湖北省襄阳市第四中学2025-2026学年高二下学期数学测试五

襄阳四中2024级高二下学期数学测试五 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在求解平均变化率时，自变量的变化量应满足     A. B. C. D. 可为任意实数 2.下面求导正确的是    A. B. C. D. 3.设点为函数图象上的任意一点，点处的切线的倾斜角为，则角的取值范围是     A. B.   C. D. 4.直线是曲线的一条切线，则     A.                             B. C.              D. 5.已知函数，方程解的个数有两个，则的取值范围为     A. B.          C. 或 D. 6.已知数列满足，，，记，为数列的前项和，则     A.                          B. C.         D. 7.在数学中，我们把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的不等式称为同构不等式．若关于的方程和关于的方程可化为同构方程，则的值为     A. B. C. D. 8.已知点满足：，是函数图象上任意一点，则的最小值为    A. B.                          C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.多选下列说法正确的是     A. 曲线的切线和曲线可能有两个交点 B. 过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点 C. 若不存在，则曲线在点处无切线 D. 在点处有切线，不一定存在 10.已知直线，圆，则下列说法正确的是     A. 直线与圆相交 B. 直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为  C. 若圆上恰有三个点到直线的距离等于，则这样的直线有两条 D. 若，是圆上任意一点，则 11.函数的图象是由函数，与函数，的图象“拼接”而成．则下列说法正确的有     A. B. 若，则 C. 若有三个零点，则 D. 若关于的方程存在实数解，则实数满足或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.设等比数列的前项和为，若，则实数           ． 13.已知函数既有极大值又有极小值，则实数的取值范围为           ． 14.函数在区间上存在零点，则的最小值为           ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.已知函数． 求函数在区间上的最大值和最小值参考数据：； 若不等式有解，求实数的取值范围． 16.如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，． 求证：，，，四点共面； 设，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 正项等差数列和等比数列满足． 求数列，的通项公式； 若数列，，求最大整数，使得． 18. 已知椭圆过点，两个焦点坐标分别为． 求椭圆的方程． 已知为椭圆上异于的两点，且直线与轴围成一个以为顶点的等腰三角形． 求证：直线的斜率为定值； 求面积的最大值． 19.已知函数． 求在上的最大值； 求证：恒成立； 若都有恒成立，求的最大值． 参考答案 1.【答案】  【解析】因平均变化率为，故． 2.【答案】  【解析】解：选项A：因为是常数，常数的导数为，所以，A错误； 选项B：根据三角函数导数公式，，B错误； 选项C：指数函数的导数公式为，故，C错误； 选项D：对数函数的导数公式为，所以，D正确． 3.【答案】  【解析】解：已知函数，对其求导得． 令，则， 即，解得． 由，得， 因为，所以，则， 即切线斜率． 因为，且， 所以由，得． 4.【答案】  【解析】【分析】由导数的几何意义，根据直线的斜率求出切点的坐标，代入，求得的值． 【详解】由，得，其斜率为． 由，得． 设切点坐标为， 则，得，． 所以切点为． 代入，得，． 5.【答案】  【解析】解：因为，所以， 令，解得 令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数有最小值，且． 又时，，时，， 如图所示： 方程有个实数根时， 只需直线与函数的图象有两个交点． 要满足题意，实数的取值范围为． 6.【答案】  【解析】解：设，则。由递推公式，两边取以为底的对数得： ，即。 由得；由得。 计算的前项： 时，； 时，； 时，； 时，； 时，。 由，则。 展开得： 。 代入，，，，，，： 。 7.【答案】  【解析】解：对的两边同时取自然对数，得 对的两边同时取自然对数， 得， 即 因为方程为同构方程，所以，解得． 设，则， 所以在上单调递增， 所以方程的解只有一个，所以， 所以． 故选：． 8.【答案】  【解析】解：设，， 设，求导得， 函数在上都递增， 则函数在上单调递增，而， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 由，得，即， 则，点在直线上运动， 设平行于直线的直线与相切于点， 由求导得， 则，解得， 因此切点为，的最小值为点到直线的距离． 故选A 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键在于学生对导数概念的理解，是中档题． 举例说明判断选项A，正误；由说明C错误，D正确． 【解答】 解：对于，曲线的切线和曲线可能有两个交点， 如曲线在处的切线与曲线有另外一个交点； 对于，过曲线上的一点作曲线的切线，这点不一定是切点， 如经过曲线上一点但是不是在该点与曲线相切而是在其他地方相切， 比如与相切于点，同时经过点另外一点， 我们就可以说过点的直线与曲线相切， 但切点是而不是； 对于和，如，函数图象为以原点为圆心，为半径的上半圆， 此时在点处的切线为，但函数在处不存在导数， 所以C错误，D正确； 故选AD． 10.【答案】  【解析】解：对于，直线的方程变形为， 过定点，设为点， 将点代入圆方程的左侧得， 所以点在圆内，所以直线与圆相交，A正确 对于，圆方程变形为，圆心，半径为， 当与弦垂直时，此时直线被圆截得弦长取最小值，为， 当直线为所在的直线时，此时直线被圆截得弦长取最大值，为． 所以直线被圆截得弦长的最大值与最小值的和为，B正确 对于，因为圆上恰有三个点到直线的距离等于，则圆心到直线的距离为． 则， 化简得，解得， 所以圆上恰有三个点到直线的距离等于，则这样的直线有条， C错误 对于，设，因为，， 所以，， 因为，所以， 等式两边平方得， 化简得，与圆的方程一致，所以D正确， 故选ABD． 11.【答案】  【解析】解：对于，，故A正确； 对于，易知在上单调递增，故由， 得，得，故B错误； 对于，函数有三个零点，等价于方程有三个不相等的实数根， 等价于函数的图象与直线有三个交点， 又直线恒过定点，如图， 当直线位于与之间不包括两条直线时满足条件， 当直线位于时，； 当直线位于时，联立与，消去整理得， 由相切，得，解得，又，则， 由图可知，故C正确； 对于，由上图得函数的值域为 而的图象是由的图象向右平移个单位得到， 故的值域为 将条件转化为关于的方程存在实数解， 所以，解得或，故D正确． 故选ACD． 12.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查数列的前项和及与的关系，属于较易题． 由，分别求出，进而利用等比中项即可求解． 【解答】 解：根据题意，等比数列中，有， 则，， ， 因为是等比数列，则有，即，解可得． 故答案为：． 13.【答案】  【解析】解：函数的定义域为，求导得， 由函数既有极大值又有极小值，得方程有两个不等的正根， 则，解得，令，是的两个正根， ，则，当或时，； 当时，，函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意， 所以实数的取值范围为 故答案为： 14.【答案】  【解析】解：由函数在上存在零点， 知存在，使得，即， 此时，可看作平面直角坐标系中点到原点的距离的平方． 对于固定的，点位于直线上， 原点到直线的距离为， 直线上的点到原点的距离的最小值为原点到直线的距离， 因此． 接下来求函数在时的最小值． 令，则，， 则， ， 则在上单调递增， 因此，的最小值为． 当时，，解得，对应， 此时， 当时，取得最小值． 15.【答案】解：求导得：， 当时，，当时，， 于是函数在单调递增，在单调递减， 于是当时，取最大值为， 又，， 于是当时，取最小值为． 则函数在区间上的最大值为，最小值为． 原不等式即为：，可化简为， 记， 则原不等式有解可转化为， 求导得：， 于是函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 于是，解得：． 则实数的取值范围为．  【解析】本题考查导数法研究函数的单调性、最值以及导数中存在性问题，属于中档题． 求导，得到函数的单调性，进而得到函数在区间上的最大值和最小值； 将不等式转化为，构造函数，通过导数法得到的最大值，从而得到的不等式，解得的取值范围． 16.【答案】解：证法一：因为， 且，， 所以，所以， 又因为点，，，不在同一条直线上，所以， 所以，，，四点共面． 证法二：如图，因为，， 所以，且，，且，． 延长，交于点，延长，交于点， 因为，， 所以点，为同一点，记为点， 即与交于点，故直线与共面， 所以，，，四点共面． 因为平面平面，平面平面，平面，， 所以平面， 又因为， 所以，如图，以点为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 设平面的法向量为， 则即 解得取，则， 设平面的法向量为， 则即 解得取，则， 所以，， 所以平面与平面夹角的余弦值为．  17.【答案】解：设正项等差数列的公差为， 等比数列的公比为． 时，， 又，可得 时，， 相减可得：， 时，． 解得：，， ，． ． 令， 化为：， 令，． ，． 在上单调递增， 而，， 最大整数，使得．   18.【答案】解：由题意，设椭圆的方程为， 则，则， 由椭圆过点，得，即， 解得，， 故椭圆的方程为； 由题意，直线与的斜率互为相反数，分别设为和， 设直线的方程为， 代入椭圆方程， 消去，化简整理得， 因在直线上，是方程的根，设另一根为， 由韦达定理得 则． 同理得， 则， 故直线的斜率为定值； 设直线的方程为， 代入椭圆方程，消去，化简整理得， 由，得． 设、， 由韦达定理得，。 则， 点到直线的距离， 则面积， 令，则， 当时，取最大值．  19.【答案】解：由题易知：， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 当时，，所以当时，取最大值； 先证：，， 令，，则，所以函数在上单调递增， 故，即在上恒成立； 又， 由知，， 所以，即，得证； 当时，， 令，则，， 其中，令，则且， 令，则，其中， 令，，则，故在上单调递减，其中， 若，则，上恒成立，故， 在上单调递增，且， 所以在上也单调递增，且， 所以，故恒成立； 若，则，且，使得当时，，所以函数在上单调递减，故时，， 所以函数在上单调递减，所以时，，所以时，，与，恒成立矛盾， 综上所述：的最大值为．  第8页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $