22.4 位似图形-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

【创】成立，理由略。【变式训练2】（①4(2②）一号号 课后演练 1.B2.C3.B4.610125.(1)3(2)6.1 7.(W5-1)cm或(3-5)cm8.2w3或23或子3 9.(1)四条线段a,b,c,d成比例(2)d=5cm 10.k的值为2或一111.D12.(W5一1) 13.a=15cm,b=20cm,c=25cm 4()当a+b+c≠0时，s=号X1X2=1 (2)当a+b+c=0时，S=号×1X1=分 第2课时平行线分线段成比例 基础导学 3.平行 典例探究 【例1】C【变式训练1】B 【例2】C【变式训练2】C 课后演练 1A2.D3.B4. 5.5:86.15107.440cm 8DM=7.5EK=6KF=109BD=2.1m10.号 n号 12.证明略 13.(1)DE=9.(2)BE=11. 22.2相似图形 基础导学 1.成比例相等2.相似比 典例探究 【例1】c与(1)相似；d与(2)相似 【变式训练1】B【变式训练2】C 【例2】AE:EB=AD:EF=3:2W3=√3：2 【变式训练3】21cm 【变式训练4】(1)AD=4W2(2)W2:2 课后演练 1.D2.D3.B4.C5.1:2 6.√10：47.27cm28.5cm或20cm 9.x=6,y=12,z=6,∠a=118°，∠3=70°10.1.8 1.5十112.是黄金矩形，证明略 2 3g 指南针·课堂优化 22.3相似三角形 第1课时相似三角形 基础导学 1.相等成比例相似比全等2.相似 典例探究 【例1】(1)∠AED=40°，∠ADE=95°(2)DE=43.75(cm) 【变式训练1】3：55：33：5 【例2】D【变式训练2】C 【3】(1)证明略(2BC=DFCE-4X号=6， DG 【变式训练3】AE=4 课后演练 1.B2.C3.D4.125.√2：16.4 7.(1)AB=5(2)∠BCD=30°，∠BDC=105° 8.∠ADE=45,AC=21 9.C10.113°或92°11.DF:FC=1:2 12.另两边的长为12cm,36cm或10cm,25cm 第2课时相似三角形的判定（一） 基础导学 相等 典例探究 【例1】共有6对相似三角形，理由略。 【变式训练1】(1)C(2)C【例2】证明略 【变式训练2】证明略 课后演练 1.A2.C3.C4.95.30°6.1 7.(1)证明略(2)OM=58证明略92或8 10.2十211.①②③12.(1)证明略(2)BP= 3 .32 13.(1)t=1或；(2)t=8 第3课时相似三角形的判定（二） 基础导学 成比例夹角 典例探究 【例1】证明略【变式训练1】(1)C(2)C(3)C 九年级上册·数学(HS) 【例2】(1)证明略(2)猎想：器=（或是 ).证明略 课后演练 【变式训练2】证明略 1.C2B3D4B55m6号 课后演练 7.(1)证明略(2)72cm8.A9.D10.证明略 :1.D2.D3.D4.B5.∠A=∠D 11.(1)∠AED=60°(2)证明略(3)证明略 6船 7.∠APE=90°或BP=2PC 第6课时相似三角形的应用 基础导学 8.BC=89.8.4或2或12 1号25 11.证明略 2.对应边对应角对应高对应中线对应角平分线 12.(1)略(2)当t=2时，△OMNc△OBA 周长面积3.比例 第4课时相似三角形的判定（三） 典例探究 【例1】10米【变式训练1】AB=3(米) 基础导学 1.三边三边 【例2】甲同学设计的方案较好，理由略 2.(1)有两个角对应相等的两个三角形相似(2)两边对应成 课后演练 比例且夹角相等的两个三角形相似(3)三边对应成比例 1.A2.B3.C4.4.15.2.5mm6.旗杆高10米 7.1008.6.4m9.小军身高约为1.75米 的两个三角形相似 典例探究 10.(1)36 2号 (3)秒或票秒 【例1】略【变式训练1】△ADEC∽△ABD,理由略 专题练习3相似三角形的基本模型 【例2】证明略【变式训练2】(1)证明略(2)相似，理由 类型11.D2.B类型23.C4.12类型35.C 略(3)图略 6.(1)证明略(2)AE=9. 课后演练 类型47.D8.A类型59.B10.B类型611.C 1.A2.B3.C4∠BAC-∠EDF或器=合等 EF 12.(1)证明略(2)EC的长为9. 5.(1,0)(-1,0) 6.135°7.证明略8.略 22.4位似图形 9510.10或9 基础导学 11.矩形的长是10，宽是8 1.位似图形位似中心 12.(1)证明略(2)∠AEB=0成立，理由略 2.位似中心相似比相似比相似比的平方 第5课时相似三角形的性质 3.位似中心对应点各对应点 基础导学 典例探究 1.对应边 对应角2.对应高 对应中线 对应角的平分线：【例1】C【例2】B【变式训练1】(1)B(2)A 3.相似比4.相似比的平方 【斛】图路【酬】（图略2号=立 (3)图略 典例探究 【例1】证明略【变式训练1】证明略 课后演练 1.D2.C3.D4.0.55.1:46.4:97.图略 【例2】 SACOB 8.(1)点A'的坐标为(-1，一2)； 【变式训练2】(1)B(2)27 (2)图略，△A1BC1的面积=12； 【例3】(1)S△aPw=2(cm) (2)AE:AD=3 (3)点D的坐标为（一2，一2），（一4,2），(2,2). 3 【变式训练3】(1)证明略(2)S四边形A8Cn=24 9.A10.（-8,-3)或(4,3)1证明略2.号 4022.4 基础 导 学 1.如果两个图形的对应点A与A'、B与 卫，C与C…的连线都相交于-点O,且- OBOC =…=,那么这两个图形叫做 ,点O叫做 2.位似图形的性质 (1)位似图形对应点的连线或延长线交于 一点，为 .(2)位似图形上的任意 一组对应点到位似中心的距离之比等于 .(3)位似图形的对应线段平行（或在同一 条直线上)且成比例.(4)位似图形的对应角相 等.(5)两个图形位似，则这两个图形必相似，周 长比等于 ,面积比等于 2.利用位似的方法，可以把一个图形放大 或缩小，把一个多边形放大或缩小的步骤是： (1)选取 ;(2)截取固定化的线段确 定各顶点的 ;(3)连结 即得到位似图形， ★注意：(1)位似图形是一种特殊的相似图 形，而相似图形未必是位似图形；(2)位似中心 可以在两个图形之间，也可以在两个图形的 同侧. 典例探究 考点①位似的概念及性质 【例1】（百色中考）已知△ABC与△A'B'C 是位似图形，位似比是1：3，则△ABC与△A'B'C 的面积比是 () A.1:3 B.1:6 C.1:9 D.3:1 第22章围形的相似 似图形 【例2】（重庆中考）如图，△ABC与△DEF 位似，点O为位似中心，相似比为2：3.若△ABC 的周长为4，则△DEF的周长是 () D A.4 B.6 C.9 D.16 规律与方法：位似图形是特殊的相似图形， 位似比等于相似比，可利用相似三角形的性质求 解线段长度、角度、图形的周长与面积等问题. 【变式训练】(1)如图，位似图形由三角尺与 其灯光照射下的中心投影组成，相似比为2：5，且 三角尺的一边长为8cm,则投影三角形的对应边 长为 () 灯三角尺 投影 A.8 cm B.20 cm C.3.2 cm D.10 cm (2)如图，在平面直角坐标系中，有两点A (6,3)、B(6,0).以原点O为位似中心，相似比为 号，在第一象限内把线段AB缩小后得到线段 CD,则点C的坐标为 () B A.(2,1) B.(2,0) C.(3,3) D.(3,1) 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 考 点2位似图形的相关作图 【例3】如图，作出一个新图形，使新图形 与原图形对应线段之比为2. 规律与方法：(1)把一个图形放大或缩小，关 键是作出该图形上所有关键点的对应点；(2) 个图形放大或缩小的方法，一般都有类似于上面 的两种作法；(3)新图形与原图形是位似图形，位 似比等于相似比；(4)两图形的对应边平行（有时 对应边在同一条直线上). 【例4】如图，小方格都是边长为1的正方 形，△ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的 位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上 (1)画出位似中心点O: (2)求出△ABC与△A'B'C'的相似比； 9 (3)以点O为位似中心，再画一个△AB C1,使它与△ABC的相似比等于3：2. 课后演练 【基础过关】 1.(梧州中考)如图，以点O为位似中心，作四边 形ABCD的位似图形A'BCD',已知器 号，若四边形ABCD的面积是2，则四边形A B'C'D'的面积是 () A.4 B.6 C.16 D.18 第1题图 第2题图 2.如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原 图形的2倍得到△A'B'C,以下说法中错误 的是 () A.△ABC∽△A'B'C' 8 B.点C、点O、点C三点在同一直线上 C.AO:AA'=1:2 D.AB∥A'B1 3.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(一3， 6)、B(一9，一3)，以原点O为位似中心，相似 比为与，把△ABO缩小，则点A的对应点A' 的坐标是 A(-3,6)◆y A.(-1,2) B.(-9,18) C.(-9,18)或(9，-18) B(-9,-3) D.（-1,2)或(1，-2) 4.如图，以点O为位似中心，将五边形ABCDE 放大后得到五边形A'B'CDE',已知OA= 10cm,OA'=20cm,则五边形ABCDE的周长 与五边形A'B'CDE的周长的比值是 5.将△DEF缩小为原来的一半，操作方法 如下：任意取一点P,连结DP,取DP的 中点A,再连结EP,FP,取它们的中点 B,C,得到△ABC.则△ABC与△DEF的面 积比是 6.(阜新中考)如图，△ABC和△DEF是以点O 为位似中心的位似图形，相似比为2：3，则 △ABC和△DEF的面积比是 9 第22章田形的相d 7.按要求画出符合条件的一个位似图形： (1)如图甲，以点O为位似中心，将△ABC放 大2倍. (2)如图乙，以点O为位似中心，将四边形 ABCD缩小为原来的号 8.如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为 A(-1,2),B(-3,0),C(0,0) (1)请直接写出点A关于x轴对称的点A'的 坐标； (2)以C为位似中心，在x轴下方作△ABC的 位似图形△A1BC1,使放大前后位似比为 1:2,请画出图形，并求出△A1B1C1的面积 (3)请直接写出以A,B,C为顶点的平行四边 形的第四个顶点D的坐标 格南针·课堂优化·九年纸上册·数学(HS) 【能力提升】 9.(攀枝花中考)如图，△ABC与△DEF是位似 12 图形，点O为位似中心.已知OA:AD=2:1, 则△ABC与△DEF的相似比为 () A.2:3 B.1:3 C.2:1 D.3:2 第9题图 第10题图 10.如图，直线y=x+1与x轴交于点A,与y 轴交于点B,△BOC与△B'O'C'是以点A为 位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则 点B的对应点B'的坐标为 11.如图，用下面的方法可以画△ABO的内接等 边三角形，阅读后证明相应问题.画法：①在 △AOB内画等边三角形CDE,使点C在OA 上，点D在OB上；②连结OE并延长，交 AB于点E,过点E作E'C'∥EC,交OA于 点C',作ED'∥ED,交OB于点D';③连结 CD',则△CD'E'是△AOB的内接三角形 求证：△CD'E是等边三角形， ·100 【创新探究】 如图，正方形ABCD的两边BC、AB分别在平 面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方 形A'B'CD'与正方形ABCD是以AC的中点 O为中心的位似图形，已知AC=3√2，若点A 的坐标为(1,2)，求正方形A'B'CD'与正方形 ABCD的相似比. B(O