22.3.2 第2课时 三角形相似的判定定理 2（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦“三角形相似的判定定理2（两边对应成比例且夹角相等）”，通过复习判定定理1（两角对应相等）导入，引导学生从角的关系过渡到边的关系，构建知识脉络作为学习支架。 资料分层设计基础达标、能力提升、思维拓展模块，易错点提示强化概念辨析，几何直观题（如网格、动点）培养推理意识与应用意识，答案解析详细助力自主学习，符合新课标数学思维与数学语言核心素养要求。

第2课时 三角形相似的判定定理2 01基础达标 知识点两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似 1. 如图，四边形的对角线相交于，且将这个四边形分成①②③④四个三角形，若，则下列结论正确的是（ ） A. ①和②相似 B. ①和③相似 C. ①和④相似 D. ②和④相似 2. 如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中不能判断△ABC∽△AED的是（ ） A. ∠AED=∠B B. ∠ADE=∠C C. D. 3. 如图，在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点，在AB上取一点F，使△CBF∽△CDE，则BF的长是（　　） A. 5 B. 8.2 C. 6.4 D. 1.8 4. 如图，四边形为正方形，是中点，在上，，那么请判断与是否相似，并写出你的理由． 5. 如图，在中，AB=AC,D、E、B、C在同一条直线上，且.求证：∽. 易错点 误认为两边对应成比例，且有一角对应相等的两个三角形相似 6. 下列能够判定的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 02能力提升 7. 在等腰和等腰中，与是顶角，下列说法一定正确的是（ ） A. 时，两三角形相似 B. 时，两三角形相似 C. 时，两三角形相似 D. 无论怎样，两三角形都相似 8. 如图所示，给出下列条件：①；②；③；④．其中能够单独判定的个数为（     ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图所示，、交于点，且，，，当__________时，；当__________时，． 10. 在中，是上的动点（异于，），过点的一条直线截，使截得的三角形与相似，我们不妨称这种直线为过点的的相似线．如图，，，当点在的垂直平分线上时，过点的的相似线最多有__________条． 11. 如图，在直角坐标系中有两点、，如果点在轴上（与不重合），当点的坐标为______时，使得由点、、组成的三角形与相似． 12. 如图，A、B、C、P四点均在边长为1的小正方形网格格点上． （1）判断△PBA与△ABC是否相似，并说明理由； （2）求∠BAC的度数． 13. 如图，是的两条高． （1）求证：； （2）若，求的值． 03思维拓展 14. 如图，，，，，，点在上由点向点方向移动，当点移到离点多远时，和相似？ 第2课时 三角形相似的判定定理2 01基础达标 知识点两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似 【1题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】由，，得到，即可求解， 本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 【2题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可． 【详解】解：由题意得∠DAE=∠CAB， A、当∠AED=∠B时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； B、当∠ADE=∠C时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； C、当=时，△ABC∽△AED，故本选项不符合题意； D、当=时，不能推断△ABC∽△AED，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 【3题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】∵在平行四边形ABCD中，AB=10，AD=6，E是AD的中点， ∴CD=10，BC=6，DE=3． ∵△CBF∽△CDE， ∴BF：DE=BC：DC， ∴BF=6÷10×3=1.8． 故选D． 【4题答案】 【答案】与相似，理由略 【解析】 【分析】设正方形的边长为，根据已知条件分别表示出、、，然后求出、的值，最后利用两边对应成比例且其夹角相等证相似即可． 【详解】解：与相似，理由如下： 设正方形的边长为， 是中点， ， ， ， ， ， ， 又， ． 【5题答案】 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由条件可得到∠ABD=∠ACE，结合AB2=BD•CE和AB=AC，可得到，即可证得结论． 【详解】证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AB2=BD•CE， ∴，即， ∴△ABD∽△ECA． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定方法，掌握相似三角形的判定方法是解题关键，注意利用等腰三角形的性质来找角相等． 易错点 误认为两边对应成比例，且有一角对应相等的两个三角形相似 【6题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定定理，利用“两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似”的判定方法，找准对应边和对应夹角即可判断． 【详解】解：A、∵ ，是与的夹角，是与的夹角，且，∴ 满足判定定理，可判定，符合题意； B、成比例两边的夹角不是和，不满足判定定理，不能判定相似，不符合题意； C、成比例两边的夹角不是和，不满足判定定理，不能判定相似，不符合题意； D、边的对应比例错误，不满足判定定理，不能判定相似，不符合题意． 02能力提升 【7题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质和相似三角形的判定，利用等腰三角形两底角相等，结合相似三角形“两角对应相等的两个三角形相似”的判定定理判断选项即可． 【详解】解：∵ 和 都是等腰三角形， 和 是顶角， ∴ ，． A、若 ，则 ，三个角对应相等，因此两三角形相似，正确，符合题意； B、， 是 的底角，无法得到三个角对应相等，两三角形不一定相似，错误，不符合题意； C、， 是 的底角，无法得到三个角对应相等，两三角形不一定相似，错误，不符合题意； D、显然错误，不符合题意． 【8题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查选择或补充条件使两个三角形相似，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．根据相似三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：和中，， 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，满足两组对应角相等，可以判定； 添加后，不能满足两边对应成比例且夹角相等，不能判定； 添加，即后，满足两边对应成比例且夹角相等，可以判定， 故选：C． 【9题答案】 【答案】 ①. 54 ②. 【解析】 【分析】直接根据相似三角形的判定与性质进行解答即可． 【详解】解：∵，，，， ，即， 解得； 当时， ，即， 解得． 【10题答案】 【答案】3 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法分别利用平行线以及垂直平分线的性质得出对应角相等即可得出． 【详解】解：当时，， 当时，， 连接， ，点在的垂直平分线上， ， 故过点的的相似线最多有条． 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，解决本题的关键是正确掌握相似三角形的判定方法作出辅助线． 【11题答案】 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质，相似三角形的判定和性质； 根据题意可知，若点、、组成的三角形与相似，则有或，分情况利用相似三角形的性质求出即可． 【详解】解：∵、， ∴，，， ∵点在轴上， ∴， ∵点、、组成的三角形与相似， ∴或， 当时，有， ∴， ∴，即， 当时，有， ∴， ∴， ∴或， 综上，当点的坐标为或或时，由点、、组成的三角形与相似， 故答案为：或或． 【12题答案】 【答案】（1）相似；（2）135°． 【解析】 【详解】试题分析：（1）△PBA与△ABC相似，利用勾股定理计算出AB的长，利用两边对应成比例且一个夹角对应相等的两个三角形相似可证明结论成立； （2）由（1）可知：∠BAC=∠BPA，因为∠BPA易求，问题得解． 试题解析：解：（1）△PBA与△ABC相似．理由如下： ∵AB=，BC=5，BP=1，∴．∵∠PBA=∠ABC，∴△PBA∽△ABC； （2）∵△PBA∽△ABC，∴∠BAC=∠BPA．∵∠BPA=90°+45°=135°，∴∠BAC=135°． 点睛：本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，相似三角形的判定与性质，本题中分别求AB，BC，BP三边长是解题的关键． 【13题答案】 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）先由是的两条高可知，，故可得出，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）根据（1）得，可得出，根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵是的两条高， ∴， 又∵， ∴△ACD∽△BCE， ∴，即； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 03思维拓展 【14题答案】 【答案】或12或时，与相似 【解析】 【分析】设，则 ，由题意得出，根据相似三角形的判定得出当或时，与相似，代入求出即可． 【详解】解：设，则 ， ，， ， ∴当或时，与相似， ，，， 或 解得：或或， 经检验：或或是方程的解， ∴或或时，与相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $