20.3.2 二次根式的混合运算&专题练习1 二次根式的化简求值技巧-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

山原式=6当a=8十1,6=厅-1时，原式=号 12.(1)a=2W2,b=5,c=3√2. (2),a<c<b,且a十c>b,∴.能构成三角形. ∴.周长=2W2+5+3w2=5+5√2 第2课时二次根式的混合运算 基础导学 1.乘方乘除加减2.化简求值 典例探究 【例1】(1)2(2)22-1(3)7 【例2】(1)46-85(2)26-4 【变式训练1】(1)0(2)√2 【变式训练2】(1)-13-22(2)2(3)3【例3】2 【变式训练3】当a=3时，原式=20a√2a=60√6 课后演练 1.B2.C3.B4-15.(1)23(2)号6.1 7.(1)123-60(2)0(3)12/5-203(4)32+1(5)9 8原式=)当x=2y-见时，原式=-罗 2 9.3210.505011.18 12.(1)m2+3m22mm(2)4211(3)a=7或13 专题练习1二次根式的化简求值技巧 【技巧1】1.B2.2 【技巧2】3.原式=6ab, .a=3-√2，b=√3+√2， .原式=6ab=6. 4.-8+25 【技巧3】5.186.-45【技巧4】7.08.2 第20章《二次根式》专题复习 【例1】C【例2】C【例3】±3 【例A【例5】(1)9原-330(2)23 【例6】3【例7】飞机的高度约为3182m 第20章章末测试 1.B2.C3.D4.B5.B6.A7.C8.C9.x>1 10.-万11.号12.73013.14.8+23 15.(1)1-4W(2)-7+2516.4 35 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 17.原式=2y,当x=5+2,y=5-2时，原式=号 【例2】(1)1=4,2=一4；(2)m=3,x2=-3. 2 18.原式=-√a[(a+2-2ab 【例3】(1)=5，x=-1.(2)M=2%=-2 ab a十b=-8,ab=8,∴.原式=-12W2. 3=5=-1.(wa=-号4=- 19.(1)a2=√2，a3=2,an=(W2)m-1. (2)15+15w2. 【变式训练2】（①）a=6,a=-6 第21章一元二次方程 1 21.1认识一元二次方程 (3)x1=√2+5,2=√2-5 基础导学 w6=1+号6=-号 2 1.只含有一个未知数2.整式方程未知数的最高次数是2 3.ax2十bx十c=0(a≠0，a、b、c为常数)a.x2bxc 课后演练 4相等根 1.C2.D3.D4.±75.m≥3 典例探究 6.87.0=2,x2=-1 【例1】(1)、(6)是一元二次方程.【变式训练1】D 8.(1)x1=4,x2=-4.(2)x1=1,x2=-3 【例2】a=一3【变式训练2】≠士1=一1 (3=-日函=3④0西=6=4 【例3】3.x2一24x+1=0,此方程的二次项系数为3，一次项 9.x十y=-3或x+y=-11 系数为一24，常数项为1. 10.(1)10(2)4或23 【变式训练3】5y2-y-4=0【例4】m=-4. 【变式训练4】C【例5】矩形的长为6cm,宽为5cm :11.-3或412.96或0 【变式训练5】C 第2课时因式分解法 课后演练 基础导学 1.C2.B3.B4.A5.x2-2x-15=0-2-15 :1.因式分解两个一元一次方程 6.67.x2-70x+825=0 2.降次至少一个数为0 8.(1)m=4,方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项 4.(2)因式分解(3)两个一元一次方程(4)原方程的 11(2)m=3或m=2 典例探究 9.15cm10.8或√11911.-3 【例1】=4，x2=一4 12.(1)y-y-2=0 【变式训练】五=专=一号 (2)所求方程为：cy2十by十a=0(c≠0) 【例2】(1)1=0，x2=5(2)=2,x2=1 13.(1)2026(2)5 21.2一元二次方程的解法 【变式训练2】石=1=一号 【例3】(1)x=1,x2=2.(2)x=2,x2=4. 第1课时直接开平方法 基础导学 3-E,-5④a=-1a=-是 1.求非负数（或可化为非负数）的平方根 【变式训练3】=3,2=一1. 2.2=a(a≥0)(x十a)2=b(b>0)m(ax十b2=n(a≠课后演练 0,mn≥0) 1.D2.D3.A4.A5.B6.57.=2,2=-7 3.(1)把原方程左边化为完全平方，右边为常数(2)再把平 方项系数化为1(3)开平方取正负，求得方程的解 81西=3，=号2函=号西=一品 典例探究 (3)知=6,2=-1 【例1】C【变式训练1】B :9.(1)知=1,2=3(2)第三边的长为2W2或√10 10.62或10113或-312.=0，=-2. 第3课时配方法 基础导学 1配方直接开平方法a2士2ab十？=(a士b)2和直接开平方 法2.降次两个一元一次方程 3.方程两边同时除以二次项系数将二次项系数化为1常数项 右移方程两边都加上一次项系数一半的平方，将原方程化 为(x十m)2=n的形式开平方求解 典例探究 【】a2552②品￥34号2（④生受 【变式训练1】(1)C(2)土10(3)=2027,2=-2023 【例2】(1)a=2,=-8(2)a=1,西= 【变式训练2)(1)=1+√5,2=1-√5 ②n=3,0=-23通=26=-号 【例3】因为m2-8m+17=m2-8m+16-16+17=(m 4)2十1≥1≠0，所以不论m为何值，该方程都是一元二次方程. 【变式训练3】证明略 课后演练 1C2B3B4C542@是是⑧品 -是（④-2片627a>9 8.(1)0=2-1,2=√2-1(2)1=6+4W2,2=6-4/2 (3)x=-2土√6(4)x1=2,x2=4 9五=9+353 ,w2=9-V353 4 4 10.(1)-23(2)-1-5(3)小大 11.(1)二( a=2+四 x2=2-10 2 12.(1)10(2)-2(3)m=4或m=8 第4课时公式法 基础导学 1z=-b士-ac(-4ac≥0)公式法 2a 2.无实根3.(1)化成一般形式(2)找出系数a、b、c的值 (3)计算b一4ac的值(4)当b一4ac≥0时用公式求出原 方程的根 典例探究 【例1】D 36指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 2v5+2-N语 【能力提升】 9.已知a,b分别是6-√I3的整数部分和小数 部分，那么2a-b的值是 () A.3-√3 B.4-√13 C.√13 D.2+√13 10.已知x,y都为正整数，且√元+√y=√18，则 x十y= 山.先化简，再求值：。6÷(a-26),其中 a=√5+1，b=√3-1. 【创新探究】 12.已知a,b,c满足|a-2√2|+√b-5+(c-3 √2)2=0. (1)求a,b,c的值； (2)试问a,b,c为边能否构成三角形，若能构 成三角形，求其周长；若不能构成三角形，请 说明理由， 18 第2课时 二次根式的混合运算 基 础 学 1.二次根式的混合运算 (1)方法：借助整式乘法、除法、乘法公式及 运算律进行二次根式的混合运算， (2)顺序：先 后 最后 有括号的先算括号内的. (3)注意：运算结果有二次根式的一定为最 简二次根式。 2.求与二次根式有关的代数式的值 (1)原则：先 后 (2)方法：既要化简求值式，又要简化已 知式 (3)注意：化简求值式时，注意字母的取值 范围。 典 究 考点① 二次根式的混合运算 【例1】计算：(1)√2× + 8-8,(2)W3+1D6W3-1)-2-1)2; V2 (3)(2W3+4)÷(W3+1)×_1+63-9 √3+1√3 +√27. 规律与方法：整式乘法的运算法则、运算定 律对二次根式的运算同样适用。 【例2】计算： (1)(5+√2-√6)2-(2-√5+√6)2； (2)(1+√2-√3)(1-√2+√3). 规律与方法：二次根式的混合运算，首先要 注意运算顺序，其次常见的乘法公式要熟练的运 用，如：完全平方公式：(a士b)2=a2士2ab十， 平方差公式：a2一b=(a十b)(a-b)等，最后结 果应化为最简二次根式并合并. 【变式训练1】计算： (1)(-2)°+(-1)2025-√8÷√2+ |-6×31； ·19 第20章二次根式 2vax月-4x√层x1-2 【变式训练2】计算： (1)(W2+3)(√2-5)； (2)(1+√3)(1-√3)(1+2)(1-√2)； x-r+8图 格南针·课堂优化·九年纸上册·数学(HS) 考 点2)求与二次根式有关的代数式的值 【例3】已知a= 1,b= 1 √2-10√2+11 求v画√-√的值 规律与方法：这类题须化简求值式和已知 式，化简后考虑求值方法，化简时注意字母的 取值. 【变式训练3】已知a-3,求7a√8a-4a2 +7a√2a的值. N8a 课后演练 【基础过关】 1.(辽宁中考)下列运算正确的是 () A.√2+√3=√5 B.√2X√5=√10 C.2÷√2=1 D.√(-5)2=-5 2.已知m=1+√2，n=1-√2，则代数式 √m2+n2-3mn的值为 () A.9 B.±3 C.3 D.5 3.若√a+√b与va一√b互为倒数，则 () A.a=6-1 B.a=6+1 C.a+b=1 D.a+b=-1 4.(山西中考)计算：（√2+√3）（√2一√3）的结果 为 5(1秦安中考算5×6-3/得- (2)(内蒙古中考)已知x,y是实数，且满足y= Vx-2+V2-x+8,则/√少的值是 6.若菱形的两对角线分别为(2√5十3√2)和(2 5一3√2)，则菱形的面积为 7.计算： (1)3√⑧（√54-52-26）； (2(甘肃中考)V1-亚×√： (3)(√15+√3-√5)2-（√15-√5+√5）2； 20· w是+1一+份)， (5)(河南中考)W2×50-(1-√3)0. 8先化简再求值(+交2z 2其中x-22,y-2. 【能力提升】 9.如图，数轴上与1W2对应的点分别为A,B,点 B关于点A的对称点为C,设点C表示的数 为x,则x一√21+2的值为 C A B 0 12 10.人们把52≈0.618这个数叫做黄金比，著 名数学家华罗庚优选法中的“0.618法”就应 第20章二次根式 用了黄金比设a-5,6-,记s 1十at1十6s17a+,Sw 1 29,则S-+…+5w 100 11.已知a-b=√5+√3，b-c=√5-√3，求a2+ b+c2-ab-bc-ca的值. 【创新探究】 12.阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的 式子可以写成另一个式子的平方，如3十22 =(1十√2)2.善于思考的小明进行了以下 探索： 设a+b√2=(m+n√2)2（其中a,b,m,n均 为整数)，则有a十b√2的式子化为平方式的 方法 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当a,b,m,n均为正整数时，若a十b√3= (m十n√3)2，用含m,n的式子分别表示a,b, 得a= ,b= (2)利用所探索的结论，找一组正整数a,b, m,n填空： +√3=(+√3)2； (3)若a+4v3=(m十n3)2,且a,m,n均为 正整数，求a的值. 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS)》 专题练习1二次根式的化简求值技巧 技巧①利用二次根式的性质√a= 4.(西宁中考)计算：(W5+3)(W5-3)-(3-1)2. |a化简 1.(内蒙古中考)实数a在数轴上的对应位置如 图所示，则√a2+1+|a一1的化简结果是 十012 A.1 B.2 C.2a D.1-2a 技巧③利用整体代入化简 2.(遂宁中考)实数a、b在数轴上的位置如图所示， 5.已知x=2+5,y=2-√5，则代数式x2+y2 化简a+1-√(b-1)2+√(a-b2, 的值为 6.已知y=12,x+y=-8,则yV后z的 值为 技巧④利用隐含条件化简 7.已知a,b,c是三角形的三边长，化简 √(a-b-c)严-|b-a+c的结果是： 8.已知：y>√3x-2+√2-3x+2,求 技巧2利用乘法公式化简 √y=4y+4+5-3x的值. 2-y 3.(襄阳中考)先化简，再求值：(a+2b)2+(a+ 2b)(a-2b)+2a(b-a),其中a=√3-√2，b= √3+√2. 22·