湖北荆州市江陵中学2025-2026学年高二下学期数学试题五

江陵中学2025-2026学年高二下学期 数学试题五 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分。每小题给出的四个选项中，只 有一个选项是正确的 1.已知集合A=1,2,3,4,5},B={3,4,5,6}，,则在AOB的所有子集中，恰有2个元素的集 合个数为() A.3 B.6 C.10 D.15 2.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，若出现的点数为3的倍数得10分，否则得1分，则得 分X的均值E(X)=() A.3 B.4 C.6 D.8 3.在(V-2的展开式中，x2的系数为() A.-10 B.10 C.-80 D.80 4.荆州马拉松活动中，将5名志愿者分配到4个服务点参加志愿工作，每人只去1个服 务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有() A.60种 B.120种 C.240种 D.360种 5.函数f(x)=m+br-2在x=1处取得极大值-1，则f(x)的单调增区间为() 1" A.(-0,1),(2,+0) B.(0,1),(2,+∞) C.(0,1)U(3,+0) D.(0,1),(3,+o) 6.现有4道四选一的单选题，学生张君对其中3道题有思路，1道题完全没有思路；有思 路的题做对的概率为子，没有思路的题只好随机猜一个答案.张君从这4道题中随机选择 2道题作答，则2道题都答对的概率为() A8 R身 c 9 D 7.由0,2,4,6组成允许有重复数字的自然数，将所得的自然数按照从小到大的顺序排成一 列，构成无穷数列{4}，4=0,4=2，…，若4=2026，则n=（) A.64 B.65 C.72 D.73 8.过点ML,m可以作3条直线与函数y=血的图象相切，则实数m的取值范围是（) A. 1e2-1 B. 14e2-1 e 2e e2e 3 3 C.(0, 2-1 2e3 D.(0, e2-1 2e3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 第1页，共12页 9.下列说法正确的有() A.利用残差图分析模型的刻画效果，若残差比较均匀的分布在以取值为0的横轴为对 称轴的水平带状区域内，则说明该模型刻画数据的效果较好 B.可以用决定系数R来比较两个模型的拟合效果，R越大模型拟合效果越好 C.己知样本数据x,x2,…,xn的方差为4，则数据2x+30,2x2+30,2xn+30的标准差 是4 D.设两个变量的样本相关系数为？，则r越大其线性相关程度越强 10.已知袋子中有α个红球和b个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法正确的是 () A.每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第2次摸到红球的概率为 atb B.每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下，第2次 摸到红球的概率为a-】 a+b-1 C.每次摸出1个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸n次后，摸到红球的次数X 的方差为a tb D.从中不放回摸n(n≤a)个球，摸到红球的个数X=k的概率是 P(x=k)=Cc C以+ 11.设9是非零实数，定义“9-组合数：(n),=1+q+q+…+q”,“g-阶 乘：(ng=1)(2)。…(n),规定(0)g=1,“g-组合 (n) 数kn- ,,(k∈NneN,k≤m.则下列说法正确的有() 4 A. =35 2 B.1,2 (n+1 (nn C. D.m m)a m- (q≠1) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.已知随机变量XN(2,o2),且P(1.5<X≤2.5)=0.3，则P(X>2.5)= 13.如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s等可能地向左或向右移 动一个单位，则移动6次后质点位于4的位置的概率是() 65-43-290123456 B.32 5 C.32 7 9 D.32 第2页，共12页 14.已知P是函数y=2e图象上任意一点.若点2的坐标(x,y)满足： e2x--1-n(2x-y)≤1，则P②的最小值为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知-=4+a+ar+…+a,reN)且a=7. (1)求二项式系数最大的项： （2)求2g+24++2"an的值. 16.某商店为调查某种商品销售单价对销售量的影响，统计了5天的销售单价x(元/千 克)和销售量y(千克)之间的一组数据如下表所示： 第i天 4 销售单价x 18 19 20 21 22 销售量为 22 18 16 14 10 (1)试根据这5天的销售数据，建立y关于x的回归直线方程： (2)若该商品进货单价为15元/千克，试确定销售单价，使每天销售该商品的利润最 大.（精确到0.1元/千克） 昏考公式：经验归直线方程：+元，其中6空一可少 ,a=y-标」 8-可 17.某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加 体育锻炼的次数，现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表： ·周参加体育锻炼次数 0 3 4 6 7 合计 男生人数 3 2 2 5 6 5 4 3 30 女生人数 9 3 6 4 J 1 30 合计 12 4 5 11 10 8 6 4 60 (1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不 经常锻炼”.请完成以下2×2列联表，并依据小概率值=0.1的独立性检验，能否认为性 别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； 不经常锻炼 经常锻炼 合计 男生 女生 合计 第3页，共12页 (2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥 胖等诸多健康问题.以样本频率估计概率，在全校抽取3名同学，其中“极度缺乏锻炼”的 人数为X,求分布列和D(X): (3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生 活习惯，在样本的10名“运动爱好者中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人 数为Y,求Y的分布列和数学期望， 附：X= n(ad-be) n=a+b+c+d (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 18.已知椭圆c+1(a>b>0)的离心率为V3 ，且经过P15 过D(1,0)的 2 2 直线1与椭圆C相交于A,B两点. (1)求椭圆C的标准方程： (2)设点M(4,O),记直线MA,MB的斜率分别为k,k2,证明k+k为定值 19.2”(n∈N,n≥3)名选手参加某项“1对1的趣味游戏比赛，采用如下赛制：第1轮将2 名选手两两随机配对进行比赛并决出胜负，败者被淘汰，胜者进入第2轮；第2轮将2-1 名选手两两随机配对进行比赛并决出胜负，败者被淘汰，胜者进入第3轮；，以此类 推，直到最终决出冠亚军。假设每名选手在任何一场比赛中获胜的概率均为·甲、乙是 其中2名选手， (1)当n=3时，求甲、乙在第2轮比赛中相遇的概率： (2)当n=k(k≥4)时，求甲、乙在第4轮比赛中相遇的概率： (3)求甲、乙2人在比赛中相遇的概率. 第4页，共12页 参考答案 1.【答案】A 【详解】因为A={1,2,3,4,5},B=3,4,5,6},所以A∩B={3,4,5}, 在A⌒B的所有子集中，恰有2个元素的集合为3,4，{3,5}，{4,5} 故选A. 2.【答案】B 【详解】根据题意，X可能取值为：1,10，骰子的点数为1,2,3,4,5,6， 其中3的倍数为3和6，共2个，所以P(X=10)=。3 21 其中不是3的倍数为1,245，所以P(X=1)=4子， 6-31 24 gx=101 故选B 3.【答案】A 【分析】根据给定条件，利用二项式定理求出x的系数 【详解】在(-2的展开式中，x2项为C()4.(-2}--10x2, 所以x2的系数为-10， 故选：A 4.【详解】将5名志愿者分配到4个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个 服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有CA4=240种， 故选C 5.【答案】B 【详解】因为)=ax+mx名，了)=a+ ,b,22+bx+2 x2 因为在x=1处取得极大值-1， 10=a-2-10,解得-1、 [f'(1)=a+b+2=0 所以 b=-3 故)=xr子定义域为xc01四， 闭=1-222 x 当x∈(0,1)时，f(x)>0,f(x)单调递增 当x∈(1,2)时，f'(x)<0,f(x)单调递减： 当x∈(2，+o)时，f(x)>0,f(x)单调递增： 第5页，共12页 故f(x)的单调增区间为(0,1)，(2，+o) 故选B 6.【答案】A 【详解】P=」 故选A 7.【答案】C 【详解】将1位数、2位数补成3位数，比如将6看成006，将24看成024， 由乘法原理知，由1个、2个、3个数字组成的数有4×4×4=64个， 数列中的四位数按照从小到大的顺序排列： 2000,2002,2004,2006,2020,2022,2024,2026,·, 所以2026是第64+8=72项. 故选C 8.【答案】D 【详解】设过点ML,m的直线与函数y=血x的图象相切于，>0， 2 对福数g求#，y1,则切线方起：y贸(x心， 将M0,心代入得：m-=加，化简：m=0+2 n 设f(x)=1-血x-+2x血，则 x2 1-1+2nx+2x2-2x0-lnx-x+2wmx） f(x)=x (x-1)3-2lnx), 当0<x<1或x>e时，f'(y)<0,故f(y在(0，)和e,+o)上单调递减： 当1<x<e时，f()>0,故f(e)在Q,e)上单调递增： 故f()极小值为f0=0,极大值为f)-4e-1, 3 因x→0+，f()→+o,当x→+时f(x)→0，作出f(x)的示意图 y=m y=f(x) 01 3 由题意，直线y=m与y=(9的图象有3个公共点等价于0<m<4c31 2e3 故选D. 第6页，共12页 9.【答案】ABC 【详解】对于A：在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模 型比较合适，故A正确： 对于B:决定指数R来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好，故B正 确： 对于C:样本数据x1,2,,xm的方差为4，则数据2x1+30,2x2+30,,2xn+30的方差为 22×4=16,故标准差为4，故C正确： 对于D:相关系数的绝对值的大小越接近于1，两个变量的线性相关性越强，反之，线性 相关性越弱，因此D选项错误； 故选ABC 10.【答案】ABD 【详解】对于A选项，记事件A:第一次摸红球，事件A:第一次摸蓝球，事件B:第二 次摸红球， P(B)=P(AB)+P(4B)=-axa-1bx a a a+b*a+b-1a+ba+ba+b,A对： 对于B选项，每次摸1个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第1次摸到红球的条件下， 第2次摸到红球的概率为P(84)=a-1 a+b-1,B对： a 对于C选项，由题意可知X~Bn, ,则D(K)=nx-ax b nab a+b) a+6a+b(a+b,C错： 对于D选项，从中不放回摸n(n≤a)个球，摸到红球的个数X=k的概率是 PX=-cS,D对 故选ABD 11.【答案】AC 【详解】对于A,(1)2=1,(2)2=1+2=3,(3)2=1+2+4=7,(4),=1+2+4+8=15, (2)2=(0)2(2)2=1×3=3,(4)2=(0)2(2)2(3)2(4)2=1×3×7×15, 4 (4,Lx3×7x15-35,故A正确： 22(22(22 3×3 (n 对于B,由定义知， 故B错误； 对于C,(0n),=1+1+…+11=n,(1=(),(2),…）=1x2××n=l, n (n n! 所以，片a以u-】C n+-n+n） 因为C=C+c,即m人m1m-以，故c正商： 第7页，共12页 4 对于D,由上述 2 =7代入D并不成立，故D错误 故选AC. 12【客案】03s/8 【详解】因为P(1.5<X≤2.5)=0.3，所以P(2<X≤2.5)=0.3÷2=0.15， 故P(X>2.5)=0.5-P(2<X≤2.5)=0.5-0.15=0.35 13.【详解】质点移动6次，可能的结果共有2×2×2×2×2×2=64种情况， 质点位于4的位置则质点向左移动1次，向右移动5次，共C。=6种情况， “质点位于4的位置的概率为P=6=3 6432 14.【答案】35 5 【详解】易证e≥x+l,nx≤x-1(x>0)(后续提供证明)， 所以e2x--1≥2x-y,ln(2x-y)≤(2x-y)-1, 由不等式的性质知e2-1-n(2x-y)≥1，当且仅当2x-y-1=0时取等号， 结合已知可得e2--n(2x-y)=1,此时2x-y-1=0,即点9在直线2x-y-1=0上运 动. 设与2x-y-1=0平行的直线与y=2e*相切于点P(,2c),令y1k。=2e0=2得x=0, 故切点为P(0,2),由图知其到直线2x-y-1=0的距离d=35,即为P℃的最小值 5 -1 下证：e≥x+1,hnx≤x-1(x>0). 证明：设f(x)=e-(x+1),则f'(x)=e-l, 当x<0时，f"(x)<0,当x>0时，f"(x)>0, 故函数f(x)=e*-(x+1)在(-∞，0)上单调递减，在(0，+∞)上单调递增. 故f(x)≥f(0)=0,即e≥x+1得证. 又设8)=hx-(x-1),则g'x)=1-1=1- ,当0<x<1时，g')>0, 当x>1时，g'(x)<0,故函数8(x)=nx-(-1)在(0,1)上单调递增，在(1，+o)上单调递减. 故g(x)≤g)=0,即lnr≤x-1得证. 第8页，共12页 15【路】)设 (2)-1 【详解】)1-展开式通项为工=c1(-C(x。 令=2.雪=c(",所以0-7，r-n-6-0, 8 结合neN,故n=8. 二项式系数最大的项为第5项I,=( 2)在44ar+a中8 分别令x=0得：a。=1, 令x=2,则+2%+24+…+2a4=0, 所以24+2☑+…+2"an=-1. 16.【答案】(1)少=-2.8x+72 (2)当销售单价为20.4元/千克时，销售该商品有最大利润 【详解】(1)由x=20,下=16， f代入公式，6-2k6+6240x0+121x6-238-28 （-2)+(-1)+02+12+22 10 则à=16+2.8×20=72，故回归直线方程为少=-2.8x+72. (2)由(1)知，利润f(x)=(x-15)(-2.8x+72)=-2.8x2+114x-1080, 由二次函影的性质加。当=4.204时问录大， 2×2.8 所以当销售单价为20.4元/千克时，销售该商品有最大利润. 17.【答案】(1)列联表见解析，性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； （②)分布列见解析、n()=号 (3)分布列见解析，期望为21. 【详解】(1)根据统计表格数据可得列联表如下： 锻炼 性别 合计 不经常 经常 男生 > 23 30 第9页，共12页 女生 14 16 30 合计 21 39 60 零假设为H。：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关； 根据列联表的数据计算可得 60(7×16-23×14)260×7×30}14 ≈3.5902.706， 21×39×30×30 21×39×30×3039 根据小概率值α=0.1的独立性检验，推断H不成立， 即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1 (2)因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故X近似服从二项分布， 易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼'者的概率p= 121 605 即可得X~ r-=)周=o123 px-o-c图g(x--c周器 Px--c品px--e〔这 故所求分布列为 X 0 1 2 3 64 48 12 1 125 125 125 125 故D(X)=3×亏x525 1、412 （3)易知10名“运动爱好者有7名男生，3名女生， 所以Y的所有可能取值为0,1,2,3，且Y服从超几何分布： P(Y=0)= P(Y=1)= cc.21.7 1201 C。120401 pW-2= C9C_21×3_21 120-40' P(Y=3)= C312024 故所求分布列为 Y 0 2 3 1 7 21 7 120 40 40 24 可得E(Y)=0× 。+1x乙+2x2+3 73×7=2.1. 12 40 40 2410 第10页，共12页 18【容案】D千y-1 (2)见详解 【详解】(1)由题意得：e=S-5,又d=2+c,敢a=46 又因为经过P 6是 将点带入椭圆方程：1 b2=1,2=4,椭圆方程为： +y2=1. 4 (2)若直线AB的斜率为0，则k+k=0, 当若直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为：x=y+1,A(:,乃)，B(6,2) x=y+1 联立方程可得： 2+2=16+42+2-3=0, 4 -2t -3 则△>0，由韦达定理可知：乃+为产+4？52+4 居+6=”+少，=出+2y-3y+马) x-4x3-4-3少2-3y-3)y2-3) -6t-32=0, 20,-3(y+为)=2+43P+4 综上：故k+k=0. 19.【答案】1)4 1 (2)8(2-) 3)品 【详解】(1)当n=3时，共8人，第一轮甲共有7种配对方式， 故甲乙分在一组的概率为， 甲乙在第2轮相遇，则甲、乙第一轮不在一组且均晋级，其概率为 同理，第2轮甲乙同一组的概率为： 故甲乙在第2轮比赛相遇的概率为3×11 14314 (2)当n=k时共有2*人，第i轮，某特定对象有2-+1-1种配对方式. 第11页，共12页 甲乙在第4轮相遇，则甲乙需在前3轮不相遇且均晋级. 1）12-1-1 第1轮甲乙不相遇且均晋级的概率为1- 2-1422*-1)1 2-1-12k-1-212-2-1 第2轮甲乙不相遇且均晋级的概率为 (2*-12-1-1442-1' 2-1-22-2-212-3-1 第3轮甲乙不相遇且均晋级的概率为 82*-1）2-2-148(2-1）' 2-3-11 1 故甲乙在第4轮比赛中相遇的概率为82*-)2182-可 (3)共有2人，甲、乙在第1轮相遇的概率为2一： 1 片 1 甲乙在第2轮相遇的概率为 甲乙在第3轮相遇的概率为 0月 1 以此类推，甲乙在第1轮相遇的概率为：2(2”-' 收甲乙相遇的联宰率为：P21+号) 第12页，共12页