第20章 专题复习及章末测试-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

第20章二次根式 第20章《二次根式》专题复习 一、知识结构 定义：形如Wa(a≥0)的式子叫做二次根式 Wa)2=a(a≥0)，wa≥0(a≥0) →性质 a(a≥0) a2=|a|= 化简 a(a<0) 二次根式 →Va.b=√ab(a≥0，b≥0) →计算公式 a g(a≥0，b>0) 二次根式的乘除法 √ab=√a·b(a≥0，b≥0) 公式的逆用 a →运算 =a(a≥0，b>0) 6 最简二次根式 >概念 二次根式的加减法 同类二次根式 合并同类二次根式 二、专题精讲 类型一二次根式的意义 【例1】使式子√2-x+√x+3在实数范 规律与方法：一个最简二次根式同时满足两 个条件，即(1)被开方数不含分母；(2)被开方数 围内有意义的x的取值范围是 ( 中的每一个因式的幂指数都小于2，这样它才是 A.x≥-3 B.x≤2 最简二次根式.中考中常以选择题的形式出现， C.-3≤x≤2 D.3<x<2 主要考查考生对该概念的理解程度， 类型三二次根式的非负性 【例3】已知y=√2x-3+√3-2x+5, 规律与方法：形如√a(a≥0)的式子才叫二次 求x十y+的平方根。 根式，两层意义，一是带“√厂”；二是“≥0"有意义. 类型二最简二次根式 【例2】下列根式中，不是最简二次根式的 是 () A.√2 B.√6 C.√⑧ D.√10 ·23· 格南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS)》 规律与方法：考查√a(a≥0)的非负性，常与 类型六二次根式的化简求值 数的绝对值、a的性质一起出现，常利用它们的非 【例6】已知m= 1 ,求1-2m+m2 负性来解决.中考中常以选择、填空、计算的形式 2+√ m-1 出现，考试几率呈上升趋势. √m2-2m十1 的值 m2-m 类型四二次根式的性质的应用 【例4】 化简√4x2-4x+1-(√2x-3)2 得 ( A.2 B.-4x+4 C.-2 D.4x-4 规律与方法：(1)在二次根式√a中，a≥0是不 规律与方法：对二次根式的求值，特别是注 可忽略的重要条件，在很多化简、计算中没有直接 意两个化简，一是化简已知式，二是化简求值式， 给出，往往隐含在题目当中，常称为“隐含条件”； 同时不可忽视字母的值对化简的影响，中考题 (2)对√化简时，首先把它转化成|a的形式，即 中，常以解答题的形式出现. √a=|al,再进行化简，以避免发生错误。 类型七用二次根式解决几何问题 类型五二次根式的运算 【例7】如图，一飞行员在飞机B上用雷达 【例5】计算下列各题： 测得飞机与一个目标城市A的距离c=4.5× (1V2-3v压+2V2号×@， 103m,且测得对这个目标的俯角a=45°，求飞机 的高度a.(结果精确到1m,√2≈1.414) (2)(20√/54-8√24+2√6)÷2√6； 45o0 规律与方法：二次根式的运算包括，乘方、乘 除、加减及它们的混合运算，同时要求在运算中和 结果里对二次根式进行化简，这类问题往往用类比 ”””””””””” 思想借助合并同类项、整式乘除法、乘法公式等求 规律与方法：把实际问题抽象成几何模型， 解.中考中以计算、化简求值的形式出现，主要考 构造几何图形后再进行求解，这是利用几何知识 查对最简二次根式、同类二次根式的理解及运算 解决实际问题的常用思路，体现了数形结合思 的能力. 想，中考中常为解答题 24· 第20章二次报式 第20章 章未测试 一、选择题 图，在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别 1.下列根式.①：@，③v5G-, 记为a,b,c,若a=5,b=6,c=7,则△ABC的面 5 积为 ④√75xy;⑤2√xy;⑥√x2+y;⑦ /2y A.6√6 ( B.63 最简二次根式有 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 C.18 2.(绥化中考)若式子√2m-3有意义，则m的取 n.号 值范围是 () 7.已知a、b、c在数轴上的位置如图所示，则代数 Am≤号 B.m≥-3 式√a-|a+b+√(c-a)+|b+cl的值为 Cm≥ nwe号 () b a 3.（广安中考)下列运算中，正确的是 A.2c-a B.-3a-2b A.3a2+2a2=5a4 B.a9÷a3=a3 C.-a D.a C.√2+√3=√5 D.(-3x2)3=-27x6 8.把(a-b)√ a—b化为最简二次根式，正确的 1 4.在直角三角形中，已知两条直角边长分别为2 √3和52，则它的周长为 结果是 A.4√3+52 A.√b-a B.√a-b B.5√2+23+√62 C.-√b-a D.-√a-b 二、填空题 C.4W3+10W2 D.45+5√2或23+11√2 9.(烟台中考)若代数式 3一在实数范围内有 x-] 5.（乐山中考)已知1<x<2,化简√(x-1)2十 意义，则x的取值范围为 |x-2的结果为 ( A.-1 B.1 107的整数部分为a,小数部分为6，则a-号 C.2x-3 D.3-2x 6.古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九 11.(内蒙古中考)已知x,y是实数，且满足y= 韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式， Vx-2+2x+日，则丘的值是 称为海伦—秦九韶公式：如果一个三角形的 三边长分别是a,6c,记力-8士，那么三角 12.一个直角三角形两直角边长分别为√20cm 和√I2cm,则这个直角三角形斜边上的高为 形的面积为S=√(p一a)(p-b)(p一c).如 cm. 25· 格南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS)》 13.若y-44玉-2，则x+y- 2 18.已知a+b-8,b=8,将b+a√，先 14.若元+√=5+3，√y=√15-3，则x 化简并求值。 十y= 三、解答题 15.计算： 2+4得-3v图： (2)(√5+√6)(W5-√6)-(W5-1)2. 19.如图，设四边形ABCD是边长为1的正方 形，以对角线AC为边作第二个正方形 ACEF,再以对角线AE为边作第三个正方 16.当-1<x<3时，化简√x2-6x+9 形AEGH,如此下去… +√x2+2x+1. (1)记正方形ABCD的边长a1=1,按上述方 法所作的正方形的边长依次为a2,a3,…,an, 求出a2,a3,an的值； (2)计算：a1十a2+a3+…十as的值. 1n.先化简，再求值：+)十 其中x=√5+2，y=√5-2. ·26·山原式=6当a=8十1,6=厅-1时，原式=号 12.(1)a=2W2,b=5,c=3√2. (2),a<c<b,且a十c>b,∴.能构成三角形. ∴.周长=2W2+5+3w2=5+5√2 第2课时二次根式的混合运算 基础导学 1.乘方乘除加减2.化简求值 典例探究 【例1】(1)2(2)22-1(3)7 【例2】(1)46-85(2)26-4 【变式训练1】(1)0(2)√2 【变式训练2】(1)-13-22(2)2(3)3【例3】2 【变式训练3】当a=3时，原式=20a√2a=60√6 课后演练 1.B2.C3.B4-15.(1)23(2)号6.1 7.(1)123-60(2)0(3)12/5-203(4)32+1(5)9 8原式=)当x=2y-见时，原式=-罗 2 9.3210.505011.18 12.(1)m2+3m22mm(2)4211(3)a=7或13 专题练习1二次根式的化简求值技巧 【技巧1】1.B2.2 【技巧2】3.原式=6ab, .a=3-√2，b=√3+√2， .原式=6ab=6. 4.-8+25 【技巧3】5.186.-45【技巧4】7.08.2 第20章《二次根式》专题复习 【例1】C【例2】C【例3】±3 【例A【例5】(1)9原-330(2)23 【例6】3【例7】飞机的高度约为3182m 第20章章末测试 1.B2.C3.D4.B5.B6.A7.C8.C9.x>1 10.-万11.号12.73013.14.8+23 15.(1)1-4W(2)-7+2516.4 35 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 17.原式=2y,当x=5+2,y=5-2时，原式=号 【例2】(1)1=4,2=一4；(2)m=3,x2=-3. 2 18.原式=-√a[(a+2-2ab 【例3】(1)=5，x=-1.(2)M=2%=-2 ab a十b=-8,ab=8,∴.原式=-12W2. 3=5=-1.(wa=-号4=- 19.(1)a2=√2，a3=2,an=(W2)m-1. (2)15+15w2. 【变式训练2】（①）a=6,a=-6 第21章一元二次方程 1 21.1认识一元二次方程 (3)x1=√2+5,2=√2-5 基础导学 w6=1+号6=-号 2 1.只含有一个未知数2.整式方程未知数的最高次数是2 3.ax2十bx十c=0(a≠0，a、b、c为常数)a.x2bxc 课后演练 4相等根 1.C2.D3.D4.±75.m≥3 典例探究 6.87.0=2,x2=-1 【例1】(1)、(6)是一元二次方程.【变式训练1】D 8.(1)x1=4,x2=-4.(2)x1=1,x2=-3 【例2】a=一3【变式训练2】≠士1=一1 (3=-日函=3④0西=6=4 【例3】3.x2一24x+1=0,此方程的二次项系数为3，一次项 9.x十y=-3或x+y=-11 系数为一24，常数项为1. 10.(1)10(2)4或23 【变式训练3】5y2-y-4=0【例4】m=-4. 【变式训练4】C【例5】矩形的长为6cm,宽为5cm :11.-3或412.96或0 【变式训练5】C 第2课时因式分解法 课后演练 基础导学 1.C2.B3.B4.A5.x2-2x-15=0-2-15 :1.因式分解两个一元一次方程 6.67.x2-70x+825=0 2.降次至少一个数为0 8.(1)m=4,方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项 4.(2)因式分解(3)两个一元一次方程(4)原方程的 11(2)m=3或m=2 典例探究 9.15cm10.8或√11911.-3 【例1】=4，x2=一4 12.(1)y-y-2=0 【变式训练】五=专=一号 (2)所求方程为：cy2十by十a=0(c≠0) 【例2】(1)1=0，x2=5(2)=2,x2=1 13.(1)2026(2)5 21.2一元二次方程的解法 【变式训练2】石=1=一号 【例3】(1)x=1,x2=2.(2)x=2,x2=4. 第1课时直接开平方法 基础导学 3-E,-5④a=-1a=-是 1.求非负数（或可化为非负数）的平方根 【变式训练3】=3,2=一1. 2.2=a(a≥0)(x十a)2=b(b>0)m(ax十b2=n(a≠课后演练 0,mn≥0) 1.D2.D3.A4.A5.B6.57.=2,2=-7 3.(1)把原方程左边化为完全平方，右边为常数(2)再把平 方项系数化为1(3)开平方取正负，求得方程的解 81西=3，=号2函=号西=一品 典例探究 (3)知=6,2=-1 【例1】C【变式训练1】B :9.(1)知=1,2=3(2)第三边的长为2W2或√10 10.62或10113或-312.=0，=-2. 第3课时配方法 基础导学 1配方直接开平方法a2士2ab十？=(a士b)2和直接开平方 法2.降次两个一元一次方程 3.方程两边同时除以二次项系数将二次项系数化为1常数项 右移方程两边都加上一次项系数一半的平方，将原方程化 为(x十m)2=n的形式开平方求解 典例探究 【】a2552②品￥34号2（④生受 【变式训练1】(1)C(2)土10(3)=2027,2=-2023 【例2】(1)a=2,=-8(2)a=1,西= 【变式训练2)(1)=1+√5,2=1-√5 ②n=3,0=-23通=26=-号 【例3】因为m2-8m+17=m2-8m+16-16+17=(m 4)2十1≥1≠0，所以不论m为何值，该方程都是一元二次方程. 【变式训练3】证明略 课后演练 1C2B3B4C542@是是⑧品 -是（④-2片627a>9 8.(1)0=2-1,2=√2-1(2)1=6+4W2,2=6-4/2 (3)x=-2土√6(4)x1=2,x2=4 9五=9+353 ,w2=9-V353 4 4 10.(1)-23(2)-1-5(3)小大 11.(1)二( a=2+四 x2=2-10 2 12.(1)10(2)-2(3)m=4或m=8 第4课时公式法 基础导学 1z=-b士-ac(-4ac≥0)公式法 2a 2.无实根3.(1)化成一般形式(2)找出系数a、b、c的值 (3)计算b一4ac的值(4)当b一4ac≥0时用公式求出原 方程的根 典例探究 【例1】D 36