阶段提升自测(一)-【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（华东师大版·新教材）

…AB=√B+ (2)若斜边为4，可令另两直角 边分别为3和k.∴.32十2= .AD 42,k2=7,k>0.k=√7； 4 2 若直角边为4，则令斜边为k, √/4b2+a2-a 另直角边为3..42十32=k2, 2 k>0.∴.k=5, (2)用配方法求得： 综上所述：k=√7或k=5. -4b+a2-a 方法技巧专题一元二次方程的解法 2 1.C2.D x2=V46+a-a 3.(1)x1=2+√3，x2=2-√3； 2 正确性：AD的长就是方程的 (②x7+E.=7-E 6 6 正根. 4.D 遗憾之处：图解法不能表示方 5.(1)x1=0,x2=2; 程的负根， 微课堂 (2)=3 23 【示例】一4 【变式】子 5 （8)z=4-号 6.A7.y2-2y-3=0 21.2.3公式法 8.x1=-1,x2=1. 1.A2.C 21.2.4一元二次方程根的判别式 3.4,-3,-2,41,4=3十4厘 1.A2.A3.D 8 4.(1)方程有两个相等的实数根； x2=3-4 (2)方程没有实数根； 8 (3)方程有两个不相等的实数根. 4.3x2+9x-1=0 5.4m-4>1=1<1 5.(1)x1=3,x2=-1;(2)方程无 6.A7.m=5;x1=x2=2. 实数根， 6.D &D2号 7.(1)因式分解法，(2)公式法，过 10.A11.A12.D 程略.x1=3,x2= 3 13.(1)证明：原方程可变形为x2 -5x+6-m=0, 8.D9.A10.A .△=(-5)2-4(6-m)=1十 11.x1=4,x2=-112.2 4ml,又.m≥0，∴.△>0， 13.(1)0=-1+√6，x2=-1√6； .方程总有两个不相等的实 1 (2)x1=12=一29 数根. (2)由题意，得|m=2,∴.m (3)=2+10 3 2=2-10 土2，.原方程为：x2-5x十4 3 =0,解得x1=1,x2=4, 14.有错误，错在没有化成一般形 故m的值为士2，方程的另一 式.正确的结果为x1=一√6十 个根是4. 22,x2=-√6-2√2. 15.(1)证明：b2一4ac=(k-3)2, 141025:@}m+; x= k+3士√/(k-3)2 (2)证明mr+2x+之=0， 2 ,解得 x1=3,x2=k, 这里，a=m,b=2t,c=21, ∴.无论k为何值，此方程总有 一个根是x=3. ∴A=(2)2-4m·2n=4 40 2mn, 阶段提升自测（一） .2= m+=m 1-5 CDCAA 6-8 BCB 9.-310.±√711.1212.0 +n2-2mn=(m-n)2≥0， 13.x1=x2=5 ∴.关于x的“菱系一元二次方 14.(1)x1=2+√5，x2=2-√5； 程”mx+2x+2n=0必有 5 (2)x=2,x=1:(3)= 实数根。 21.2.5一元二次方程的根与 1 系数的关系 15.原方程化为m.x2-(3m-1)x 1.A2.B【变式】2020 +2m-1=0, 4(1)0:(2) 2 5.D 由题意，得m≠0，△=b-4ac =[-(3m-1)]2-4m(2m 6.另一个根是2十√5，c的值是一1. 1)=1,解得m=0(不符合题 7.A8.D9.C10.D 意，舍去)，m2=2,∴.原方程化 11.1412.x2-6.x+6=0 为：2x2-5.x+3=0, 13.(1)k的取值范围为k>-1; (2)1 解得山=1=号 14.（1)证明：，△=[-(2m+1)]2- 16.(1)等腰三角形，理由略； 4(+m)=4m2+4m+1 (2)直角三角形，理由略； 4m2-4m=1>0, (3)x1=0,x2=-1. ∴.无论m取何值时，方程都有 17.(1).△=[-(2k+1)]2-4× 两个不相等的实数根， (2)由题意，得a十b= 1X(分-2)=4级+4+1 -(2m+1)=2m+1, 2k2+8=2k2+4k+9=2(k 1 +1)2+7>0, ab-mitm-m+m. 无论k为何实数，方程总有 1 两个不相等的实数根； (2a十b)(a+2b)=20,即2(a (2)由根与系数的关系得出x1 +b)2+ab=20, ∴.2(2m十1)2十m2十m=20, 十=+1函=2-2. 整理得：m十m一2=0，解得：m x1-x2=3,.(x1-x2)2= =-2,2=1, 9,.(x1十x2)2-4x1x2=9, .m的值为一2或1. 15.(1)5123 (2+1)-4×(号2-2) (2)因为s,t满足2s2一7s+1 =9,化简得k2十2k=0, =0,t2-7t十2=0，且st≠1， 解得k=0或k=-2. 则2()-7·+1=0. 21.3实践与探索 第1课时图形面积问题 所以、和可看成方程2x2 1.B2.7m3.16cm 4.小路的宽应是2m. 7x十1=0的两个根， 5.所围矩形猪舍的长为10m,宽 i=2 为8m时，猪舍面积为80m. 6.√5-17.2 则1一名即1=。2，所8小林应把绳子剪成12m t 和28cm两段； 以 2st+2 7t-2+2 st+31+1= 71一2+3t+1 (2)小峰的说法是对的.理由略. 2 9.(1)36-3x;(2)8米 14 1 13 10.(1):S△m=21(8-21), 41 SAABC-2X4X8=16. 2.A 3.(1)(680一10x);(2)当该种书 2(8-20)=16× 包销售单价为42元或56元 时，销售利润是3120元. 整理得t2-4t十4=0. 4.有盖纸盒的底面边长为8cm. 解得t=2. 5.(1)利用待定系数法易求y与x 答：当t=2s时△PCQ的面积 之间的函数表达式y=一x十 1 为△ABC面积的 100; (2)根据题意得：x(一x+100) L2)当SAo=)SA时 =2500, 24(8-20=16×2, 整理得：x2-100x+2500=0, 解得：x1=x2=50. 整理得t2一4t十8=0， 答：每个拉布布盲盒的售价为 △=(-4)2-4×1×8=-16 50元. <0,此方程没有实数根， 6.(1)(120-2x) ∴.△PCQ的面积不可能是 (2)①由题意得：(x-15)(120 △ABC面积的一半. -2x)=900, 第2课时传播问题和增长率问题 整理得：x2-75x十1350=0， 1.C2.C3.D4.A5.10% 解得：x1=45,x2=30(不符合 6.3月份到5月份营业额的月平 题意，舍去)， 均增长率为20%. 答：该雕花剪纸文创画每幅的 7.C8.D9.D10.B 售价应为45元； 11.20% ②当x=45时，每天销售量为 12.(1)每轮传染中，平均一个人 120一2×45=30（幅）， 传染10个人； ∴.30×0.8=24（元）， (2)按照这样的速度传染，第 答：商家每天通过销售该雕花 三轮将新增1210名感染者. 剪纸文创画捐款24元. 13.任务1： 7.选择方案二 设第一季度到第三季度生产 综合与实践（一）数形结合 量的每季度增长率为x,根据 与方程思想 题意得：200(1+x)2=288, 【理解应用】② 解得x=0.2=20%,x=-2. 【类比迁移】十 (x+x+2) 31 2(不符合题意，舍去)， 答：第一季度到第三季度生产 -4X1+()”= 量的每季度增长率为20%； 【拓展应用】士231或3 任务2： 综合与实践（二）数形规律 设增加a条生产线，则每条生 与方程思想 产线产能为(300一20a)万个/ (1)设S=1+2十3+…十n-1+n 季度，根据题意得：(1十a) ①，由①式倒序：S=n十n一1十… (300-20a)=1200,整理得a +2+1②， -14a+45=0,即(a-5)(a ①+②，得：2S=(n+1)+(n-1 9)=0,解得a1=5,a2=9, +2)+…+(n+1)=n(n十1)， 在增加产能同时要节省投 入成本，.a=5. 2n(n十1)，.前n行的点 答：应增加5条生产线， 第3课时营销与方案问题 数和为2(n十1D: 1.(3+x)0.5x(4-0.5.x) (2)15 (3+x)(4-0.5x)=15 (3)①这个点阵的点数和能是 42阶段提升 [范围：21.1~21.2时 一、选择题（每小题4分，共32分） 1.将一元二次方程一3x2一2=一x化成一般形 式ax2十bx+c=0(a>0)后，一次项和常数项 分别是 A.-1,2 B.x,-2 C.-x,2 D.3x2,2 2.下列方程最适合用因式分解法求解的是 A.(x-1)(x-2)=3B.x2+4x=1 C.x2+3x+1=0 D.x(x-3)=x-3 3.用配方法解方程x2十1=8x,变形后的结果正 确的是 A.(x+4)2=15 B.(x+4)2=17 C.(x-4)2=15 D.(x-4)2=17 4.我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》 中提出一个问题，大意是：一块长方形的田地 面积是864平方步，已知它的宽比长少12步. 问长与宽各多少步？如果设长方形的宽为 步，则列出的方程可以为 A.x(x+12)=864 B.x(x-12)=864 C.x(x+12)=432 D.x(x-12)=432 5.一次函数y=kx十b的图象不经过第二象限， 则关于x的方程x2+k.x+b=0的根的情况是 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.无实数根 D.无法确定 6.已知方程x2一2026x十1=0的两根分别为x1, 2,则2_2026的值为 ℃2 29 自测（一） 1:60分钟分值：100分] A.1 B.-1 C.2026 D.-2026 7.已知关于x的一元二次方程(a-1)x2一2x十1 =0有两个不相等的实数根，则a的取值范围 是 ) A.a>2 B.a<2 C.a<2且a≠1 D.a<-2 8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=a,AC =b.以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交线 段AB于点D,以点A为圆心，AD长为半径 画弧，交线段AC于点E.下列哪条线段的长 度是方程x2+2ax一b=0的一个根( A.线段BC的长 B.线段AD的长 C.线段EC的长 D.线段AC的长 二、填空题（每小题4分，共20分） 9.关于x的方程(m一1)xm+1+m.x一1=0是一 元二次方程，则m的值为 10.若关于x的一元二次方程3x2一3x一2+1=0 的一个根为2，则a的值为 11.已知a为一元二次方程x2一4x十3=0的根， 则以a、a十2、4为三边边长的三角形的周长 为 12.设m,n是方程x2一x一2=0的两根，则(m 1)(n2-1)= 13.在实数范围内定义一种运算“￥”，其规则为 a￥b=a2一2ab十b,根据这个规则求方程(x 一4)￥1=0的解为 30) 三、解答题（共48分） 14.(15分)解方程： (1)x2-4x=1: (2)2x2-7x+5=0. (3)9(x-1)2-4(2-3x)2=0. 15.(9分)已知关于x的一元二次方程mzx2一(3m 一1)x十2m=1(m为常数).如果方程根的判 别式为1，求m的值及该方程的根. 16.(12分)已知关于x的一元二次方程(a十c)x2 +2bx+(a一c)=0,其中a,b,c分别为 △ABC三边的长. (1)如果x=一1是方程的根，则△ABC的形 状为 (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断 △ABC的形状，并说明理由. (3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一 元二次方程的根 17.(12分)已知关于x的一元二次方程x2一(2k +10x+2-2=0. (1)求证：无论k为何实数，方程总有两个不 相等的实数根； (2)若方程的两个实数根1，x2满足x1一x2 =3,求k的值