数列的单调性及其应用测试卷-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

数列的单调性及其应用专项标准化测试卷 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 3．已知数列的通项公式为，其前项和为，则取得最小值时的值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 4．在等比数列中，，，则当取得最小值时， （    ） A． B． C． D． 5．已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，则“，”是“”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知数列满足，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．有最大值 D．不是单调数列 8．已知数列的通项公式为，若对于任意正整数n，都有≤成立，则m的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 10．已知数列的前n项和为，，则（   ） A．数列是递减数列 B．当且仅当时，取得最小值 C．数列是递减数列 D．当且仅当时，取得最小值 11．记为正项数列的前n项和，已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．数列单调递减 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数，若数列满足，且为严格增数列，则的取值范围是 13．已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为 14．设表示不大于的最大整数，，记，则的最小值为 . 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数，求的最小值为. 16在数列中，，记，若数列为递增数列，求实数的取值范围为. 17．已知在数列中，，求的最大项． 18．已知等差数列满足，数列的首项为9，且是公比为2的等比数列． (1)求的通项公式； (2)探究的单调性，并求其最值． 19．已知数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)若，且为递增数列，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数列的单调性及其应用专项标准化测试卷（详解版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知数列满足，若为递增数列，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断数列的增减性、根据数列的单调性求参数 【分析】由题意可得当时，；当时，递增，故只需，代入求解即可. 【详解】当时，递增，则； 当时，递增， 若为递增数列，则， 且， 即，解得； 综上，. 故选：B. 2．已知数列的通项公式为，则数列的最小项是（    ） A．第1项 B．第6项 C．第7项 D．第13项 【答案】B 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项 【分析】由题设，结合分式型函数的性质分析数列的单调性及的区间上下界，即可得. 【详解】由，， 当时，，即， 当时，，即， 数列在上都单调递减， 所以最小项为，即第6项. 故选：B 3．已知数列的通项公式为，其前项和为，则取得最小值时的值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】首先求出数列的正负项，再判断取得最小值时的值. 【详解】设，，解得：， 当和时，，所以取得最小值时，. 故选：C 4．在等比数列中，，，则当取得最小值时， （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】等比数列下标和性质及应用、等比数列的单调性 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求出等比数列的通项公式，解不等式，即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为，则，解得， 故，所以，且是递增数列. 由可得，可得，解得， 所以当时，，当时，， 所以当取得最小值时，. 故选：A. 5．已知是公差不为0的等差数列，其前项和为，则“，”是“”的（   ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【知识点】判断命题的充分不必要条件、求等差数列前n项和的最值 【分析】根据充分条件和必要条件的定义，分别判断“”能否推出“”以及“”能否推出“”，进而确定两者之间的条件关系. 【详解】若，这意味着是数列中的最小值. 因为是公差不为的等差数列，所以该数列的前项和是关于的二次函数（且二次项系数不为），其图象是一条抛物线. 当是最小值时，说明从第项开始数列的项变为正数，即，且. 所以由“”可以推出“”，充分性成立. 若，仅知道第项是非正的，但无法确定就是的最小值. 例如，，就不是最小值，即不能推出，必要性不成立. 因为充分性成立，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：C 6．已知数列满足，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】确定数列中的最大（小）项、累加法求数列通项、求等差数列前n项和 【分析】根据递推关系利用迭代法（累加法）求出，可得，再利用对勾函数的单调性求解即可. 【详解】由，得， 所以 ，， 显然满足上式，则，所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，且， 所以当时，取最小值. 故选：B. 7．已知数列满足：，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．有最大值 D．不是单调数列 【答案】C 【知识点】判断数列的增减性、由递推关系式求通项公式、利用定义求等差数列通项公式 【分析】先对进行变形，构造新数列，求出数列的通项公式，结合作差法判断增减性，逐一分析选项. 【详解】设，则. 已知，将，代入可得： 可得. 两边取倒数，即. 又因为，所以，则. 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 根据等差数列通项公式，则.所以. 当时，，所以选项A错误. 由前面计算可知，所以选项B错误. 因为，当增大时，减小，减小，且时，，，所以有最大值，选项C正确. 由可知，，所以是单调递减数列，选项D错误. 故选：C. 8．已知数列的通项公式为，若对于任意正整数n，都有≤成立，则m的值为（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】C 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项 【分析】利用给定的通项公式，结合单调性求出最大项即可得解. 【详解】数列的通项公式为，则 ， 由，，解得，而, 因此当时，，即，当时，， 即， 所以数列的最大项为，即对于任意正整数n，都有≤成立，依题意，. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的是（   ） A．数列是递增数列 B． C．当取得最大值时， D． 【答案】BC 【知识点】判断数列的增减性、利用等差数列的性质计算、求等差数列中的最大（小）项、求等差数列前n项和的最值 【分析】由等差数列的前n项和公式及等差数列的性质可得，，从而得公差，即可判断A，B； 根据，，可得数列的前13项为正，从第14项起为负，即可判断C； 由，可得，从而判断D. 【详解】对于A，因为，，即，所以， ，所以，所以数列不是递增数列，故A错误； 对于B，由A的分析可知，故B正确； 对于C，由A的分析可知数列的前13项为正，从第14项起为负，所以最大，故C正确； 对于D，由C的分析可知，且公差， 所以数列是递减数列，所以，即，故D错误. 故选：BC. 10．已知数列的前n项和为，，则（   ） A．数列是递减数列 B．当且仅当时，取得最小值 C．数列是递减数列 D．当且仅当时，取得最小值 【答案】BD 【知识点】判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项 【分析】利用特殊值法可判断A选项；分析数列的单调性，可判断B选项；利用数列的单调性可判断C选项；解不等式，可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，，，则，故数列不单调，A错； 对于B选项，， 当且时，且数列单调递减， 当且时，且数列单调递减， 故当且仅当时，取得最小值，B对； 对于C选项，由可得或， 故当时，，故数列单调递增，C错； 对于D选项，由可得， 故当时，；当时，， 所以，当且仅当时，取得最小值，D对. 故选：BD. 11．记为正项数列的前n项和，已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．数列单调递减 D． 【答案】BCD 【知识点】判断数列的增减性、写出等比数列的通项公式、利用an与sn关系求通项或项 【分析】A项赋值可知错误；B项由关系代入得，由等比数列通项公式可求；C项由作商比较法可得数列单调性；D项借助函数单调性可得单调性，进而可得. 【详解】A项，由得，当时，，又为正项数列， 可得，则由， 令得，，故A错误； B项，由上，可知，则， 当时，， 整理得，， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以，故B正确； C项，令，则， 由，所以，即， 则数列单调递减，故C正确； D项，由上知， 因为函数在上单调递减， 所以数列单调递增，则，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知函数，若数列满足，且为严格增数列，则的取值范围是 【答案】 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】结合对勾函数的性质及列出不等式，由此求得的取值范围. 【详解】由于数列是严格增数列，所以, 即，解得. 故要使得数列是严格增数列，需满足. 由于，即，即, 即 , 解得或或 综上所述，首项的取值范围是. 故答案为: 13．已知数列为严格增数列，则实数的取值范围为 【答案】 【知识点】根据数列的单调性求参数 【分析】利用数列单调性定义列式求解得答案. 【详解】根据题意，可得，即， ，对， 又数列是单调递减数列，则， . 故答案为：. 14．设表示不大于的最大整数，，记，则的最小值为 . 【答案】/ 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】求得，结合对勾函数的单调性可求得的最小值. 【详解】由题意可得， 所以， 令，由对勾函数的单调性可知，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，且，， ， 所以，故的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知函数，求的最小值为. 【答案】72 【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、判断数列的增减性、确定数列中的最大（小）项 【分析】 由 判断的单调性，由此求出的最小值. 【详解】 ，   的最小值为. 故答案为：72. 16在数列中，，记，若数列为递增数列，求实数的取值范围为. 【答案】 【知识点】由递推关系式求通项公式、根据数列的单调性求参数 【分析】由递推关系可得，求得，不等式恒成立等价于恒成立，讨论的奇偶即可求出. 【详解】由，得，即， 而，则，即，， 由数列为递增数列，得任意的恒成立， 则，得， 即恒成立， 当为奇数时，恒成立，数列单调递增，的最小值为，则， 当为偶数时，恒成立，数列单调递减，的最大值为，则， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 17．已知在数列中，，求的最大项． 【答案】 【知识点】确定数列中的最大（小）项 【分析】由可判断数列单调性，据此可得答案. 【详解】因， 当时，，则此时递增， 当时，，则此时递减， 又注意到，所以最大项为． 18．已知等差数列满足，数列的首项为9，且是公比为2的等比数列． (1)求的通项公式； (2)探究的单调性，并求其最值． 【答案】(1) (2)先单调递减后单调递增，有最小值，无最大值 【知识点】判断数列的增减性、等差数列通项公式的基本量计算、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）设出等差数列的公差，利用方程组解出和，进而得通项公式； （2）利用等比数列的通项公式求得，再利用数列单调性的定义判断单调性即可. 【详解】（1）设的公差为， 由题可得，解得， 所以， 即的通项公式为. （2）由题意得，又是公比为2的等比数列， 所以，则． 所以， 因此，当时，，当时，， 所以， 所以数列先单调递减后单调递增，且有最小值，最小值为，无最大值． 19．已知数列满足，且． (1)求的通项公式； (2)若，且为递增数列，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【知识点】写出等比数列的通项公式、由定义判定等比数列、数列不等式恒成立问题、根据数列的单调性求参数 【分析】（1）根据已知可得是以3为公比的等比数列，由定义即可写出其通项公式； （2）由数列的单调性有对任意正整数恒成立，求出右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由，得，所以， 所以，所以是以3为公比的等比数列，又，所以． （2）由（1）知，所以，因为为递增数列， 所以恒成立， 所以，即对任意正整数恒成立，即， 因为为递增数列，所以， 所以，即实数的取值范围为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $