第6讲 函数的应用 练习-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数应用核心问题，以图像分析和零点求解为脉络，系统整合排除法、转化思想等解题方法，构建概念-性质-应用的逻辑链条，培养几何直观与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图像识别|1|排除法（定义域、特殊值、单调性）|从函数解析式到图像特征的直观转化| |零点问题|6|图像交点法、零点存在性定理、方程思想|函数性质（奇偶性、单调性）与方程根的关联| |性质应用|3|奇偶性对称性、分段函数分析|概念生成（奇函数定义）到性质应用（单调区间）| |实际模型|1|指数函数模型、对数运算|数学语言表达现实问题（电池衰减规律）|

数学 第6讲 函数的应用 1.函数的图象大致是( ) A. B. C. D. 2.定义在R上的奇函数，当时，，设函数，则下列说法错误的是( ) A.函数所有零点之和为0. B.若函数有三个零点，则 C.当时， D.函数在上为增函数 3.已知函数，，，的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为( ) A. B. C. D. 4.函数的零点所在区间为( ) A. B. C. D. 5.已知函数，若关于x的方程有四个不同的根（），则的最大值是( ) A. B. C. D. 6.已知函数若函数有三个不同的零点，则m的取值范围为( ) A. B. C. D. 7.某电子产品的电池健康度E随循环次数n衰减的函数模型为，其中A，k为常数，，，.已知，则电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加( ) （参考数据：，，） A.120 B.150 C.170 D.180 8.（多选）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是( ) A.实数a的取值范围是 B.的单调递减区间为， C. D.函数有4个零点 9.若函数恰有两个零点，则a的取值范围是__________. 10.已知函数，若，则函数的零点个数是___________. 11.已知函数有且仅有1个零点，则______. 答案以及解析 1.答案：B 解析：由可得，解得或，排除A; 由时，，排除C; 因为，令，可得，解得或 所以的单调区间为和，排除D. 故选：B 2.答案：C 解析：选项A， 当时，， ①当时，令，解得：或，均满足题意， ②当时，令，解得：，均满足题意， 由奇函数的对称性知，当时，函数的零点为，， 所以函数所有零点之和为，故A正确； 选项B，若函数有三个零点，则令， 问题等价于函数与的图象有三个不同交点， 因为函数为R上的奇函数，所以， 由题意得函数图象如图所示： 由图可知，若函数有三个零点，则，故B正确； 选项C，当时，， 此时，又函数为奇函数， 所以，所以，故C错误； 选项D，由图可知，函数在连续且单调递增，又函数与函数的单调性一致， 故函数在上单调递增，故D正确. 3.答案：A 解析：的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， ∵函数，，，的零点分别为a，b，c， 作出函数，，，，的图象如图， 由图可知：，    4.答案：B 解析：因为函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 又，，则， 根据零点存在性定理，函数的零点所在区间为. 5.答案：A 解析：图， 由图可知当且仅当时，方程有四个不同的根， 且，由题:，， 设则 ，令， 故在递增，在递减，. 故选:A. 6.答案：A 解析： 解法1：令得.由题意可知函数的图象与直线有三个交点，由图可知. 解法2：当时，. 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除B、D选项. 当时，， 令，得或， 解得或，不满足题意，因此排除C选项，故选A. 7.答案：B 解析：由，得，解得， 由，得，解得，所以， 当循环为n次时电池健康度为60，可得， 所以，两边取对数得，所以， 所以，解得， 电池健康度从80衰减到60，循环次数大约需要增加. 8.答案：BCD 解析：作出函数的大致图象，如图. 对于A，因为函数有三个互不相等的零点，则函数与的图象有三个不同的交点. 结合图象可得，故A不正确. 对于B，由函数的图象可知其单调递减区间为，，故B正确. 对于C，由函数的图象可知，且，所以， 即，所以，故C正确. 对于D，设，则. 令，由函数的图象，得或. 当，即时，则，解得; 当，即时，所以或，解得或或， 所以函数有4个零点，故D正确. 9.答案： 解析：函数恰好有两个零点，可转化为函数与函数的图象恰有两个交点. ①当恒成立，即时， 问题转化为方程即有两个不同的解. 由. 所以或. ②当时，方程有两个正根，（），如图， 当时，恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. ③当时，方程有两个负根，（），如图， 当时，恒成立， 所以此时直线与曲线必有两个不同的交点. 综上可得:若函数恰有两个零点，则a的取值范围是. 10.答案：4 解析：函数的定义域为R，由，得， 所以函数是偶函数， 当时，， 当时，， 当时，， 故在上单调递增，上单调递减， 又为偶函数， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，又时，，所以的值域为. 令，则，由，得， 因为，所以，画出与的图象如图所示， 所以在区间有唯一零点， 令，，函数的图象与函数的图象有4个交点，故函数的零点个数是4 11.答案：1 解析：为偶函数，要使得有且仅有1个零点，则，解得. 经验证，当时，在上单调递减，在上单调递增，且，符合题意. 学科网（北京）股份有限公司 $