21.2.4 公式法-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

【创新探究】 12.我们可以利用配方法解决一些多项式的 最值， 如x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+1)2+2, 当x=-1时，x2+2x+3有最小值为2； 再如：-x2+2x-2=-(x2-2x+1)-1= -(x-1)2-1, 当x=1时，-x2+2x-2有最大值为-1. (1)代数式x2+6x+m有最小值为1，则m= (2)代数式-x2+4x+m有最大值为2，则m (3)代数式x2+(m+2)x+4m-7有最小值 为0，求m的值. ·3 第21章一元二次方程 第4课时 公式法 基础导学 1.一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的求根 公式是 ,用此 公式求一元二次方程根的方法称为 2.在用求根公式解一元二次方程a.x2+bx 十c=0(a≠0)时，若计算出b2-4ac<0,则 √一4ac无意义，此时我们说原方程 3.用公式法解一元二次方程的步骤是： (1) (2) (3) (4) ★注意： (1)任何一个一元二次方程只要b2-4ac≥0 都可用公式法求解. (2)运用公式法须先把一元二次方程化成一 般形式. 典 例 探 究 考点①使用求根公式的条件 【例1】以下方程能用公式法求其根的是 () A.16x2+8x=-3 B.3(x2+1)-5x=0 C.√2x2-√3x+√2=0 D.2mx2+2(m十n)x-十n=0(m、n都为非 0实数) 9· 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 规律与方法：这类题求解关键是把原方程化 成一般形式，由仔一4ac的值的符号决定，当子一 4ac<0时不能用公式法求解. 考点2用公式法解一元二次方程 【例2】用公式法解下列方程. (1)x2-2√3x+3=0; (2)-3x2+5.x+2=0; (3)2+日=0： (4)3x2+x+1=0. 规律与方法：用公式法解一元二次方程，需 满足b2一4ac≥0，熟记a.x2十bx十c=0(a≠0)的 求根公式x=一b士作-4ac(-4ac≥0)，注 2a 意应用该公式时首先要将原方程化成一般形式， 以便确定a,b,c的值，当方程有两个相等的解要 写成x1=x2=k的形式. 【变式训练1】在方程2x2+8=9x中，a= ,b= ,C ,-4ac=;用 求根公式可得= ,2 【变式训练2】用公式法解下列方程： (1)2x2-4x-1=0; (2)(x-2)(3x-5)=1. 考点③用适当的方法解一元二次方程 【例3】用适当的方法解以下各方程： (1)x2-3x+1=0; (2)(x-1)2=3; (3)9(x+2)2=2x(x+2); (4)x2-2x=168. 规律与方法：解一元二次方程的关键是方法 的选择，当一个方程左边是完全平方式，右边是 非负数，则运用直接开平方法；当一个方程的二 次项系数为1，一次项系数为偶数时则适合用配 方法；当方程的两边有公因式或易于写成左边是 两个因式的积，右边是0的形式时，就可利用因式 分解法来解，在上述三种方法都很难求解的情况 下可考虑利用公式法求解，注意用公式法求解 时，应先将方程化成一般形式ax2+bx+c=0, 再确定a、b、c的值.同时还应明确其使用的前提 是b一4ac≥0，解法的选择是： 直接开平方法→因式分解法 →配方法 公式法 第21章一元二次方程 9.用适当的方法解下列方程： 课后演练 (1)(2y-1)2=3(1-2y); (2)x2-x=1; 【基础过关】 1.方程x2+4x=2的正根为 A.x=2-√6 B.x=2+√6 (3)25(x-1)2=16(x+2)2. C.x=-2-√/6 D.x=-2+√6 2.若x2+4x-5和2-2x的值互为相反数，则x的 值是 () A.3或1 B.1或-3 C.1或7 D.1或-7 【能力提升】 3.解方程x2一x一3=0最合适的方法是() 10.关于x的一元二次方程为(m-1)x2-2mx+ A.直接开平方法 B.配方法 m+1=0. C.因式分解法 D.公式法 (1)求出方程的根； 4.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根 (2)m为何整数时，此方程的两个根都为正 分别为西=+F+4,。b-+4,下 整数？ 2 2 列判断一定正确的是 A.a=-1 B.c=1 C.ac=-1 D.e=1 a 5.若关于x的一元二次方程x2-3.x十m=0,在运 用求根公式求解时，仔一4ac=0,则m= 6.x= 时，二次三项式15.x2-14x-2 的值等于6. 7.若m,n满足m+2+√n-4=0,则方程x +m.x十mn=0的解为 【创新探究】 8.用公式法解下列方程： 11.已知a>b,且有3a2+5a-1=0,3b2+5b-1 (1)2x2-4x-1=0; (2)3y2+1=2W3y. =0.求a和b的值. ·41·山原式=6当a=8十1,6=厅-1时，原式=号 12.(1)a=2W2,b=5,c=3√2. (2),a<c<b,且a十c>b,∴.能构成三角形. ∴.周长=2W2+5+3w2=5+5√2 第2课时二次根式的混合运算 基础导学 1.乘方乘除加减2.化简求值 典例探究 【例1】(1)2(2)22-1(3)7 【例2】(1)46-85(2)26-4 【变式训练1】(1)0(2)√2 【变式训练2】(1)-13-22(2)2(3)3【例3】2 【变式训练3】当a=3时，原式=20a√2a=60√6 课后演练 1.B2.C3.B4-15.(1)23(2)号6.1 7.(1)123-60(2)0(3)12/5-203(4)32+1(5)9 8原式=)当x=2y-见时，原式=-罗 2 9.3210.505011.18 12.(1)m2+3m22mm(2)4211(3)a=7或13 专题练习1二次根式的化简求值技巧 【技巧1】1.B2.2 【技巧2】3.原式=6ab, .a=3-√2，b=√3+√2， .原式=6ab=6. 4.-8+25 【技巧3】5.186.-45【技巧4】7.08.2 第20章《二次根式》专题复习 【例1】C【例2】C【例3】±3 【例A【例5】(1)9原-330(2)23 【例6】3【例7】飞机的高度约为3182m 第20章章末测试 1.B2.C3.D4.B5.B6.A7.C8.C9.x>1 10.-万11.号12.73013.14.8+23 15.(1)1-4W(2)-7+2516.4 35 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 17.原式=2y,当x=5+2,y=5-2时，原式=号 【例2】(1)1=4,2=一4；(2)m=3,x2=-3. 2 18.原式=-√a[(a+2-2ab 【例3】(1)=5，x=-1.(2)M=2%=-2 ab a十b=-8,ab=8,∴.原式=-12W2. 3=5=-1.(wa=-号4=- 19.(1)a2=√2，a3=2,an=(W2)m-1. (2)15+15w2. 【变式训练2】（①）a=6,a=-6 第21章一元二次方程 1 21.1认识一元二次方程 (3)x1=√2+5,2=√2-5 基础导学 w6=1+号6=-号 2 1.只含有一个未知数2.整式方程未知数的最高次数是2 3.ax2十bx十c=0(a≠0，a、b、c为常数)a.x2bxc 课后演练 4相等根 1.C2.D3.D4.±75.m≥3 典例探究 6.87.0=2,x2=-1 【例1】(1)、(6)是一元二次方程.【变式训练1】D 8.(1)x1=4,x2=-4.(2)x1=1,x2=-3 【例2】a=一3【变式训练2】≠士1=一1 (3=-日函=3④0西=6=4 【例3】3.x2一24x+1=0,此方程的二次项系数为3，一次项 9.x十y=-3或x+y=-11 系数为一24，常数项为1. 10.(1)10(2)4或23 【变式训练3】5y2-y-4=0【例4】m=-4. 【变式训练4】C【例5】矩形的长为6cm,宽为5cm :11.-3或412.96或0 【变式训练5】C 第2课时因式分解法 课后演练 基础导学 1.C2.B3.B4.A5.x2-2x-15=0-2-15 :1.因式分解两个一元一次方程 6.67.x2-70x+825=0 2.降次至少一个数为0 8.(1)m=4,方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项 4.(2)因式分解(3)两个一元一次方程(4)原方程的 11(2)m=3或m=2 典例探究 9.15cm10.8或√11911.-3 【例1】=4，x2=一4 12.(1)y-y-2=0 【变式训练】五=专=一号 (2)所求方程为：cy2十by十a=0(c≠0) 【例2】(1)1=0，x2=5(2)=2,x2=1 13.(1)2026(2)5 21.2一元二次方程的解法 【变式训练2】石=1=一号 【例3】(1)x=1,x2=2.(2)x=2,x2=4. 第1课时直接开平方法 基础导学 3-E,-5④a=-1a=-是 1.求非负数（或可化为非负数）的平方根 【变式训练3】=3,2=一1. 2.2=a(a≥0)(x十a)2=b(b>0)m(ax十b2=n(a≠课后演练 0,mn≥0) 1.D2.D3.A4.A5.B6.57.=2,2=-7 3.(1)把原方程左边化为完全平方，右边为常数(2)再把平 方项系数化为1(3)开平方取正负，求得方程的解 81西=3，=号2函=号西=一品 典例探究 (3)知=6,2=-1 【例1】C【变式训练1】B :9.(1)知=1,2=3(2)第三边的长为2W2或√10 10.62或10113或-312.=0，=-2. 第3课时配方法 基础导学 1配方直接开平方法a2士2ab十？=(a士b)2和直接开平方 法2.降次两个一元一次方程 3.方程两边同时除以二次项系数将二次项系数化为1常数项 右移方程两边都加上一次项系数一半的平方，将原方程化 为(x十m)2=n的形式开平方求解 典例探究 【】a2552②品￥34号2（④生受 【变式训练1】(1)C(2)土10(3)=2027,2=-2023 【例2】(1)a=2,=-8(2)a=1,西= 【变式训练2)(1)=1+√5,2=1-√5 ②n=3,0=-23通=26=-号 【例3】因为m2-8m+17=m2-8m+16-16+17=(m 4)2十1≥1≠0，所以不论m为何值，该方程都是一元二次方程. 【变式训练3】证明略 课后演练 1C2B3B4C542@是是⑧品 -是（④-2片627a>9 8.(1)0=2-1,2=√2-1(2)1=6+4W2,2=6-4/2 (3)x=-2土√6(4)x1=2,x2=4 9五=9+353 ,w2=9-V353 4 4 10.(1)-23(2)-1-5(3)小大 11.(1)二( a=2+四 x2=2-10 2 12.(1)10(2)-2(3)m=4或m=8 第4课时公式法 基础导学 1z=-b士-ac(-4ac≥0)公式法 2a 2.无实根3.(1)化成一般形式(2)找出系数a、b、c的值 (3)计算b一4ac的值(4)当b一4ac≥0时用公式求出原 方程的根 典例探究 【例1】D 36 【例2】(1a==5,(2a=2,4=-号 1 (3)m==2;（4)原方程无实数解。 【变式训练1】2-98179十厘9-V回 4 【使武训练2】涵=2生5a2≥5 ②a-t区%-1 6 【例3】(1)m=3+5 ,235(2)x1=1+3,2一 5,(3=-2a=-9:0m=14a=-12 课后演练 1D2B3D4C5是 6号或-号 7.x1=-2,x2=4 80=1+9a=1-9 2 (2)1=为=35 9.1m=分%=-1(2)m=1+5,=15 2 ,2= (8a=18,=-号 10（①=%a=1（2m=2或3 11.a=-5+3 ,6=-5-37 6 6 第5课时根的判别式 基础导学 1.-4ac△=B-4ac 2.(1)两个实数根两个不相等的实数根 两个相等的实数根(2)无实根 典例探究 【例1】(1)此方程有两个相等的实数根 (2)此方程没有实数根 (3)此方程有两个不相等的实数根 (4)此方程有两个不相等的实数根【变式训练1】A 【例2】原方程可化为：x2-3x十2一m2=0,△=4m2十1> 0,结论成立. 【例3】(1)k<4且≠0.(2)k=4.(3)k>4. 【变式训练2】(1)B(2)2或-1(3)a≥-1 【变式训练3】(1)原方程总有两个实数根 37 指南针·课堂优化· (2)存在实数一10，一6，使原方程两个根为连续偶数 课后演练 1.A2.C3D4B5.(1m<号 (2)k≥-6 6.17.等腰三角形（非等边三角形） 8.(1)当m<1且m≠一1时，方程有两个不相等的实数根； (2)方程不可能有两个相等的实数根； (3)当m>1时，方程没有实数根， ,Qk≤是（②m的值为号 10.B11.a>-4 12.(1)m>3(2)-2 13.(1)证明略(2)y=2(m>0) m (3)在同-直角坐标系中分别画出y=2(m>0)与y 2m(m>0)的图象，由图象可得：当m≥1时，y≤2m. 第6课时根与系数的关系 基础导学 1.≥ -p92.-6日 ≥ 3.有两个不等a≠0且△>0a≠0且△≥≥0 典例探究 【例1】x2= 5 7 ,m=- 【变式训练1】B 【例2】13【变式训练2】1)-号 (2)17 【例3】m=3 【变式训练3】(1)k的取值范围是：k>2(2)k的值为=3 【例)所求方程为t-一是x十名=0【变式训练)D 课后演练 1D2.C32445.1236号7m> 8.(1)证明略(2)m的值为一2或1 9.一1510.一511.2312.(1)k>1(2)k的值为2 13.(1①m=-5,m=6(2)号或2(3)正整数c的最小值是3 专题练习2与一元一次方程 有关的阅读理解题 类型1 1.(1)1=√2，x2=-√2,3=3，x4=-√5 (2)5或45±7V厘 41 4 (3)15 九年级上册·数学(HS) 类型2 (3)设第一年用甲方案整理降低的Q值为x, 2.(1)AC(2)顶点在x轴的上方，抛物线与x轴无交点，图略 第二年Q值因乙方案治理降低了100m=100×0.3=30, (3)可用函数观点认识二元一次方程组的解（答案不唯一）. (30-a)十2a=39.5,a=9.5,x=30-a=20.5. 类型3 12.(1)该商城4月份卖出125辆自行车 3.0)号 - 2号 (3)士√17 (2)该商城应进人A型车34辆，B型车13辆 第21章《一元二次方程》专题复习 21.3 实践与探究 【例1】A【例2】m=√2时，原方程为一元二次方程. 第1课时数字、面积问题 【例3】C【例4)a2+形=5. 基础导学 1.审题等量关系数学问题 【50✉=9&=专：2)a=3,=号； 典例探究 【例1】这三个奇数分别是：一3，一1,1或15,17,19. 【例2】这个两位数是68.【变式训练1】这个两位数为36 【例6)B【例7】a≥-1 【例3】道路的宽为2m 【例8】(1)证明略(2)△ABC的周长为a+b+c=10. 【变式训练2】羊圈的边长AB,BC分别是20米、20米 【例9】每周应限定参观的人数是2000人，门票价格是20元 课后演练 第21章章末测试 1.A2.B3.A4.A5.-3或516.97.28.24cm 1.C2.A3.D4.B5.B6.C7.B8.B 9.(1)长40m,宽20m(2)1500m2 9.=a=510.>-111.-412.-号 10.这个两位数为2411.(1)5s(2)1.6s或4.8s 12.分别在10s、15s、30s时，两只蚂蚁与O点组成的三角形 13.34号小号 的面积是450cm. 15.(10m=3+√页，2=3-(2)x1=8, 33=2 第2课时增长率问题 (3)=2m,x2=3m 4 基础导学 基数变动后的数增长（或降低）的百分率 16.四 x=-b土VF-4ac x=6,x2=-4 典例探究 2a 【例1】(1)2.6(1十x);(2)可变成本平均每年增长的百17.(1)4月份再生纸的产量为500吨 分率为10%. (2)m的值为20(3)6月份每吨再生纸的利润是1500元 【例2】10月和11月这两个月的销售量月平均增长率为20% 18.(1)1秒(2)2秒(3)不能 【变式训练1】每顶头盔应降价20元 第22章图形的相似 【变式训练2】(1)月平均增长率为20% (2)售价应降低 20元. 22.1 成比例线段 课后演练 第1课时成比例线段 1.A2.B3.B4.C5.200(1+x)2=401 基础导学 6.60+60(1+x)+60(1+x)2=2007.25% 1.成比例线段 2合=台34号 d 8.(1)从1月份到3月份该品牌无人机销售量的月平均增长 典例探究 率为20%；(2)下调后每架无人机的售价为2万元 9.(1)y=一10x+1000(2)50万元/台10.30% 【a0-号②2-8÷13=0 169 11.(1)n=0.3 【例2】(1)(2)不是(3)(4)是 1 (2)m=2 第二年用乙方案新治理的工厂数量为60家 【变式训练】D【刚3】兰=子 38