第二章 函数与基本初等函数（综合训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 聚焦函数与基本初等函数核心内容，通过基础概念辨析、性质综合应用及创新情境设计，构建从定义到拓展的逻辑训练体系，培养数学抽象与推理能力。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|填空1-6、选择13|定义域、单调性、指数函数定点等概念辨析|从函数定义出发，构建定义域、单调性等基础性质的认知链条| |性质应用|填空7-10、选择14-15|奇偶性、极值、零点个数等性质综合|以单调性、奇偶性为核心，推导函数图像与零点分布规律| |综合拓展|填空11-12、解答17-21|恒成立问题、实际应用、新定义“G函数”|整合函数性质与数列、不等式，通过建模（如设备盈利）与创新情境（新定义）发展应用意识|

第二章 函数与基本初等函数（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是____________． 2．函数的定义域是______. 3．开学后，朱老师打算用1000元压岁钱购买某个基金10个月，若以月收益率10%的复利计算收益，则10个月后能获得的收益（注意收益不含本金）约为_________元．（精确到整数） 4．若函数在区间上是严格递减函数，则实数的取值范围为______. 5．已知集合，任取，则函数的图像过点的概率为____________. 6．已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 7．已知函数 ，其中 为实数，且 ，则不等式 的解集为 ______ 8．正项等比数列中，与是的两个极值点，则______． 9．已知：函数在处取得极值，其中为常数.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________. 10．已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，，若函数，则函数在上零点个数是______个． 11．若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________. 12．对于定义在上的函数，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则实数的取值范围是____________． 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 14．设为定义在 上的奇函数，下列两个结论说法正确的是（     ） ① 若可导，则必为偶函数； ② 若的最小正周期为 ，则在区间 上必存在零点. A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 15．函数的零点个数为（    ） A．1013 B．2026 C．3039 D．4052 16．函数的定义域为，对定义域内的任意实数，都有，并且时，，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知幂函数在区间上是严格增函数，其图象经过点． (1)求、的值； (2)用定义法证明：函数在区间上是严格增函数． 18．（14分）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 19．（14分）已知，函数． (1)当时，解不等式； (2)当时，求函数的值域． 20．（18分）已知， (1)指出函数的奇偶性、单调区间、最值和最小正周期（不必证明），并用“五点法”作出该函数在一个周期内的大致图像 (2)利用正弦函数与余弦函数的性质，证明：函数在是严格增函数. (3)讨论方程在上解的情况. 21．（18分）对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”． (1)求证：函数不存在“函数”，请说明理由； (2)若非常值函数，是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； (3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值． 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函数与基本初等函数（综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1．若函数在上是严格减函数，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【详解】对于指数函数（且）， 函数在上是严格减函数， 则且，得且. 所以，实数的取值范围是. 2．函数的定义域是______. 【答案】（或） 【详解】，解得，则此函数的定义域为或. 3．开学后，朱老师打算用1000元压岁钱购买某个基金10个月，若以月收益率10%的复利计算收益，则10个月后能获得的收益（注意收益不含本金）约为_________元．（精确到整数） 【答案】 【详解】10个月后能获得的收益为：元. 4．若函数在区间上是严格递减函数，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】由，可得二次函数的对称轴为， 又因为在区间上是严格递减函数，所以，解得. 5．已知集合，任取，则函数的图像过点的概率为____________. 【答案】 【详解】验证当取不同值时函数是否满足， 当时，，满足条件； 当时，，不满足； 当时，的定义域为，不在定义域内，不满足； 当时，，满足条件； 当时，，不满足。 计算概率：符合条件的共2个，由古典概型公式得所求概率. 6．已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 7．已知函数 ，其中 为实数，且 ，则不等式 的解集为 ______ 【答案】 【详解】因为，所以单调递减，单调递减， 所以在上单调递减，因为， 所以等价于， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 8．正项等比数列中，与是的两个极值点，则______． 【答案】2 【详解】由，则， 因为与是的两个极值点，所以与是方程， 由，所以与为的两根，所以， 在正项等比数列中，由， 所以. 9．已知：函数在处取得极值，其中为常数.若对任意，不等式恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【详解】由题意知，因此，从而. 则，求导得， 又由题意可知，因此，解得； 故.令，解得. 1 0 + 极小值 因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为； 所以在处取得极小值，此极小值也是最小值. 要使恒成立，只需.即， 从而.解得或. 所以的取值范围为. 10．已知函数满足：①定义域为；②对任意，有；③当时，，若函数，则函数在上零点个数是______个． 【答案】6 【详解】因为函数在上零点的个数等于函数和图象交点的个数， 又的定义域为，又，所以是周期为的周期函数， 当时，， 作出函数在内的图象，再由的周期性作出在上的图象，同时作出的图象，如下 因为，∴， 所以函数，在上有三个交点，在上无交点， 又，则， 则函数是偶函数，图象关于轴对称， 所以结合图形知函数，的图象的交点的个数为6. 11．若对任意的，总存在，使得，则的取值范围是____________. 【答案】 【详解】对关于的命题：对任意的，总存在，使得， 其否定为：存在，，使得， 若为真，由，得， 则， 所以且， 所以，得， 由上，若为真，则，即的取值范围是. 12．对于定义在上的函数，和是上任意给定的两个实数，当时，恒有，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【详解】令，则 ①当时，则，且上单调递增， 所以时，满足恒有； ②当时，，显然时在上单调递增， 所以时，满足恒有； ③当时， 在上单调递减，此时，且， 在上单调递增，此时，且， 显然与有交集， 所以时，不满足时，恒有； ④当时，则上单调递减，且， 上单调递增，且， 若，即，不符合的前提， 若，即时，与无交集， 若时，恒有且，显然与有交集， 所以，时，不满足时，恒有， 时，满足时，恒有； ⑤当时， 在上单调递减，此时，且， 在上单调递增，此时，且， 显然与有交集， 所以时，不满足时，恒有； ⑥当时，则，且在上单调递减， 所以时，满足时，恒有； 综上，的取值范围是 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13．已知，则等比数列的公比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为为等比数列， 所以， 因为，， 令，则，整理得， 所以，，， 所以，该数列的公比为. 14．设为定义在 上的奇函数，下列两个结论说法正确的是（     ） ① 若可导，则必为偶函数； ② 若的最小正周期为 ，则在区间 上必存在零点. A．①正确，②错误 B．①错误，②正确 C．①②都正确 D．①②都错误 【答案】C 【详解】对于①，由函数为奇函数，可得， 根据复合函数求导的法则，可得，即， 所以函数为偶函数，所以①正确； 对于②，函数的最小正周期为，且函数为奇函数， 可得，，且，所以， 构造函数 ， 因为， 且，所以函数也是奇函数， 则，且，即是函数在内的零点，所以②正确. 15．函数的零点个数为（    ） A．1013 B．2026 C．3039 D．4052 【答案】B 【详解】因，则函数是周期函数，其最小正周期为. 令，当时，单调递增，单调递增，所以单调递增； 又在上单调递减，故函数 在上单调递增； 又因，所以函数在上有一个零点. 当 时， ，，则，函数在上无零点. 当时， ，则 ，. 令，在 上单调递增，单调递增，所以单调递增； 在 上单调递增，且增长速度逐渐增快. 若，则，而，所以； 若，则，，所以 ； 若，则，，所以 ； 又 ，所以在上恰有一个零点. 综上，函数 在有两个零点. 所以函数 有 个零点. 16．函数的定义域为，对定义域内的任意实数，都有，并且时，，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为的值域为， 所以当时，恒成立， 而，则，即， 令，由一次函数性质得在上单调递增， 当时，，可得， 因为，所以， 而，可得，且的值域为， 则当时，， 由二次函数性质得的对称轴为，， 当时，解得，此时，解得， 可得实数的取值范围是， 当时，解得，此时， 可得实数的取值范围是， 综上可得，实数的取值范围是，故B正确. 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分）已知幂函数在区间上是严格增函数，其图象经过点． (1)求、的值； (2)用定义法证明：函数在区间上是严格增函数． 【详解】（1）由为幂函数，可得，解得或， 当时，在区间上是严格增函数，符合题意， 又函数图象经过点，则得，解得； 当时，在区间上单调递减，不合题意，舍去. 故.……（7分） （2）由（1）可得，则， 设，且，则， 因，则，故,则有， 即函数在区间上是严格增函数.……（14分） 18．（14分）某企业2025年年初花费49万元购进一台新的设备，并立即投入使用.该设备使用后，每年的总收入预计为40万元，设备使用 年后该设备的总维修保养费用为 万元，盈利总额为万元. (1)求 关于 的函数关系式； (2)求该设备使用几年后的年平均盈利额最大？最大值为多少万元？（年平均盈利额 = 盈利总额 ÷ 使用年数） 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为.……（6分） （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，当且仅当时等号成立，即， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元.……（14分） 19．（14分）已知，函数． (1)当时，解不等式； (2)当时，求函数的值域． 【详解】（1） 当时，，由于函数在上单调递增， 故 解得 ， 所以，原不等式解集为.……（6分） （2）当时，， 即，由，得， 故函数定义域为， 由于，所以(当且仅当即时取等号）， 又函数在上单调递增， 所以，， 故值域为.……（14分） 20．（18分）已知， (1)指出函数的奇偶性、单调区间、最值和最小正周期（不必证明），并用“五点法”作出该函数在一个周期内的大致图像 (2)利用正弦函数与余弦函数的性质，证明：函数在是严格增函数. (3)讨论方程在上解的情况. 【详解】（1）， 又，故为非奇非偶函数， 令，解得； 令，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 最大值为，最小值为，最小正周期为， 令，取，对应， 故该函数在一个周期内的大致图象为； ……（6分） (2)， 设且， 则， ， ，即，又， ，即， 因此，即， 所以函数在是严格增函数.……（12分） （3）由题意得， 当时，， ， 故当时，方程有2个解； 当或时，方程无解； 当或时，方程有1个解.……（18分） 21．（18分）对于定义域在上的函数，定义．设区间，对于区间上的任意给定的两个自变量的值、，当时，总有，则称是的“函数”． (1)求证：函数不存在“函数”，请说明理由； (2)若非常值函数，是奇函数，求证：存在“函数”的充要条件是存在常数，使得； (3)若函数与函数的定义域都为，且均存在“函数”，求实数的值． 【详解】(1)由题意，，则，因此： ， 取计算得： ， 不满足，因此函数不存在“函数”……（4分） (2)因为是定义域为的奇函数，故，因此， 且，即是偶函数. 充分性：若（，非常值），此时，为常数函数， 对任意、，当时，总有，满足， 必要性：若存在“函数”即在上单调不减， 由是奇函数得：，即是偶函数， 若不为常数函数，对任意两个正数，则， 但此时，，不满足“函数”的定义. 因此恒为常数，此时. 综上，原命题得证.……（11分） （3）对，，因此： ， 对，，因此： ， 因为都存在“函数”，故单调不减，也单调不减， 即单调不减，等价于单调不增，既单调不减又单调不增，故为常数， 即： （C为常数）， 指数函数恒等于一次函数+常数，仅当指数项系数为0，即. 验证：时，（常数），（常数），均满足“函数”定义， 故.……（18分） 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函数与基本初等函数（综合训练） 数学·参考答案 一、填空题（本大题共12题，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分，共54分.） 1. 2. （或） 3. 4. 5. 6. 7. 8 . 2 9. 10 .6 11. 12. 二、选择题（本大题共4题，第13、14题每题4分，第15、16题每题5分，共18分.每题有且仅有一个正确选项。） 13 14 15 16 B C B B 三、解答题（本大题共5题，第17-19题每题14分，第20-21题每题18分，共78分.） 17．（14分） 【详解】（1）由为幂函数，可得，解得或， 当时，在区间上是严格增函数，符合题意， 又函数图象经过点，则得，解得； 当时，在区间上单调递减，不合题意，舍去. 故.……（7分） （2）由（1）可得，则， 设，且，则， 因，则，故,则有， 即函数在区间上是严格增函数.……（14分） 18．（14分） 【详解】（1）根据题意：， 故y关于x的函数关系式为.……（6分） （2）由（1）知盈利总额为， 则年平均盈利额为， 因为，当且仅当时等号成立，即， 所以， 故第年年平均盈利额取得最大值，最大值为万元.……（14分） 19．（14分） 【详解】（1） 当时，，由于函数在上单调递增， 故 解得 ， 所以，原不等式解集为.……（6分） （2）当时，， 即，由，得， 故函数定义域为， 由于，所以(当且仅当即时取等号）， 又函数在上单调递增， 所以，， 故值域为.……（14分） 20．（18分） 【详解】（1）， 又，故为非奇非偶函数， 令，解得； 令，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为. 最大值为，最小值为，最小正周期为， 令，取，对应， 故该函数在一个周期内的大致图象为； ……（6分） (2)， 设且， 则， ， ，即，又， ，即， 因此，即， 所以函数在是严格增函数.……（12分） （3）由题意得， 当时，， ， 故当时，方程有2个解； 当或时，方程无解； 当或时，方程有1个解.……（18分） 21．（18分） 【详解】(1)由题意，，则，因此： ， 取计算得： ， 不满足，因此函数不存在“函数”……（4分） (2)因为是定义域为的奇函数，故，因此， 且，即是偶函数. 充分性：若（，非常值），此时，为常数函数， 对任意、，当时，总有，满足， 必要性：若存在“函数”即在上单调不减， 由是奇函数得：，即是偶函数， 若不为常数函数，对任意两个正数，则， 但此时，，不满足“函数”的定义. 因此恒为常数，此时. 综上，原命题得证.……（11分） （3）对，，因此： ， 对，，因此： ， 因为都存在“函数”，故单调不减，也单调不减， 即单调不减，等价于单调不增，既单调不减又单调不增，故为常数， 即： （C为常数）， 指数函数恒等于一次函数+常数，仅当指数项系数为0，即. 验证：时，（常数），（常数），均满足“函数”定义， 故.……（18分） 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $