22.3.2 相似三角形的判定(一)-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

第2课时相似三角形的判定（一） 基础导学 如果一个三角形的两个角分别与另一个三 角形的两个角 ,那么这两个三角形 相似. 典例探究 考点①相似三角形的判定（一） 【例1】如图所示，点B、D和点C、E分别 在∠A的两边上，BE⊥AC,CD⊥AB,垂足分别 为点E、D,BE和CD相交于点F,问图中有哪 几对相似三角形？请一一说明理由. 规律与方法：利用两角对应相等判定两个三 角形相似，要特别注意图形中隐含的相等的角， 如对顶角、公共角等.如两个三角形是直角三角 形，则只需再找一组角即可. 【变式训练1】(1)在△ABC和△A'B'C 中，∠B=∠B=90°，∠A=30°，以下条件，不能 证明△ABC和△A'B'C'相似的是 () A.∠A'=30° B.∠C=60 C.∠C=60° D.∠A'-2∠C 第22章图形的相似 (2)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥ AB于点D,则图中相似三角形共有 () A.1对 B.2对C.3对 D.4对 考点2相似三角形判定（一）与性质的综合应用 【例2】如图，在菱形ABCD中，G是BD 上一点，连结CG并延长交BA的延长线于点 F,交AD于点E (1)求证：AG=CG (2)求证：AG2=GE·GF. 规律与方法：证明等积式通常证明两三角形 相似，三条线段在同一条直线上，不能构成三角 形，要利用线段相等转移 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 【变式训练2】如图，在△ABC中，AB= AC,∠A=36°，BD是∠ABC的平分线，求证： BC2=AC·CD. 课后演练 【基础过关】 1.在平行四边形ABCD中，点E为AD的中点， 连结BE,交AC于点F,则AF:CF=() A.1:2B.1:3C.2:3D.2:5 第1题图 第2题图 2.（凉山州中考)如图，在△ABC中，点D、E分 别在边AB,AC上，若DE/BC,品-号，DE =6cm,则BC的长为 () A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm ·7 3.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC 上，DE∥BC,∠ACD=∠B,那么图中一定相 似的三角形共有 () A.2对 B.3对C.4对 D.6对 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D,若 AC=6,AD=4,则斜边AB的长为 5.如图，∠1=∠2，∠B=30°，∠D=80°，当∠E为 时，△ADE与△ACB相似. 第5题图 第6题图 6.(北京中考)如图，在矩形ABCD中，若AB=3, AC=5,4则AE的长为 7.如图，在矩形ABCD中，AB-6,BC=8,沿直 线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC 于点O. (1)求证：△COM∽△CBA; (2)求线段OM的长度. 8· 8.如图所示，在△ABC中，AB=AC,BC的延长 线上有一点D,CD=BC,CE⊥BD于点C,交 AD于点E,BE交AC于点F. 求证：(1)△BCF∽△DBA;(2)AF=CF. 【能力提升】 9.如图，AC⊥AB,BE⊥AB,AB=10,AC=2.用 一个三角尺进行如下操作：将直角顶点P在 线段AB上滑动，一直角边始终经过点C,另 一直角边与BE相交于点D,若BD=8,则 AP的长为 第9题图 第10题图 10.如图所示，若△ABC内一点P满足∠PAC =∠PBA=∠PCB,则点P为△ABC的布 洛卡点.三角形的布洛卡点(Brocardpoint) 是法国数学家和数学教育家克洛尔(A.L. Crelle1.780-1855)于1816年首次发现，但他 的发现并未被当时的人们所注意，1875年， 布洛卡点被一个数学爱好者法国军官布洛 卡(Brocard1845-1922)重新发现，并用他的 名字命名.问题：已知在等腰直角三角形 DEF中，∠EDF=90°，若点Q为△DEF的布 洛卡点，DQ=1,则EQ十FQ= 第22章图形的相似 11.如图，在正方形ABCD中，点O是对角线 AC、BD的交点，过点O作射线OM、ON分 别交BC、CD于点E、F,且∠EOF=90°， OC、EF交于点G.给出下列结论： ①△COE≌△DOF;②△OGE∽△FGC;③ 四边形CEOF的面积为正方形ABCD面积 的子；④DF+BE2-OG·OC.其中正确的 是 12.如图，在△ABC中，AB=AC,点P、D分别 是BC、AC边上的点，且∠APD=∠B. (1)求证：AC·CD=CP·BP; (2)若AB=10,BC=12,当PD∥AB时，求 BP的长 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 【创新探究】 13.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6 cm,BC-8cm,动点P从点B出发，在BA 边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动， 同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒 4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t 秒(0<t<2),连结PQ (1)若△BPQ与△ABC相似，求t的值； (2)连结AQ,CP,若AQ⊥CP,求t的值 ·8 第3课时 相似三角形的判定（二） 基础 导学 如果一个三角形的两条边与另一个三角形 的两条边对应 ,并且 相等， 那么这两个三角形相似. 典例 探究 考点①三角形相似的判定（二） 【例1】已知：如图所示，在正方形ABCD 中，P是BC上的点，且BP=3PC,Q是CD的 中点，求证：△ADQ∽△QCP. 规律与方法：识别两三角形相似，要根据题 目条件，从不同角度选择恰当方法.一般思路是： 先找两对角对应相等，若只有一角对应相等，再 找夹这个角的两边的比是否相等，若出现平行 线，可直接考虑基本图形【创】成立，理由略。【变式训练2】（①4(2②）一号号 课后演练 1.B2.C3.B4.610125.(1)3(2)6.1 7.(W5-1)cm或(3-5)cm8.2w3或23或子3 9.(1)四条线段a,b,c,d成比例(2)d=5cm 10.k的值为2或一111.D12.(W5一1) 13.a=15cm,b=20cm,c=25cm 4()当a+b+c≠0时，s=号X1X2=1 (2)当a+b+c=0时，S=号×1X1=分 第2课时平行线分线段成比例 基础导学 3.平行 典例探究 【例1】C【变式训练1】B 【例2】C【变式训练2】C 课后演练 1A2.D3.B4. 5.5:86.15107.440cm 8DM=7.5EK=6KF=109BD=2.1m10.号 n号 12.证明略 13.(1)DE=9.(2)BE=11. 22.2相似图形 基础导学 1.成比例相等2.相似比 典例探究 【例1】c与(1)相似；d与(2)相似 【变式训练1】B【变式训练2】C 【例2】AE:EB=AD:EF=3:2W3=√3：2 【变式训练3】21cm 【变式训练4】(1)AD=4W2(2)W2:2 课后演练 1.D2.D3.B4.C5.1:2 6.√10：47.27cm28.5cm或20cm 9.x=6,y=12,z=6,∠a=118°，∠3=70°10.1.8 1.5十112.是黄金矩形，证明略 2 3g 指南针·课堂优化 22.3相似三角形 第1课时相似三角形 基础导学 1.相等成比例相似比全等2.相似 典例探究 【例1】(1)∠AED=40°，∠ADE=95°(2)DE=43.75(cm) 【变式训练1】3：55：33：5 【例2】D【变式训练2】C 【3】(1)证明略(2BC=DFCE-4X号=6， DG 【变式训练3】AE=4 课后演练 1.B2.C3.D4.125.√2：16.4 7.(1)AB=5(2)∠BCD=30°，∠BDC=105° 8.∠ADE=45,AC=21 9.C10.113°或92°11.DF:FC=1:2 12.另两边的长为12cm,36cm或10cm,25cm 第2课时相似三角形的判定（一） 基础导学 相等 典例探究 【例1】共有6对相似三角形，理由略。 【变式训练1】(1)C(2)C【例2】证明略 【变式训练2】证明略 课后演练 1.A2.C3.C4.95.30°6.1 7.(1)证明略(2)OM=58证明略92或8 10.2十211.①②③12.(1)证明略(2)BP= 3 .32 13.(1)t=1或；(2)t=8 第3课时相似三角形的判定（二） 基础导学 成比例夹角 典例探究 【例1】证明略【变式训练1】(1)C(2)C(3)C 九年级上册·数学(HS) 【例2】(1)证明略(2)猎想：器=（或是 ).证明略 课后演练 【变式训练2】证明略 1.C2B3D4B55m6号 课后演练 7.(1)证明略(2)72cm8.A9.D10.证明略 :1.D2.D3.D4.B5.∠A=∠D 11.(1)∠AED=60°(2)证明略(3)证明略 6船 7.∠APE=90°或BP=2PC 第6课时相似三角形的应用 基础导学 8.BC=89.8.4或2或12 1号25 11.证明略 2.对应边对应角对应高对应中线对应角平分线 12.(1)略(2)当t=2时，△OMNc△OBA 周长面积3.比例 第4课时相似三角形的判定（三） 典例探究 【例1】10米【变式训练1】AB=3(米) 基础导学 1.三边三边 【例2】甲同学设计的方案较好，理由略 2.(1)有两个角对应相等的两个三角形相似(2)两边对应成 课后演练 比例且夹角相等的两个三角形相似(3)三边对应成比例 1.A2.B3.C4.4.15.2.5mm6.旗杆高10米 7.1008.6.4m9.小军身高约为1.75米 的两个三角形相似 典例探究 10.(1)36 2号 (3)秒或票秒 【例1】略【变式训练1】△ADEC∽△ABD,理由略 专题练习3相似三角形的基本模型 【例2】证明略【变式训练2】(1)证明略(2)相似，理由 类型11.D2.B类型23.C4.12类型35.C 略(3)图略 6.(1)证明略(2)AE=9. 课后演练 类型47.D8.A类型59.B10.B类型611.C 1.A2.B3.C4∠BAC-∠EDF或器=合等 EF 12.(1)证明略(2)EC的长为9. 5.(1,0)(-1,0) 6.135°7.证明略8.略 22.4位似图形 9510.10或9 基础导学 11.矩形的长是10，宽是8 1.位似图形位似中心 12.(1)证明略(2)∠AEB=0成立，理由略 2.位似中心相似比相似比相似比的平方 第5课时相似三角形的性质 3.位似中心对应点各对应点 基础导学 典例探究 1.对应边 对应角2.对应高 对应中线 对应角的平分线：【例1】C【例2】B【变式训练1】(1)B(2)A 3.相似比4.相似比的平方 【斛】图路【酬】（图略2号=立 (3)图略 典例探究 【例1】证明略【变式训练1】证明略 课后演练 1.D2.C3.D4.0.55.1:46.4:97.图略 【例2】 SACOB 8.(1)点A'的坐标为(-1，一2)； 【变式训练2】(1)B(2)27 (2)图略，△A1BC1的面积=12； 【例3】(1)S△aPw=2(cm) (2)AE:AD=3 (3)点D的坐标为（一2，一2），（一4,2），(2,2). 3 【变式训练3】(1)证明略(2)S四边形A8Cn=24 9.A10.（-8,-3)或(4,3)1证明略2.号 40