度分别为2（水平）和2（竖直）， 菱形面积＝对角线乘积， 答：面积为2； （2）p＝2时，， 所以， 所以x2+y2＝1， 这是圆心在原点、半径为1的单位圆， 面积S1＝π， p＝4时，d（P，O）＝1， 同理可得：x4+y4＝1， 取单位圆x2+y2＝1上任一点（x，y）， 因为x2+y2＝1， 所以x2≤1，y2≤1， 由于0≤x2≤1，两边同乘x2（正数）， 得x4≤x2， 同理y4≤y2， 两式相加：x4+y4≤x2+y2＝1， 等号成立当且仅当： x4＝x2且y4＝y2， 即x2（x2﹣1）＝0，且y2（y2﹣1）＝0， 结合x2+y2＝1， 解得四组解：（±1，0）和（0，±1）， 所以圆上的点（除四个点外）满足x4+y4＜1， 即圆上的点全部落在曲线x4+y4＝1的内部（四个交点为边界公共点）， 这说明曲线x4+y4＝1所围区域完全包含了单位圆，且严格更大， 因此：S2＞S1＝π， 答：S1＜S2． 【点评】本意主要考查了距离定义的迁移理解与不等式放缩推理能力，利用0≤x2≤1时，x4≤x2，这一基本不等式性质比较两曲线的包含关系是解题的关键．本题的价值在于仅凭”同乘正数保序”这一初中代数基本功就能判定两条曲线的位置关系，体现了从定义出发、步步为营的数学思维，p＝1是菱形，p＝2是圆，p＝4时，利用不等式性质x4≤x2判断，干净利落． 16．（2025秋•金水区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点A、B、C的坐标分别为（﹣5，﹣1）、（﹣3，﹣4）、（﹣1，﹣3）． （1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1． （2）已知点P在x轴上，且PA＝PC，则点P的坐标是 　（﹣2，0）　 ． （3）若y轴上存在点Q，使△QAC的周长最小，求点Q的坐标． 【分析】（1）根据题意画出△A1B1C1即可． （2）由PA＝PC得出点P在AC的垂直平分线上，再结合图形即可解决问题． （3）连接点A和点C1，根据轴对称的性质得出AC1与y轴的交点即为△QAC的周长最小时点Q的位置，据此求出点Q的坐标即可． 【解答】解：（1）如图所示， △A1B1C1即为所求作的三角形． （2）因为PA＝PC， 所以点P在AC的垂直平分线上． 如图所示， 点P的坐标为（﹣2，0）． 故答案为：（﹣2，0）． （3）由题知， AC为定值， 则当QA+QC最小时，△QAC的周长最小． 连接AC1， 根据轴对称的性质可知， 当点Q在AC1与y轴的交点处时，QA+QC最小． 令直线AC1的函数解析式为y＝kx+b， 则， 解得， 所以直线AC1的函数解析式为y． 令x＝0得，y， 所以点Q的坐标为（0，）． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质及作图﹣轴对称变换，熟知轴对称的性质是解题的关键． 17．（2025秋•城关区校级期末）已知点P（2a﹣2，a+5），解答下列问题． （1）点P在x轴上，求出点P的坐标； （2）点Q的坐标（4，5），直线PQ∥x轴，求出点P的坐标； （3）若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，求a2024+2024的值． 【分析】（1）根据x轴上的点的纵坐标为0，可得关于a的方程，解得a的值，再求得点P的横坐标即可得出答案． （2）根据平行于x轴的直线的纵坐标相等，可得关于a的方程，解得a的值，再求得横坐标即可得出答案． （3）根据第二象限的点的横纵坐标的符号特点及它到x轴、y轴的距离相等，可得关于a的方程，解得a的值，再代入要求的式子计算即可． 【解答】解：（1）∵点P在x轴上， ∴a+5＝0， ∴a＝﹣5， ∴2a﹣2＝2×（﹣5）﹣2＝﹣12， ∴点Q的坐标（4，5），直线PQ∥x轴，则点P的坐标为（﹣12，0）； （2）点Q的坐标为（4，5），直线PQ∥x轴， ∴a+5＝5， ∴a＝0， ∴2a﹣2＝﹣2， ∴点P的坐标为（﹣2，5）； （3）∵点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等， ∴横纵坐标互为相反数， ∴2a﹣2＝﹣（a+5）， ∴2a﹣2+a+5＝0， ∴a＝﹣1， ∴若点P在第二象限，且它到x轴，y轴的距离相等，则a2024+2024＝（﹣1）2024+2024＝1+2024＝2025． 【点评】本题主要考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系中的点的坐标特点是解题的关键． 【考点3】物体位置的坐标表示（第18-22题） · · 由已知两点坐标先定原点 · · 先建好坐标系再读其余点 · · 象棋盘、地图按格数坐标 · · 注意一格代表一个单位长度 18．（2026春•赫山区期末）如图是象棋的对弈图（部分），如果棋子“帅”在点（0，﹣3），棋子“仕”在点（﹣1，﹣3），则棋子“马”所在点的坐标是（　　） A．（3，0） B．（0，﹣3） C．（0，3） D．（﹣3，0） 【分析】直接利用已知点坐标确定原点位置，进而建立平面直角坐标系进而得出答案． 【解答】解：如图所示：棋子“马”所在点的坐标是（﹣3，0）， 故选：D． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 19．（2025秋•铜川期末）如图是故宫内部分建筑的分布图，建立平面直角坐标系，若表示弘义阁的点的坐标为（﹣2，1），表示本仁殿的点的坐标为（1，0），则表示乾清门的点的坐标是（　　） A．（﹣2，1） B．（﹣1，5） C．（﹣1，3） D．（4，﹣1） 【分析】先理解题意，结合表示弘义阁的点的坐标为（﹣2，1），表示本仁殿的点的坐标为（1，0），画出正确的平面直角坐标系，再读取表示乾清门的点的坐标，即可作答． 【解答】解：∵表示弘义阁的点的坐标为（﹣2，1），表示本仁殿的点的坐标为（1，0）， ∴如图所示： ∴表示乾清门的点的坐标是（﹣1，5）， 故选：B． 【点评】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 20．（2025秋•宿迁期末）为培养青少年的科学态度和科学思维，某校创建了“科技创新”社团．小红将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为（0，1），（2，1），则“技”的坐标为　（3，2）　 ． 【分析】根据“创”“新”的坐标可以建立相应的平面直角坐标系，然后写出“技”的坐标即可． 【解答】解：直角坐标系如下所示， 由上可得，“技”的坐标为（3，2）， 故答案为：（3，2）． 【点评】本题考查坐标确定位置，根据题目条件建立相应的平面直角坐标系是解题关键． 21．（2026春•岷县期末）如图，在象棋盘上建立平面直角坐标系，使“马”位于点（3，0），“兵”位于点（﹣1，1），则“帅”所在位置的坐标是 　（1，﹣2）　 ． 【分析】本题主要考查坐标确定位置，根据“马”位于点（3，0）建立平面直角坐标系即可得出结论． 【解答】解：如图所示：“帅”所在位置的坐标是（1，﹣2）， 故答案为：（1，﹣2）． 【点评】此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点的位置是解题关键． 22．（2024秋•威海期末）2025年哈尔滨亚洲冬季运动会，是继2022年北京冬奥会后中国举办的又一重大国际综合性冰雪盛会，将于2025年2月7日在哈尔滨市举行．如图，将本次运动会的会徽放入正方形网格中，若点A的坐标为（﹣1，2），点B的坐标为（2，2），则点C的坐标为　（3，﹣1）　 ． 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置．先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点C的坐标． 【解答】解：∵点A（﹣1，2），点B（2，2）， 建立平面直角坐标系如图： 由图可知，点C的坐标为（3，﹣1）， 故答案为：（3，﹣1）． 【点评】本题主要考查了坐标确定位置，解答本题的关键是利用点A，点B的坐标建立平面直角坐标系． 【考点4】两点间的距离公式（第23-28题） · · 直接套距离公式算长度 · · 到两点距离相等的点是中点 · · 平行坐标轴直接减坐标 · · 最短路径问题作对称点连线 23．（2025春•西宁期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（a，5），B（0，b）的距离为4，且直线AB∥x轴，则a+b的算术平方根为　3或1　 ． 【分析】先理解点A（a，5），B（0，b）的距离为4，且直线ABx轴，得a＝4或﹣4，b＝5，再求出a+b的算术平方根，即可作答． 【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，点A（a，5），B（0，b）的距离为4，且直线AB∥x轴， 依题意得：， 解得：a＝4或﹣4，b＝5， 当a＝4时，a+b＝4+5＝9， ∴a+b的算术平方根为3， 当a＝﹣4时，a+b＝5+（﹣4）＝1， ∴a+b的算术平方根为1． 故答案为：3或1． 【点评】本题考查两点间的距离公式，求出b＝5，a＝±4是解答本题的关键． 24．（2026春•松江区期中）DeepSeek公司正在开发一款基于平面直角坐标系下的导航软件．为测试软件的准确性，工程师在坐标系中设置了以下关键点：A（1，6）表示起点，B（5，8）表示终点．如果软件需要在线段AB之间设置一个中转站，且中转站到点A和点B的距离相等，则中转站的坐标为 　（3，7）　 ． 【分析】设中转站的坐标为（x，y），根据中点坐标公式进行求解即可． 【解答】解：设中转站的坐标为（x，y）， 由条件可知中转站为AB的中点， ∴， ∴中转站的坐标为（3，7）． 故答案为：（3，7）． 【点评】本题主要考查了中点坐标公式，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键． 25．（2026•罗庄区一模）在平面直角坐标系中，若点M（m﹣1，m﹣1）与点C（2m+3，m﹣1）之间的距离是5，则m＝　1或﹣9　 ． 【分析】根据坐标系中两点之间的距离，列方程求解即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中，若点M（m﹣1，m﹣1）与点C（2m+3，m﹣1）之间的距离是5， 由题意，得， 解得m1＝1，m2＝﹣9． 故答案为：1或﹣9． 【点评】本题考查两点间的距离公式，正确进行计算是解题关键． 26．（2026春•上海校级月考）在平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣2）与点B（5，4）之间的距离是 　2　 ． 【分析】直接利用两点间的距离公式计算即可． 【解答】解：∵A（3，﹣2），B（5，4）， ∴AB2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了两点间的距离公式：设有两点A（x1，y1），B（x2，y2），则这两点间的距离为AB． 27．（2023秋•东西湖区期末）“数缺形时少直观，形无数时难入微”是我国著名数学家华罗庚教授的名言．说明数形结合是解决许多数学问题的有效思想．如图，在平面直角坐标系内，以点C（2，1）为圆心，以1为半径的圆上有一动点P（m，n），A，B两点均在y轴上，且A（0，1），B（0，﹣1），则PA2+PB2为 　2（m2+n2）+2　 （用含m、n的代数式表示），PA2+PB2的最大值为 　34　 ． 【分析】由两点的距离公式即可求出PA2+PB2＝2（m2+n2）+2，PA2+PB2＝2OP2+2，当P在OC延长线上时，PO最大，此时PA2+PB2最大，求出PO的长，即可求出PA2+PB2最大值． 【解答】解：∵PA2＝m2+（n﹣1）2，PB2＝m2+（n+1）2， ∴PA2+PB2＝2（m2+n2）+2； ∵PO2＝m2+n2， ∴PA2+PB2＝2OP2+2， ∴当OP最大时，PA2+PB2最大，当P在OC延长线上时，PO最大， ∵C的坐标是（2，1）， ∴OC3， ∴PO＝3+1＝4， ∴PA2+PB2＝2×42+2＝34， ∴PA2+PB2最大值是34． 故答案为：2（m2+n2）+2，34． 【点评】本题考查两点的距离公式，坐标与图形的性质，关键是掌握两点的距离公式． 28．（2025秋•朝阳区校级期末）小明在探索平面直角坐标系中任意两点A（x1，y1）、B（x2，y2）之间的距离时，进行了如下的分类讨论：当AB∥x轴时，A、B两点的纵坐标相同，将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得AB＝|x1﹣x2|；当AB∥y轴时，A、B两点的横坐标相同，同样将其类比迁移到数轴上任意两点间的距离，可得AB＝|y1﹣y2|；当A、B两点的横、纵坐标都不同时，通过构造如图所示的直角三角形，由勾股定理．以下是小明同学给出的部分推导过程，请你将其补充完整． 解：过A、B分别向x轴、y轴作垂线，两条垂线交于点C． ∵AC∥y轴，BC∥x轴， ∴C（x1 ，y2 ）， ∴AC＝　|y1﹣y2|　 ， BC＝　|x2﹣x1|　 ， 在Rt△ABC中，由勾股定理可得 ， ∴． 解答以下问题： （1）若A（﹣1，3），B（2，﹣1），则AB＝　5　 ． （2）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2，4）和B（6，﹣3），将线段AB平移到A′B′，点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，若A′的坐标是（﹣8，a），且AA′＝10，求点B′的坐标． （3）已知点P（x，y）为x轴上一点，则的最小值为　　 ． 【分析】（1）直接应用平面直角坐标系中两点间距离公式求出AB； （2）先确定平移的水平变化量，结合AA′＝10，用两点间距离公式列方程，求出纵坐标的变化量，再根据“线段上所有点平移的横、纵坐标变化量一致”，将B（6，﹣3）按对应变化量平移，得到B′的坐标； （3）因P在x轴上，故y＝0，式子表示“P到（0，3）和（4，1）的距离和”，作（0，3）关于x轴的对称点（0，﹣3），连接对称点与（4，1），用两点间距离公式计算该线段长度，即为距离和的最小值． 【解答】解：根据题意，可知C（x1，y2）， 则AC＝|y1﹣y2|，BC＝|x2﹣x1|． 故答案为：x1，y2；|y1﹣y2|；|x2﹣x1|； （1）根据， 可知， 故答案为：5； （2）由题可知，横坐标变化为﹣8﹣（﹣2）＝﹣6，纵坐标变化为|a﹣4|，A（﹣2，4）到A′（﹣8，a）， 由AA′＝10，则， 解得a1＝12，a2＝﹣4， 当a＝﹣4，可知点B′由点B向左平移6个单位，向下平移8个单位，即B′的坐标为（0，﹣11）； 当a＝12，可知点B′由点B向左平移6个单位，向上平移8个单位，即B′的坐标为（0，5）； 故点B′的坐标为（0，5）或（0，﹣11）． （3）点P（x，y）在x轴上，则y＝0，令B（4，1），A（0，3）， 根据题意，可知表示PA+PB， 如图，作点A关于x轴的对称点A′（0，﹣3），连接A′B，交x轴于点P， 根据对称的性质可知，PA＝PA′， 则PA+PB＝PA′+PB， 此时A′B即为PA+PB取得的最小值，， 故的最小值为． 故答案为：． 【点评】本题考查平面直角坐标系两点间距离公式，坐标的平移变换，最短路径问题，勾股定理的几何应用，将x轴上点到两定点的折线距离转化为直线距离是解题关键． 【考点5】平移与轴对称（第29-39题） · · 平移各点坐标同加同减 · · 关于x轴横不变纵变号 · · 关于y轴纵不变横变号 · · 平面镜成像关于镜面轴对称 29．（2026•东莞市一模）已知在直角坐标系中，点P的坐标为（2，3），则点P关于x轴的对称点是（　　） A．（﹣3，2） B．（3，﹣2） C．（﹣2，3） D．（2，﹣3） 【分析】平面直角坐标系中，点关于x轴对称时，对称点的横坐标不变，纵坐标变为原纵坐标的相反数．利用规律即可直接得出结果． 【解答】解：点P关于x轴的对称点的横坐标为2，纵坐标为﹣3，即对称点坐标为（2，﹣3）． 故选：D． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称点的坐标，掌握关于x轴、y轴对称点的坐标的特点是关键． 30．（2025秋•枞阳县期末）点（2，5）关于x轴对称的点的坐标是（　　） A．（﹣2，5） B．（﹣2，﹣5） C．（2，﹣5） D．（5，2） 【分析】先根据平面直角坐标系写出点P的坐标，再根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答． 【解答】解：由图可知，点（2，5）， 所以，点（2，5）关于x轴对称的点的坐标是（2，﹣5）． 故选：C． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律： （1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数； （2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数； （3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 31．（2025秋•思明区校级期末）大量实验表明，平面镜成像有“像与物体关于平面镜对称”的特点．如图是蜡烛平面镜成像原理图，若以桌面为x轴，镜面侧面为y轴（镜面厚度忽略不计）建立平面直角坐标系，若某刻火焰顶尖S点的坐标是（x，2），此时对应的虚像S′的坐标是（3，2），则x的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．2 D．﹣2 【分析】根据平面镜成像原理，点S与S'关于y轴对称，根据对称的性质可得x的值． 【解答】解：关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同， 由图和题意，得：x＝﹣3， 故选：B． 【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解此题的关键． 32．（2026春•东河区期末）在无人机表演中，无人机群由初始位置整体平移至新位置．若点A（2，﹣1）平移后的对应点为A′（5，2），则点B（﹣3，4）平移后的器对应点B′的坐标是（　　） A．（0，7） B．（﹣6，1） C．（1，5） D．（﹣1，6） 【分析】根据平移时点的坐标变化规律进行计算即可． 【解答】解：由题知， 因为点A坐标为（2，﹣1），且平移后的对应点为A′（5，2）， 则5﹣2＝3，2﹣（﹣1）＝3． 因为点B坐标为（﹣3，4）， 则﹣3+3＝0，4+3＝7， 所以点B（﹣3，4）平移后的器对应点B′的坐标为（0，7）． 故选：A． 【点评】本题主要考查了坐标与图形变化﹣平移及坐标确定位置，熟知平移时点的坐标变化规律是解题的关键． 33．（2025秋•思明区校级期末）若平面直角坐标系中，O为坐标系原点，△ABO关于y轴对称，点A的坐标为（1，﹣2），则点B的坐标为　（﹣1，﹣2）　 ． 【分析】根据题意，得出点A和点B关于y轴对称，再结合点A的坐标即可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为O为坐标系原点，△ABO关于y轴对称， 所以点A和点B关于y轴对称． 又因为点A坐标为（1，﹣2）， 所以点B的坐标为（﹣1，﹣2）． 故答案为：（﹣1，﹣2）． 【点评】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟知关于y轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 34．（2025秋•平安区期末）如图所示的是蜡烛的平面镜成像原理图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若火焰顶部点P的坐标是（﹣4，2），则对应虚像顶部点Q的坐标是　（4，2）　 ． 【分析】根据题意得出P点与Q点关于y轴对称，再根据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相同解答即可． 【解答】解：由题意得对应虚像顶部Q点的坐标是（4，2）， 故答案为：（4，2）． 【点评】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特点，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 35．（2025秋•大兴安岭期末）已知点A（m，4）与点B（3，n）关于x轴对称，则（m+n）2025的值为　﹣1　 ． 【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，求出m，n的值，即可． 【解答】解：∵点A（m，4）与点B（3，n）关于x轴对称， ∴m＝3，n＝﹣4， ∴（m+n）2025＝（3﹣4）2025＝﹣1； 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了平面直角坐标系中对称点的坐标特点，掌握对称点的坐标特点是解题的关键．①关于x轴对称的两个点，横坐标相等，纵坐标互为相反数；②关于y轴对称的两个点，纵坐标相等，横坐标互为相反数． 36．（2026春•乌鲁木齐期中）如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上，点B（0，﹣5），将线段AB向右平移3个单位得到线段CD，交y轴于点E，若图中阴影部分面积是10，则点E的坐标为　　 ． 【分析】过点D作DF⊥x轴，根据平移可得S△AOB＝S△CDF，进而得到梯形OFDE的面积等于阴影部分的面积，利用面积公式求出EO的长，即可得出结果． 【解答】解：过点D作DF⊥x轴， ∵线段AB向右平移3个单位得到线段CD，B（0，﹣5）， ∴AC＝3，AB＝CD，D（3，﹣5）， ∴OB＝DF＝5， ∵S△AOB＝S△CDF，AO＝CF， ∴OA﹣OC＝CF﹣OC，S△AOB﹣S△COE＝S△CDF﹣S△COE， ∴梯形OFDE的面积等于阴影部分的面积，OF＝AC＝3， ∴， ∴； ∴点E的坐标为， 故答案为：， 【点评】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 37．（2025秋•太和县校级期末）在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）和P2（x2，y2），我们定义它们两点间的坐标距离如下： 若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1和点P2的坐标距离为|x1﹣x2|； 若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1和点P2的坐标距离为|y1﹣y2|． 已知点A（3，2），将点A先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B． （1）点B的坐标为 　（6，4）　 ，A、B两点间的坐标距离为 　3　 ； （2）M为x轴正半轴上一点，N为y轴正半轴上一点， ①若点M与点A之间的坐标距离等于4，求点M的坐标； ②若M、N与点A之间的坐标距离均为3，求M、N两点间的坐标距离． 【分析】（1）根据平移坐标的变化规律得出点B的坐标，再求出|x1﹣x2|与|y1﹣y2|的值，即可得出点A、点B的坐标距离； （2）①根据两点间的坐标距离的定义，由点M（m，0）与点A（3，2）之间的坐标距离等于4，可求出m＝7，进而得出点M的坐标； ②根据两点间的坐标距离的定义，可确定n的取值范围，再根据两点间的坐标距离的定义进行解答即可． 【解答】解：（1）将点A（3，2）先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到点B，则点B（6，4）， A（3，2），B（6，4）， ∵|3﹣6|＝3，|2﹣4|＝2， ∴|3﹣6|＞|2﹣4|， ∴A、B两点间的坐标距离为3， 故答案为：（6，4），3； （2）设点M（m，0），N（0，n）， ①∵点M（m，0）与点A（3，2）之间的坐标距离等于4， ∴|m﹣3|＝4， 解得m＝7或m＝﹣1＜0舍去， ∴点M（7，0）； ②∵点M（m，0）与点A（3，2）之间的坐标距离等于3， ∴|m﹣3|＝3， 解得m＝6或m＝0（舍去）， ∴点M（6，0）， 又∵点N（0，n）与点A（3，2）之间的坐标距离等于3， ∴|n﹣2|≤3， ∴﹣1≤n≤5， 又∵n＞0， ∴0＜n≤5， ∵点M（6，0），点N（0，n），而0＜n≤5， ∴|6﹣0|＞|0﹣n|， ∴M、N两点间的坐标距离是6． 【点评】本题考查平移坐标的变化以及新定义运算，理解“两点间的坐标距离”的定义，掌握平移坐标的变化规律是正确解答的关键． 38．（2026春•颍东区期末）【阅读材料】定义：在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（a，b），如果把点P平移，得到点Q（a+t，b﹣t），那么就把Q叫做点P的“t型平移”点． 例如：当t＝﹣5时，点M（2，4）的“﹣5型平移”点的坐标就是N（﹣3，9）． 【问题解决】 （1）点A（3，2）的“3型平移”点的坐标为　（6，﹣1）　 ； 若点（4，4）的“t型平移”点的坐标是（6，m），则t＝　2　 ，m＝　2　 ； （2）已知线段AB的两个端点分别是A（1，1），B（3，1）． ①端点A，B的“﹣1型平移”点分别是A1，B1，请在图中画出线段AB及线段AB1； ②若线段AB上的每个点作“t型平移”后，得到的线段与坐标轴有公共点，求t的取值范围． 【分析】（1）直接根据“t型平移”定义求解即可； （2）①直接根据“t型平移”定义求解得A1、B1坐标，进而根据坐标画图即可； ②根据“t型平移”定义结合图形，求得t的最大值和最小值即可得到结论． 【解答】解：（1）将点A（3，2）进行“3型平移”的对应点坐标为（3+3，2﹣3），即（6，﹣1）， 点（4，4）的“t型平移”点的坐标是（4+t，4﹣t）， 则4﹣t＝m，4+t＝6， 解得m＝2，t＝2， 故答案为：（6，﹣1）；2；2； （2）①∵端点A，B的“﹣1型平移”点分别是A1，B1， ∴B1（3﹣1，1+1），A1（1﹣1，1+1）， 即A1（0，2），B1（2，2）， 如图，线段AB、线段A1B1即为所求， ； ②当平移后得到的线段与坐标轴有公共点时，则或1﹣t＝0， 解得﹣3≤t≤﹣1或t＝1， 即线段AB上的每个点作“t型平移”后，得到的线段与坐标轴有公共点，﹣3≤t≤﹣1或t＝1． 【点评】本题考查坐标与图象变换之平移，理解新定义，灵活运用所学知识解决问题，学会利用图象法求解是解答的关键，属于中考创新题型． 39．（2025秋•临颍县期中）（1）在平面直角坐标系xOy中，已知点M（﹣3，m）与点Q（n，2）关于x轴对称，求m﹣n的值． （2）在△ABC中，∠A＝∠B﹣40°，∠C＝∠A+50°，求∠B的度数． 【分析】（1）先根据点坐标关于x轴对称的变换规律求出m，n的值，再代入计算即可得； （2）先用∠B表示出∠A和∠C，再利用三角形内角和定理计算即可解决问题． 【解答】解：（1）∵点M（﹣3，m）与点Q（n，2）关于x轴对称， ∴m＝﹣2，n＝﹣3， ∴m﹣n＝﹣2﹣（﹣3）＝1； （2）∴∠A＝∠B﹣40°，∠C＝∠A+50°， ∴∠C＝∠B﹣40°+50°＝∠B+10°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠B﹣40°+∠B+∠B+10°＝180°， 解得∠B＝70°． 【点评】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标和三角形内角和定理，熟练掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标特征和三角形内角和定理是解题关键． 💯 课后巩固 复习建议 · · 判断象限先看横纵坐标符号，坐标轴上的点不属于任何象限 · · 到x轴距离=|y|，到y轴距离=|x|，记得加绝对值 · · 平行于x轴纵坐标相同，平行于y轴横坐标相同，直接列方程 · · 距离公式，中点横纵坐标分别取平均 · · 对称规律：关于x轴纵变号，关于y轴横变号，关于原点都变号 【作业 1】（2025秋•福田区校级期末）2026年某智慧物流企业推出“垂直航线无人机巡检”服务．如图，设基站坐标为原点O（0，0），无人机从巡检起点A（﹣3，1）出发，沿垂直于x轴的固定航线匀速飞行至巡检终点B（﹣3，﹣5）．当无人机位置C（x，y）到基站O的距离大于OA的长度时，需启动“信号增强模式”以保障通信稳定．当无人机处于“信号增强模式”时，y的取值范围为（　　） A．﹣5＜y≤﹣1 B．y＜1 C．﹣1＜y＜1 D．﹣5≤y＜﹣1 【分析】根据题意，求出点A关于x轴的对称点的坐标，据此可解决问题． 【解答】解：由题知， 因为点A坐标为（﹣3，1）， 则点A关于x轴的对称点D的坐标为（﹣3，﹣1）． 由轴对称的性质可知，OA＝OD． 因为无人机位置C（x，y）到基站O的距离大于OA的长度时，需启动“信号增强模式”以保障通信稳定， 所以当点C在线段BD上时（不包含端点），无人机处于“信号增强模式”， 则﹣5≤y＜﹣1． 故选：D． 【点评】本题主要考查了坐标与图形性质，能根据题意得出点A关于x轴对称点的坐标并据此求出y的取值范围是解题的关键． 【作业 2】（2024秋•田阳区期末）如图，在平面直角坐标系中有一点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是（　　） A．（2，5） B．（﹣2，5） C．（﹣2，﹣5） D．（2，﹣5） 【分析】根据平面直角坐标系中坐标的特征判断即可． 【解答】解：∵这个点在第二象限， ∴这个点的横坐标小于0，纵坐标大于0， ∴这个点的坐标可能是（﹣2，5）． 故选：B． 【点评】本题考查点的坐标，掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键． 【作业 3】（2024秋•青羊区校级期中）平面直角坐标系内，点A（﹣2，1）与y轴上的点的最短距离为（　　） A． B．1 C．2 D． 【分析】根据垂线段最短即可得出答案． 【解答】解：平面直角坐标系内，点A（﹣2，1）与y轴上的点的最短距离为2． 故选：C． 【点评】本题考查了坐标与图形性质，关键是掌握坐标的定义和垂线段最短的性质． 【作业 4】（2024•益阳一模）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A．1 B． C． D．3 【分析】点（x，y）到x轴的距离为|y|，到y轴的距离为|x|，然后根据勾股定理，计算到原点的距离为． 【解答】解：点到原点的距离为， 故选：C． 【点评】本题主要考查了点的坐标意义、勾股定理，利用勾股定理计算点到原点的距离是解题关键． 【作业 5】（2024•漳州模拟）已知点P（m，m﹣1），Q（2，1），则线段PQ的长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据两点间距离公式得到PQ，利用二次函数的最值即可求解． 【解答】解：∵ ∴， ∵， ∴当时，有最小值，即PQ有最小值， ∴线段PQ的长的最小值为， 故选：B． 【点评】本题考查了二次函数的性质，两点间距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是关键． 【作业 6】（2025秋•五华县期末）平面直角坐标系中，有点P（2x﹣1，2x）与点Q（5，8），且PQ∥y轴，则点P的坐标为　（5，6）　 ． 【分析】根据平行于y轴的直线上点的横坐标相同建立方程求解，即可解题． 【解答】解：∵PQ∥y轴，点Q（5，8），点P（2x﹣1，2x）， ∴2x﹣1＝5， 解得x＝3， 则2x＝2×3＝6， ∴点P的坐标为（5，6）； 故答案为：（5，6）． 【点评】本题考查了平行于y轴的直线上点的坐标特点，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 【作业 7】（2025秋•松北区期末）平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣2），则点A关于y轴的对称点坐标　（﹣3，﹣2）　 ． 【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数．即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（﹣x，y），进而得出答案． 【解答】解：平面直角坐标系中，已知点A（3，﹣2），则点A关于y轴的对称点坐标为（﹣3，﹣2）． 故答案为：（﹣3，﹣2）． 【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的性质，正确记忆关于坐标轴对称点的性质是解题关键． 【作业 8】（2025秋•大连校级期末）在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为　（﹣1，﹣2）　 ． 【分析】根据点关于y轴对称的规律：原坐标为（x，y），对称后的坐标为（﹣x，y），据此回答即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点A（1，﹣2）关于y轴对称的点的坐标为（﹣1，﹣2）， 故答案为：（﹣1，﹣2）． 【点评】本题考查了坐标与图形变换，掌握点关于坐标轴对称的规律是解题的关键． 【作业 9】（2025•东莞市校级模拟）如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0，6），点B是x轴上的一个动点．以AB为边向右侧作等边三角形ABC，连接OC，在运动过程中，OC的最小值为 　3　 ． 【分析】以OA为边向左侧作等边△AOE，连接BE，先证出△ABE≌△ACO，根据全等三角形的性质可得BE＝OC，再根据垂线段最短可得当BE⊥x轴，BE的值最小，利用含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【解答】解：如图，以OA为边向左侧作等边△AOE，连接BE， ∴OA＝EA＝OE，∠OAE＝∠AOE＝60°， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝60°， ∴∠BAC﹣∠OAB＝60°﹣∠OAB＝∠OAE﹣∠OAB，即∠OAC＝∠EAB， 在△ABE和△ACO中， ， ∴△ABE≌△ACO（SAS）， ∴BE＝OC， 由垂线段最短可知，当BE⊥x轴，BE的值最小， ∵点A的坐标是（0，6）， ∴OA＝6， ∴OE＝6， 又∵∠AOE＝60°，∠AOB＝90°， ∴∠BOE＝30°， 则在Rt△BOE中，， 所以在运动过程中，OC的最小值为3， 故答案为：3． 【点评】本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 【作业 10】（2025秋•安徽期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点P到x轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”，点Q到x轴、y轴的距离相等时，称点Q为“完美点”． （1）点A（﹣1，2）的“长距”为 　2　 ； （2）若点B（2a﹣3，﹣5）是“完美点”，求a的值； （3）若点C（3b﹣2，﹣2）的长距为4，且点C在第四象限内，点D的坐标为（﹣5，9﹣2b），试说明点D是“完美点”． 【分析】（1）根据“长距”的定义解答即可； （2）根据完美点的定义可得|2a﹣3|＝|﹣5|，求出答案； （3）先根据“长距”是4求出b，进而得出点D的坐标，然后根据“完美点”的定义判断即可． 【解答】解：（1）∵A（﹣1，2）， ∴点A到x轴的距离是2，到y轴的距离是1， ∴点A（﹣1，2）的“长距”为2； 故答案为：2； （2）∵点B（2a﹣3，﹣5）是“完美点”， ∴|2a﹣3|＝|﹣5|， ∴2a﹣3＝5或2a﹣3＝﹣5， 解得a＝4或a＝﹣1； （3）∵点C（3b﹣2，﹣2）的长距为4且点C在第四象限内， ∴3b﹣2＝4， 解得b＝2， ∴9﹣2b＝9﹣4＝5， ∴点D的坐标为（﹣5，5）， ∴点D到x轴、y轴的距离都是5， ∴D是“完美点”． 【点评】本题主要考查了点的坐标，解一元一次方程，弄清题意是解题的关键． 【作业 11】（2025秋•兴庆区校级期末）【探究】 （1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．∠A＝∠D＝90°，点A、B、D在一条直线上．请利用图1证明勾股定理． 【运用】 （2）如图2，铁路上A，B两点（看作直线上的两点）相距30千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A，B，AD＝18千米，BC＝12千米，要在AB上建造一个供应站P，使得PC＝PD，求AP的距离． 【拓展】 （3）借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值（0＜x＜12）． 【分析】（1）通过表示四边形ACED的面积（两种方法：梯形面积、三个三角形面积和），建立等式推导勾股定理． （2）设AP长度为未知数，利用PC＝PD结合勾股定理列方程求解． （3）将代数式转化为几何线段长度，通过轴对称找最短路径，利用勾股定理求最小值． 【解答】解：（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．∠A＝∠D＝90°，点A、B、D在一条直线上．如图： ． 又∵， ∴， 展开得， 化简得a2+b2＝c2． （2）设AP＝x千米，则BP＝（30﹣x）千米． ∵PC＝PD，AD⊥AB，BC⊥AB， ∴AD2+AP2＝BC2+BP2， 即182+x2＝122+（30﹣x）2， ∴x＝12，即AP＝12千米． （3）设AB＝12，点P在AB上，AP＝x，PB＝12﹣x，作AD⊥AB且AD＝2，BC⊥AB且BC＝3，则代数式． 作点C关于AB的对称点F，连接DF交AB于点P，过F作FE⊥AD于点E，则PC＝PF， ∴PD+PC＝PD+PF≤DF， ∴DF的长为PD+PC的最小值． 在Rt△DEF中，DE＝AD+AE＝5，EF＝AB＝12， ∴， ∴代数式的最小值为13． 【点评】本题主要考查了勾股定理的证明与应用、轴对称﹣最短路径问题，熟练掌握勾股定理的推导方法、利用几何模型转化代数问题是解题的关键． 【作业 12】（2026春•闵行区期末）现有有序数对（a，b，c）和（x，y），如果ax+by＝c，则称（a，b，c）“关联”了（x，y），或（x，y）被（a，b，c）“关联”． 例如：5×3+7×（﹣2）＝1，则称（5，7，1）“关联”了（3，﹣2）． （1）下列数对中被（2，1，3）“关联”的有　①④　 ； ①（1，1），②（﹣4，6），③（﹣1，3），④（5，﹣7）． （2）若（p，q）同时被（5，﹣9，1）和（﹣3，7，1）“关联”，请求出p，q； （3）对于均不为0的a、b、c，数对（a，b，c）“关联”了（m，n）、（1，2）和（2，3），且（m，n）被（2027，﹣2026，﹣1）“关联”，试求数对（m，n）． 【分析】（1）根据“关联”定义逐项进行判断即可； （2）根据“关联”定义列出二元一次方程组并求解即可； （3）根据“关联”定义列出三元一次方程组，找出a，b，c的关系，进而可求出m，n的值． 【解答】解：（1）①2×1+1×1＝3， ∴（1，1）被（2，1，3）“关联”； ②2×（﹣4）+1×6＝﹣2≠3 ∴（﹣4，6）未被（2，1，3）“关联”； ③2×（﹣1）+1×3＝1≠3 ∴（﹣1，3）未被（2，1，3）“关联”； ④2×5+1×（﹣7）＝3 ∴（5，﹣7）被（2，1，3）“关联”； 故答案为：①④； （2）由条件可得： ， 解得； （3）由条件可得： ， ②﹣①得a+b＝0，即b＝﹣a， 将b＝﹣a代入①得c＝﹣a， 将b＝﹣a和c＝﹣a代入③得， m﹣n＝﹣1， 由条件可知2027m﹣2026n＝﹣1， 2027（m﹣n）+n＝﹣1， ∴m﹣2026＝﹣1， 解得m＝2025， ∴数对（m，n）为（2025，2026）． 【点评】本题主要考查了新定义下的实数的运算，二元一次方程组，三元一次方程组等知识点，解题的关键是根据题意正确理解被“关联”关系，并根据关系列出代数式． 【作业 13】（2025春•离石区期中）戏曲小组成员利用周末时间去剧团进行实践学习活动，出发前欣欣将各个剧团的位置标注在如图所示的平面直角坐标系中，其中点A表示“对子戏剧团”的位置，坐标为（﹣1.3），点B表示“咳咳腔剧团”的位置，坐标为（2，2）． （1）根据以上信息，请在示意图中画出欣欣建立的平面直角坐标系． （2）若“弦子腔剧团”的坐标为（0，﹣2），请在平面直角坐标系中标出“弦子腔剧团”的位置，并标注点D． （3）若欣欣在标点C（图中已标注）“壶关秧歌剧团”的位置时，横、纵坐标看反了，则正确的点C应在第　四　 象限． 【分析】（1）先根据A，B两点的坐标建立平面直角坐标系； （2）建立平面直角坐标系，即可确定点D的坐标； （3）建立平面直角坐标系后，可确定正确的点C的坐标，即可判断该点在第几象限． 【解答】解：（1）根据以上信息，建立的平面直角坐标系，如图所示： （2）“弦子腔剧团”的坐标为（0，﹣2），在平面直角坐标系中标出“弦子腔剧团”的位置，标注点D，如图所示： （3）欣欣在标点C（图中已标注）“壶关秧歌剧团”的位置时，横、纵坐标看反了，则正确的点C表示在平面直角坐标系中，如图所示： ∴正确的点C在第四象， 故答案为：四． 【点评】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标，熟练掌握以上知识点是关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $