21.1 认识一元二次方程-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

第21章 21.1 认识 基 础 导 学 1.整式方程中 ,并且 未知数的最高次数是2，这样的方程叫做一元二 次方程。 2.一元二次方程必须同时满足三个条件： 、只含有一个未知数、 3.一元二次方程的一般形式为 ,其中 是二 次项，a是二次项系数； 是一次项，b是一 次项系数； 是常数项 4.使方程左右两边 的未知数的值 就是这个一元二次方程的 ,也叫做一元 二次方程的解。 5.列一元二次方程 (1)明确题意，设未知数；(2)根据数量关系 用代数式表示未知量；(3)根据等量关系列出一 元二次方程. ★注意： (1)一元二次方程的一般形式有两个特征： ①等式左边是二次三项式，右边是零；②a≠0. (2)要确定一元二次方程的各项系数，必须 先将一元二次方程化为一般形式，特别注意各 项系数必须包括前面的符号， ·2 第21章一元二次方程 二次方程 元二次方程 (3)一元二次方程的一般形式不是唯一的， 但习惯上都把二次项的系数化成正整数. 典例探究 考点①一元二次方程的识别 【例1】下列关于x的方程哪些是一元二 次方程？指出它们的序号 (1)x2-1=0; 2x+h (3)x2+y+1=0;(4)x3-x2-x+1=0; (5)2x(3x-5)=6x2+4; (6)(x-2)(x-3)=5. 规律与方法：判断一个方程是否为一元二次 方程时，先观察其是否属于整式方程，再看其合 并同类项后是否符合“只含有一个未知数，并且 未知数的最高次数是2”， 【变式训练1】下列方程中，属于一元二次 方程的是 () A.x2+2x=x2-1B.1+1-2=0 C.ax2+bx+c=0D.(3x-1)2=2(x-1) 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 考 点2一元二次方程的意义 【例2】a为何值时，方程(a-3)xa-1+ (a+3)x+4=0是一元二次方程. 规律与方法：若某方程为一元二次方程，则其 未知数的最高次数为2，且二次项的系数不能为0. 【变式训练2】(1)当 时，关于 x的方程(k2-1)x2-(k-1)x+1=0是一元二 次方程；(2)当k 时，上述方程是一元 一次方程. 考点3 )一元二次方程的一般形式 【例3】把方程2(x-1)2=3x+3化成 般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和 常数项. 规律与方法：求一元二次方程的各项系数和 常数项，必须先把方程化为一般形式，特别注意 各项系数必须包括前面的符号. 【变式训练3】把方程(2y+1)(3y-2) y2十2化成一元二次方程的一般形式后为 考点④)根据方程的根求待定字母的值 【例4】关于x的一元二次方程x2+mx+ 3=0的一个根是x=1,求m的值， 规律与方法：方程的根一定满足原方程，将 根代入原方程即可得到关于待定字母的等式，从 而求出待定字母的值，此方法叫根的定义法. 【变式训练4】若关于x的方程x2+(m+ 1)x+-0的一个实数根的倒数恰是它本身， 则m的值是 () A多 B. D.1 考点⑤列一元二次方程 【例5】用22cm长的铁丝，折成一个面积 为30cm的矩形，求这个矩形的长和宽各是多 少？（长、宽都为整数） 规律与方法：对于实际问题的近似解，应先 根据实际问题确定其解的大致范围，再通过具体 计算进行两边“夹逼”逐步获得其近似解。 8 【变式训练5】（哈尔滨中考）某种商品原 来每件售价为150元，经过连续两次降价后，该 种商品每件售价为96元，设平均每次降价的百 分率为x,根据题意，所列方程正确的是() A.150(1-x2)=96 B.150(1-x)=96 C.150(1-x)2=96 D.150(1-2x)=96 课后 演练 【基础过关】 1.下列方程中，是关于x的一元二次方程的是 () A.d+2-0 B.ax2+bx+c=0 C.(x-1)(x+2)=1 D.3x2-2xy-5y2=0 2.（重庆中考)学校连续三年组织学生参加义务 植树，第一年共植树400棵，第三年共植树 625棵.设该校植树棵数的年平均增长率为 x,根据题意，下列方程正确的是 () A.625(1-x)2=400B.400(1+x)2=625 C.625x2=400 D.400x2=625 3.(绵阳中考)若x=3是关于x的一元二次方 程x2-号ax。2=0(a>0)的-个根，下面对 a的值估计正确的是 () A.2<a<1 B1<a<号 C.<a<2 n.2<a<号 4.(凉山州中考)若关于x的一元二次方程(a十 2)x2+x+a2-4=0的一个根是x=0,则a的 值为 () A.2 B.-2 C.2或-2 D 第21章一元二次方程 5.将一元二次方程÷x(x一2)=5化为二次项系数 为“1”的一般形式是 ,其中， 一次项系数是 ,常数项是 6.(资阳中考)若a是一元二次方程x2十2x 3=0的一个根，则2a2十4a的值是 7.现有一块长80cm、宽60cm的矩形钢片，将 它的四个角各剪去一个边长为xcm的小正 方形，做成一个底面积为1500cm的无盖的 长方体盒子，根据题意列方程，化简成一般形 式可得 8.方程(m-2)xm-2+(m+1)x+3m-1=0. (1)如果是关于x的一元二次方程，试确定m 的值，并指出二次项系数、一次项系数及常 数项； (2)如果是关于x的一元一次方程，试确定m 的值. 9 指南针·课堂优化·九年纸上册·数学(HS) 9.请你应用一元二次方程根的定义解决下列 问题 一个三角形的两边长分别是3cm和6cm,第 三边长是整数acm,且a满足一元二次方程 x2一8x+12=0,求这个三角形的周长. 【能力提升】 10.若等腰△ABC两边的长分别是一元二次方 13 程x2-22x+120=0的两个解，则等腰 △ABC底边上的高为 11.已知(m-1)xm+11-3x-5=0是一元二次 方程，则m= 12.请阅读下列材料： 问题：已知方程x2十x-1=0,求一个一元二 次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍： 解：设所求方程的根为y,则y=2,所以x=岂 把x一代入已知方程，得（位）°+多-1=0， 化简，得y2+2y-4=0. 故所求方程为y2+2y-4=0. 这种利用方程根的代换求新方程的方法，我 们称为“换根法”. 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要 求：把所求方程化为一般形式)： ·30· (1)已知方程x2+x-2=0,求一个一元二 次方程，使它的根分别是已知方程根的相 反数，则所求方程为： (2)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c =0(a≠0)有两个不等于零的实数根，求一 个一元二次方程，使它的根分别是已知方程 根的倒数， 【创新探究】 已知实数a是方程x2+4x+1=0的根. (1)计算2a2+8a+2028的值； (2)计算1-a-1的值.山原式=6当a=8十1,6=厅-1时，原式=号 12.(1)a=2W2,b=5,c=3√2. (2),a<c<b,且a十c>b,∴.能构成三角形. ∴.周长=2W2+5+3w2=5+5√2 第2课时二次根式的混合运算 基础导学 1.乘方乘除加减2.化简求值 典例探究 【例1】(1)2(2)22-1(3)7 【例2】(1)46-85(2)26-4 【变式训练1】(1)0(2)√2 【变式训练2】(1)-13-22(2)2(3)3【例3】2 【变式训练3】当a=3时，原式=20a√2a=60√6 课后演练 1.B2.C3.B4-15.(1)23(2)号6.1 7.(1)123-60(2)0(3)12/5-203(4)32+1(5)9 8原式=)当x=2y-见时，原式=-罗 2 9.3210.505011.18 12.(1)m2+3m22mm(2)4211(3)a=7或13 专题练习1二次根式的化简求值技巧 【技巧1】1.B2.2 【技巧2】3.原式=6ab, .a=3-√2，b=√3+√2， .原式=6ab=6. 4.-8+25 【技巧3】5.186.-45【技巧4】7.08.2 第20章《二次根式》专题复习 【例1】C【例2】C【例3】±3 【例A【例5】(1)9原-330(2)23 【例6】3【例7】飞机的高度约为3182m 第20章章末测试 1.B2.C3.D4.B5.B6.A7.C8.C9.x>1 10.-万11.号12.73013.14.8+23 15.(1)1-4W(2)-7+2516.4 35 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 17.原式=2y,当x=5+2,y=5-2时，原式=号 【例2】(1)1=4,2=一4；(2)m=3,x2=-3. 2 18.原式=-√a[(a+2-2ab 【例3】(1)=5，x=-1.(2)M=2%=-2 ab a十b=-8,ab=8,∴.原式=-12W2. 3=5=-1.(wa=-号4=- 19.(1)a2=√2，a3=2,an=(W2)m-1. (2)15+15w2. 【变式训练2】（①）a=6,a=-6 第21章一元二次方程 1 21.1认识一元二次方程 (3)x1=√2+5,2=√2-5 基础导学 w6=1+号6=-号 2 1.只含有一个未知数2.整式方程未知数的最高次数是2 3.ax2十bx十c=0(a≠0，a、b、c为常数)a.x2bxc 课后演练 4相等根 1.C2.D3.D4.±75.m≥3 典例探究 6.87.0=2,x2=-1 【例1】(1)、(6)是一元二次方程.【变式训练1】D 8.(1)x1=4,x2=-4.(2)x1=1,x2=-3 【例2】a=一3【变式训练2】≠士1=一1 (3=-日函=3④0西=6=4 【例3】3.x2一24x+1=0,此方程的二次项系数为3，一次项 9.x十y=-3或x+y=-11 系数为一24，常数项为1. 10.(1)10(2)4或23 【变式训练3】5y2-y-4=0【例4】m=-4. 【变式训练4】C【例5】矩形的长为6cm,宽为5cm :11.-3或412.96或0 【变式训练5】C 第2课时因式分解法 课后演练 基础导学 1.C2.B3.B4.A5.x2-2x-15=0-2-15 :1.因式分解两个一元一次方程 6.67.x2-70x+825=0 2.降次至少一个数为0 8.(1)m=4,方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项 4.(2)因式分解(3)两个一元一次方程(4)原方程的 11(2)m=3或m=2 典例探究 9.15cm10.8或√11911.-3 【例1】=4，x2=一4 12.(1)y-y-2=0 【变式训练】五=专=一号 (2)所求方程为：cy2十by十a=0(c≠0) 【例2】(1)1=0，x2=5(2)=2,x2=1 13.(1)2026(2)5 21.2一元二次方程的解法 【变式训练2】石=1=一号 【例3】(1)x=1,x2=2.(2)x=2,x2=4. 第1课时直接开平方法 基础导学 3-E,-5④a=-1a=-是 1.求非负数（或可化为非负数）的平方根 【变式训练3】=3,2=一1. 2.2=a(a≥0)(x十a)2=b(b>0)m(ax十b2=n(a≠课后演练 0,mn≥0) 1.D2.D3.A4.A5.B6.57.=2,2=-7 3.(1)把原方程左边化为完全平方，右边为常数(2)再把平 方项系数化为1(3)开平方取正负，求得方程的解 81西=3，=号2函=号西=一品 典例探究 (3)知=6,2=-1 【例1】C【变式训练1】B :9.(1)知=1,2=3(2)第三边的长为2W2或√10 10.62或10113或-312.=0，=-2. 第3课时配方法 基础导学 1配方直接开平方法a2士2ab十？=(a士b)2和直接开平方 法2.降次两个一元一次方程 3.方程两边同时除以二次项系数将二次项系数化为1常数项 右移方程两边都加上一次项系数一半的平方，将原方程化 为(x十m)2=n的形式开平方求解 典例探究 【】a2552②品￥34号2（④生受 【变式训练1】(1)C(2)土10(3)=2027,2=-2023 【例2】(1)a=2,=-8(2)a=1,西= 【变式训练2)(1)=1+√5,2=1-√5 ②n=3,0=-23通=26=-号 【例3】因为m2-8m+17=m2-8m+16-16+17=(m 4)2十1≥1≠0，所以不论m为何值，该方程都是一元二次方程. 【变式训练3】证明略 课后演练 1C2B3B4C542@是是⑧品 -是（④-2片627a>9 8.(1)0=2-1,2=√2-1(2)1=6+4W2,2=6-4/2 (3)x=-2土√6(4)x1=2,x2=4 9五=9+353 ,w2=9-V353 4 4 10.(1)-23(2)-1-5(3)小大 11.(1)二( a=2+四 x2=2-10 2 12.(1)10(2)-2(3)m=4或m=8 第4课时公式法 基础导学 1z=-b士-ac(-4ac≥0)公式法 2a 2.无实根3.(1)化成一般形式(2)找出系数a、b、c的值 (3)计算b一4ac的值(4)当b一4ac≥0时用公式求出原 方程的根 典例探究 【例1】D 36