21.2.2 因式分解法-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

9.已知x2-16=0,y2=49,且x>y,求x+y 的值. 【能力提升】 10.已知一元二次方程(x-3)2=1. (1)若方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的底边长和腰长，则△ABC的周长为 (2)若方程的两个根恰好是Rt△DEF的两 边长，则Rt△DEF的面积为 11.对于实数a,b,定义运算“◎”如下：aOb=(a +b)2-(a-b)2.若(m+2)©(m-3)=24, 则m= 【创新探究】 12.已知方程3(x-2)2=12的解也是方程x2- 2x=a-3的解，求代数式a2-2a-3的值. ·3 第21章一元二次方程 第2课时 因式分解法 基础 导学 1.当一元二次方程的一边为0，而另一边易于 时，可将原方程降次为 ,从而求出原方程根的方法，叫做因式分 解法. 2.因式分解法的基本思想是通过因式分解 达到 的目的；其数学原理是：两数之积 为0，则 ,反之也成立 3.适合用因式分解法求解的一元二次方程 的形式 (1)提取公因式法：x2十6x=0提取公因武三 x(x+b)=0. (2)公式法：x2-a2=0 平方差公式 (x+a)(x-a)=0; 2士2ax十a2=0完全平方公式(z士a)2=0 【拓展】十字相乘法：x2-(a+b)x+ab=0 十字相乘因式分解(x一a)(x一b)=0. 4.因式分解法解一元二次方程的步骤： (1)整理方程使其右边化为0； (2)将方程左边 (3)由(2)中的每个因式分别等于0，得 (4)解(3)中两方程得 典例探究 考点①解形如x2-a2=0的一元二次方程 【例1】解方程x2-16=0. 规律与方法：这里不能将“或”写成“且”，因 为x一4=0和x十4=0并非同时成立，而是只 要其中之一成立就能够保证(x一4)(x十4)=0 成立 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 【变式训练1】解方程(3x一2)(3x+2)=12. 考点2解形如x+bx=0的一元二次 方程 【例2】解方程： (1)x2-5x=0;(2)(x-2)2=2-x. 规律与方法：解一元二次方程时，如果能提 公因式，首先提公因式，特别要注意整体思想的 运用，如本例中的(x一2). 【变式训练2】解方程3x(x一1)=2-2x; 考点3)解形如x2-(a+b)x+ab=0的方程 【例3】用因式分解法解下列方程： (1)x2-3x+2=0; (2)x2-6x+8=0; (3)x2-(W2+√3)x+√6=0； (4)(2x+1)2+3(2x+1)+2=0. 规律与方法：用十字相乘法因式分解时，常 数项分解成的两因数必须保证其和为一次项系 数，两根的符号与常数项分解的两因数的符号正 好相反 【变式训练3】（凉山州中考)解方程：x2 2x-3=0. 课后演练 【基础过关】 1.(天津中考)方程x2+4x+3=0的两个根为 () A.x1=1,x2=3 B.x1=-1,x2=3 C.x1=1,x2=-3 D.1=-1,x2=-3 2.若一元二次方程式x2-8x-3×11=0的两 根为a、b,且a>b,则a-2b之值为何？() A.-25B.-19 C.5 D.17 3.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)至少有 一个根是零的条件是 () A.c=0 B.b=0 C.b=0且c=0 D.b≠0且c=0 4.一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二 次方程x2-8x+15=0的一根，则此三角形 的周长是 () A.16 B.12 C.14 D.12或16 84 5.(临沂中考)方程x2-2x-24=0的根是 () A.x1=6,x2=4 B.x1=6,x2=-4 C.x1=-6,x2=4 D.x1=-6,x2=-4 6.(x2+y2)(x2+y2-4)=5,则x2+y2= 7.(梧州中考)一元二次方程(x一2)(x+7)=0 的根是 8.用因式分解法解下列方程： (1)2(x-3)=3x(x-3); (2)2(5x-1)2=3(1-5x); (3)x2-5x-6=0. 9.(青海中考)(1)解一元二次方程：x2-4x十3 =0; (2)若直角三角形的两边长分别是(1)中方程 的根，求第三边的长. 35 第21章一元二次方程 【能力提升】 10.若菱形ABCD的一条对角线长为3，另一条 对角线的长是方程x2-7x+12=0的一个 根，则菱形ABCD的周长为 11.定义符号max{a,b}的含义为：当a≥b时， max{a,b}=a;当a<b时，max{a,b}=b,如： max{3,1}=3,max{-3,2}=2,则方程max {x,-x}=x2一6的解是 【创新探究】 12.阅读下面例题的解答过程，体会、理解其方 法，并借鉴该例题的解法解方程。 例：解方程x2-x-1-1=0. 解：(1)当x-1>0即x≥1时，x-1=x-1. 原方程化为x2-(x-1)-1=0,即x2-x=0. 解得x1=0,x2=1, x≥1，x=0舍去，.x=1是原方程 的解。 (2)当x-1<0即x<1时，|x-1|=-(x-1), 原方程化为x2+(x-1)-1=0,即x2十x 2=0, 解得x1=1,x2=一2. x<1,x=1舍去，x=-2是原方程 的解， 综上所述，原方程的解为x1=1,x2=-2. 解方程：x2+2x+2-4=0山原式=6当a=8十1,6=厅-1时，原式=号 12.(1)a=2W2,b=5,c=3√2. (2),a<c<b,且a十c>b,∴.能构成三角形. ∴.周长=2W2+5+3w2=5+5√2 第2课时二次根式的混合运算 基础导学 1.乘方乘除加减2.化简求值 典例探究 【例1】(1)2(2)22-1(3)7 【例2】(1)46-85(2)26-4 【变式训练1】(1)0(2)√2 【变式训练2】(1)-13-22(2)2(3)3【例3】2 【变式训练3】当a=3时，原式=20a√2a=60√6 课后演练 1.B2.C3.B4-15.(1)23(2)号6.1 7.(1)123-60(2)0(3)12/5-203(4)32+1(5)9 8原式=)当x=2y-见时，原式=-罗 2 9.3210.505011.18 12.(1)m2+3m22mm(2)4211(3)a=7或13 专题练习1二次根式的化简求值技巧 【技巧1】1.B2.2 【技巧2】3.原式=6ab, .a=3-√2，b=√3+√2， .原式=6ab=6. 4.-8+25 【技巧3】5.186.-45【技巧4】7.08.2 第20章《二次根式》专题复习 【例1】C【例2】C【例3】±3 【例A【例5】(1)9原-330(2)23 【例6】3【例7】飞机的高度约为3182m 第20章章末测试 1.B2.C3.D4.B5.B6.A7.C8.C9.x>1 10.-万11.号12.73013.14.8+23 15.(1)1-4W(2)-7+2516.4 35 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 17.原式=2y,当x=5+2,y=5-2时，原式=号 【例2】(1)1=4,2=一4；(2)m=3,x2=-3. 2 18.原式=-√a[(a+2-2ab 【例3】(1)=5，x=-1.(2)M=2%=-2 ab a十b=-8,ab=8,∴.原式=-12W2. 3=5=-1.(wa=-号4=- 19.(1)a2=√2，a3=2,an=(W2)m-1. (2)15+15w2. 【变式训练2】（①）a=6,a=-6 第21章一元二次方程 1 21.1认识一元二次方程 (3)x1=√2+5,2=√2-5 基础导学 w6=1+号6=-号 2 1.只含有一个未知数2.整式方程未知数的最高次数是2 3.ax2十bx十c=0(a≠0，a、b、c为常数)a.x2bxc 课后演练 4相等根 1.C2.D3.D4.±75.m≥3 典例探究 6.87.0=2,x2=-1 【例1】(1)、(6)是一元二次方程.【变式训练1】D 8.(1)x1=4,x2=-4.(2)x1=1,x2=-3 【例2】a=一3【变式训练2】≠士1=一1 (3=-日函=3④0西=6=4 【例3】3.x2一24x+1=0,此方程的二次项系数为3，一次项 9.x十y=-3或x+y=-11 系数为一24，常数项为1. 10.(1)10(2)4或23 【变式训练3】5y2-y-4=0【例4】m=-4. 【变式训练4】C【例5】矩形的长为6cm,宽为5cm :11.-3或412.96或0 【变式训练5】C 第2课时因式分解法 课后演练 基础导学 1.C2.B3.B4.A5.x2-2x-15=0-2-15 :1.因式分解两个一元一次方程 6.67.x2-70x+825=0 2.降次至少一个数为0 8.(1)m=4,方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项 4.(2)因式分解(3)两个一元一次方程(4)原方程的 11(2)m=3或m=2 典例探究 9.15cm10.8或√11911.-3 【例1】=4，x2=一4 12.(1)y-y-2=0 【变式训练】五=专=一号 (2)所求方程为：cy2十by十a=0(c≠0) 【例2】(1)1=0，x2=5(2)=2,x2=1 13.(1)2026(2)5 21.2一元二次方程的解法 【变式训练2】石=1=一号 【例3】(1)x=1,x2=2.(2)x=2,x2=4. 第1课时直接开平方法 基础导学 3-E,-5④a=-1a=-是 1.求非负数（或可化为非负数）的平方根 【变式训练3】=3,2=一1. 2.2=a(a≥0)(x十a)2=b(b>0)m(ax十b2=n(a≠课后演练 0,mn≥0) 1.D2.D3.A4.A5.B6.57.=2,2=-7 3.(1)把原方程左边化为完全平方，右边为常数(2)再把平 方项系数化为1(3)开平方取正负，求得方程的解 81西=3，=号2函=号西=一品 典例探究 (3)知=6,2=-1 【例1】C【变式训练1】B :9.(1)知=1,2=3(2)第三边的长为2W2或√10 10.62或10113或-312.=0，=-2. 第3课时配方法 基础导学 1配方直接开平方法a2士2ab十？=(a士b)2和直接开平方 法2.降次两个一元一次方程 3.方程两边同时除以二次项系数将二次项系数化为1常数项 右移方程两边都加上一次项系数一半的平方，将原方程化 为(x十m)2=n的形式开平方求解 典例探究 【】a2552②品￥34号2（④生受 【变式训练1】(1)C(2)土10(3)=2027,2=-2023 【例2】(1)a=2,=-8(2)a=1,西= 【变式训练2)(1)=1+√5,2=1-√5 ②n=3,0=-23通=26=-号 【例3】因为m2-8m+17=m2-8m+16-16+17=(m 4)2十1≥1≠0，所以不论m为何值，该方程都是一元二次方程. 【变式训练3】证明略 课后演练 1C2B3B4C542@是是⑧品 -是（④-2片627a>9 8.(1)0=2-1,2=√2-1(2)1=6+4W2,2=6-4/2 (3)x=-2土√6(4)x1=2,x2=4 9五=9+353 ,w2=9-V353 4 4 10.(1)-23(2)-1-5(3)小大 11.(1)二( a=2+四 x2=2-10 2 12.(1)10(2)-2(3)m=4或m=8 第4课时公式法 基础导学 1z=-b士-ac(-4ac≥0)公式法 2a 2.无实根3.(1)化成一般形式(2)找出系数a、b、c的值 (3)计算b一4ac的值(4)当b一4ac≥0时用公式求出原 方程的根 典例探究 【例1】D 36