21.2.3 配方法-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

山原式=6当a=8十1,6=厅-1时，原式=号 12.(1)a=2W2,b=5,c=3√2. (2),a<c<b,且a十c>b,∴.能构成三角形. ∴.周长=2W2+5+3w2=5+5√2 第2课时二次根式的混合运算 基础导学 1.乘方乘除加减2.化简求值 典例探究 【例1】(1)2(2)22-1(3)7 【例2】(1)46-85(2)26-4 【变式训练1】(1)0(2)√2 【变式训练2】(1)-13-22(2)2(3)3【例3】2 【变式训练3】当a=3时，原式=20a√2a=60√6 课后演练 1.B2.C3.B4-15.(1)23(2)号6.1 7.(1)123-60(2)0(3)12/5-203(4)32+1(5)9 8原式=)当x=2y-见时，原式=-罗 2 9.3210.505011.18 12.(1)m2+3m22mm(2)4211(3)a=7或13 专题练习1二次根式的化简求值技巧 【技巧1】1.B2.2 【技巧2】3.原式=6ab, .a=3-√2，b=√3+√2， .原式=6ab=6. 4.-8+25 【技巧3】5.186.-45【技巧4】7.08.2 第20章《二次根式》专题复习 【例1】C【例2】C【例3】±3 【例A【例5】(1)9原-330(2)23 【例6】3【例7】飞机的高度约为3182m 第20章章末测试 1.B2.C3.D4.B5.B6.A7.C8.C9.x>1 10.-万11.号12.73013.14.8+23 15.(1)1-4W(2)-7+2516.4 35 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 17.原式=2y,当x=5+2,y=5-2时，原式=号 【例2】(1)1=4,2=一4；(2)m=3,x2=-3. 2 18.原式=-√a[(a+2-2ab 【例3】(1)=5，x=-1.(2)M=2%=-2 ab a十b=-8,ab=8,∴.原式=-12W2. 3=5=-1.(wa=-号4=- 19.(1)a2=√2，a3=2,an=(W2)m-1. (2)15+15w2. 【变式训练2】（①）a=6,a=-6 第21章一元二次方程 1 21.1认识一元二次方程 (3)x1=√2+5,2=√2-5 基础导学 w6=1+号6=-号 2 1.只含有一个未知数2.整式方程未知数的最高次数是2 3.ax2十bx十c=0(a≠0，a、b、c为常数)a.x2bxc 课后演练 4相等根 1.C2.D3.D4.±75.m≥3 典例探究 6.87.0=2,x2=-1 【例1】(1)、(6)是一元二次方程.【变式训练1】D 8.(1)x1=4,x2=-4.(2)x1=1,x2=-3 【例2】a=一3【变式训练2】≠士1=一1 (3=-日函=3④0西=6=4 【例3】3.x2一24x+1=0,此方程的二次项系数为3，一次项 9.x十y=-3或x+y=-11 系数为一24，常数项为1. 10.(1)10(2)4或23 【变式训练3】5y2-y-4=0【例4】m=-4. 【变式训练4】C【例5】矩形的长为6cm,宽为5cm :11.-3或412.96或0 【变式训练5】C 第2课时因式分解法 课后演练 基础导学 1.C2.B3.B4.A5.x2-2x-15=0-2-15 :1.因式分解两个一元一次方程 6.67.x2-70x+825=0 2.降次至少一个数为0 8.(1)m=4,方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项 4.(2)因式分解(3)两个一元一次方程(4)原方程的 11(2)m=3或m=2 典例探究 9.15cm10.8或√11911.-3 【例1】=4，x2=一4 12.(1)y-y-2=0 【变式训练】五=专=一号 (2)所求方程为：cy2十by十a=0(c≠0) 【例2】(1)1=0，x2=5(2)=2,x2=1 13.(1)2026(2)5 21.2一元二次方程的解法 【变式训练2】石=1=一号 【例3】(1)x=1,x2=2.(2)x=2,x2=4. 第1课时直接开平方法 基础导学 3-E,-5④a=-1a=-是 1.求非负数（或可化为非负数）的平方根 【变式训练3】=3,2=一1. 2.2=a(a≥0)(x十a)2=b(b>0)m(ax十b2=n(a≠课后演练 0,mn≥0) 1.D2.D3.A4.A5.B6.57.=2,2=-7 3.(1)把原方程左边化为完全平方，右边为常数(2)再把平 方项系数化为1(3)开平方取正负，求得方程的解 81西=3，=号2函=号西=一品 典例探究 (3)知=6,2=-1 【例1】C【变式训练1】B :9.(1)知=1,2=3(2)第三边的长为2W2或√10 10.62或10113或-312.=0，=-2. 第3课时配方法 基础导学 1配方直接开平方法a2士2ab十？=(a士b)2和直接开平方 法2.降次两个一元一次方程 3.方程两边同时除以二次项系数将二次项系数化为1常数项 右移方程两边都加上一次项系数一半的平方，将原方程化 为(x十m)2=n的形式开平方求解 典例探究 【】a2552②品￥34号2（④生受 【变式训练1】(1)C(2)土10(3)=2027,2=-2023 【例2】(1)a=2,=-8(2)a=1,西= 【变式训练2)(1)=1+√5,2=1-√5 ②n=3,0=-23通=26=-号 【例3】因为m2-8m+17=m2-8m+16-16+17=(m 4)2十1≥1≠0，所以不论m为何值，该方程都是一元二次方程. 【变式训练3】证明略 课后演练 1C2B3B4C542@是是⑧品 -是（④-2片627a>9 8.(1)0=2-1,2=√2-1(2)1=6+4W2,2=6-4/2 (3)x=-2土√6(4)x1=2,x2=4 9五=9+353 ,w2=9-V353 4 4 10.(1)-23(2)-1-5(3)小大 11.(1)二( a=2+四 x2=2-10 2 12.(1)10(2)-2(3)m=4或m=8 第4课时公式法 基础导学 1z=-b士-ac(-4ac≥0)公式法 2a 2.无实根3.(1)化成一般形式(2)找出系数a、b、c的值 (3)计算b一4ac的值(4)当b一4ac≥0时用公式求出原 方程的根 典例探究 【例1】D 36指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 第3课时 配方法 基 础导学 1.通过 使方程的左边是一个含未知 数的式子的平方，右边为一个非负数，再利用 求得一元二次方程的解的方法，叫 做配方法，其依据是 2.配方的目的是为了 ,把一元二 次方程转化为 来解。 3.用配方法解一元二次方程a.x2十bx十c= 0(a≠0)的步骤：一化， ;二移， ;三配， ；四解， 注意：二次三项式的配方与用配方法解一 元二次方程略有不同， 典 例 探究 考点①配方使二次三项式成为完全平方式 【例1】在以下空格中填上适当式子使等 式成立. (1)x2+10x+()=(x+)2; =(x-)2; (3)9x2+12x+=9(x+2=(3x+ ; (4)x2+mx+ =(x十)2. 规律与方法：通过配方使一个式子成为完全 平方式的关键是当二次项系数为1，在方程两边 都加上一次项系数一半的平方. 3 【变式训练1】(1)（雅安中考）若关于x的 一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程 (x十3)2=2c,则c的值为 () A.-3 B.0 C.3 D.9 (2)若x2+ax+25是完全平方式，则a (3)若一元二次方程x2-4100625=0的两 根为c1=2025,x2=-2025,则方程x2-4x 4100621=0的两根为 考点2用配方法解一元二次方程 【例2】用配方法解方程： (1)x2+6x-16=0;(2)2x2-3x+1=0. 规律与方法：(1)“配方”即配一次项系数一 半的平方，对一次项系数为偶数的情况尤其适 合；(2)完全平方式中常数项的符号与原一次项 系数的符号是一致的，如父十x十寻=(x十 r-+最=u-… 【变式训练2】用配方法解方程： (1)x2-2x=4; (2)4y2-4y+1=25; (3)3x2-2x-8=0. 考点3)用配方法判断代数式值的符号 【例3】试说明不论m为何值时，关于x 的方程(m2-8m十17)x2+2mx+1=0都是一 元二次方程， 规律与方法：对二次项系数为1的二次三项 式配方时，在加上一次项系数一半的平方时，还 必须减去一次项系数一半的平方， 【变式训练3】求证：无论x为何值，代数 式2x2一4x+3的值恒大于0. ·3 第21章一元二次方程 课后演 练 【基础过关】 1.(雅安中考)若关于x的一元二次方程x2+6x +c=0配方后得到方程(x+3)2=2c,则c的 值为 () A.-3 B.0 C.3 D.9 2.若方程4x2-(m-2)x+1=0的左边是一个 完全平方式，则m等于 () A.-2 B.-2或6 C.-2或-6 D.2或-6 3.已知方程x2-6x十q=0可以配成(x-)2= 7的形式，p,q的值为 () A.p=3,g=-2 B.p=3,q=2 C.p=-3,q=2 D.p=9,q=6 4.二次三项式x2-4x+5的值 A.可以等于0 B.大于1 C.不小于1 D.既可以大于0，也可以小于0 5.填空： (1)x2-4x+ =(x-)2; (2)x2+3x+ =(x十)2 (3)x23x+=[x+(); (4)3x2+2x-2=3(x+)2+(). 6.已知a2-4如+8-名+能=0，则a2-46的 值为 7.若分式x2-6x+a 1 对一切实数x分式均有意 义，则a的取值范围是 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 8.用配方法解方程： (1)(徐州中考)x2+2x-1=0; (2)y(y-4)=8y-4; (3)x2+4x-2=0; (4)(2x-1)2=x(3x+2)-7. 9.用配方法求一元二次方程(2x十3)(x一 16的实数根 【能力提升】 10.(1)当x= ,代数式3-(x+2)2有最 大值，这个最大值是 (2)当x ,代数式x2+2x-4有最 小值，这个最小值是 (3)通过对(1)、(2)的解析，请你再举一些类 似的例子，我们可以归纳出一个一般结论：在 代数式a.x2+bx十c(a、b、c为常数，a≠0)中， 当a>0时，该代数式必定存在最 值；当 a<0时，该代数式必定存在最 值. 11.王明在学习了用配方法解一元二次方程后， 解方程2x2-8x+3=0的过程如下： 解：移项，得2x2-8x=一3.第一步 二次项系数化为1，得x2-4x=-3.第二步 配方，得x2-4x十4=-3十4.第三步 因此(x-2)2=1.第四步 由此得x-2=1或x-2=-1.第五步 解得x1=3,x2=1.第六步 (1)王明的解题过程从第 步开始出 现了错误； (2)请利用配方法正确地解方程2x2一8x十3 =0. ·38· 【创新探究】 12.我们可以利用配方法解决一些多项式的 最值， 如x2+2x+3=(x2+2x+1)+2=(x+1)2+2, 当x=-1时，x2+2x+3有最小值为2； 再如：-x2+2x-2=-(x2-2x+1)-1= -(x-1)2-1, 当x=1时，-x2+2x-2有最大值为-1. (1)代数式x2+6x+m有最小值为1，则m= (2)代数式-x2+4x+m有最大值为2，则m (3)代数式x2+(m+2)x+4m-7有最小值 为0，求m的值. ·3 第21章一元二次方程 第4课时 公式法 基础导学 1.一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠0)的求根 公式是 ,用此 公式求一元二次方程根的方法称为 2.在用求根公式解一元二次方程a.x2+bx 十c=0(a≠0)时，若计算出b2-4ac<0,则 √一4ac无意义，此时我们说原方程 3.用公式法解一元二次方程的步骤是： (1) (2) (3) (4) ★注意： (1)任何一个一元二次方程只要b2-4ac≥0 都可用公式法求解. (2)运用公式法须先把一元二次方程化成一 般形式. 典 例 探 究 考点①使用求根公式的条件 【例1】以下方程能用公式法求其根的是 () A.16x2+8x=-3 B.3(x2+1)-5x=0 C.√2x2-√3x+√2=0 D.2mx2+2(m十n)x-十n=0(m、n都为非 0实数) 9·