第21章 专题复习及章末测试-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

【例2】(1a==5,(2a=2,4=-号 1 (3)m==2;（4)原方程无实数解。 【变式训练1】2-98179十厘9-V回 4 【使武训练2】涵=2生5a2≥5 ②a-t区%-1 6 【例3】(1)m=3+5 ,235(2)x1=1+3,2一 5,(3=-2a=-9:0m=14a=-12 课后演练 1D2B3D4C5是 6号或-号 7.x1=-2,x2=4 80=1+9a=1-9 2 (2)1=为=35 9.1m=分%=-1(2)m=1+5,=15 2 ,2= (8a=18,=-号 10（①=%a=1（2m=2或3 11.a=-5+3 ,6=-5-37 6 6 第5课时根的判别式 基础导学 1.-4ac△=B-4ac 2.(1)两个实数根两个不相等的实数根 两个相等的实数根(2)无实根 典例探究 【例1】(1)此方程有两个相等的实数根 (2)此方程没有实数根 (3)此方程有两个不相等的实数根 (4)此方程有两个不相等的实数根【变式训练1】A 【例2】原方程可化为：x2-3x十2一m2=0,△=4m2十1> 0,结论成立. 【例3】(1)k<4且≠0.(2)k=4.(3)k>4. 【变式训练2】(1)B(2)2或-1(3)a≥-1 【变式训练3】(1)原方程总有两个实数根 37 指南针·课堂优化· (2)存在实数一10，一6，使原方程两个根为连续偶数 课后演练 1.A2.C3D4B5.(1m<号 (2)k≥-6 6.17.等腰三角形（非等边三角形） 8.(1)当m<1且m≠一1时，方程有两个不相等的实数根； (2)方程不可能有两个相等的实数根； (3)当m>1时，方程没有实数根， ,Qk≤是（②m的值为号 10.B11.a>-4 12.(1)m>3(2)-2 13.(1)证明略(2)y=2(m>0) m (3)在同-直角坐标系中分别画出y=2(m>0)与y 2m(m>0)的图象，由图象可得：当m≥1时，y≤2m. 第6课时根与系数的关系 基础导学 1.≥ -p92.-6日 ≥ 3.有两个不等a≠0且△>0a≠0且△≥≥0 典例探究 【例1】x2= 5 7 ,m=- 【变式训练1】B 【例2】13【变式训练2】1)-号 (2)17 【例3】m=3 【变式训练3】(1)k的取值范围是：k>2(2)k的值为=3 【例)所求方程为t-一是x十名=0【变式训练)D 课后演练 1D2.C32445.1236号7m> 8.(1)证明略(2)m的值为一2或1 9.一1510.一511.2312.(1)k>1(2)k的值为2 13.(1①m=-5,m=6(2)号或2(3)正整数c的最小值是3 专题练习2与一元一次方程 有关的阅读理解题 类型1 1.(1)1=√2，x2=-√2,3=3，x4=-√5 (2)5或45±7V厘 41 4 (3)15 九年级上册·数学(HS) 类型2 (3)设第一年用甲方案整理降低的Q值为x, 2.(1)AC(2)顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点，图略 第二年Q值因乙方案治理降低了100m=100×0.3=30, (3)可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一）. (30-a)十2a=39.5,a=9.5,x=30-a=20.5. 类型3 12.(1)该商城4月份卖出125辆自行车 3.0)号 - 2号 (3)士√17 (2)该商城应进人A型车34辆，B型车13辆 第21章《一元二次方程》专题复习 21.3 实践与探究 【例1】A【例2】m=√2时，原方程为一元二次方程. 第1课时数字、面积问题 【例3】C【例4)a2+形=5. 基础导学 1.审题等量关系数学问题 【50✉=9&=专：2)a=3,=号； 典例探究 【例1】这三个奇数分别是：一3，一1,1或15,17,19. 【例2】这个两位数是68.【变式训练1】这个两位数为36 【例6)B【例7】a≥-1 【例3】道路的宽为2m 【例8】(1)证明略(2)△ABC的周长为a+b+c=10. 【变式训练2】羊圈的边长AB,BC分别是20米、20米 【例9】每周应限定参观的人数是2000人，门票价格是20元 课后演练 第21章章末测试 1.A2.B3.A4.A5.-3或516.97.28.24cm 1.C2.A3.D4.B5.B6.C7.B8.B 9.(1)长40m,宽20m(2)1500m2 9.=a=510.>-111.-412.-号 10.这个两位数为2411.(1)5s(2)1.6s或4.8s 12.分别在10s、15s、30s时，两只蚂蚁与O点组成的三角形 13.34号小号 的面积是450cm. 15.(10m=3+√页，2=3-(2)x1=8, 33=2 第2课时增长率问题 (3)=2m,x2=3m 4 基础导学 基数变动后的数增长（或降低）的百分率 16.四 x=-b土VF-4ac x=6,x2=-4 典例探究 2a 【例1】(1)2.6(1十x);(2)可变成本平均每年增长的百17.(1)4月份再生纸的产量为500吨 分率为10%. (2)m的值为20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元 【例2】10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为20% 18.(1)1秒(2)2秒(3)不能 【变式训练1】每顶头盔应降价20元 第22章图形的相似 【变式训练2】(1)月平均增长率为20% (2)售价应降低 20元. 22.1 成比例线段 课后演练 第1课时成比例线段 1.A2.B3.B4.C5.200(1+x)2=401 基础导学 6.60+60(1+x)+60(1+x)2=2007.25% 1.成比例线段 2合=台34号 d 8.(1)从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长 典例探究 率为20%；(2)下调后每架无人机的售价为2万元 9.(1)y=一10x+1000(2)50万元/台10.30% 【a0-号②2-8÷13=0 169 11.(1)n=0.3 【例2】(1)(2)不是(3)(4)是 1 (2)m=2 第二年用乙方案新治理的工厂数量为60家 【变式训练】D【刚3】兰=子 38第21章 《一元 一、知识结构 解 直接开平方法 实际问 解析抽象 公 因式分解法 数量关系 次 一次方 配方法 元二次方程的解 公式法 解释、检验 二、专题精讲 类型一一元二次方程的概念 【例1】下列方程中，关于x的一元二次方 程是 A.(x+1)2=3(x+1) B.是+2-1=0 C.ax2+bx+c=0 D.x2+2x=x2-x-1 【例2】m为何值时，关于x的方程(m √2)xm-(m+3)x=4m是一元二次方程. 规律与方法：一元二次方程为本章的一个重 要概念，包含三要素：一元，整式方程，化成ax2十 bx十c=0后a≠0，a、b、c为常数，考点为二次项 系数不为0且未知数的最大指数为2，它可以综 合平方数、绝对值，一元二次方程等知识，中考常 以填空、选择出现，有时也作为解答题 第21章一元二次方程 二次方程》专题复习 类型二一元二次方程的解的运用 【例3】关于x的一元二次方程x2-5x+ 2一2p+5=0的一个根为1，则实数卫的值是 A.4 B.0或2 C.1 D.-1 规律与方法：一元二次方程的解也叫一元二 次方程的根，它是研究方程的中心，是方程中一 个不可缺少的重要概念，常已知方程的一根，求 方程中字母的值，中考常出现在填空与选择题 中 类型三一元二次方程的解法 【例4】已知a4+b4+2a2b-2a2-2b2 15=0,求a2十b的值. 规律与方法：一元二次方程的解法是研究一 元二次方程的重点，它可以说是一个工具性的知 识，不少数学问题，实际问题的解决常归结为解 一元二次方程，中考常以解答的形式出现，是热 点之一 09 ● 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 【例5】解下列一元二次方程， (1)4(x-3)2-25(x-2)2=0; (2)5(x-3)2=x2-9; (3)(2x+1)2+4(2x+1)+4=0: 规律与方法：解一元二次方程时，一定要先 从整体上解析，看是否能提公因式或运用平方差 公式、完全平方公式等，选择适当的方法既快捷 又不易解错： 类型四 一元二次方程根的判别式 【例6】 若关于x的一元二次方程x2 2x一1=0有两个不相等的实数根，则k的取值 范围是 A.k>-1 B.k>-1且k≠0 C.k<1 D.k<1且k≠0 规律与方法：一元二次方程根的判别式是确 定方程根的情况的重要指标，也是使用公式法的 条件，它在求函数极值，证明不等式，判断同一直 角坐标下两二次曲线有无交点等方面有着不可 缺少的作用，但使用的背景为一元二次方程，中 考常以选择、填空、解答的形式出现，年年都考， 务必掌握 【例7】已知关于x的方程ax2+2x-1 0有实数根，求a的取值范围. 规律与方法：当被研究的对象包含多种可能 的情况时，根据所有可能出现的情况分别讨论， 得出各种情况下相应的结论. 类型五一元二次方程的根与系数的关系 【例8】已知关于x的方程x2-(2k+1)x +4(k 2）=0. (1)求证：无论k取什么实数值，这个方程总 有实数根 (2)若等腰△ABC的一边长a=4,另两边 的长b,c恰好是这个方程的两根，求△ABC的 周长 60· 第21章一元二次方程 规律与方法：一元二次方程根与系数的关系是在一元二次方程有实根的前提下研究两根的和与积与 系数的关系，中考中与判别式形影不离，以综合题出现. 类型六一元二次方程的应用 【例9】某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观，如果游客过多，对馆中的珍贵文物会产 生不利影响，但同时考虑文物的修缮和保存费用等问题，还要保证一定的门票收入，因此博物馆采 用了增加门票的价格来控制参观人数，在该方法实施过程中发现，每周参观人数与票价存在着如图 所示的一次函数关系，在这样的情况下，如果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观的 人数是多少？门票价格应是多少元？ 人数个 (人) 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 05101520票价（元）x 规律与方法：一元二次方程的应用是我们学习一元二次方程的目的，把广泛的实际问题归结为解一 元二次方程是极富挑战的思维创造性活动，也属应用型数学建模活动，由于实际问题错综复杂，求解有相 当的能力要求，需要科学有序的训练方可形成技能，中考多以解答题的形式出现，少有选择与填空，考的机 会较大 第21章 章末测试 一、选择题 2x<4x-4 1.下列方程中是一元二次方程的是 3当：满足1话红-0≥2-6)月 。、时，方程x2 A.2x+1=0 B.y2+x=1 2x-5=0的根是 （) C.x2+1=0 D.+2=l A.1±√6 B.√6-1 2.用配方法解方程x2一4x十2=0，下列配方正确的 C.1-√6 D.1+√6 是 () 4.(云南中考)两年前生产1千克甲种药品的成 A.(x-2)2=2 B.(x+2)2=2 本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1 C.(x-2)2=-2 D.(x-2)2=6 千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成 ·61· 指南针·课堂优化·九年纸上册·数学(HS) 本的年平均下降率为x,根据题意，下列方程 正确的是 () A.80(1-x2)=60 B.80(1-x)2=60 C.80(1-x)=60 D.80(1-2x)=60 5.(日照中考)已知，实数x1,x2(x1≠x2)是关于 x的方程kx2+2kx+1=0(k≠0)的两个根. 若二+1=2，则k的值为 x1℃2 A.1 B.-1 c D.- 6.已知关于x的一元二次方程(k-2)2x2+（2k +1)x十1=0有两个不相等的实数根，则k的 取值范围是 () A.>号且≠2 Bk≥且k≠2 Ck≥且2 D.k≥等且k≠2 7.(安顺中考)定义新运算a￥b:对于任意实数 a,b满足a￥b=(a+b)(a-b)-1,其中等式 右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如3 2=(3+2)(3-2)-1=5-1=4.若x￥k=2x (k为实数)是关于x的方程，则它的根的情况 是 () A.有一个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.有两个相等的实数根 D.没有实数根 8.一个菱形的边长是方程x2一8x+15=0的一 个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面 积为 () A.48 B.24 C.24或40 D.48或80 二、填空题 9.一元二次方程x2+3一2√3x=0的解是 6 10.若关于x的方程ar+(a+2)x+a-0有实 数解，那么实数a的取值范围是 11.(巴中中考)a、3是关于x的方程x2-x十k 1=0的两个实数根，且a2一2a-B=4,则 的值为 12.(绥化中考)已知一元二次方程x2+x=5x+6 的两根为与，则分十号的值为 13.如图，世纪广场有一块长方形绿地，AB=18m, AD=15m,在绿地中开辟三条宽为xm的道路 后，剩余绿地的面积为144m,则x= 14.当x= 时，代数式3x2-2x+1有最 值是 三、解答题 15.解方程： (1)x2-6x-2=0; (2)x2-6x+9=(5-2x)2; (3)3x2-10mx+8m2=0. 16.嘉淇同学用配方法推导一元二次方程a.x2十 bx十c=0(a≠0)的求根公式时，对于b2-4ac >0的情况，她是这样做的： 由于a≠0，方程ax2+bx十c=0变形为： +x=日…第一步 2+2x+(岛)°=+()…第二步 x+多=B,二4ac(6-4ac>0),…第四步 2a 2a x=一b十B-4ac,…第五步 2a 嘉淇的解法从第 步开始出现错误；事 实上，当b2-4ac>0时，方程ax2+bx十c=0 (a≠0)的求根公式是 用配方法解方程：x2一2x一24=0. 17.（宜昌中考)某造纸厂为节约木材，实现企业 绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生 纸项目的生产规模不断扩大.该厂3,4月份 共生产再生纸800吨，其中4月份再生纸产 量是3月份的2倍少100吨， (1)求4月份再生纸的产量； (2)若4月份每吨再生纸的利润为1000元，5 月份再生纸产量比上月增加m%.5月份每 吨再生纸的利润比上月增加罗%，则5月份 再生纸项目月利润达到66万元.求m的值； (3)若4月份每吨再生纸的利润为1200元，4 至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6 月份再生纸产量比上月增长的百分数相同， ·63 第21章一元二次方程 6月份再生纸项目月利润比上月增加了 25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元？ 18.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm, BC=7cm,点P从点A开始沿AB边向点 B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始 沿BC边向点C以2cm/s的速度移动. (1)如果点P,Q分别从点A,B同时出发，那 么几秒后，△PBQ的面积等于4cm? (2)如果点P,Q分别从点A,B同时出发，那 么几秒后，PQ的长等于5cm? (3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于 7cm,说明理由.