20.3.1 二次根式的加减-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（华东师大版）

指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 指南针·课堂优化·九年级上册·数学同步参考答案 第20章二次根式 2=号a-<0原式=+日-a=9 第2课时二次根式的除法 基础导学 20.1认识二次根式 【例3】原式=2x-1-|1-2.x=2x-1-(2x-1)=0. 【变式训练4】C【例4】-3a【变式训练5】A a 1.b >≥0，b>02.算术平方根的商√= 第1课时二次根式的概念 课后演练 基础导学 把二次根式被开方数中的分母化去3.分母 1.B2.D3.C4.C5.26.-0.01x-3 典例探究 3.(1)a(2Wa 7.3002a2 典例探究 号8179.10(2)1010.-5 【例1】(1)原式=2；(2)原式=26. 【例1】(1)、(3)、(4)、(6)、(7)是二次根式，而(8)、(9)只有当11.n=一14或-7或-2或512.4c 【变式训练1】(1)3(2)180(3)-2(4)6√15 x≤0和b=0时才是二次根式.【变式训练1】C 13.(1)√7+4W5=2十√5(2)√5-2W6=√3-√2 【例2】 x-2=1 9 【变式训练2】a≤3 【2】z<3:(21<<4:(3z>是： 20.2二次根式的乘除 【3】(号；(28)器 第1课时二次根式的乘法 (4)无实数x使√-x-1有意义. 【变式训练3】（①）号5.(2)E.(3)是a 基础导学 【变式训练2】D 1.√ab被开方数相乘，根指数不变a≥0b≥0√abc 【例3】x=16【变式训练3】二 【例4)】最简二次根式为(2)Vm+m;(6) 4 【例4】7【变式训练4】15 2.va. 【变式训练4】B 课后演练 典例探究 【5】(号压 2)-号压32a 1.D2.B3.B4.A5.x≥-16.x>37.1<c<5 【例1】(1)3；(2)30；(3)30；(4)-20aba;(5)x2+xy; 课后演练 81Dz≤是 (2)-1≤x≤1 (62+6. 【变式训练1】2W万【变式训练2】2 :1.D2.B3.D4.-15.3756.9√6cm 【例2】B【变式训练3】C (3)x=0W-合<x≤} 1.号 (2)-8x 8.(1)3aV6a(2)27 【例3】10/2；(2)2ab√2；(3)10a2c√2ac;(4)63. 9.375 10.16m/s11.6 9.2b-a+1=010.x>≥0且x≠611.012.a=91 【变式训练4】a√-b【例4】3√2>23 第2课时二次根式的性质 课后演练 2√（传）=√景. 基础导学 1.D2.B3.A4.C5.(1)26(2)26.-√14 验证V(信)-√Xx6=V县， (1)a (2)al a-a -√-x7.458.(1)2(2)-12√2(3)-45 n+1 典例探究 9.(1)90W2(2)4√35(3)-5ab√2b 2W(H+)=+√ 【例1】(1)号，(2)28，(3)-6.【变式训练】≥3号 10.(1)53>3W5(2)3-65<3-5√611.B12.6 验证√（十）-√牙 n+2-n-1 (n+1)(n+2) 【例2】(1)5，(2)0；3)元-3.14，(4-3x(5)a-3 1以.这个直角三角形的面积是雪或写 /n十1 Vn(n+D(n+2xix(n+2) 【变式训练2】(1)≤3(2)√2(3)3 14Va十。之=a√a为征意自然数且a≥2， 第3课时 二次根式的有理化 【空武训练】原式-}+√(a--+a,验证+。品-√-√=V√ 基础导学 1.二次根式3.分母 33 :典例探究 【例1】(1)22 (29巨31 【变式训练1】( -2(2a 【例2】(1)一 ，(@而，86a+: ④=m-,()5-1,(61+5. 【变式训练2】A 【例3】(1)4十√3；(2)√95. 【变式训练3】原式=分，解得a=-1,6一3，原式=一 3 课后演练 1.B2.A3.B4.B5.(1)>(2)<63+17.2 8学 (2)5469.(1W5-2(2W2-1 10.311.812.3+2213.(1)Wm-√/n-1(2)9 20.3二次根式的加减 第1课时 二次根式的加减 基础导学 1.最简二次根式被开方数 2.最简二次根式同类二次根式根号前系数根号 被开方数 典例探究 【例1】C【例2】D【变式训练1】B【变式训练2】B 【9B】15/万23v反89+9E 【变式训练3) y2+9 【变式训练4】()了5-25(2Wa+36-号√a 课后演练 1.B2.D3.D4.B5.(1)0(2)2W36.47.4 8①-25(2)6-E9c10.10 34 山原式=6当a=8十1,6=厅-1时，原式=号 12.(1)a=2W2,b=5,c=3√2. (2),a<c<b,且a十c>b,∴.能构成三角形. ∴.周长=2W2+5+3w2=5+5√2 第2课时二次根式的混合运算 基础导学 1.乘方乘除加减2.化简求值 典例探究 【例1】(1)2(2)22-1(3)7 【例2】(1)46-85(2)26-4 【变式训练1】(1)0(2)√2 【变式训练2】(1)-13-22(2)2(3)3【例3】2 【变式训练3】当a=3时，原式=20a√2a=60√6 课后演练 1.B2.C3.B4-15.(1)23(2)号6.1 7.(1)123-60(2)0(3)12/5-203(4)32+1(5)9 8原式=)当x=2y-见时，原式=-罗 2 9.3210.505011.18 12.(1)m2+3m22mm(2)4211(3)a=7或13 专题练习1二次根式的化简求值技巧 【技巧1】1.B2.2 【技巧2】3.原式=6ab, .a=3-√2，b=√3+√2， .原式=6ab=6. 4.-8+25 【技巧3】5.186.-45【技巧4】7.08.2 第20章《二次根式》专题复习 【例1】C【例2】C【例3】±3 【例A【例5】(1)9原-330(2)23 【例6】3【例7】飞机的高度约为3182m 第20章章末测试 1.B2.C3.D4.B5.B6.A7.C8.C9.x>1 10.-万11.号12.73013.14.8+23 15.(1)1-4W(2)-7+2516.4 35 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 17.原式=2y,当x=5+2,y=5-2时，原式=号 【例2】(1)1=4,2=一4；(2)m=3,x2=-3. 2 18.原式=-√a[(a+2-2ab 【例3】(1)=5，x=-1.(2)M=2%=-2 ab a十b=-8,ab=8,∴.原式=-12W2. 3=5=-1.(wa=-号4=- 19.(1)a2=√2，a3=2,an=(W2)m-1. (2)15+15w2. 【变式训练2】（①）a=6,a=-6 第21章一元二次方程 1 21.1认识一元二次方程 (3)x1=√2+5,2=√2-5 基础导学 w6=1+号6=-号 2 1.只含有一个未知数2.整式方程未知数的最高次数是2 3.ax2十bx十c=0(a≠0，a、b、c为常数)a.x2bxc 课后演练 4相等根 1.C2.D3.D4.±75.m≥3 典例探究 6.87.0=2,x2=-1 【例1】(1)、(6)是一元二次方程.【变式训练1】D 8.(1)x1=4,x2=-4.(2)x1=1,x2=-3 【例2】a=一3【变式训练2】≠士1=一1 (3=-日函=3④0西=6=4 【例3】3.x2一24x+1=0,此方程的二次项系数为3，一次项 9.x十y=-3或x+y=-11 系数为一24，常数项为1. 10.(1)10(2)4或23 【变式训练3】5y2-y-4=0【例4】m=-4. 【变式训练4】C【例5】矩形的长为6cm,宽为5cm :11.-3或412.96或0 【变式训练5】C 第2课时因式分解法 课后演练 基础导学 1.C2.B3.B4.A5.x2-2x-15=0-2-15 :1.因式分解两个一元一次方程 6.67.x2-70x+825=0 2.降次至少一个数为0 8.(1)m=4,方程的二次项系数为2，一次项系数为5，常数项 4.(2)因式分解(3)两个一元一次方程(4)原方程的 11(2)m=3或m=2 典例探究 9.15cm10.8或√11911.-3 【例1】=4，x2=一4 12.(1)y-y-2=0 【变式训练】五=专=一号 (2)所求方程为：cy2十by十a=0(c≠0) 【例2】(1)1=0，x2=5(2)=2,x2=1 13.(1)2026(2)5 21.2一元二次方程的解法 【变式训练2】石=1=一号 【例3】(1)x=1,x2=2.(2)x=2,x2=4. 第1课时直接开平方法 基础导学 3-E,-5④a=-1a=-是 1.求非负数（或可化为非负数）的平方根 【变式训练3】=3,2=一1. 2.2=a(a≥0)(x十a)2=b(b>0)m(ax十b2=n(a≠课后演练 0,mn≥0) 1.D2.D3.A4.A5.B6.57.=2,2=-7 3.(1)把原方程左边化为完全平方，右边为常数(2)再把平 方项系数化为1(3)开平方取正负，求得方程的解 81西=3，=号2函=号西=一品 典例探究 (3)知=6,2=-1 【例1】C【变式训练1】B :9.(1)知=1,2=3(2)第三边的长为2W2或√10 10.62或10113或-312.=0，=-2. 第3课时配方法 基础导学 1配方直接开平方法a2士2ab十？=(a士b)2和直接开平方 法2.降次两个一元一次方程 3.方程两边同时除以二次项系数将二次项系数化为1常数项 右移方程两边都加上一次项系数一半的平方，将原方程化 为(x十m)2=n的形式开平方求解 典例探究 【】a2552②品￥34号2（④生受 【变式训练1】(1)C(2)土10(3)=2027,2=-2023 【例2】(1)a=2,=-8(2)a=1,西= 【变式训练2)(1)=1+√5,2=1-√5 ②n=3,0=-23通=26=-号 【例3】因为m2-8m+17=m2-8m+16-16+17=(m 4)2十1≥1≠0，所以不论m为何值，该方程都是一元二次方程. 【变式训练3】证明略 课后演练 1C2B3B4C542@是是⑧品 -是（④-2片627a>9 8.(1)0=2-1,2=√2-1(2)1=6+4W2,2=6-4/2 (3)x=-2土√6(4)x1=2,x2=4 9五=9+353 ,w2=9-V353 4 4 10.(1)-23(2)-1-5(3)小大 11.(1)二( a=2+四 x2=2-10 2 12.(1)10(2)-2(3)m=4或m=8 第4课时公式法 基础导学 1z=-b士-ac(-4ac≥0)公式法 2a 2.无实根3.(1)化成一般形式(2)找出系数a、b、c的值 (3)计算b一4ac的值(4)当b一4ac≥0时用公式求出原 方程的根 典例探究 【例1】D 36指南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 20.3 二次根式的加减 第1课时 二次根式的加减 【变式训练1】下列二次根式中，与3是同 类二次根式的是 () 基础 导学 A.√28 B.N27 C.√24 D.0.3 1.同类二次根式：二次根式化成 【变式训练2】 下列二次根式中能与2√3 后，如果 相同，则称这些二次根式 合并的是 () 为同类二次根式 A.√⑧ 1 B. C.√18D.√9 2.二次根式加减法法则：先把式中的二次 二次根式的加减法 根式化成 ,再合并 考点2 【例3】计算： 注意：同类二次根式的合并是 1)2V2-9√27 +3√48； 合并，而 和 都不变 (2)号z+6√-2xF 典 例探究 3a5-2-V语-厉 考点①同类二次根式的识别 2 【例1】在二次根式①√2：②√23，③，√3； ④√27中，与3是同类二次根式的是 ( A.①③ B.②③ C.①④ D.③④ 规律与方法：要判断几个二次根式是否为同 类二次根式，须把它化成最简二次根式后再作出 判断. 【例2】若222与 2a-3可以进行 4 合并，则a的值是 A9 B哥 D. 规律与方法：两个二次根式可以合并，说明 它们是同类二次根式。 16· 第20章二次根式 规律与方法：二次根式的加减法一般可按以 2.下列二次根式中，能与√6合并的二次根式的 下步骤进行：(1)将每一个二次根式都化为最简 是 () 二次根式；(2)原式中若有括号，要先去括号，再 A.√12 B.√/18 应用加法交换律、结合律将同类二次根式结合在 一起；(3)合并同类二次根式. C.√30 n得 【变式训练3】已知四边形ABCD四条边 3.下列各组根式中为同类二次根式的是() 100 A.2a3/bc和2a√bc 的长分别为√50，V历，13v0.5√g,它的周 B.-√xy和-√x2y 长是 C.0.36和√0.6 【变式训练4】计算： D名ac和6√得 a (1)(√45+√27)- √1号+125 4.等腰三角形两条边长分别为√⑧和5√2，那么 这个三角形的周长等于 () A.9√2 B.12√2 C.9√2或12√2 D.4+5√2或2/2+10 ②a+v西-v8-b 5.(1)wW18+√2-√32=； (2)(哈尔滨中考)计算，5+3√得的结果是 6.若最简二次根式3√2m+5与5√4m-3可以 合并，则m= 又已知后2则上的做等于一 8.计算： 课后演练 (-3》-m+1-@ta2 【基础过关】 1.(通辽中考)下列运算结果正确的是 ( A.4xy-3xy=1 B.(-a2)3=-a6 C.√/(-5)2=-5 D.√3+√12=√/15 ·17· 格南针·课堂优化·九年级上册·数学(HS) 2v5+2-层6 第2课时 二次根式的混合运算 基 础导 学 1.二次根式的混合运算 【能力提升】 (1)方法：借助整式乘法、除法、乘法公式及 运算律进行二次根式的混合运算， 9.已知a,b分别是6-√I3的整数部分和小数 (2)顺序：先 后 最后， 部分，那么2a-b的值是 （) 有括号的先算括号内的. A.3-√3 B.4-√/13 (3)注意：运算结果有二次根式的一定为最 C.√/13 D.2+√13 简二次根式. 10.已知x,y都为正整数，且√元十√y=√18，则 2.求与二次根式有关的代数式的值 x十y= (1)原则：先 后 1先化简，背求值：。：包2。少)其中 (2)方法：既要化简求值式，又要简化已 知式 a=√3+1，b=√3-1. (3)注意：化简求值式时，注意字母的取值 范围. 典 例 究 考点① 二次根式的混合运算 【例1】计算：(1)√2× +园 【创新探究】 8-8,(2)W3+1D3-1)-(2-1)'; √2 12.已知a,b,c满足|a-2√2|+√b-5+(c-3 (3)(2W3+4)÷(W3+1)×1+63-9 3+1√3 √2)2=0. +√27. (1)求a,b,c的值； (2)试问a,b,c为边能否构成三角形，若能构 成三角形，求其周长；若不能构成三角形，请 说明理由 ·18·