第9讲 相似三角形的判定 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册

第9讲 相似三角形的判定 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解相似三角形的概念，能准确找出对应角与对应边 · · 掌握平行线法（A型、X型）判定两个三角形相似 · · 掌握「两角分别相等」的相似判定定理 · · 掌握「两边成比例且夹角相等」「三边成比例」判定定理 · · 会用相似三角形求线段长，并证明乘积式b2=ac 📚 知识梳理 ☆ 1.相似三角形的定义与平行线判定 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 相似比k是对应边的比，前后两三角形顺序不同则k互为倒数 平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得三角形与原三角形相似（A型、X型基本图形） 全等是相似比k=1的特殊相似 概念辨析例题：△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=4，求DE:BC 解析：DE∥BC得△ADE∽△ABC，DE:BC=AD:AB=2:(2+4)=1:3 ☆ 2.判定定理1：两角分别相等 两角分别相等的两个三角形相似（最常用） 公共角、对顶角、同角（等角）的余角或补角是常见等角来源 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 两个等腰三角形若顶角（或底角）相等，则它们相似 概念辨析例题：P是AB上一点，∠A公共，∠ACP=∠B，求证△ACP∽△ABC 解析：∠A=∠A，∠ACP=∠B，两角分别相等，故相似 ☆ 3.判定定理2：两边成比例且夹角相等 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 夹角必须是成比例两边所夹的角，不能是任意一边的对角 公共角配上夹边成比例，即可用本定理 注意「两边及其中一边的对角相等」（SSA）不能判定相似 概念辨析例题：D在BC上，AB=4，BD=2，BC=8，∠B公共，求证△BAC∽△BDA 解析：BA:BD=4:2=2，BC:BA=8:4=2，且夹角∠B=∠B，两边成比例且夹角相等 ☆ 4.判定定理3：三边成比例与射影定理 三边对应成比例的两个三角形相似 格点图中先用勾股定理算出三边，排序后再看是否成比例 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似（双垂直图形） 射影定理：CD2=AD·BD，BC2=BD·AB，AC2=AD·AB 概念辨析例题：Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于D，求证BC2=AB·DB 解析：∠ACB=∠CDB=90°，∠B公共，△ACB∽△CDB，故AB:CB=CB:DB，即BC2=AB·DB 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 相似三角形 对应角相等，对应边成比例 k是对应边之比 平行线判定 DE∥BC ⇒ △ADE∽△ABC A型与X型两种基本图 判定定理1 两角分别相等 先找公共角/对顶角/直角 判定定理2 两边成比例且夹角相等 夹角必须对应，SSA不可用 判定定理3 三边对应成比例 格点先用勾股算边长 射影定理 CD2=AD·BD，BC2=BD·AB 双垂直图形专用 相似性质 周长比=k，面积比=k2 对应高、中线、角平分线比=k ⚠️ 核心考点 【考点1】格点图中判定两个三角形相似（第1-4题） · · 用勾股定理算出每个三角形三边长 · · 三边从小到大排序后再看比值 · · 抓135°等特殊钝角作快速排除 · · 直角三角形直接看两条直角边之比 1．（2026•河北校级一模）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形的两条直角边的比为1：2判断即可． 【解答】解：由题意∠BAC＝90°，AB，AC＝2， ∴AB：AC＝1：2， 选项C中的三角形是直角边比为1：2的直角三角形，符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法． 2．（2024秋•宁波校级期中）如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 【分析】利用勾股定理分别求出每个三角形的三边长，再根据两三角形的三组对应边的比例相等，则这两个三角形相似判断即可． 【解答】解：①中三角形三边分别为，2，， ②中三角形三边分别为，3，， ③中三角形三边分别为，，， ④中三角形三边分别为2，，， ∵， ∴可判定①和④中的三角形相似． 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理，相似三角形的判定，掌握相似三角形的定理是解题关键． 3．（2024秋•鼓楼区月考）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据正方形的性质求出∠ACB，根据相似三角形的判定定理判断即可． 【解答】解：由正方形的性质可知，∠ACB＝180°﹣45°＝135°， A、C、D图形中的钝角都不等于135°， 由勾股定理得，，AC＝2， 对应的图形B中的边长分别为1和， ∵， ∴图B中的三角形（阴影部分）与△ABC相似， 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定，掌握两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 4．（2024秋•拱墅区期末）如图，在6×6方格中，点A，B，C，D，E点均在格点上，若△ABC与△DEPi（i＝1，2，3，4）相似，则符合条件的格点Pi是（　　） A．点P1 B．点P2 C．点P3 D．点P4 【分析】判断出△ABC是直角三角形，且BA＝2AC可得结论． 【解答】解：∵AC，BC＝2，AB， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠C＝90° ∴△ABC是直角三角形，BC＝2AC， 连接DP3，EP3，△DP3E是直角三角形，且EP3＝2DP3， ∴△ACB∽△DP3E， 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【考点2】补充条件判定三角形相似（第5-7题） · · 先找出图中已有的公共角 · · 两角法：再补一对等角即可 · · 两边夹边法：补夹边成比例 · · 警惕SSA：成比例但非夹角不能判定 5．（2024秋•晋江市期中）如图，点D是等边△ABC的边BC上的一点，下面四个条件不能判定△BDF∽△CED是（　　） A．∠EDF＝60° B． C．DE∥AB，DF∥AC D． 【分析】根据相似三角形的判定方法进行验证即可求解． 【解答】解：已知△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， A、∠EDF＝60°， ∴∠BDF+∠CDE＝180﹣∠EDF＝180°﹣60°＝120°， 在△BDF中，∠B＝60°， ∴∠BDF+∠BFD＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BFD＝∠CDE，且∠B＝∠C， ∴△BDF∽△CED， ∴故A能判定两三角形相似，不符合题意； B、， 根据比例的性质可得，，且∠B＝∠C， ∴根据两边对应成比例，且两边夹角相等，两三角形相似可得△BDF∽△CED， ∴故B能判定两三角形相似，不符合题意； C、DE∥AB，DF∥AC， ∴∠CDE＝∠B＝60°，∠BFD＝∠A＝60°，∠CED＝∠A＝60°＝∠BFD， ∴△BDF∽△DCE，或者△BDF∽△CDE，或者△BDF∽△CED， ∴故C能判定两三角形相似，不符合题意； D、， 两边对应成比例，其夹角不确定是否相等，不能判定两三角形相似， ∴故D不能判定两三角形相似，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 6．（2024春•高青县期末）如图，点P是△ABC边AB上一点（AB＞AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（　　） A． B． C．∠ACP＝∠B D．∠APC＝∠ACB 【分析】根据相似三角形的判定方法．利用公共角∠A进行求解． 【解答】解：∵∠A＝∠A， ∴当∠APC＝∠ACB或∠ACP＝∠B或或AC2＝AB•AP时，△ACP∽△ABC． 故选：B． 【点评】此题考查了相似三角形的判定： ①有两个对应角相等的三角形相似； ②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似； ③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 7．（2025秋•南湖区校级月考）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，请添加一个条件：　∠B＝∠D ，使△ABC∽△ADE． 【分析】由∠BAD＝∠CAE，推导出∠BAC＝∠DAE，由∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△ADE，所以添加的一个条件是∠B＝∠D．此外，若添加条件∠C＝∠E，仍可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△ADE；若添加条件，可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABC∽△ADE，所以，添加的条件也可以是∠C＝∠E或． 【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠DAC＝∠CAE+∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D， ∴△ABC∽△ADE， ∴添加的一个条件是∠B＝∠D， 故答案为：∠B＝∠D．（答案不唯一） 【点评】此题重点考查相似三角形的判定，正确理解和应用相似三角形的判定定理是解题的关键． 【考点3】乘积式b²=ac的转化证明（第8-15题） · · 乘积式先改成比例式b:a=c:b · · 在图中找含b、a、c边的两个三角形 · · 用等线段或等比进行代换 · · 找不到直接相似时用中间比搭桥 8．（2026•青浦区二模）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF＝DE，AE的延长线与DF相交于点G，且DG2＝GE•GA． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果AE＝3EG，求证：点E是边CD的中点． 【分析】（1）先证明△GED∽△GDA，再证明△ADE≌△DCF（AAS），最后根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可； （2）设EG＝m，AE＝3m，由DG2＝GE•GA，求出DG，再由△GED∽△GDA证明即可． 【解答】证明：（1）如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠4＝∠3， ∵DG2＝GE•GA， ∴， ∵∠5＝∠5， ∴△GED∽△GDA， ∴∠1＝∠2， ∵CF＝DE， ∴△ADE≌△DCF（AAS）， ∴AD＝DC， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵AE＝3EG， ∴设EG＝m，AE＝3m， ∴AG＝EG+AE＝4m， ∵DG2＝GE•GA＝m×4m， ∴DG＝2m（舍负）， ∵△GED∽△GDA， ∴， ∵AD＝CD， ∴， ∴DE＝CE， ∴点E是边CD的中点． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 9．（2025秋•内丘县期中）在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD上两点，连接BF． （1）如图1，延长BF，与AD的延长线交于点M，若，求的值； （2）如图2，连接AE，交BF于点G，若，求的值． 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出平行的边和相等的边，证明△FBC∽△FDM，然后根据对应边成比例求解即可； （2）延长AE，DC相交于点H，根据平行四边形的性质证明△HEC∽△HAD，△GAB∽△GHF，得出对应边成比例，假设CE＝2a，CF＝2b，表示出相关线段的长度，得出，假设AG＝3c，表示出相关线段长度，然后根据等高三角形的面积比等于底的比，即可求解． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠M＝∠FBC，∠FDM＝∠C（两直线平行，内错角相等）， ∴△FBC∽△FDM， ∴， ∴， 即， ∴； （2）延长AE，DC相交于点H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠HAD＝∠HEC，∠D＝∠HCE，∠GAB＝∠H，∠GBA＝∠GFH， ∴△HEC∽△HAD，△GAB∽△GHF， ∵， 设CE＝2a，则AD＝CB＝3a，CF＝2b，则AB＝CD＝3b， ∴， ∴HC＝6b， ∴HF＝HC+CF＝8b， ∴， 设AG＝3c，则GH＝8c，AH＝AG+GH＝11c， ∵， ∴， ∴， ∵△BGE与△ABG为等高三角形， ∴面积比等于底的比， ∴， ∴的值为． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，求三角形的面积比等知识点，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 10．（2026•漳州模拟）如图，△ABC中，点D在边AC上，满足∠ABD＝∠C，AB＝4，AD＝2．求CD的长． 【分析】先证明△ABD∽△ACB，由相似三角形的性质得出，求出AC，然后根据线段的和差关系即可得出CD． 【解答】解：在△ABD与△ACB中， ， ∴△ABD∽△ACB， ∴， ∵AB＝4，AD＝2， ∴， ∴AC＝8， ∴CD＝AC﹣AD＝8﹣2＝6． 【点评】此题考查相似三角形的判定与性质，关键是根据相似三角形的判定得出△ABD∽△ACB解答． 11．（2025春•南昌期末）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，且CD＝2，BD＝1． （1）求BC的长； （2）求AD的长． 【分析】（1）根据勾股定理即可求出答案； （2）设AD＝x，则AB＝x+1，根据勾股定理得到AC2＝x2+4，AB2＝AC2+BC2，则，解方程即可求出答案． 【解答】解：（1）∵CD⊥AB，CD＝2，BD＝1， ∴∠BDC＝∠ADC＝90°， ∴， （2）设AD＝x，则AB＝x+1， ∵∠ADC＝90°， ∴AC2＝AD2+CD2＝x2+4， ∵∠ACB＝90°， ∴AB2＝AC2+BC2， ∴， 解得：x＝4， ∴AD＝4． 【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理的内容是关键． 12．（2026秋•单元）已知：如图，平行四边形ABCD，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N．求证： （1）△PMD∽△AMB，△AMD∽△NMB． （2）AM2＝MN•MP． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AD∥BC，AB∥DC，进而可以证明△ADM∽△NBM，△PDM∽△ABM； （2）结合（1）利用相似三角形的性质可得对应边成比例，进而即可得结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥DC， ∵AB∥DC， ∴∠P＝∠BAM，∠MDP＝∠ABM， ∴△PDM∽△ABM， ∵AD∥BC， ∴∠ADM＝∠NBM，∠DAM＝∠BNM， ∴△ADM∽△NBM； （2）由（1）知：△ADM∽△NBM， ∴， 由（1）知：△PDM∽△ABM， ∴， ∴， ∴AM2＝MN•MP． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练相似三角形的性质是解决本题的关键． 13．（2025•闵行区二模）已知，如图：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是边BC延长线上一点，联结AE，交BD于点F，交CD于点G． （1）求证：AF2＝FG•FE； （2）联结CF，如果∠DAE＝∠FCD，求证：四边形ABCD是菱形． 【分析】（1）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）如图，根据平行四边形的性质得到AB∥CD，求得∠DAE＝∠E，得到∠E＝∠FCD，求得CF2＝FG•FE，由（1）知，AF2＝FG•FE，得到AF＝CF，根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，根据菱形的判定定理得到结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△ABF∽△GDF， ∴， ∵AD∥BE， ∴△EBF∽△ADF， ∴， ∴， ∴AF2＝FG•FE； （2）如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠DAE＝∠E， ∵∠DAE＝∠FCD， ∴∠E＝∠FCD， ∵∠CFG＝∠EFC， ∴△CFG∽△EFC， ∴， ∴CF2＝FG•FE， 由（1）知，AF2＝FG•FE， ∴CF2＝AF2， ∴AF＝CF， ∵AO＝CO， ∴AC⊥BD， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形． 【点评】本题考查了菱形的判定，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 14．（2024秋•鹤壁期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N．联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得AB＝CD，AB∥CD，再证明四边形BECD为平行四边形得到BD∥CE，根据相似三角形的判定方法，由CM∥DB可判断△BND∽△CNM； （2）先利用AD2＝AB•AF可证明△ADB∽△AFD，则∠1＝∠F，再根据平行线的性质得∠F＝∠4，∠2＝∠3，所以∠3＝∠4，加上∠NMC＝∠CMD，于是可判断△MNC∽△MCD，所以MC：MD＝CN：CD，然后利用CD＝AB和比例的性质即可得到结论． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， 而BE＝AB， ∴BE＝CD， 而BE∥CD， ∴四边形BECD为平行四边形， ∴BD∥CE， ∵CM∥DB， ∴△BND∽△CNM； （2）∵AD2＝AB•AF， ∴AD：AB＝AF：AD， 而∠DAB＝∠FAD， ∴△ADB∽△AFD， ∴∠1＝∠F， ∵CD∥AF，BD∥CE， ∴∠F＝∠4，∠2＝∠3， ∴∠3＝∠4， 而∠NMC＝∠CMD， ∴△MNC∽△MCD， ∴MC：MD＝CN：CD， ∴MC•CD＝MD•CN， 而CD＝AB， ∴CM•AB＝DM•CN． 【点评】本题考查了三角形相似的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．在运用相似三角形的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了平行四边形的判定与性质． 15．如图，a∥b∥c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，c交于点A，B，C和点D，E，F． 【基础设问】 （1）若点E是线段OF的黄金分割点，OE＜EF，则　　 ． （2）图中相似三角形的对数是　3　 ． 【能力设问】 （3）若OA＝1，OB＝2，BC＝4，EF＝5． ①求OE和DE的长度； ②求△OBE与四边形BCFE的面积之比． （4）连接CE，BF交于点P，若，求证：△BPC∽△EPF． （5）连接BF，若BF⊥OC，直线n⊥c． ①求证OF2＝OB•OC； ②若OC＝9，OB＝4，求的值． 【拓展设问】 （6）过点B作BM⊥CF于点M，过点E作EN⊥CF于点N，过点O作OG⊥CF于点G，交BE于点H．已知FC＝12，OG＝8． ①若四边形BMNE是正方形，求这个正方形的边长； ②若四边形BMNE是一个两条边长不能确定的矩形，但这个矩形的面积有最大值，求面积最大时该矩形的两条边长． 【分析】（1）根据黄金分割点定义，且OE是较短的线段，即可列出黄金分割比，计算求得即可； （2）根据平行线性质，即可找到多组相似三角形； （3）①根据平行线性质，利用线段间的比例关系即可求得OE、DE长度； ②利用相似三角形面积比等于相似比的平方； （4）找到对应角相等或对应边成比例即可求证相似； （5）①利用相似三角形，通过公共角相等求得△OBF∽△OFC，即可求证； ②利用勾股定理和相似比求得OF和BF的长度，即可求得的值； （6）①设正方形边长为x，利用相似三角形对应高之比等于相似比； ②设BM＝h，MN＝w，从而建立面积函数式求最值． 【解答】解：（1）由题意可知， 故答案为：； （2）∵b∥c， ∴△OBE∽△OCF， ∵a∥b， ∴△OBE∽△OAD， ∵a∥c， ∴△OAD∽△OCF， 综上，可知题图中相似三角形共有3对， 故答案为：3； （3）①∵b∥c， ∴， 即， ∴， 由（2）可知△OBE∽△OAD， ∴， 即， ∴，， ②由（2）可知△OBE∽△OCF，则， ∴， ∴； （4）证明∵，∠COE＝∠FOB， ∴△COE∽△FOB， ∴∠OCE＝∠OFB， 又∵∠BPC＝∠EPF， ∴△BPC∽△EPF．； （5）①证明：∵BF⊥OC，n⊥c， ∴∠OBF＝90°，∠OFC＝90°， ∴∠BFO+∠COF＝90°，∠FCO+∠COF＝90°， ∴∠BFO＝∠FCO， ∴△BFO∽△FCO， ∴， 即OF2＝OB•OC．； ②由（5）①知OF2＝OB•OC， ∵OC＝9，OB＝4， ∴OF2＝36， ∵OF＝6或﹣6（舍去）， 在Rt△OFC中，由勾股定理，得， ∵∠CBF＝∠CFO＝90°，∠BCF＝∠FCO， ∴△BCF∽△FCO， ∴； （6）①设这个正方形的边长为x，则BE＝BM＝HG＝x， ∴OH＝OG﹣HG＝8﹣x， 由（2）可知△OBE∽△OCF， ∴， 即， 解得x＝4.8， 故这个正方形的边长为4.8； ②设BE＝t，矩形BMNE的面积为S， 由（2）可知△OBE∽△OCF， ∴， 即， 解得， ∴， 故当t＝6时，S有最大值，为24，即BE＝6，此时BM＝4， ∴面积最大时该矩形的两条边长分别为6，4． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、黄金分割、勾股定理以及二次函数的最值问题，重难点在于灵活运用平行线分段成比例定理进行线段计算． 【考点4】利用相似三角形求线段长（第16-23题） · · 周长比等于相似比 · · 面积比等于相似比的平方 · · 对应高、中线、角平分线之比等于相似比 · · 列比例式后解方程求未知线段 16．（2026•南岸区校级模拟）已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2．若△ABC的周长为9，则△DEF的周长为（　　） A．27 B．18 C．36 D．9 【分析】利用相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可． 【解答】解：∵△ABC∽△DEF，且AB：DE＝1：2，△ABC的周长为9， ∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：2， ∴△DEF的周长为9×2＝18． 故选：B． 【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比是解题的关键． 17．（2026•高新区模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E为AD上一点，连接CE交BD于点F，延长CE交BA的延长线于点G，若AG＝1，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】先根据正方形的性质得到AB＝BC＝3，∠ABC＝90°，AB∥CD，再利用勾股定理计算出CG＝5，接着证明△CDF∽△GBF，根据相似三角形的性质得到，然后利用比例的性质求出CF的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝3，∠ABC＝90°，AB∥CD， 在Rt△GBC中，∵BG＝BA+AG＝3+1＝4，BC＝3， ∴CG5， ∵BG∥CD， ∴△CDF∽△GBF， ∴， ∴， ∴CF5． 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；在运用相似三角形的性质时，利用相似比表示线段之间的关系或进行几何计算．也考查了正方形的性质． 18．（2025秋•龙华区期末）如图，AD，BE交于点C，∠A＝∠E，若，则 　　 ． 【分析】先证明△ABC∽△EDC，然后根据相似三角形面积的比等于相似比的平方求解． 【解答】解：∵∠A＝∠E，∠ACB＝∠ECD， ∴△ABC∽△EDC， ∴（）2＝（）2． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用；灵活运用相似三角形的性质计算相应线段的长或表示线段之间的关系是解决问题的关键． 19．（2025秋•咸阳期末）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接DE交AB的延长线于点F，若CE＝1，BE＝2，则BF的长为　6　 ． 【分析】根据正方形的性质，证明△DCE∽△FBE，解答即可． 【解答】解：∵CE＝1，BE＝2， ∴BC＝CE+BE＝3， ∵正方形ABCD， ∴AB＝BC＝CD＝DA＝3，DC∥AF， ∴△DCE∽△FBE， ∴， ∵CE＝1，BE＝2，DC＝3， ∴， 解得BF＝6， 故答案为：6． 【点评】本题考查了正方形的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 20．（2026春•沙坪坝区校级月考）如图，在锐角△ABC中，AC＜AB，点G是线段BC的中点，连接AG，过点C作CF⊥AC交AG的延长线于点F，点E是AG上一点，连接CE，BE，满足∠CBE＝∠CAF，∠BCE＝∠AFC，若AE＝GF，BC＝10，则CF的长度为　　 ． 【分析】延长EG至点H，使EG＝GH，连接CH、BH，先证明△BGE≌△CGH（SAS），进一步证明四边形BHCE为平行四边形，再导角可得∠CEB＝90°，证明四边形BHCE为矩形．由斜边中线定理可知EG＝CG＝BGBC＝5，∠GCE＝∠GEC＝∠AFC，再证明△CEG∽△FEC，设AE＝GF＝x，可得CE2＝5（5+x）；同理证明△CHG∽△AHC，可得CH2＝BE2＝5（10+x）．在Rt△BEC中，由勾股定理得方程5（5+x）+5（10+x）＝100，可得CE，再证明CF＝CE即可． 【解答】解：延长EG至点H，使EG＝GH，连接CH、BH， 在△BGE和△CGH中， ， ∴△BGE≌△CGH（SAS）， ∴BE＝CH，∠CBE＝∠BCH， ∴BE∥CH， ∴四边形BHCE为平行四边形． ∵∠ACF＝90°， ∴∠CAF+∠AFC＝90°， ∵∠CBE＝∠CAF，∠BCE＝∠AFC， ∴∠CBE+∠BCE＝90°， ∴∠CEB＝90°， ∴四边形BHCE为矩形． 由斜边中线定理可知EG＝CG＝BGBC＝5， ∴∠GCE＝∠GEC＝∠AFC， ∴△CEG∽△FEC，设AE＝GF＝x， 则有CE2＝EG•EF，即CE2＝5（5+x）， ∵∠CAF＝∠CBE＝∠HCG，∠CHG＝∠AHC， ∵△CHG∽△AHC， ∴CH2＝HG•AH，即CH2＝5（10+x）， 即BE2＝5（10+x）， 在Rt△BEC中，由勾股定理可得CE2+BE2＝BC2， ∴5（5+x）+5（10+x）＝100，解得x， 故CE， ∵∠GEC＝∠AFC， ∴CF＝CE． 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的斜中性质，勾股定理，等腰三角形的判定，平行四边形和矩形的判定及性质，有一定难度．熟练掌握以上知识的综合运用以及先利用倍长中线构造出辅助线打开突破口是解题关键． 21．（2024秋•武威期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若，则的值为 　　 ． 【分析】证明BE：EC＝1：3，得出BE：BC＝1：4；证明△BDE∽△BAC，△DOE∽△AOC，得到，由相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：∵， ∴BE：EC＝1：3， ∴BE：BC＝1：4， ∵DE∥AC， ∴△DOE∽△COA， ∴， ∴； 故答案为：． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；解题的关键是灵活运用相似三角形的判定及其性质来分析、判断、推理或解答． 22．（2026•余杭区校级模拟）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一点，连结AD，将AD绕点A顺时针旋转60°得到AE，连结DE交AB于点F． （1）求证：△ACD∽△DBF． （2）若AB＝8，AD＝7，求DF的值． 【分析】（1）由旋转的性质可得△ADE是等边三角形，则∠ADE＝60°，由△ABC是等边三角形，可得∠B＝∠C＝∠ADE＝60°，由等量代换可得∠BFD＝∠ADC，命题得证； （2）过点A作AH⊥BC于点H．由等边三角形的性质和勾股定理可得BH＝4，，DH＝1，则BD＝3，利用△ACD∽△DBF计算出DF的值即可． 【解答】（1）证明：由旋转的性质可知，∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴△ADE是等边三角形， ∴∠ADE＝60°， ∴∠ADC+∠BDF＝180°﹣∠ADE＝120°， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠BDF+∠BFD＝180°﹣∠B＝120°， ∴∠BFD＝∠ADC， ∴△ACD∽△DBF； （2）解：过点A作AH⊥BC于点H． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝8， 又∵AH⊥BC， ∴， 由勾股定理可得，，， ∴BD＝3， 由（1）得△ACD∽△DBF， ∴，即， 解得． D在H点的右边， ∵△ABC是等边三角形，AB＝8，由三线合一得，， 在Rt△ADH中，AD＝7， 由勾股定理得， ∵D在H右侧， ∴BD＝BH+DH＝4+1＝5，CD＝BC﹣BD＝8﹣5＝3， 由（1）知△ACD∽△DBF，根据相似三角形对应边成比例，得， 代入AD＝7，AC＝8，BD＝5，得， ∴． DF的值为． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 23．（2025春•环翠区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，点E为AD边上一点，且AE＝AB，DE＝DC．过点E作EF∥AB，交BC于点F，连接BD交EF于点G，求证：EG＝FG． 【分析】连接BE，延长BE，CD交于点H，根据AE＝AB，得出∠1＝∠2，根据AB∥DC，得出∠1＝∠H，结合∠3＝∠2，得出∠3＝∠H，证出DE＝DH，结合DE＝DC，得出DH＝DC，根据EF∥CH，证出△BGF∽△BDC，△BEG∽△BHD，即可得，即可证明GF＝EG． 【解答】证明：如图，连接BE，延长BE，CD交于点H， ∵AE＝AB， ∴∠1＝∠2， ∵AB∥DC， ∴∠1＝∠H， ∵∠3＝∠2， ∴∠3＝∠H， ∴DE＝DH， ∵DE＝DC， ∴DH＝DC， ∵AB∥DC，EF∥AB， ∴EF∥CH， ∴△BGF∽△BDC，△BEG∽△BHD， ∴，， ∴， ∴GF＝EG． 【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线． 【考点5】相似三角形的判定证明（第24-34题） · · 动点问题按对应方式分类讨论 · · 公共角配上两边成比例是常用突破口 · · 作平行线或旋转线段构造相似三角形 · · 多对相似时连锁写出比例式传递 24．（2026•安徽模拟）如图，菱形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝8，对角线AC，BD交于点O，点E为射线OB上的一个动点，现将线段OE绕点O顺时针旋转60°得到线段OE'，连接AE'，则当以A，O，E'为顶点的三角形与△AOB相似时，BE的长度为（　　） A．或 B．或 C． D． 【分析】先证明△ABC是等边三角形得AC＝AB＝8，∠AOB＝30°，OA＝4，OB，由旋转性质得OE＝OE'，∠EOE'＝60°，进而得∠AOE'＝∠AOB＝30°，依题意有以下两种情况：①当∠E'＝∠AOB＝90°时，则△AOE'∽△AOB，进而得，由此得OE＝OE'，然后根据BE＝OB﹣OE可得出BE的长；②当∠E'AO＝∠AOB＝90°时，则△AOE'∽△OAB，进而得，由此得OE＝OE'，然后根据BE＝OB﹣OE可得出BE的长，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABC是菱形，且AB＝8，对角线AC，BD交于点O， ∴AB＝CB＝8，OA＝OCAC，AC⊥BD， ∴∠AOB＝90°， ∴△AOB是直角三角形， ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AC＝AB＝8，∠AOB∠ABC＝30°， ∴OA＝OCAC＝4， 在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB， 由旋转性质得：OE＝OE'，∠EOE'＝60°， ∴∠AOE'＝∠AOB﹣∠EOE'＝30°， ∴∠AOE'＝∠AOB＝30°， ∴当以A，O，E'为顶点的三角形与△AOB相似时，有以下两种情况： ①当∠E'＝∠AOB＝90°时，则△AOE'∽△AOB， ∴， ∴， ∴OE'， ∴OE＝OE'， ∵点E为射线OB上的一个动点， ∴BE＝OB﹣OE， 此时BE的长度为； ②当∠E'AO＝∠AOB＝90°时，则△AOE'∽△OAB， ∴， ∴， ∴OE'， ∴OE＝OE'， ∵点E为射线OB上的一个动点， ∴BE＝OB﹣OE， 此时BE的长度为， 综上所述：BE的长度为或． 故选：B． 【点评】此题主要考查了图形的旋转变换及其性质，菱形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的性质，理解图形的旋转变换及其性质，菱形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，相似三角形的性质是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 25．（2026春•淮南月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是（　　） A． B． C．∠ADE＝∠C D． 【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【解答】解：A、但没有夹角相等，不能判定△ADE∽△ACB，故该选项符合题意； B、由可判定△ADE∽△ACB，故该选项不符合题意； C、由∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，可判定△ADE∽△ACB，故该选项不符合题意； D、由且∠A＝∠A，可判定△ADE∽△ACB，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握其相关知识点是解题的关键． 26．（2024秋•金山区校级月考）如图，在Rt△ABE中，∠A＝90°，点C、D在边AE上，且AC＝CD＝DE＝AB，联结BC、BD，取BC的中点F，连接DF，那么图中共有（　　）相似三角形． A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 【分析】设AB＝AC＝CD＝DE＝1，再利用勾股定理将各边长求出，最后利用相似三角形的判定逐一判断即可． 【解答】解：设AB＝AC＝CD＝DE＝1， 则BC， AD＝AC+CD＝2， AE＝AD+DE＝3， BD， BE2， ∵F是BC中点， ∴BF＝CFBC， 过F作FH⊥AD于点H， 则FHAB，DH＝CH+CD， ∴DF； ①∵，∠FCD＝∠ECF， ∴△FCD∽△ECB； ②∵，∠BCD＝∠ECB， ∴△BCD∽△ECB； ③由①②可知△FCD∽△BCD； ④∵， ∴△BFD∽△EDB； 综上，共计有4对相似三角形， 故选：C． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． 27．（2024秋•虹口区校级月考）在△ABC中，AB＝8cm，BC＝12cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过 　2秒或秒　 秒之后，△PBQ与△ABC相似． 【分析】依题意得AP＝tcm，BQ＝2tcm，PB＝（8﹣t）cm，再分两种情况讨论如下：①当时，则△PBA∽△CBA，再由得t＝2；②当时，则△PBQ∽△ABC，再由得t，综上所述即可得出答案． 【解答】解：依题意得：AP＝tcm，BQ＝2tcm， 在△ABC中，AB＝8cm，BC＝12cm， ∴PB＝AB﹣AP＝（8﹣t）cm， ∵∠B是△PBQ与△ABC的公用角， ∴当△PBQ与△ABC相似时，有以下两种情况， ①当时，则△PBA∽△CBA，如图1所示： ∴， 解得：t＝2， ∴经过2秒之后，△PBQ与△ABC相似； ②当时，则△PBQ∽△ABC，如图2所示： ∴， 解得：t， ∴经过秒之后，△PBQ与△ABC相似， 综上所述：经过2秒或秒之后，△PBQ与△ABC相似． 故答案为：2秒或秒． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． 28．（2024秋•马鞍山期末）在△ABC中，已知AB＝9，BC＝7，点D在边AB上，且BD＝2，点E在边BC上，当BE＝　或　 时，以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似． 【分析】根据相似三角形的判定得出要使B，D，E三点组成的三角形与△ABC相似，必须满足或，再代入求出答案即可． 【解答】解：在△ABC中，已知AB＝9，BC＝7，点D在边AB上，且BD＝2，如图， ∵∠B＝∠B， ∴要使B，D，E为三点组成的三角形与△ABC相似，则需满足或， ∴或， 解得：或； 故答案为：或． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，能熟记相似三角形的判定定理是解此题的关键． 29．（2024秋•九江期中）如图所示．已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P的坐标是 　（1，），（1，2）或（1，2）　 ． 【分析】由题意，P是动点且点P的纵坐标为可知点P在直线y上，当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，b＝2，此时可求得一个符合题意的P的坐标；当Rt△PAO∽Rt△BAP时，由相似三角形对应边成比例可得PA：AB＝OA：PA，即PA2＝AB•OA，由此再计算出符合题意的点P的坐标即可． 【解答】解：∵点P的纵坐标为， ∴点P在直线y上． ①当△PAO≌△PAB时，AB＝b﹣1＝OA＝1，b＝2，则P（1，）， ②∵当Rt△PAO∽Rt△BAP时，PA：AB＝OA：PA， ∴PA2＝AB•OA， ∴b﹣1， ∴（b﹣8）2＝48， 解得b＝8±4， ∴P（1，2）或（1，2）， 综上所述，P点的坐标可以是（1，），（1，2）或（1，2）． 故答案为：（1，），（1，2）或（1，2）． 【点评】本题考查了相似三角形的性质，正确地分类讨论是解题的关键． 30．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，△ABC和△EDF的顶点都在网格的格点上，求证：△ABC∽△EDF． 【分析】由勾股定理得到AB：ED＝AC：EF＝BC：DF，判定△ABC∽△EDF． 【解答】证明：由勾股定理得到：AB，AC＝DF，DE， ∵BC＝5，EF＝2， ∴AB：ED＝AC：EF＝BC：DF， ∴△ABC∽△EDF． 【点评】本题考查相似三角形的判定，勾股定理，关键是掌握三组对应边的比相等的两个三角形相似． 31．（2024春•长春期末）如图，在▱ABCD中，点E为BC边上一点，连结AE：点F为线段AE上一点，且∠DFE＝∠C．求证：△ADF∽△EAB． 【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的判定解答即可． 【解答】证明：在▱ABCD中，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠DFE＝∠C，∠AFD+∠DFE＝180°， ∴∠B＝∠AFD， ∴△ADF∽△EAB． 【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定解答． 32．（2025春•凉州区校级期中）如图，AB＝AC，作△ADC，使得点B，D在AC异侧，且AD＝CD，∠ADC＝∠BAC，E是BC延长线上一点，连接AE交CD于点F．求证：△ABC∽△DAC． 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等即可证明△ABC∽△DAC． 【解答】证明：∵AB＝AC，AD＝CD， ∴， ∵∠BAC＝∠ADC， ∴△ABC∽△DAC． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 33．（2025•连州市三模）问题背景如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC延长线上一点，连接AD，BE⊥AD于E，交AC于点F，求证：△BCF∽△ACD． 问题探究如图（2），在“问题背景”的条件下，在Rt△ABC中，AC＝BC，BF平分∠ABC，求证：BF＝2AE．拓展提升如图（3），在“问题背景”的条件下，F为AC上一点，∠CBF＝∠BAC，tan，AF＝2，直接写出BC的长． 【分析】问题背景：先证明∠CBF＝∠CAD，再根据∠BCF＝∠ACD＝90°即可判定△BCF和△ACD相似； 问题探究：由问题背景得△BCF和△ACD相似，则，根据AC＝BC得BF＝AD，证明△BEA和△BED全等得AE＝DE，则AD＝2AE，由此即可得出结论； 拓展提升：过点A作AH⊥BF，交BF的延长线于点H，交BC的延长线于点G，在Rt△ABH中，根据tan∠ABF，设AH＝a，BH＝3a，在Rt△AFH中，cos∠CAG，在Rt△BGH中，cos∠CBF，由问题背景得∠CBF＝∠CAG，则，进而得BG＝6，再证明△ABC和△AGC全等即可得出BC的长． 【解答】问题背景：证明：∠ACB＝90°，BE⊥AD， ∴∠BCF＝∠ACD＝∠AEF＝90°， 在Rt△BCF中，∠CBF+∠BFC＝90°， 在Rt△AEF中，∠CAD+∠AFE＝90°， ∵∠BFC＝∠AFE， ∴∠CBF＝∠CAD， 又∵∠BCF＝∠ACD＝90°， ∴△BCF∽△ACD； 问题探究：证明：由问题背景得：△BCF∽△ACD， ∴， ∵AC＝BC， ∴BF＝AD， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠DBF， ∵BE⊥AD， ∴∠BEA＝∠BED＝90°， 在△BEA和△BED中， ， ∴△BEA≌△BED（ASA）， ∴AE＝DE， ∴AD＝2AE， ∴BF＝2AE； 拓展提升：解：过点A作AH⊥BF，交BF的延长线于点H，交BC的延长线于点G，如图所示： 在Rt△ABH中，tan∠ABF， 设AH＝a，BH＝3a， 在Rt△AFH中，AF＝2， ∴cos∠CAG， 在Rt△BGH中，cos∠CBF， 由问题背景得：∠CBF＝∠CAG， ∴cos∠CBF＝cos∠CAG， ∴， ∴BG＝6， ∵∠CBF＝∠BAC， ∴∠BAC＝∠CAG， 在△ABC和△AGC中， ， ∴△ABC≌△AGC（ASA）， ∴BC＝GCBG＝3． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用锐角三角函数的定义进行计算是解决问题的关键． 34．（2025秋•高唐县校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6），那么： （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？ （2）当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？ 【分析】（1）由题意，AP＝2tcm，AQ＝6﹣t（cm），根据等腰直角三角形的性质知AP＝AQ，所以2t＝6﹣t，即可求得答案； （2）对△PAQ∽△ABC和△QAP∽△ABC两种情况分别列方程求解，即得答案． 【解答】解：（1）由题意，AP＝2tcm，AQ＝6﹣t（cm）， 若△QAP为等腰直角三角形，则AP＝AQ， ∴2t＝6﹣t， 解得t＝2， ∴当t＝2时，△QAP为等腰直角三角形； （2）分两种情况讨论： 在矩形ABCD中， ①若△QAP∽△ABC时，， ∴， 解得； ②若△PAQ∽△ABC时，， ∴， 解得t＝3； 所以当t＝3或时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【考点6】相似三角形判定定理的应用（第35-40题） · · 测高：同一时刻物高比等于影长比 · · 测距：卡钳、镜面反射构相似三角形 · · 小孔成像：物像大小比等于距离比 · · 把实物抽象成A型或X型基本图形 35．（2025秋•锡山区期末）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB的宽度为（　　） A．3cm B．2cm C．1.5cm D．1cm 【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB． 【解答】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15﹣6＝9（cm）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：9﹣6＝3（cm）， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴， 解得：AB＝2， 故选：B． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，注意相似三角形的对应高之比等于相似比． 36．（2026•新华区一模）如图是某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为9cm，15cm．若CD长为6cm，则AB长为（　　） A．cm B．cm C．10cm D．cm 【分析】运用相似三角形的性质可得结论 【解答】解：某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为9cm，15cm． 如图，过点O作OE⊥AB，OF⊥DC， 由题意可得：AB∥CD， ∴△AOB∽△COD， ∴， ∵OE＝9cm，OF＝15cm，CD＝6cm， ∴， ∴． 故选：D． 【点评】本题考查相似三角形的应用，正确进行计算是解题关键． 37．（2025秋•东莞市校级期末）如图是用卡钳测量容器内径的示意图．现量得卡钳上A、D两个端点之间的距离为5cm，，则容器的内径BC的长度为（　　） A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm 【分析】根据相似三角形的判定定理判定△AOD∽△BOC，根据相似三角形的性质可得，进而可得答案． 【解答】解：∵，∠AOD＝∠BOC， ∴△AOD∽△BOC， ∴， ∵A，D两个端点之间的距离为5cm， ∴BC＝10cm， 故选：C． 【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 38．小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20m．当她与镜子的距离CE＝2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．若她的眼睛距地面的高度DC＝1.6m，则大楼AB的高度为　12.8　 m．（注：反射角＝入射角） 【分析】根据题意证明△ABE∽△CDE，列出比例式即可解答． 【解答】解：由题意可得∠AEB＝∠CED， 又∵∠BAE＝∠DCE＝90°， ∴△ABE∽△CDE， ∴， 即， ∴AB＝12.8m． 故答案为：12.8． 【点评】本题考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 39．（2025•广陵区一模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC＝∠AQP＝90°，AP与BC相交于点D．测得AB＝1.2m，BD＝0.5m，AQ＝9m，则树高PQ＝　3.75　 m． 【分析】根据题意可得△ABD∽△AQP，然后由相似三角形的性质，即可求解． 【解答】解：∵∠ABC和∠AQP均为直角， ∴BD∥PQ， ∴△ABD∽△AQP， ∴， ∵AB＝1.2m，BD＝0.5m，AQ＝9m， ∴PQ3.75（m）． 故答案为：3.75． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 40．（2025秋•南海区校级期中）（1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CED＝∠AEB）小丽测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A，经测得，小丽的眼睛离地面的距离CD＝1.5m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度； （2）观察小丽的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小丽站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小丽恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3m，经测得，小丽的眼睛离地面距离CD＝1.5m，BD＝12m，求这个广告牌AG的高度． 【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可； （2）利用相似三角形的判定与性质解答即可． 【解答】解：（1）∵∠CED＝∠AEB，∠CDE＝∠ABE＝90°， ∴△CDE∽△ABE， ∴， ∴， ∴AB＝15（m）． 答：建筑物AB的高度为15米． （2）由题意得：BE1＝BD﹣DE1＝10m，BE2＝BD﹣DE2＝9m，∠CE1D＝∠GE1B，∠CE2D＝∠AE2B， ∵∠CDE1＝∠GBE1＝90°，∠CE1D＝∠GE1B， ∴△CDE1∽△GBE1， ∴， ∴， ∴GB＝7.5（m）． ∵∠CE2D＝∠AE2B，∠CDE2＝∠ABE2＝90°， ∴△CDE2∽△ABE2， ∴， ∴， ∴AB＝4.5（m）， ∴AG＝BG＝AB＝7.5﹣4.5＝3（m）． 答：广告牌AG的高度为3米． 【点评】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•长宁区期末）在三角形纸片ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝6，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的判定分别进行判断即可得出答案． 【解答】解：三角形纸片ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝6， A、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC不相似，不符合题意； B、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC不相似，不符合题意； C、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC不相似，不符合题意； D、，对应边，则沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC相似，符合题意； 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 【练习 2】（2025秋•蓝山县期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠B＝∠ADE B． C． D．∠C＝∠E 【分析】根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐项判断即可． 【解答】解：∵∠1＝∠2， ∴∠1+∠CAD＝∠2+∠CAD， ∴∠BAC＝∠DAE， A、由两个三角形的两个对应角相等可得△ABC∽△ADE，故该选项可以判定相似，不符合题意； B、不符合两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，无法判定△ABC∽△ADE，故符合题意； C、由两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等可得△ABC∽△ADE，故该选项可以判定相似，不符合题意； D、由两个三角形的两个对应角相等可得△ABC∽△ADE，故该选项可以判定相似，不符合题意， 故选：B． 【点评】本考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 【练习 3】（2025•绥化一模）如图，下列条件仍无法保证△ADE与△ABC相似的是（　　） A．∠ADE＝∠C B．∠B＝∠C C． D． 【分析】本题中已知∠A是公共角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断． 【解答】解：由图得：∠A＝∠A， ∴当∠ADE＝∠C或或时，△ABC与△ADE相似； B选项中∠B和∠C不是成比例的两边的夹角， 故选：B． 【点评】此题考查了相似三角形的判定，解答本题的关键要明确：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 【练习 4】（2023秋•天宁区校级月考）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，AB＝5，BC＝3，点E、F在边AC上，连接DE，DF，当△DEF∽△DBC时，线段CF的长为 　　 ． 【分析】当△DEF∽△DBC时，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD＝BD＝2.5，利用勾股定理求出AC＝4，证明△DFC≌△DEA（AAS），可得CF＝AE，再证明△DCE∽△CAB，求出CE，根据线段的和差即可求出CF的长． 【解答】解：∵CD是Rt△ABC斜边AB的中线，AB＝5， ∴CDAB＝AD＝BD＝2.5， ∵BC＝3， ∴AC4， 当△DEF∽△DBC时，∠DEF＝∠B， ∴∠EDF＝∠BDC，∠DFE＝∠DCB， ∵CD＝BD， ∴DE＝DF， ∴∠DFE＝∠DEF， ∴∠DFC＝∠DEA， ∴△DFC≌△DEA（AAS）， ∴CF＝AE， ∵∠DCA＝∠A，∠DEF＝∠B＝∠DCB，∠A+∠B＝90°， ∴∠DCA+∠DEF＝90°， ∴∠CDE＝90°， ∴∠CDE＝∠ACB＝90°， ∵∠DCE＝∠A， ∴△DCE∽△CAB， ∴， ∴， ∴CE， ∴CF＝AE＝AC﹣CE＝4； 故答案为：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质，题目的综合性很强，难度不小．解决本题的关键是得到△CDE∽△ACB． 【练习 5】（2023秋•高港区期中）如图，在平行四边形ABCD中，点O为线段AC与BD的交点，若AB＝AC＝8，BC＝m，点E为线段AB上一点，且BE＝1，P点是线段BC上的一点．若在线段BC上有且只有两个点P使得△BEP与△COP相似，则m的值为 　4或5　 ． 【分析】由AB＝AC，得∠ABC＝∠ACB，当△BEP与△COP相似时，分或时，再结合一元二次方程根的情况即可求解． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴当或时，△BEP与△COP相似， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， 设BP＝x，则PC＝m﹣x， 当时，， ∴x2﹣mx+4＝0， 当时，， ∴， ∵有且只有两个点P， ∴有两种情况， ①x2﹣mx+4＝0有两个相等的实数根， ∴m2﹣16＝0，又因为m＞0， ∴m＝4； ②x2﹣mx+4＝0有两个不相等的实数根，且是它的一个根， ∴代入得：，又因为m＞0， ∴m＝5， 综上可知：m的值为4或5． 故答案为：4或5． 【点评】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质和相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【练习 6】（2026•番禺区二模）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，连接AD，已知AB＝4，BD＝2，BC＝8．求证：△BAC∽△BDA． 【分析】根据两组对应边成比例及其夹角相等的两三角形相似证明． 【解答】证明：∵AB＝4，BD＝2， ∴， ∵AB＝4，BC＝8， ∴， ∴， ∵∠ABD＝∠CBA， ∴△BAC∽△BDA． 【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键． 【练习 7】（2025秋•临川区月考）如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点． 小星：若∠ACP＝∠B，则可证：△ACP∽△ABC 小红：若，则可证△ACP∽△ABC 小亮：若．则可证△ACP∽△ABC （1）请判断三人的对错：小星　对　 ，小红　对　 ，小亮　错　 ．（均选填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法求证：△ACP∽△ABC． 【分析】（1）根据相似三角形的判定定理解答即可； （2）根据相似三角形的判定定理解答即可． 【解答】（1）解：小星和小红对，小亮错， 故答案为：对，对，错； （2）证明：选择小星的证明： ∵∠A＝∠A，∠ACP＝∠B， ∴△ACP∽△ABC， 选择小红的证明： ∵∠A＝∠A， ， ∴△ACP∽△ABC． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解题的关键． 💯 课后巩固 复习建议 · · 判定相似第一步先找「公共角、对顶角、直角」这一等角，再凑另一对角或夹边比 · · 见到乘积式b2=ac一律改成比例式，再去找含b、a、c的两个相似三角形 · · 动点相似问题必须分类讨论公共角两边的两种对应搭配 · · 格点图先用勾股定理算出三边，排序后再看比值 · · 测高测距应用题把实物抽象成A型或X型基本相似三角形 【作业 1】（2026春•济宁期末）如图，能使△ABC∽△ADE成立的条件是（　　） A．∠A＝∠A B．∠ADE＝∠AED C． D． 【分析】根据相似三角形的判定求解即可． 【解答】解：由题意得，∠A＝∠A， 若添加，利用两边及其夹角法可判断△ABC∽△ADE， 故选项C符合题意； A、B、D均不能判定△ABC∽△ADE，故不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查相似三角形的判定，掌握其相关知识点是解题的关键． 【作业 2】（2025秋•嘉定区期末）如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的高AH交DG于点P，BC＝AH．下列结论中不正确的是（　　） A．△ABC∽△ADG B． C． D．AP＝PH 【分析】由正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，得BC∥DG，则△ABC∽△ADG，可判断A不符合题意；由△ABC的高AH交DG于点P，得AH⊥BC，可证明AP⊥DG，由△ADG∽△ABC，得，可判断B不符合题意；可证明PH＝DE＝DG，由，BC＝AH，推导出AP＝DG，则AP＝PH，可判断D不符合题意；由APAH，得，则S△ADGS△ABCS△ABC，可判断C符合题意，于是得到问题的答案． 【解答】解：∵正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上， ∴BC∥DG，∠EEC＝90°， ∴△ABC∽△ADG， 故A不符合题意； ∵△ABC的高AH交DG于点P， ∴AH⊥BC， ∴∠AHD＝∠AHB＝90°， ∴AP⊥DG， ∵△ADG∽△ABC， ∴， 故B不符合题意； ∵DG∥BC，PH⊥BC，DE⊥BC， ∴PH＝DE＝DG， ∵，BC＝AH， ∴1， ∴AP＝DG， ∴AP＝PH， 故D不符合题意； ∵APAH， ∴， ∴S△ADGS△ABCS△ABC， 故C符合题意， 故选：C． 【点评】此题重点考查正方形的性质、两条平行线之间的距离处处相等、相似三角形的判定与性质等知识，正确理解和应用相似三角形的判定定理及性质定理是解题的关键． 【作业 3】（2026秋•香坊区校级月考）如图，点D是AB边上一点，连接CD，补充一个条件AC2＝AD•AB ，可使△ACD∽△ABC． 【分析】若AC2＝AD•AB，则，因为点D是AB边上一点，所以∠CAD＝∠BAC，可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ACD∽△ABC，所以补充的条件可以是AC2＝AD•AB；若补充条件∠ACD＝∠B或∠ADC＝∠ACB，则可以根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明△ACD∽△ABC． 【解答】解：∵AC2＝AD•AB， ∴， ∵点D是AB边上一点， ∴∠CAD＝∠BAC， ∴△ACD∽△ABC， 故答案为：AC2＝AD•AB．（答案不唯一） 【点评】此题重点考查相似三角形的判定，正确理解和应用相似三角形的判定定理是解题的关键． 【作业 4】（2024秋•张掖校级期中）在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝　3　 时，△ABC∽△A′B′C′． 【分析】在△ABC和△A′B′C′中，已知了∠B＝∠B′，要判定这两个三角形全等，可以利用定理“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”，得到，即可求出A′B′的值． 【解答】解：由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，若要使△ABC△A′B′C′，已知∠B＝∠B'，只要AB：BC＝A′B′：B′C′即可， ∵， ∴， 解得A′B′＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定两三角形相似方法为图形补充条件，紧扣定理构成比例式是解题的关键． 【作业 5】（2025秋•长丰县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D． （1）求证：BC2＝AB•DB； （2）若AD＝6，BD＝4，求CD的长． 【分析】（1）证明△ACB∽△CDB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算求出BC； （2）由（1）的结论求出BC，根据勾股定理计算即可． 【解答】（1）证明：∵CD⊥AB， ∴∠CDB＝90°． ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝∠CDB． 又∵∠B＝∠B， ∴△ACB∽△CDB， ∴， ∴BC2＝AB•DB； （2）解：∵AD＝6，BD＝4， ∴AB＝AD+DB＝10． 由（1）知，BC2＝AB•DB＝40， 在Rt△CDB中，由勾股定理，CD2． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【作业 6】（2025秋•宜阳县期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝8，AE＝4，AC＝16． （1）求CD的长； （2）求证：△ABE∽△ACB． 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质解答即可； （2）利用相似三角形的判定解答即可． 【解答】（1）解：∵AE＝4，AC＝16． ∴CE＝AC﹣AE＝16﹣4＝12； ∵AB∥CD， ∴△CDE∽△ABE， ∴3， ∴； （2）证明：∵， ， ∴， ∵∠A＝∠A， ∴△ABE∽△ACB． 【点评】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定证明△ABE∽△ACB． 【作业 7】（2023秋•天心区校级月考）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿边AB向B点以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C点以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时△PBQ与△ABC相似，那么t的值为 　3或1.2　 ． 【分析】分类讨论：当△ABC∽△PBQ时和当△ABC∽△QBP时，利用相似三角形的性质即可求解． 【解答】解：依题意得：AP＝t，BQ＝2t， ∵AB＝6cm， ∴BP＝AB﹣AP＝6﹣t， 当△ABC∽△PBQ时， ∵AB＝6cm，BC＝12cm， ∴，即， 解得：t＝3， 当△ABC∽△QBP时， ∵AB＝6cm，BC＝12cm， ∴，即， 解得：t＝1.2， 综上所述： △PBQ与△ABC相似，那么t的值为3或1.2， 故答案为：3或1.2． 【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【作业 8】（2025秋•九台区校级期中）在△ABC中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②∠APC＝∠ACB；③∠ACP＝∠B；④等，其中能判断△APC∽△ACB的有　①②③　 ． 【分析】根据相似三角形的判定定理对各项逐一分析． 【解答】解：①∵，∠PAC＝∠CAB，∴△APC∽△ACB； ②∵∠APC＝∠ACB，∠PAC＝∠CAB，∴△APC∽△ACB； ③∵∠ACP＝∠B，∠PAC＝∠CAB，∴△APC∽△ACB； ④，但对应边夹角不是公共角∠A，所以无法判定△APC∽△ACB． 故答案为：①②③． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定，灵活运用相似三角形的判定是本题的关键． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 相似三角形的判定 优等生讲义 （精讲+典例+针对练习）2026--2027学年华东师大版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · · 理解相似三角形的概念，能准确找出对应角与对应边 · · 掌握平行线法（A型、X型）判定两个三角形相似 · · 掌握「两角分别相等」的相似判定定理 · · 掌握「两边成比例且夹角相等」「三边成比例」判定定理 · · 会用相似三角形求线段长，并证明乘积式b2=ac 📚 知识梳理 ☆ 1.相似三角形的定义与平行线判定 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 相似比k是对应边的比，前后两三角形顺序不同则k互为倒数 平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），所得三角形与原三角形相似（A型、X型基本图形） 全等是相似比k=1的特殊相似 概念辨析例题：△ABC中，DE∥BC，AD=2，DB=4，求DE:BC 解析：DE∥BC得△ADE∽△ABC，DE:BC=AD:AB=2:(2+4)=1:3 ☆ 2.判定定理1：两角分别相等 两角分别相等的两个三角形相似（最常用） 公共角、对顶角、同角（等角）的余角或补角是常见等角来源 有一个锐角相等的两个直角三角形相似 两个等腰三角形若顶角（或底角）相等，则它们相似 概念辨析例题：P是AB上一点，∠A公共，∠ACP=∠B，求证△ACP∽△ABC 解析：∠A=∠A，∠ACP=∠B，两角分别相等，故相似 ☆ 3.判定定理2：两边成比例且夹角相等 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 夹角必须是成比例两边所夹的角，不能是任意一边的对角 公共角配上夹边成比例，即可用本定理 注意「两边及其中一边的对角相等」（SSA）不能判定相似 概念辨析例题：D在BC上，AB=4，BD=2，BC=8，∠B公共，求证△BAC∽△BDA 解析：BA:BD=4:2=2，BC:BA=8:4=2，且夹角∠B=∠B，两边成比例且夹角相等 ☆ 4.判定定理3：三边成比例与射影定理 三边对应成比例的两个三角形相似 格点图中先用勾股定理算出三边，排序后再看是否成比例 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似（双垂直图形） 射影定理：CD2=AD·BD，BC2=BD·AB，AC2=AD·AB 概念辨析例题：Rt△ABC中∠ACB=90°，CD⊥AB于D，求证BC2=AB·DB 解析：∠ACB=∠CDB=90°，∠B公共，△ACB∽△CDB，故AB:CB=CB:DB，即BC2=AB·DB 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 相似三角形 对应角相等，对应边成比例 k是对应边之比 平行线判定 DE∥BC ⇒ △ADE∽△ABC A型与X型两种基本图 判定定理1 两角分别相等 先找公共角/对顶角/直角 判定定理2 两边成比例且夹角相等 夹角必须对应，SSA不可用 判定定理3 三边对应成比例 格点先用勾股算边长 射影定理 CD2=AD·BD，BC2=BD·AB 双垂直图形专用 相似性质 周长比=k，面积比=k2 对应高、中线、角平分线比=k ⚠️ 核心考点 【考点1】格点图中判定两个三角形相似（第1-4题） · · 用勾股定理算出每个三角形三边长 · · 三边从小到大排序后再看比值 · · 抓135°等特殊钝角作快速排除 · · 直角三角形直接看两条直角边之比 1．（2026•河北校级一模）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•宁波校级期中）如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（　　） A．①和② B．②和③ C．②和④ D．①和④ 3．（2024秋•鼓楼区月考）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 4．（2024秋•拱墅区期末）如图，在6×6方格中，点A，B，C，D，E点均在格点上，若△ABC与△DEPi（i＝1，2，3，4）相似，则符合条件的格点Pi是（　　） A．点P1 B．点P2 C．点P3 D．点P4 【考点2】补充条件判定三角形相似（第5-7题） · · 先找出图中已有的公共角 · · 两角法：再补一对等角即可 · · 两边夹边法：补夹边成比例 · · 警惕SSA：成比例但非夹角不能判定 5．（2024秋•晋江市期中）如图，点D是等边△ABC的边BC上的一点，下面四个条件不能判定△BDF∽△CED是（　　） A．∠EDF＝60° B． C．DE∥AB，DF∥AC D． 6．（2024春•高青县期末）如图，点P是△ABC边AB上一点（AB＞AC），下列条件不一定能使△ACP∽△ABC的是（　　） A． B． C．∠ACP＝∠B D．∠APC＝∠ACB 7．（2025秋•南湖区校级月考）如图，在△ABC和△ADE中，∠BAD＝∠CAE，请添加一个条件：__________ ，使△ABC∽△ADE． 【考点3】乘积式b²=ac的转化证明（第8-15题） · · 乘积式先改成比例式b:a=c:b · · 在图中找含b、a、c边的两个三角形 · · 用等线段或等比进行代换 · · 找不到直接相似时用中间比搭桥 8．（2026•青浦区二模）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在边CD上，点F在BC的延长线上，CF＝DE，AE的延长线与DF相交于点G，且DG2＝GE•GA． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）如果AE＝3EG，求证：点E是边CD的中点． 9．（2025秋•内丘县期中）在平行四边形ABCD中，E，F分别为边BC，CD上两点，连接BF． （1）如图1，延长BF，与AD的延长线交于点M，若，求的值； （2）如图2，连接AE，交BF于点G，若，求的值． 10．（2026•漳州模拟）如图，△ABC中，点D在边AC上，满足∠ABD＝∠C，AB＝4，AD＝2．求CD的长． 11．（2025春•南昌期末）如图，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，且CD＝2，BD＝1． （1）求BC的长； （2）求AD的长． 12．（2026秋•单元）已知：如图，平行四边形ABCD，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N．求证： （1）△PMD∽△AMB，△AMD∽△NMB． （2）AM2＝MN•MP． 13．（2025•闵行区二模）已知，如图：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是边BC延长线上一点，联结AE，交BD于点F，交CD于点G． （1）求证：AF2＝FG•FE； （2）联结CF，如果∠DAE＝∠FCD，求证：四边形ABCD是菱形． 14．（2024秋•鹤壁期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N．联结BD． （1）求证：△BND∽△CNM； （2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN． 15．如图，a∥b∥c，直线m，n交于点O，且分别与直线a，b，c交于点A，B，C和点D，E，F． 【基础设问】 （1）若点E是线段OF的黄金分割点，OE＜EF，则____________________ ． （2）图中相似三角形的对数是_____ ． 【能力设问】 （3）若OA＝1，OB＝2，BC＝4，EF＝5． ①求OE和DE的长度； ②求△OBE与四边形BCFE的面积之比． （4）连接CE，BF交于点P，若，求证：△BPC∽△EPF． （5）连接BF，若BF⊥OC，直线n⊥c． ①求证OF2＝OB•OC； ②若OC＝9，OB＝4，求的值． 【拓展设问】 （6）过点B作BM⊥CF于点M，过点E作EN⊥CF于点N，过点O作OG⊥CF于点G，交BE于点H．已知FC＝12，OG＝8． ①若四边形BMNE是正方形，求这个正方形的边长； ②若四边形BMNE是一个两条边长不能确定的矩形，但这个矩形的面积有最大值，求面积最大时该矩形的两条边长． 【考点4】利用相似三角形求线段长（第16-23题） · · 周长比等于相似比 · · 面积比等于相似比的平方 · · 对应高、中线、角平分线之比等于相似比 · · 列比例式后解方程求未知线段 16．（2026•南岸区校级模拟）已知△ABC∽△DEF，AB：DE＝1：2．若△ABC的周长为9，则△DEF的周长为（　　） A．27 B．18 C．36 D．9 17．（2026•高新区模拟）如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E为AD上一点，连接CE交BD于点F，延长CE交BA的延长线于点G，若AG＝1，则CF的长为（　　） A． B． C． D． 18．（2025秋•龙华区期末）如图，AD，BE交于点C，∠A＝∠E，若，则 ___________________ ． 19．（2025秋•咸阳期末）如图，在正方形ABCD中，点E是BC边上一点，连接DE交AB的延长线于点F，若CE＝1，BE＝2，则BF的长为_____ ． 20．（2026春•沙坪坝区校级月考）如图，在锐角△ABC中，AC＜AB，点G是线段BC的中点，连接AG，过点C作CF⊥AC交AG的延长线于点F，点E是AG上一点，连接CE，BE，满足∠CBE＝∠CAF，∠BCE＝∠AFC，若AE＝GF，BC＝10，则CF的长度为____________________ ． 21．（2024秋•武威期末）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若，则的值为 ___________________ ． 22．（2026•余杭区校级模拟）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一点，连结AD，将AD绕点A顺时针旋转60°得到AE，连结DE交AB于点F． （1）求证：△ACD∽△DBF． （2）若AB＝8，AD＝7，求DF的值． 23．（2025春•环翠区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＞CD，点E为AD边上一点，且AE＝AB，DE＝DC．过点E作EF∥AB，交BC于点F，连接BD交EF于点G，求证：EG＝FG． 【考点5】相似三角形的判定证明（第24-34题） · · 动点问题按对应方式分类讨论 · · 公共角配上两边成比例是常用突破口 · · 作平行线或旋转线段构造相似三角形 · · 多对相似时连锁写出比例式传递 24．（2026•安徽模拟）如图，菱形ABCD，∠ABC＝60°，AB＝8，对角线AC，BD交于点O，点E为射线OB上的一个动点，现将线段OE绕点O顺时针旋转60°得到线段OE'，连接AE'，则当以A，O，E'为顶点的三角形与△AOB相似时，BE的长度为（　　） A．或 B．或 C． D． 25．（2026春•淮南月考）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，下列条件中，不能确定△ADE∽△ACB的是（　　） A． B． C．∠ADE＝∠C D． 26．（2024秋•金山区校级月考）如图，在Rt△ABE中，∠A＝90°，点C、D在边AE上，且AC＝CD＝DE＝AB，联结BC、BD，取BC的中点F，连接DF，那么图中共有（　　）相似三角形． A．2对 B．3对 C．4对 D．5对 27．（2024秋•虹口区校级月考）在△ABC中，AB＝8cm，BC＝12cm，点P从A点开始沿AB边向点B以1cm秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B两点同时出发，经过 ____________________ 秒之后，△PBQ与△ABC相似． 28．（2024秋•马鞍山期末）在△ABC中，已知AB＝9，BC＝7，点D在边AB上，且BD＝2，点E在边BC上，当BE＝____________________ 时，以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似． 29．（2024秋•九江期中）如图所示．已知点A（1，0），点B（b，0）（b＞1），P是第一象限内的动点，且点P的纵坐标为，若△POA和△PAB相似，则符合条件的点P的坐标是 ____________________ ． 30．如图，正方形网格中每个小正方形的边长为1，△ABC和△EDF的顶点都在网格的格点上，求证：△ABC∽△EDF． 31．（2024春•长春期末）如图，在▱ABCD中，点E为BC边上一点，连结AE：点F为线段AE上一点，且∠DFE＝∠C．求证：△ADF∽△EAB． 32．（2025春•凉州区校级期中）如图，AB＝AC，作△ADC，使得点B，D在AC异侧，且AD＝CD，∠ADC＝∠BAC，E是BC延长线上一点，连接AE交CD于点F．求证：△ABC∽△DAC． 33．（2025•连州市三模）问题背景如图（1），在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC延长线上一点，连接AD，BE⊥AD于E，交AC于点F，求证：△BCF∽△ACD． 问题探究如图（2），在“问题背景”的条件下，在Rt△ABC中，AC＝BC，BF平分∠ABC，求证：BF＝2AE．拓展提升如图（3），在“问题背景”的条件下，F为AC上一点，∠CBF＝∠BAC，tan，AF＝2，直接写出BC的长． 34．（2025秋•高唐县校级月考）如图，在矩形ABCD中，AB＝12cm，BC＝6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动．如果P，Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0＜t＜6），那么： （1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？ （2）当t为何值时，以点Q，A，P为顶点的三角形与△ABC相似？ 【考点6】相似三角形判定定理的应用（第35-40题） · · 测高：同一时刻物高比等于影长比 · · 测距：卡钳、镜面反射构相似三角形 · · 小孔成像：物像大小比等于距离比 · · 把实物抽象成A型或X型基本图形 35．（2025秋•锡山区期末）图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面AB的宽度为（　　） A．3cm B．2cm C．1.5cm D．1cm 36．（2026•新华区一模）如图是某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为9cm，15cm．若CD长为6cm，则AB长为（　　） A．cm B．cm C．10cm D．cm 37．（2025秋•东莞市校级期末）如图是用卡钳测量容器内径的示意图．现量得卡钳上A、D两个端点之间的距离为5cm，，则容器的内径BC的长度为（　　） A．5cm B．8cm C．10cm D．12cm 38．小红用下面的方法来测量学校教学大楼AB的高度：如图，在水平地面E处放一面平面镜，镜子与教学大楼的距离AE＝20m．当她与镜子的距离CE＝2.5m时，她刚好能从镜子中看到教学大楼的顶端B．若她的眼睛距地面的高度DC＝1.6m，则大楼AB的高度为_________ m．（注：反射角＝入射角） 39．（2025•广陵区一模）《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可测量物体的高度．小明同学依照此法测量学校操场边一棵树的高度，如图，点A，B，Q在同一水平线上，∠ABC＝∠AQP＝90°，AP与BC相交于点D．测得AB＝1.2m，BD＝0.5m，AQ＝9m，则树高PQ＝_________ m． 40．（2025秋•南海区校级期中）（1）由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图①，即∠CED＝∠AEB）小丽测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A，经测得，小丽的眼睛离地面的距离CD＝1.5m，BE＝20m，DE＝2m，求建筑物AB的高度； （2）观察小丽的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图②）：他让小丽站在点D处不动，将镜子移动至E1处，小丽恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE1＝2m；再将镜子移动至E2处，恰好通过镜子看到广告牌的底端A，测出DE2＝3m，经测得，小丽的眼睛离地面距离CD＝1.5m，BD＝12m，求这个广告牌AG的高度． 📝 随堂检测 【练习 1】（2025秋•长宁区期末）在三角形纸片ABC中，AB＝10，BC＝12，AC＝6，那么按图中数据沿虚线剪下的阴影部分三角形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 【练习 2】（2025秋•蓝山县期末）如图，已知∠1＝∠2，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的是（　　） A．∠B＝∠ADE B． C． D．∠C＝∠E 【练习 3】（2025•绥化一模）如图，下列条件仍无法保证△ADE与△ABC相似的是（　　） A．∠ADE＝∠C B．∠B＝∠C C． D． 【练习 4】（2023秋•天宁区校级月考）如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，AB＝5，BC＝3，点E、F在边AC上，连接DE，DF，当△DEF∽△DBC时，线段CF的长为 __________________ ． 【练习 5】（2023秋•高港区期中）如图，在平行四边形ABCD中，点O为线段AC与BD的交点，若AB＝AC＝8，BC＝m，点E为线段AB上一点，且BE＝1，P点是线段BC上的一点．若在线段BC上有且只有两个点P使得△BEP与△COP相似，则m的值为 ________ ． 【练习 6】（2026•番禺区二模）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，连接AD，已知AB＝4，BD＝2，BC＝8．求证：△BAC∽△BDA． 【练习 7】（2025秋•临川区月考）如图，在△ABC中，点P是△ABC的边AB上的一点． 小星：若∠ACP＝∠B，则可证：△ACP∽△ABC 小红：若，则可证△ACP∽△ABC 小亮：若．则可证△ACP∽△ABC （1）请判断三人的对错：小星_____ ，小红_____ ，小亮_____ ．（均选填“对”或“错”） （2）选择一种正确的方法求证：△ACP∽△ABC． 💯 课后巩固 复习建议 · · 判定相似第一步先找「公共角、对顶角、直角」这一等角，再凑另一对角或夹边比 · · 见到乘积式b2=ac一律改成比例式，再去找含b、a、c的两个相似三角形 · · 动点相似问题必须分类讨论公共角两边的两种对应搭配 · · 格点图先用勾股定理算出三边，排序后再看比值 · · 测高测距应用题把实物抽象成A型或X型基本相似三角形 【作业 1】（2026春•济宁期末）如图，能使△ABC∽△ADE成立的条件是（　　） A．∠A＝∠A B．∠ADE＝∠AED C． D． 【作业 2】（2025秋•嘉定区期末）如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC的高AH交DG于点P，BC＝AH．下列结论中不正确的是（　　） A．△ABC∽△ADG B． C． D．AP＝PH 【作业 3】（2026秋•香坊区校级月考）如图，点D是AB边上一点，连接CD，补充一个条件______________ ，可使△ACD∽△ABC． 【作业 4】（2024秋•张掖校级期中）在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝_____ 时，△ABC∽△A′B′C′． 【作业 5】（2025秋•长丰县期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D． （1）求证：BC2＝AB•DB； （2）若AD＝6，BD＝4，求CD的长． 【作业 6】（2025秋•宜阳县期末）如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且AB＝8，AE＝4，AC＝16． （1）求CD的长； （2）求证：△ABE∽△ACB． 【作业 7】（2023秋•天心区校级月考）如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝12cm，动点P从点A开始沿边AB向B点以1cm/s的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿边BC向C点以2cm/s的速度移动（不与点C重合）．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过ts时△PBQ与△ABC相似，那么t的值为 __________ ． 【作业 8】（2025秋•九台区校级期中）在△ABC中，P为AB上的一点，下列四个条件：①；②∠APC＝∠ACB；③∠ACP＝∠B；④等，其中能判断△APC∽△ACB的有________ ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $