第38讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 讲义-2027年高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦立体几何高考核心考点，涵盖空间几何体结构特征、直观图、展开图、截面图及表面积体积计算，按“基础回顾-题型突破-综合精练”逻辑架构知识体系，通过考点梳理、方法指导与真题训练，帮助学生构建空间观念，突破几何体转化与运算难点。 资料创新采用“反例辨析+规则应用+转化建模”教学策略，如结构特征判断中用反例强化概念理解，直观图计算中运用斜二测画法规则转化面积关系，展开图最短路径问题通过侧面展开构建平面模型，培养数学思维与空间想象能力。分层设计例题与精练题，助力教师精准把控复习节奏，有效提升学生空间问题解决与应考能力。

第38讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 题型一 空间几何体的结构特征 3 题型二 平面图形与其直观图 7 题型三 空间几何体的展开图 14 题型四 空间几何体的截面图 23 题型五 空间几何体的表面积 35 题型六 空间几何体的体积 43 课时精练 54 【基础回顾】 知识点1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 分类 按底面多边形的边数 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 知识点2．直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直； ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 知识点3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 知识点4．柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 【必备知识】 1．锥体中平行于底面的截面的性质 在锥体中，用平行于底面的截面截原锥体，得到一个小锥体，则小锥体与原锥体有如下比例关系： ＝＝＝对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方之比． 这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式． 2．有关棱柱直截面问题 在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫作棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上、下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式： S棱柱侧＝C直截l(其中C直截，l分别为棱柱的直截面周长与侧棱长)，V棱柱＝S直截l(其中S直截，l分别为棱柱的直截面面积与侧棱长)． 题型一 空间几何体的结构特征 空间几何体结构特征的判断技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． (2)说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可． 【例题精讲】 1．下列关于空间几何体的说法中，正确的个数是（    ） ①正四棱柱都是长方体；②棱台的侧棱长均相等；③一个多面体至少有4个面. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用长方体的定义即可判断①；由非正棱台的侧棱不一定相等可判断②；根据多面体的性质即可判断③. 【详解】对于①正四棱柱是底面为正方形的直四棱柱，长方体是底面为矩形的直四棱柱； 因为正方形是特殊的矩形，所以正四棱柱是特殊的长方体，①说法正确； 对于②棱台是由棱锥用平行于底面的平面截取而来，只有正棱台的侧棱才相等，一般的棱台侧棱长不一定相等，所以这个说法错误； 对于③面数最小的多面体是三棱锥（四面体）它有4个面，所以多面体至少有4个面，这个说法正确. 2．下列几何体中为棱锥的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由棱锥的定义判断即可. 【详解】根据棱锥的定义：若一个多面体满足：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这个多面体就是棱锥. A：该几何体是四面体（三棱锥），仅存在1个公共顶点，所有侧面都是共顶点的三角形，底面是多边形，符合棱锥的定义； B：该几何体是两个四棱锥底面拼接而成的正八面体，存在2个公共顶点，不符合棱锥定义； C：该几何体是三棱柱，属于棱柱，侧面都是平行四边形，不存在公共顶点，不是棱锥； D：该几何体是台体结构，侧面不一定存在公共顶点，不符合棱锥定义. 3．下列说法正确的是（   ） A．有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台 B．直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积 C．空间中，过三点有且只有一个平面 D．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 【答案】B 【详解】对于A，有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体， 所有侧棱不一定交于同一点，所以该六面体不一定是棱台，故A错误；    对于B，直三棱柱的底面是三角形，根据三角形三边关系定理可得两边之和大于第三边， 所以直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积，故B正确； 对于C，空间中，过不共线的三点有且只有一个平面，若三点共线，不能确定平面，故C错误； 对于D，底面是正多边形，顶点在底面的投影是正多边形的中心的棱锥是正棱锥，故D错误. 4．如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（   ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 【答案】B 【详解】剩余的部分是以为顶点，四边形为底面的四棱锥. 5．若一个几何体由6个面围成，则该几何体可能是（     ） A．六棱锥 B．五棱柱 C．四棱台 D．圆台 【答案】C 【分析】分别计算每个选项中几何体的总面数，筛选出总面数为6的几何体. 【详解】对于A：六棱锥有1个底面+6个侧面，共个面，A错误； 对于B：棱柱总面数 = 侧面数 + 2个底面，五棱柱有5个侧面+2个底面，共个面，B错误； 对于C：棱台总面数 = 侧面数 + 2个底面，四棱台有4个侧面+2个底面，共个面，C正确； 对于D：圆台有上底面、下底面、侧面共3个面，D错误. 6．下列说法中正确的是（    ） A．一个多面体至少有4个面 B．矩形旋转一周一定形成一个圆柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】A 【分析】应用多面体的几何特征判断A，C，D，应用旋转体特征判断B. 【详解】多面体中面数最少为三棱锥，四个面，故A正确； 矩形绕其一条对角线旋转一周，所形成旋转体不是圆柱，故B错误； 正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面的投影落在底面正多边形的中心，故C错误； 用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故D错误. 7．如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的．（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】图中几何体为组合体，由圆锥和圆台组合而成，故可由直角三角形和直角梯形绕同一个轴旋转而成，故A正确，BD错误， C的图形绕轴旋转后得到的几何体上方为圆台，下方为圆锥，与题设不合，故C错误. 8．（多选）下列关于立体图形的说法错误的是（   ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B．侧面都是矩形的四棱柱是长方体 C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D．圆台的母线延长后一定交于同一点 【答案】ABC 【详解】对于A，棱锥的一个面是多边形，其余各面的三角形必须有公共顶点，若仅满足“一个面是多边形，其余各面是三角形”， 不一定是棱锥（例如两个同底的三棱锥拼接得到的几何体符合描述，但不是棱锥），A错误； 对于B，侧面都是矩形的四棱柱是直四棱柱，但直四棱柱的底面不一定是矩形，只有底面为矩形的直四棱柱才是长方体，B错误； 对于C，只有以直角三角形的直角边为轴旋转一周，得到的旋转体才是圆锥， 若绕斜边旋转一周，得到的是两个同底圆锥组成的组合体，不是圆锥，C错误； 对于D，圆台是平行于圆锥底面的平面截圆锥得到的，因此所有母线延长后一定交于原圆锥的同一点，D正确. 9．（多选）下列说法正确的是（   ） A．平行六面体的各个面都是平行四边形 B．圆柱的侧面展开图是一个正方形 C．将棱台的侧棱延长后必交于一点 D．将直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周形成的旋转体是圆锥 【答案】AC 【分析】根据平行六面体、棱台、圆锥的概念判断ACD；根据圆柱展开图的特征判断B. 【详解】平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，各个面都是平行四边形，A正确； 圆柱的侧面展开图是一个矩形，只有当底面周长和高相等时才是正方形，B错误； 棱锥被平行于底面的平面所截，截面与底面间的几何体是棱台，因此延长棱台所有侧棱，它们会交于一点，C正确； 将直角三角形绕斜边所在直线旋转一周形成的几何体不是圆锥，是两个共底面的圆锥，D错误. 10．（多选）下列结论正确的是（   ） A．圆锥的轴截面是等边三角形 B．长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体 C．用一个平面去截三棱锥，必得到一个三棱锥和一个三棱台 D．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 【答案】BD 【分析】由圆锥的轴截面是等腰三角形，可判断A;由长方体和直四棱柱的定义判断B；由用一个平行于底的平面去截三棱锥，才得到一个三棱锥和一个三棱台，从而判断C；由四棱柱、四棱台、五棱锥和六面体的定义判断D. 【详解】对于A，圆锥的轴截面中有两边都是母线，相等，故轴截面是等腰三角形，但底面直径不一定等于母线，故不一定为等边三角形，故A错误； 对于B，长方体是直四棱柱，直四棱柱的底面不一定是矩形， 所以直四棱柱不一定是长方体，故B正确； 对于C，用一个平行于底的平面去截三棱锥，才得到一个三棱锥和一个三棱台，故C错误； 对于D，四棱柱、四棱台、五棱锥都有六个面，所以都是六面体，故D正确. 题型二 平面图形与其直观图 利用斜二测画法解题的策略 策略一 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半 策略二 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系为S直观图＝S原图形 【例题精讲】 1．如图，菱形是水平放置的四边形OABC的直观图，其中，则四边形OABC的周长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图中菱形的边长还原出原图形矩形的边长，进而计算周长. 【详解】由题意及图形可知，直观图 是菱形，且 在 轴上， 在 轴上. 因为，且四边形是菱形，所以. 根据斜二测画法的规则： 平行于轴的线段长度不变，即原图形中； 平行于轴的线段长度变为原来的一半，即，所以原图形中； 原图形中轴与轴互相垂直，即 . 因为直观图是平行四边形，所以原四边形也是平行四边形. 又因为，所以原四边形是矩形. 该矩形的邻边长分别为，. 所以四边形的周长为. 2．如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为2的正三角形，则原图中边在轴上的射影长度为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【分析】由斜二测画法还原直观图，利用正弦定理求解即可. 【详解】由题意，过点作轴，交轴于点，还原后的图形如图． 在中，， 又因为== 所以， 故，故C正确． 3．如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若，的面积为3，则（    ） A． B． C．6 D．12 【答案】D 【分析】先根据三角形的面积公式求的长度，再根据斜二测画法的规则确定的长度. 【详解】在中，由，解得， 根据斜二测画法的规则可得： . 4．一个矩形的长、宽分别为2、3，其斜二测画法下的面积为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】先计算原矩形的面积，再结合斜二测画法的面积比例关系求出直观图的面积． 【详解】原图形面积为， 根据斜二测画法的规则：平行于轴的线段长度保持不变，平行于轴的线段长度变为原来的，且坐标系夹角变为， 因此直观图为平行四边形，其面积满足， 所以． 5．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】过作 交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积，故选项D正确. 6．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，，，，，则原平面图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作轴，求出的长，然后作出原平面图形，结合梯形的面积公式求解即可. 【详解】过点作轴，如下图所示： 因为，，，故为等腰直角三角形， 所以， 因为，轴，轴，故四边形为矩形，故， 故， 将直观图还原为原图形如下图所示： 则，，， 原平面图形为直角梯形，其下底边的长为，上底边的长为，高为， 故原平面图形的面积为． 7．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，，，则原平面图形的面积为（     ） A． B． C． D．6 【答案】D 【详解】将直观图还原为，如下图所示， 其中，，，则 . 8．（多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有（ ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 【答案】ABC 【分析】根据斜二测画法求解. 【详解】如图1，过点，分别作，垂直于轴于点，， 因为等腰梯形中，，， 所以，， 又，所以，故A正确； 由斜二测画法知，故B正确； 作出其原图如图2，，，，， 则四边形的面积为，故C正确； 过点作于点，则，， 则， 于是四边形的周长为，故D错误． 9．（多选）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（ ） A．是钝角三角形 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 【答案】BC 【详解】作出如图所示，由图可得是等腰直角三角形，故A错误； ，，故的周长为，故B正确； 的面积为，故C正确； 的面积为，故D错误． 10．（多选）如图，为四边形的斜二测直观图，其中 .将四边形以为旋转轴，旋转一周得到几何体.则下列说法正确的有（    ） A． B．几何体是圆台 C．几何体的体积为 D．几何体的侧面积为 【答案】BC 【分析】先还原直观图得原图，再结合圆台的体积公式，侧面积公式求解即可. 【详解】在四边形中，由题知是底角为的等腰梯形， 所以. 把直观图还原为原平面图形，则四边形是直角梯形， 其中， 则，故A错误； 因为，则几何体是上底半径为1，下底半径为3，高为的圆台，故B正确； 几何体的体积为，故C正确； 几何体的侧面积为，故D错误. 题型三 空间几何体的展开图 多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状． 【例题精讲】 1．如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用几何法，结合平面展开图，可找到最小距离，通过计算即可得到答案. 【详解】 当，即可得平面，此时是最小距离， 然后把平面与平面展开成共面， 如第二个图：即可得过作的垂线，垂足为 此时，即此时取到最小值， 因为在正方体中，， 所以 ， 所以， 即的最小值是 2．如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先作出三棱锥的侧面展开图，利用平面图形中两点之间直线段最短可得最短路线的长. 【详解】因为，为正三角形，所以， 所以， 将三棱锥的侧面沿侧棱剪开，展开的平面图形如图所示， 则线段即为点B的最短路线的长， 因为 , 由余弦定理得到， 即， 所以，即点B的最短路线的长为. 3．在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解. 【详解】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B    4．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】在圆柱侧面展开图中，矩形对角线的长度即为所求. 【详解】如图，在圆柱侧面展开图中，线段的长度即为所求， 在中，，，. 故选；C 5．如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把圆锥侧面展开成扇形，由平面上两点间线段最短求得底面半径，再根据体积公式计算出体积． 【详解】沿过点的母线剪开摊平为扇形，如图，由已知，， 所以，， 设圆锥底面半径为， 则，， 所以圆锥的高为， 所以圆锥体积为． 6．已知某圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．则沿该圆台表面从点到达点，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由已知数据确定圆台母线与高，再利用侧面展开图中距离求解最短路径长即可. 【详解】根据题意，圆台上底面圆的直径为，因此上底面圆的半径为，下底面圆的直径为，因此下底面圆的半径为， 圆台的母线长为，则圆台的侧面展开图如图所示，从点到达点的最短路径即为， 假设将圆台补全为一个圆锥，设小圆锥的母线长为，则有，代入数据，解得， 所以小圆锥的母线长为，即，大圆锥的母线长为，即， 展开图的圆心角由下底面圆的周长决定，即，解得， 由于位于内侧弧长的中点，因此， 在中，，，由余弦定理得，代入数据，解得 即从点到达点的最短路径的长度为. 7．已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为.若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆锥的表面积公式得到母线，根据圆锥截面的性质、圆的截面性质及相互之间关系求解即可. 【详解】设圆锥的母线长为，则，解得. 则圆锥的轴截面为边长为10的等边三角形. 沿圆锥内三个球的球心的截面如图，则为边长为的等边三角形， 根据圆锥的性质易知截面圆的圆心为的外心，所以. 沿，所在轴截面如图，易知，所以. 所以，解得. 8．（多选）如图，已知圆台的轴截面为四边形EFGH，FG=4，EH=2，EF=3，沿着该圆台侧面从E到G的路径的长度为a.在该圆台内有一个棱长为b的正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则（    ）    A．圆台的高为 B．圆台的体积为 C．a的最小值为 D．b的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据高与上下底面半径以及母线的几何关系可判断A；根据圆台的体积公式可判断B；根据侧面展开图结合弦长公式以及余弦定理可判断C；根据正方体的外接球直径不大于圆台的内切球直径可判断D . 【详解】已知圆台的轴截面是等腰梯形，下底底半径，上底上底半径，母线长， 圆台的高，A错误； 圆台的体积，B正确； 将圆台补成圆锥，由相似比得小圆锥母线长，大圆锥母线长， 侧面展开圆心角。 设圆锥顶点为，展开后，，， 由余弦定理： 得， 故，C正确；    正方体能任意转动等价于：正方体的外接球完全容纳在圆台内，且圆台恰好有内切球（满足母线长）， 内切球半径， 正方体外接球直径等于体对角线：，解得， 故最大值为，D正确. 9．（多选）如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于、的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 D．三棱锥的体积的最大值为 【答案】ACD 【分析】将圆锥沿着展开，结合勾股定理判断A；利用扇形的侧面积公式求出圆锥的母线长，进而得出其高，结合锥体的体积公式判断B；由扇形的弧长公式判断C；求出面积的最大值，结合锥体的体积公式判断D. 【详解】对于C，由圆锥的侧面积为，得圆锥的母线长，侧面展开图弧长， 因此圆锥的侧面展开图的圆心角，C正确； 对于A，侧面展开图扇形圆心角，点在上且，则， 在展开后的扇形中，与（对应底面同一点）的圆心角为， 最短路径为线段，且，A正确； 对于B，设圆锥的高，该圆锥的体积为，B错误； 对于D，由圆的几何性质知，由勾股定理得， 由基本不等式得，则， 当且仅当，即当时取等号， 此时，因此，D正确. 10．（多选）如图所示，正四棱台中，，点在四边形内，点是上靠近点的三等分点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．该正四棱台的高为 C．若.，则动点的轨迹长度是 D．过点的平面与平面平行，则平面截该正四棱台所得截面多边形的面积为 【答案】AD 【分析】对于A选项，利用余弦定理求出，然后勾股定理证，，从而得证；对于B选项，作出四棱台的高为，利用勾股定理即可求解；对于C选项，求出长度，发现为定值，根据圆的定义，确定动点的轨迹为圆，所求轨迹长度为圆与正方形的相交的一段弧长；对于D选项，在棱上取点，利用平行作出平面的平行平面，求三角形的面积即可. 【详解】对于选项，因为，所以， 由余弦定理可知， 即，解得， 所以，即，同理可得， 又因为，平面，所以平面，故正确；对于选项，如图①所示，过点作，垂足为，则四棱台的高为，因为，所以，为上靠近点的四等分点， 所以，故错误； 对于选项，由勾股定理得， 故点的轨迹为以为圆心，以6为半径的圆在正方形内部的部分，如图②， 圆与相交于点，与相交于点， 过点作，垂足为，，垂足为， 为上靠近点的四等分点，则，， 又，由勾股定理得， 由于，所以，故， 故动点的轨迹长度是，故C错误； 对于D选项，如图①，分别在棱上取点，使得，则有， 平面，平面，平面， 同理平面，，平面 所以平面平面， 所以即为平面截该四棱台所得截面多边形， ，所以， 所以截面多边形的面积为，故D正确， 故选：AD. 【点睛】方法点睛：空间图形中的轨迹问题，根据已知条件判断轨迹形状，再根据形状求轨迹长度；截面问题，先由截面的特征，结合已知的平行和垂直关系，作出截面图形，由图形求面积. 题型四 空间几何体的截面图 作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线，从而得到截面．一般有两种方法做截面： 1． 平行线法 2． 延长线法。 【例题精讲】 1．已知正方体的棱长为3，P为棱AB上更靠近的三等分点，则平面截该正方体的截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】如图，取棱DC上更靠近的三等分点，连接，． 因为// ，所以四边形为平行四边形， 所以//，. 所以，， 所以平面截正方体的截面为平行四边形． 因为，， 所以该截面的周长为． 2．已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，所得截面多边形的周长为（   ） A．4 B．8 C． D． 【答案】C 【分析】建立空间直角坐标系，设，由得出相应的结论，即可得出点构成的平面截正四面体所得的截面图形求出图形的周长即可. 【详解】将正四面体补全为正方体，则正方体棱长为4， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 则， 设，则 ， 所以，即点构成的平面截正四面体所得的截面为正方形，边长为， 故截面周长为. 3．一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，3，高为，若用一个平行于上下底面的平面截该棱台，且将棱台的高平分，则所截得的上下两个棱台的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据正四棱锥的相似性质求得截面正方形边长，再利用棱台体积公式分别计算上下两部分棱台的体积，最终求比值即可. 【详解】首先将正四棱台补为正四棱锥，设补出的小棱锥高为， 由上下底面边长比为，且棱台的高为，由相似多边形的性质得，解得. 由于平面平分棱台的高，故截面与棱台上底面的距离为，截面所在棱锥的高为， 由相似比得截面边长，上下两部分棱台的高均为， 根据棱台体积公式， 上部分棱台：上底面积，下底面积，高， 则 下部分棱台：上底面积，下底面积，高， 则. 因此体积比为. 4．在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且PD=AD=2，点E，F分别在侧棱PA，PC上，且，，过点B，E，F的平面α截四棱锥的截面面积为（    ） A．2 B．2 C．3 D．3 【答案】A 【分析】以为原点建系，设平面α交侧棱PD于点M，根据共面定理得出，再根据坐标计算得出点的坐标，再根据对角线互相垂直求出面积. 【详解】以为原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则， 设平面α交侧棱PD于点M， 令，则，则， 由，，则， 所以，， 由题意，M，E，B，F四点共面， 所以存在实数，使得 ， 则，解得， 所以. 则，所以， 因为，所以， 所以四边形的面积为. 5．如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点，连接，作出截面，分别求出边长，进而求出截面的周长. 【详解】如图，取的中点，连接，则， 则在正方体中，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，所以， 则四边形即为过A，C，K三点的截面， 因为正方体的棱长为， 所以，， ， 则其周长为. 6．已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点依次在平面内作平行线，可得到截面，根据比例确定边长知截面为等腰梯形即可求面积. 【详解】 点是的重心，，过作交于，并延长交于， 过作，过作，如图四边形为截面， ∵点是的重心，，∴， ∴，，，， 四边形为等腰梯形，故面积为. 故选：C. 7．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过B，E，F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作出辅助线，得到截面图形，并求出面积 【详解】连接，，， 因为E，F分别是棱，的中点，所以， 又，故，，则四点共面， 故截该正方体所得截面为四边形， ，， ，四边形为等腰梯形， 过点分别作，交于点， 则，故， 故，所以截面面积为. 8．（多选）如图，正方体的棱长为6，，，分别为，AD，的中点，则（   ）    A．直线平面 B．平面平面 C．三棱锥的体积为18 D．平面截正方体所得的截面是等腰梯形 【答案】ACD 【分析】对于A，取的中点，证明平面平面从而证明直线平面；对于B，由A知平面，经过的平面有且仅有一个平行于平面，即可判断；对于C，根据即可判断；对于D，根据可确定截面为梯形，再证明即可判断. 【详解】对于A，取的中点，连接，，，    则四边形为平行四边形， 所以，又平面BMN，平面， 所以平面， 因为点，为，的中点，所以，又，所以， 由，平面，平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故A正确； 对于B，由A可知，平面， 经过的平面有且仅有平面平面， 因为平面与平面不是一个平面，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，如图，连接，，由四边形为平行四边形得， 因为，所以，所以，，，四点共面， 所以平面BMN截正方体所得的截面是梯形， 由题意得，，所以梯形为等腰梯形，故D正确.    9．（多选）如图，四棱锥的外接球球心为点，且底面为正方形，平面，，．若点为上靠近点的三等分点，点，分别为线段与平面上的点，则最小时，下列说法正确的是（    ） A． B．点为线段的中点 C．三棱锥的体积为 D．平面截四棱锥所得的截面是直角梯形 【答案】ACD 【分析】对于A，根据线面垂直，可得线线垂直，结合直角三角形的外接圆，可得其正误；对于B，根据点到平面距离以及旋转，将问题转化为平面问题，结合图像，可得其正误；对于C，根据三棱锥的体积公式，结合直角三角形面积计算以及等积变换，可得其正误;对于D，平行的传递性，结合平行线的比例以及线面垂直的性质，可得其正误. 【详解】对于A，连接，如下图： 因为平面，且平面， 所以，，， 因为在正方形中，，且，平面， 所以平面，因为平面，所以， 同理可得， 因为为的斜边， 所有的中点到的距离都等于的一半， 则球心就是的中点，如下图： 在正方形中，， 在中，， 在中，，则，， 由，可知与相似，则，故A正确； 对于B，由平面，则当平面时，最短， 因为平面，所以， 因为，且平面，所以平面， 将绕旋转到的位置，使得平面， 在平面中，过作，垂足为，如下图： 易知，，由图可知， 此时即为所求点位置，与的交点即为所求点位置， 在正方形中，由，则， 在中，，则， 易知，所以，， 在中，， 故分别为的三等分点，如下图： 故B错误； 对于D，由B可知，所以， 在中，过作，交于，连接，如下图： 易知，，即，，即， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 即平面截四棱锥所得的截面是直角梯形，故D正确； 对于C，由D，因为，平面，所以平面， 由，则， 在中，， 因为平面，平面，所以， 在中，，， 所以三棱锥的体积，故C正确. 故选：ACD 10．（多选）正四棱台中，，侧棱与底面所成角为分别为，的中点，为线段上一动点（包括端点），则下列说法正确的是（    ） A．该四棱台的体积为 B．三棱锥的体积为定值 C．平面截该棱台所得截面为六边形 D．异面直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】将正四棱台补形为正四棱锥，求得相关线段长度，根据棱台的体积公式计算该四棱台的体积，判断A；根据线面平行的性质结合棱锥体积公式可判断B；根据平面的基本性质作出平面截该棱台所得截面，判断C；采用平移法，找到异面直线与所成角，解三角形，可求得异面直线与所成角的余弦值，判断D. 【详解】将正四棱台补形为正四棱锥， 由，可得为其中截面. 设分别为的中心， 底面，故为侧棱与底面所成角， 故，可得， 侧面为等腰梯形，高为，故， 对于，正确 对于B，连接,则,而, 所以，平面,平面,得 平面， 由于为定值，M在上，故三棱锥的体积为定值 即三棱锥的体积为定值，B正确； 对于，取中点，连接并延长交于， 连接并延长交直线于， 则 ,则,而， 故,同理, 连接，则,即为的中位线，而为的中点， 故在上，即三点共线， 连接,则五边形为平面截正棱台所得的截面，C错误 对于，由题意知四边形为平行四边形， 故，可得为异面直线与所成角或补角， 在中,由余弦定理得， 由于异面直线与所成角范围为， 故异面直线与所成角的余弦值为，D正确, 故选： 【点睛】难点点睛：解答本题要发挥空间想象，明确几何体中的线面位置关系，计算出相关线段长度，难点在于判断平面截该棱台所得截面的形状，此时要根据平面的基本性质，作出该截面，判断形状. 题型五 空间几何体的表面积 空间几何体表面积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系． (2)求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积． (3)组合体的表面积注意衔接部分的处理． 【例题精讲】 1．在四面体中，，则该四面体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】应用三角形面积公式及余弦定理计算求解，最后结合同角三角函数关系及面积公式计算求值. 【详解】记，，，的面积分别为， 则，， ， 而由余弦定理得，故，而显然， 由勾股定理得， 于是， 由得， 故， 故四面体的表面积． 2．已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为， 则圆锥的表面积为， 又，解得， 所以圆锥的高为：， 所以该圆锥的体积为： 3．已知正四棱台的上､下底面积分别为3，12，当正四棱台的外接球的体积最小时，该四棱台的侧面积为（    ） A． B． C．18 D． 【答案】A 【分析】利用正四棱台的外接球球心必在上、下底面中心的连线上，由上、下底面边长确定，先分析正四棱台的外接球半径最小值就是下底面外接圆半径，从而可求棱台的高和侧面积. 【详解】因为正四棱台上下底均为正方形， 由上､下底面积分别为3，12，可得上､下底面正方形的边分别为， 上､下底面正方形的外接圆半径分别为和， 因为正四棱台的外接球半径一定大于或等于下底面正方形的外接圆半径， 所以正四棱台的外接球的半径最小值为，此时下底面中心即为外接球的球心. 则棱台的高， 再由勾股定理计算可得：， 所以再由勾股定理可得侧面梯形的斜高为：， 即一个侧面的梯形面积为， 则该四棱台的侧面积为. 4．如图，在正三棱柱中，为上一点，，，平面将三棱柱截为两部分，则这两部分几何体的表面积之比为（    ）    A． B． C．8 D．9 【答案】A 【分析】几何体被截面截完后，分为两个部分，其中上部分的面积由一个正三角形、一个等腰三角形、两个直角梯形和一个正方形构成，下部分是由两个直角三角形、一个等腰三角形和一个正三角形组成的,逐个计算即可求解. 【详解】该几何体被截面截完后，分为两个部分， 其中上部分的面积由一个正三角形、一个等腰三角形、两个直角梯形和一个正方形构成， 下部分是由两个直角三角形、一个等腰三角形和一个正三角形组成的. 为了便于计算，设，，， 中，边上的高， 则上部分几何体的面积 ， 下部分几何体的面积， 故上下两部分表面积之比为. 故选：A 5．正三棱台中，，与底面所成角的正切值为2，则正三棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设正三棱台的上下底面中心分别为，连接，过作于， 则，，如图所示：   三棱台为正三棱台，上下底面为等边三角形，三个侧面为全等的等腰梯形； ，，， ，； 与底面所成角的正切值为2， ，得； . 过作于，则为侧面梯形的高； ，； ，， ； . 6．水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原正方体棱长为，裁去八个相同的四面体时，切割点应该为正方体各棱的中点， 每个面切掉四个角后，剩余一个边长为的小正方形， 则六个小正方形面的面积和为： 而切掉正方体的个顶点后，每个切口新增一个边长为的正三角形， 则八个正三角形面的面积和为， 所以该饰品的表面积为. 7．如图，已知正方体的棱长为1．平面，平面和平面将该正方体分割成若干个多面体，则其中顶点所在的多面体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找到分割后顶点所在的多面体，分析该多面体表面构成，即可求得其表面积. 【详解】连接，易知三条体对角线交于一点，记为点. 则分割后顶点所在的多面体为六面体，其表面分别是. 根据正方体的性质，知， 所以. 中，边上的高为，所以的面积为； 的面积为. 所以顶点所在的多面体的表面积为. 故选：D. 8．（多选）将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，得到一个几何体．则（   ） A．该几何体的体积为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的外接球半径为 D．该几何体有7个面 【答案】ACD 【详解】正方体的体积，截去三棱锥体积， 几何体，故A正确； 正方体的表面积， 截去3个直角三角形面积， 新增1个边长为的正三角形面积为， 该几何体的表面积为，故B错误； 该几何体与原正方体外接球相同，正方体外接球直径为， 解得，故C正确； 正方体有6个面，截去一个角后，每个截面多出一条边，整体新增1个面，共7个面， 故D正确． 9．（多选）已知圆台形状的容器的上､下底面半径分别为1，2，母线长为2.若容器壁厚度忽略不计，则（    ） A．该容器的侧面积为 B．该容器的容积为 C．该容器可以整体放入表面积为的球形容器内 D．能将7个半径为的球平铺放入该容器内 【答案】ACD 【分析】对于A，B选项，利用圆台的侧面积公式和体积公式求解；对于C，求出球形容器的半径，再判断圆台形容器能否放入；对于D选项，求出当球与圆台相切时球的半径，再判断能否放入. 【详解】对于A，该容器的侧面积为，A正确； 对于B，该容器的高为， 所以该容器的容积为，B错误； 对于C，设表面积为的球形容器半径为， 则，所以，将圆台形状的容器按照如图所示放置， 假设，则圆台上底面半径，又， 所以该容器可以整体放入表面积为的球形容器内，C正确； 对于D，这7个球按如下方式放入该容器，当球与圆台相切时，过点A，B，C作圆台的轴截面， 易知圆台的母线与下底面的夹角为，则， 此时，故能将7个半径为的球平铺放入该容器，D正确. 10．（多选）在棱长为1的正方体中，为正方体内（含表面）的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则（   ） A．的最小值为 B．点的轨迹形成图形的面积为 C．点的轨迹与正方体表面交线的长度为 D．当点在侧面上时，的最小值为1 【答案】ACD 【分析】对于A，由图通过折叠相关平面，使共面，据此可判断选项正误；对于B和C，由题设可得M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的，据此可判断选项正误；对于D，注意到，据此可判断选项正误． 【详解】对于A，由图注意到，将平面沿折叠至平面处，使共面， 则，当且仅当三点共线时取等号，故A正确； 对于B，注意到，则M的轨迹为如图以为顶点，AB为高，为母线的圆锥侧面的， 则点M的轨迹所形成图形的面积为：，故B错误； 对于C，由B分析，点M的轨迹与正方体表面的交线长度为：，故C正确； 对于D，注意到，过N作平行线交于，则， 从而，当且仅当三点共线时取等号，故D正确. 题型六 空间几何体的体积 1.直接法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解． 2.把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算．常见的补形有：(1)将正四面体补形成正方体；(2)将等腰四面体(对棱相等)补形成长方体；(3)将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补形成正方体；(4)将台体补形成锥体等． 3.分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时，可将其分割转化成比较好求体积的几何体． 4.(1)等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性． (2)尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积．转化的目的是找到易于计算的“好底”与“好高”． 【例题精讲】 1．若一个圆锥的底面半径r与一个球的半径相等，且这两个几何体的体积相等，则该圆锥的高为（   ） A．2r B． C．4r D． 【答案】C 【详解】设圆锥的高为，则，解得. 2．如图，向一个高为3且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为1时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设出未知数，根据棱台体积和棱锥体积公式得到方程，求出水面高度 【详解】设正四棱锥的下底面边长为，因注水四棱台部分的高为，四棱锥的高为， 设注水四棱台的上底面边长为，则，解得， 注水四棱台的上底面的面积为， 注水四棱台的下底面的面积为， 则注水四棱台的体积为， 将此四棱锥容器倒置时，水的体积不变而且形成一个小四棱锥， 设水面高度为，底面边长为， 则，解得，且底面面积为， 设此四棱锥容器倒置后注水四棱锥的体积为，则， 又，则，解得，即， 即此四棱锥容器倒置后，水面高度为. 3．在正三棱台中，，，则该棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算出三棱台的上下底面和高，进而计算出三棱台的体积. 【详解】因为，所以， 因此上下底面正三角形的面积： , 正三角形的中心到顶点的距离为边长， 所以上底面中心到顶点的距离为，下底面中心到顶点的距离为， 侧棱为，台体高为，所以. 代入三棱台体积公式： 故选：B. 4．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面ABCD为矩形，面ABCD，记该刍甍的体积为，三棱锥的体积为，，，若，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用刍甍的体积分割成三棱柱与四棱锥体积之和，然后再用面积比来表示体积比，从而可求解. 【详解】 如图，在上分别取，连接， 因为面ABCD，可得，所以可得到三棱柱， 由图可得：，则， 因为三棱锥的体积为，所以， 则三棱柱的体积为， 再由，则， 因为三棱锥的体积为，所以， 则四棱锥的体积为， 所以该刍甍的体积为， 又因为，所以. 5．在直三棱柱中，点满足，若经过，，三点的平面将棱柱分为，两部分的体积较小，则与的体积之比为（ ） A．4∶5 B．5∶7 C．10∶17 D．8∶19 【答案】D 【分析】根据，确定点的位置，经过，，三点的平面将三棱柱分为两部分，通过补形确定经过三点的平面，利用棱柱、棱台的体积计算方法，得到，两部分的体积，最终求得比值. 【详解】取的中点，连接，； ，，即点在线段上，. 过点作，分别交，于点，. 平面是过点，，三点的平面. 设，直三棱柱的高为. . ，，； ； 直三棱柱被平面分成，两部分的体积较小）， ，则； . 6．如图1，在中，，，，，分别为边，，的中点．将沿折起到沿折起到，使得平面且为等边三角形，如图2所示，则多面体的体积为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，补全几何体为棱长为1的正方体，进而转化为正方体的体积减去2倍的三棱锥体积即可. 【详解】在中，，，，分别为边，，的中点， ，，四边形是边长为1的正方形，面积， 折叠后，，，且， 因为为等边三角形，所以； 因为平面， 所以，补全几何体为棱长为1的正方体，如图，满足条件； 所以多面体的体积为正方体的体积减去2倍的三棱锥体积， 所以. 7．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，具有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（    ） ①此八面体的表面积为； ②异面直线与所成的角为； ③此八面体的外接球与内切球的体积之比为； ④若点为棱上的动点，则的最小值为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】对①：计算出一个三角形面积后乘8即可得；对②：借助等角定理，找到与平行，与相交的线段，计算即可得；对③：借助外接球与内切球的性质计算即可得；对④：空间中的距离和的最值问题可将其转化到同一平面中进行计算. 【详解】对①：由题意可得，故①正确； 对②：连接，取中点，连接、， 由题意可得、为同一直线，、、、四点共面， 又，故四边形为菱形， 故，故异面直线与所成的角等于直线与所成的角， 即异面直线与所成的角等于，故②错误； 对③：由四边形为正方形，有， 故四边形亦为正方形，即点到各顶点距离相等， 即此八面体的外接球球心为，半径为， 设此八面体的内切球半径为， 则有，化简得， 则此八面体的外接球与内切球的体积之比为，故③正确； 对④：将延折叠至平面中，如图所示： 则在新的平面中，、、三点共线时，有最小值， 则，故④错误. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题④中，关键点在于将不共面的问题转化为同一平面的问题. 8．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱CD的中点，动点P在侧面内（含边界）运动，则（   ） A．过点E，P的平面截正方体所得截面可能为五边形 B．若三棱锥的体积为，则动点P的轨迹长度为2 C．若P为的中点，则平面 D．若P为棱的中点，则平面AEP截正方体所得截面面积为 【答案】AD 【分析】对于A，结合正方体的特点及图形即可判断；对于B，由三棱锥的体积公式结合题设可得到平面的距离为，进而建立空间直角坐标系，利用空间向量列方程求出点P的轨迹方程，进而求解判断即可；对于C，建立空间直角坐标系，利用空间向量判断即可；对于D，连接并延长交的延长线于点，连接，可得平面AEP截正方体所得截面为梯形，进而求解判断即可. 【详解】对于A，如图，过点E，P的平面截正方体所得截面可能为五边形，故A正确； 对于B，由于， 则， 所以， 则， 设到平面的距离为， 由，则， 以为原点，以所在直线建立如图所示的空间直角坐标系， 则，设， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 则，即， 所以点P的轨迹线段，而， 则动点P的轨迹长度为，故B错误； 对于C，建立同B选项的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，取，得， 因为，所以与不垂直， 则与平面不平行，故C错误； 对于D，连接并延长交的延长线于点，连接， 而为的中点，P为的中点，则为与的交点，为的中点， 即， 所以平面AEP截正方体所得截面为梯形， 而，则梯形的高为， 所以梯形的面积为，故D正确. 9．（多选）如图，在四棱锥中，底面 ，E，F分别为棱AB，AD上的动点，且满足，则（    ） A．直线SC与平面SAB所成角的正弦值为 B．平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为 C．四棱锥的体积为2 D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 【答案】ACD 【分析】根据体积公式计算后可判断C的正误，根据向量法可求线面角的正弦值判断A，根据向量法可求面面角的余弦值判断B，根据空间距离公式可求外接球的球心坐标后求出半径，再结合表面积公式计算后可判断D的正误. 【详解】在四边形中，，故， 所以四边形为直角梯形，故其面积为， 因为平面，所以为四棱锥的高， 故四棱锥的体积为，故C正确； 因为平面，，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 故而平面的法向量为， 设直线与平面所成的角为，故， 故A正确； 又，设平面的法向量为， 则即，取， 设平面与平面所成的角为，则， 故B错误； 设，， 由可得， 故的面积为， 当且仅当时等号成立，故当且仅当时，三棱锥的体积最大， 此时，设三棱锥外接球的球心为， 则， 整理得，解得，故， 三棱锥外接球的表面积为，故D正确. 10．（多选）如图，已知圆锥的底面直径，母线，则下列说法正确的有（    ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆锥展开图中圆心角为 D．若，一只蚂蚁沿着表面从A爬到C，则最短距离为 【答案】ACD 【分析】根据题意，求出圆锥的底面半径r、母线长l和高h，利用圆锥体积公式及侧面积公式可判断A、B；利用弧长公式求出侧面展开图中圆心角判断C；把侧面沿展开，利用余弦定理计算即可判断D． 【详解】选项A：由题意可知，圆锥底面半径，母线长， 则圆锥的高，所以圆锥的体积，故A正确； 选项B：圆锥的侧面积，故B错误； 选项C：圆锥底面周长为， 设侧面展开图的圆心角为α， 则，即，解得，故C正确； 选项D：将圆锥侧面沿母线展开，如图所示， 最短距离为， 因为为底面直径，所以点为弧的中点， 则， 在中，，，， 由余弦定理得， 解得， 即最短距离为，故D正确． 课时精练 一、单选题 1．已知某圆锥的侧面展开图的面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】依题意，设圆锥的底面半径为，母线长为，所以，所以， 该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为.    2．若体积为的圆锥的高为1，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设圆锥的底面半径为，则，解得， 故所求母线长为． 3．已知正三棱台的高为，，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不妨设上、下底面中心为，，，的中点分别为，，易知为斜高， 由，得，， 作于，所以，， ， 故所求棱台的侧面积为． 4．如图，圆台的高为，是母线，，.现在将圆台的侧面沿剪开，并展开成平面图形，点在侧面展开图中对应的点为，，则线段的长度为（   ） A．8 B． C．16 D． 【答案】D 【详解】如图1，在圆台的轴截面中作于点. 设，由题意得，， 由勾股定理可得，解得，所以. 侧面展开图如图2，的长为，的长为， 所以，又，所以， 所以，所以. 5．如图所示，在六面体ABEDC中，，，，则（    ） A．1 B．3 C． D．4 【答案】B 【分析】把六面体放置于长方体中，进一步计算即可. 【详解】根据棱长特征分析， 可以将该六面体置于长方体（以CA，CB，CD为共顶点的棱）中， 则CE为该长方体的体对角线， 设各边长为，则 解得, 所以. 故选：B. 6．公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种正多面体进行截角操作（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为（   ） A．60 B．90 C．120 D．180 【答案】B 【分析】先分析得出正二十面体的面、顶点以及棱的个数，进而结合图像得出足球截面体各个面的性质，即可得出答案. 【详解】易知正二十面体有20个面，每个面都是三角形，每个顶点都是5条棱的交点，每条棱都是两个面的公共边， 所以，正二十面体的棱数为，顶点的个数为. 由图像可知，正二十面体的每个顶点截角后为一个正五边形，即每个顶点处增加了5条棱； 原来的30条棱数量不变，所以，足球截面体的棱数为. 故选：B. 7．如图，在直角梯形中，，，，，以直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先通过构造直角三角形算出腰长，再分析旋转后得到的几何体是圆柱挖去一个圆锥，最后把圆柱侧面积、圆柱下底面积和圆锥侧面积相加，得到几何体的表面积. 【详解】过点作于点， 由，，，. 得，， 故. 以直线为轴旋转一周，形成的几何体为一个圆柱挖去一个圆锥， 圆柱底面半径，高，圆锥底面半径，高. 该几何体的表面积由圆柱的侧面积、圆柱的下底面积和圆锥的侧面积组成. 圆柱侧面积. 圆柱下底面积， 圆锥侧面积. 故表面积. 8．已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为，且.若球和圆台的体积分别为和，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设球O的半径为R，利用球与圆台相切得和圆台的高为，再利用圆台和球的体积得，再利用对勾函数的图像与性质，计算得结论. 【详解】    因为球O与圆台的上下底面和侧面都相切， 圆台上下底面半径分别为、，且， 由切线长定理有圆台的母线长为， 设球O的半径为R，几何体轴截面上右端点为，下右端点为， 过点作于，则圆台的高，， 则由勾股定理有，化简得， 因为球O与圆台的体积分别为和， 所以， 因为，所以， 令，，由对勾函数可知，时，随的增大而减小， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值为. 故选：D. 二、多选题 9．（多选）在直四棱柱中，四边形是菱形，，则（    ） A．四棱柱的体积为162 B．四棱柱的表面积为 C．点到平面的距离为 D．直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】记棱柱的高为,根据题意，列出方程组，求得，结合体积公式，可判定A正确；利用侧面积和三角形的面积公式，求得棱柱的表面积，可判定B正确；设点到平面的距离为，利用等体积法，列出方程，可判定C错误；结合异面直线所成角的定义，可判定D正确. 【详解】对于A，记棱柱的高为,即直四棱柱的侧棱长都为， 因为， 可得， 又因为是菱形，可得，所以是等边三角形，所以， 可得，联立方程组，解得， 故棱柱的体积，所以A正确； 对于B，棱柱表面积，所以B正确； 对于C，记点到平面的距离为， 由，可得， 由余弦定理得， 因为，可得， 所以，所以，所以C错误； 对于D，由，所以直线与所成角，即为直线与所成角， 即所求角为的补角，由C项知， 所以直线与所成角的余弦值为，所以D正确. 10．（多选）如图，正八面体的八个面都是正三角形，且四边形是边长为2的正方形，则（    ） A．平面 B．平面平面 C．异面直线与所成角为 D．若正四面体可在内任意转动，则该正四面体棱长的最大值为 【答案】ACD 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；利用二面角的定义判断B；利用定义求出异面直线夹角判断C；利用正八面体的内切球的内切正四面体的棱长判断D. 【详解】对于A，由正八面体，得四边形为正方形，， 而平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，由，平面，平面，得平面， 而平面，令平面平面，因此， 取的中点，连接，由都是正三角形， 得，则，因此是二面角的平面角， 又，，是锐角， 因此平面与平面不垂直，B错误； 对于C，由，得异面直线与所成角等于或其补角， 由为正三角形，得，因此异面直线与所成角为，C正确； 对于D，由正四面体可在内任意转动，得棱长最大的四面体外接球 是正八面体的内切球，设该球半径为，而 ，又， 则，设正四面体的棱长为，则其高， 由正四面体和外接球半径为，得，即， 解得，因此该正四面体棱长的最大值为，D正确. 11．（多选）如图，在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（   ） A．若平面平面，则 B．平面 C．异面直线与所成的角为 D．四棱锥的体积为8 【答案】ACD 【分析】利用中位线得出两条线段平行，再根据线面平行的性质可判断A选项，取中点构造三角形，通过边长关系判断是否垂直，可判断B选项，将异面直线所成角转化为与之平行的两条相交直线的夹角，利用等边三角形的内角得出角度即可判断C选项，四棱锥的高为已知棱长，底面为梯形，通过面积割补法求得底面面积，再代入体积公式计算可判断D选项. 【详解】对于A，分别为的中点， ．又平面，平面， ∴平面． 又平面平面，平面，， 又，，故A正确． 对于B，设的中点为，连接，则． ，， ，不满足勾股定理逆定理， 与不垂直，则与平面不垂直． 又，与平面不垂直，故B错误． 对于C，，而为等边三角形， ，即异面直线与所成的角为，故C正确． 对于D，四棱锥的高为，. 四棱锥的体积为，故D正确． 三、填空题 12．已知正四棱锥的高为2，，为棱的中点，若点均在球的球面上，则平面截球所得截面圆的面积为________． 【答案】 【分析】先利用正四棱锥的性质，可求出正四棱锥外接球的半径，再利用空间向量求出球心到截面的距离，最后利用球的截面性质可求出截面圆的半径，即可求解截面圆的面积. 【详解】    在正四棱锥中，底面是边长的正方形，底面中心记为， 则底面正方形对角线长为，故， 正四棱锥的高，外接球的球心在高 上，设外接球半径为， 由勾股定理得：， 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则， 因为是中点，所以， 可得：， 设平面的法向量为， 则， 令，可得，即， 由，设球心到平面的距离为， 则， 设截面圆半径为，由球的截面性质， 所以截面圆的面积. 13．如图，在多面体中，平面，，，，则多面体的体积为_________． 【答案】1 【分析】结合题干给出的线面垂直关系与各棱长条件，采用补形法将多面体补为长方体，通过长方体体积减去多余的三个三棱锥的体积，计算得到目标多面体的体积。 【详解】根据多面体的结构特征，将其补成长方体，所以多面体的体积为 ． 14．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的侧面积为______． 【答案】 【分析】由已知条件，通过作辅助线分别求出各侧面的三角形高，再分别求出各个侧面三角形面积，再求和即可. 【详解】取的中点，的中点，连接，如图所示： 因为底面是矩形，所以， 因为，为的中点，所以且， 过点作平面的垂线，因为， 所以，故点在的垂直平分线上， 故平面与平面的夹角为，，， 因为，平面，所以平面， 因为，所以平面，又平面，则， 所以，所以，， 点到的距离为，点到的距离为，同理点到的距离为， 所以， 所以该四棱锥的侧面积为. 四、解答题 15．已知直三棱柱中，，点M、N分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求与平面BCN夹角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析. (2) (3) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理求解； （2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，由求解； （3）先求点到平面BCN的距离为，再由三棱锥体积公式求解. 【详解】（1） 连接，， 四边形为矩形，为的中点， 与交于点，为的中点， 又N为的中点，， 又平面，且平面， 平面. （2） 由已知，以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，，， ，， 设平面的一个法向量为， 因为平面即平面，，， ， 取，则，从而， 设所求线面角为，， ， 所以与平面夹角的正弦值为. （3） 设点到平面的距离为，， ， 已知，则， 所以 . 16．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出向量，，即可用空间向量法求解； （2）由向量得出点到平面的距离，再由锥体的体积公式即可求解； （3）分别求出平面与平面的法向量，然后用空间向量法求解. 【详解】（1）由题意可知、、两两垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 即，， 设异面直线与所成角为，则为锐角， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为． （2）由（1）易知，，， 设面的一个法向量为，则有， 取，，即， 所以点到平面的距离为； ，，， 所以三棱锥的体积为． （3）由（1）可知，， 设面的一个法向量为，则有， 取，，即， 设平面与平面夹角为，则为锐角， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 17．如图，在平行四边形ABCD中，．现将沿着AC翻折，使点到达点的位置，形成三棱锥．线段PB上有两点M，N，满足平面平面ACM且平面平面ACN． (1)当平面平面ACP时，求三棱锥外接球的表面积； (2)在翻折过程中，当点为线段PB上靠近点的三等分点时，求点到平面ACP的距离； (3)在翻折过程中，是否存在，若存在，求平面ACP与平面ABC所成角的余弦值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用外心性质确定三棱锥外接球球心位置与半径，再代入球的表面积公式计算； （2）通过建立空间直角坐标系，用二面角参数表示点坐标，利用法向量垂直条件求解二面角，再用向量投影公式求点到平面的距离； （3）用参数表示线段上的点，结合法向量垂直条件确定，再根据向量关系列方程求解二面角的余弦值. 【详解】（1）的外心为AB中点的外心为CP中点， 取线段AC中点，则 设三棱锥外接球的球心为点，则平面平面ACP，． （2）以点为原点，的方向为x，y轴正方向，建立空间直角坐标系． ，设二面角的平面角为，则． 设平面ACP的法向量为，平面ACN的法向量为， 由， 解得． 由平面平面ACN，可得，解得． 点为线段PB上靠近点的三等分点，可得 由，解得 即二面角的平面角为 此时 点到平面ACP的距离 （3）已知，点横坐标为1． 点在yoz平面上，所以点横坐标为0． 可得． 设， 由（2）得平面ACN的法向量． 由，解得 即． 根据条件，得，解得 在翻折过程中，存在，此时平面ACP与平面ABC所成角的余弦值为 18．如图，顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． (1)证明：平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求的长； (3)是否存在一个点，满足点到点，，，，的距离均相等？若存在，求出二面角的余弦值的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1)由题意知，平面，因为平面，所以. 又，，平面，，所以平面. (2) (3)存在点满足条件，二面角的余弦值的取值范围为 【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理得到平面，在中求得，结合等体积法可得到当三棱锥的体积最大时，在中求解即可. （3）根据线面垂直的性质得到，，进而得到，，，四点共圆，圆心为中点；取中点，连接，可得到平面，结合勾股定理即可判断点即为所求的点；作，交于点，连接，证明平面，则即为二面角的平面角，在中求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，平面，因为，平面，所以，. 又，，平面，，所以平面. 因为，平面，所以，. 设过的一个轴截面交底面圆周于，点，则为等腰直角三角形， 所以，为等腰直角三角形，则， 又是的中点，所以，且. 因为，平面，，所以平面. 在中，. ， 当且仅当时，等号成立， 即当三棱锥的体积最大时，. 在中，，平面图如图： 在中，，，所以， 在中，. 故当三棱锥的体积最大时，的长为. （3）在四棱锥中， 由（2）得，平面，平面，所以，即. 又，即，所以，，，四点共圆，圆心为中点，记为. 取中点，连接，则， 由（2）得，平面，所以平面. 由，得， 故点即为所求的点. 作，交于点，连接， 因为平面，，平面，所以，. 又，平面，，所以平面. 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角，记为. 在等腰中，，所以为中点，又为中点，所以. 在中，， 而，则，所以，故. 所以存在点满足条件，二面角的余弦值的取值范围为. 19．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点为棱上一动点，且，.    (1)求三棱锥的体积； (2)若平面，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先由线面垂直推，结合等腰三角形得，证出垂直侧面，再利用等体积法转换顶点，代入棱长数值套用棱锥体积公式算出结果. （2）先证垂直平面得线线垂直，再建空间直角坐标系写出对应点与向量坐标，由线面垂直推出向量点积为零，列方程求解得出的值. 【详解】（1）由题可知，平面，平面，所以. 又，所以. 因为，，平面，所以平面. 易得，， 所以. （2）如图，过点作平面，交于点，所以. 由（1）得平面，平面，所以 所以分，，两两垂直. 所以分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系.    则，，，， 可得，， 因为平面，所以. 即，所以，解得， 检验可知符合题意. 1 / 74 学科网（北京）股份有限公司 $ 第38讲 基本立体图形、简单几何体的表面积与体积 题型一 空间几何体的结构特征 3 题型二 平面图形与其直观图 5 题型三 空间几何体的展开图 7 题型四 空间几何体的截面图 10 题型五 空间几何体的表面积 13 题型六 空间几何体的体积 15 课时精练 18 【基础回顾】 知识点1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 分类 按底面多边形的边数 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 知识点2．直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直； ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 知识点3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 知识点4．柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 【必备知识】 1．锥体中平行于底面的截面的性质 在锥体中，用平行于底面的截面截原锥体，得到一个小锥体，则小锥体与原锥体有如下比例关系： ＝＝＝对应线段(如高、斜高、底面边长等)的平方之比． 这个比例关系很重要，在求锥体的侧面积、底面积比时，会大大简化计算过程．在求台体的侧面积、底面积比时，将台体补成锥体，也可应用这个关系式． 2．有关棱柱直截面问题 在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫作棱柱的直截面，正棱柱的直截面是其上、下底面及与底面平行的截面．棱柱的侧面积与直截面周长有如下关系式： S棱柱侧＝C直截l(其中C直截，l分别为棱柱的直截面周长与侧棱长)，V棱柱＝S直截l(其中S直截，l分别为棱柱的直截面面积与侧棱长)． 题型一 空间几何体的结构特征 空间几何体结构特征的判断技巧 (1)紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定． (2)说明一个结论是错误的，只要举出一个反例即可． 【例题精讲】 1．下列关于空间几何体的说法中，正确的个数是（    ） ①正四棱柱都是长方体；②棱台的侧棱长均相等；③一个多面体至少有4个面. A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列几何体中为棱锥的是（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．有两个面互相平行，其余四个面都是梯形的六面体是棱台 B．直三棱柱的任意两个侧面的面积和大于第三个侧面的面积 C．空间中，过三点有且只有一个平面 D．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 4．如图所示，在三棱台中，截去三棱锥，则剩余部分是（   ） A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．四棱柱 5．若一个几何体由6个面围成，则该几何体可能是（     ） A．六棱锥 B．五棱柱 C．四棱台 D．圆台 6．下列说法中正确的是（    ） A．一个多面体至少有4个面 B．矩形旋转一周一定形成一个圆柱 C．底面是正多边形的棱锥是正棱锥 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】A 【分析】应用多面体的几何特征判断A，C，D，应用旋转体特征判断B. 【详解】多面体中面数最少为三棱锥，四个面，故A正确； 矩形绕其一条对角线旋转一周，所形成旋转体不是圆柱，故B错误； 正棱锥底面是正多边形，还需要满足顶点到底面的投影落在底面正多边形的中心，故C错误； 用一个平行于底面的平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台，故D错误. 7．如图所示的几何体是由哪个平面图形旋转得到的．（    ） A． B． C． D． 8．（多选）下列关于立体图形的说法错误的是（   ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥 B．侧面都是矩形的四棱柱是长方体 C．以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D．圆台的母线延长后一定交于同一点 9．（多选）下列说法正确的是（   ） A．平行六面体的各个面都是平行四边形 B．圆柱的侧面展开图是一个正方形 C．将棱台的侧棱延长后必交于一点 D．将直角三角形绕其一边所在的直线旋转一周形成的旋转体是圆锥 10．（多选）下列结论正确的是（   ） A．圆锥的轴截面是等边三角形 B．长方体是直四棱柱，直四棱柱不一定是长方体 C．用一个平面去截三棱锥，必得到一个三棱锥和一个三棱台 D．四棱柱、四棱台、五棱锥都是六面体 题型二 平面图形与其直观图 利用斜二测画法解题的策略 策略一 在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半 策略二 按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系为S直观图＝S原图形 【例题精讲】 1．如图，菱形是水平放置的四边形OABC的直观图，其中，则四边形OABC的周长为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 2．如图，已知用斜二测画法画出的的直观图是边长为2的正三角形，则原图中边在轴上的射影长度为（   ） A． B． C． D．3 3．如图，是用斜二测画法画出的水平放置的的直观图，若，的面积为3，则（    ） A． B． C．6 D．12 4．一个矩形的长、宽分别为2、3，其斜二测画法下的面积为（    ） A．6 B． C． D． 5．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 6．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，，，，，则原平面图形的面积为（   ） A． B． C． D． 7．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，，，则原平面图形的面积为（     ） A． B． C． D．6 8．（多选）如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有（ ） A． B． C．四边形的面积为 D．四边形的周长为 9．（多选）如图，是用斜二测画法画出的直观图，则（ ） A．是钝角三角形 B．的周长为 C．的面积为 D．的面积为 10．（多选）如图，为四边形的斜二测直观图，其中 .将四边形以为旋转轴，旋转一周得到几何体.则下列说法正确的有（    ） A． B．几何体是圆台 C．几何体的体积为 D．几何体的侧面积为 题型三 空间几何体的展开图 多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状． 【例题精讲】 1．如图，已知正方体中，，点P为线段上的动点，Q为平面内的动点，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 2．如图，三棱锥中，，为正三角形，，一质点从点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（    ） A．2 B．3 C． D． 3．在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 4．如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为，，分别是两底面的直径，，是母线．若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，则小虫爬行的最短路线的长度是（    ）cm．（结果保留根式） A． B． C． D．4 5．如图，圆锥的母线长为2，一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发，绕圆锥面爬行一周后回到点处，若该小虫爬行的最短路程为，则这个圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 6．已知某圆台的轴截面为等腰梯形，其中，，．则沿该圆台表面从点到达点，最短路径的长度为（   ） A． B． C． D． 7．已知一个圆锥的底面半径为5，表面积为.若在该圆锥内放入三个半径均为的球，其中每个球都与其他两个球相切，三个球都与圆锥的底面和侧面也相切，则（    ） A． B． C． D． 8．（多选）如图，已知圆台的轴截面为四边形EFGH，FG=4，EH=2，EF=3，沿着该圆台侧面从E到G的路径的长度为a.在该圆台内有一个棱长为b的正方体，且该正方体在圆台内能任意转动，则（    ）    A．圆台的高为 B．圆台的体积为 C．a的最小值为 D．b的最大值为 9．（多选）如图，是圆锥的底面圆的直径，点是底面圆上异于、的动点，点是母线上一点，已知圆锥的底面半径为，侧面积为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则从点出发绕圆锥侧面一周到达点的最短长度为 B．该圆锥的体积为 C．该圆锥的侧面展开图的圆心角大小为 D．三棱锥的体积的最大值为 10．（多选）如图所示，正四棱台中，，点在四边形内，点是上靠近点的三等分点，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．该正四棱台的高为 C．若.，则动点的轨迹长度是 D．过点的平面与平面平行，则平面截该正四棱台所得截面多边形的面积为 题型四 空间几何体的截面图 作多面体截面的关键在于确定截点，有了位于多面体同一表面上的两个截点即可连接成截线，从而得到截面．一般有两种方法做截面： 1． 平行线法 2． 延长线法。 【例题精讲】 1．已知正方体的棱长为3，P为棱AB上更靠近的三等分点，则平面截该正方体的截面的周长为（    ） A． B． C． D． 2．已知正四面体的棱长为，用满足的动点构成的平面截正四面体，所得截面多边形的周长为（   ） A．4 B．8 C． D． 3．一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，3，高为，若用一个平行于上下底面的平面截该棱台，且将棱台的高平分，则所截得的上下两个棱台的体积之比为（   ） A． B． C． D． 4．在四棱锥中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，且PD=AD=2，点E，F分别在侧棱PA，PC上，且，，过点B，E，F的平面α截四棱锥的截面面积为（    ） A．2 B．2 C．3 D．3 5．如图，已知正方体的棱长为，若为棱的中点，过三点作正方体的截面，则截面的周长为（    ） A． B． C． D． 6．已知正四棱锥的所有棱长都等于3，点是的重心，过点作平面，若平面平面，则平面截正四棱锥的截面面积为（   ） A． B． C． D． 7．在棱长为2的正方体中，E，F分别是棱，的中点，过B，E，F三点的平面记为，则截该正方体所得截面的面积为（     ） A． B． C． D． 8．（多选）如图，正方体的棱长为6，，，分别为，AD，的中点，则（   ）    A．直线平面 B．平面平面 C．三棱锥的体积为18 D．平面截正方体所得的截面是等腰梯形 9．（多选）如图，四棱锥的外接球球心为点，且底面为正方形，平面，，．若点为上靠近点的三等分点，点，分别为线段与平面上的点，则最小时，下列说法正确的是（    ） A． B．点为线段的中点 C．三棱锥的体积为 D．平面截四棱锥所得的截面是直角梯形 10．（多选）正四棱台中，，侧棱与底面所成角为分别为，的中点，为线段上一动点（包括端点），则下列说法正确的是（    ） A．该四棱台的体积为 B．三棱锥的体积为定值 C．平面截该棱台所得截面为六边形 D．异面直线与所成角的余弦值为 题型五 空间几何体的表面积 空间几何体表面积的求法 (1)旋转体的表面积问题注意其轴截面及侧面展开图的应用，并弄清底面半径、母线长与对应侧面展开图中边的关系． (2)求多面体的表面积时，只需将它们沿着若干条棱剪开后展开成平面图形，利用平面图形求多面体的表面积． (3)组合体的表面积注意衔接部分的处理． 【例题精讲】 1．在四面体中，，则该四面体的表面积为（   ） A． B． C． D． 2．已知一个圆锥的表面积为，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 3．已知正四棱台的上､下底面积分别为3，12，当正四棱台的外接球的体积最小时，该四棱台的侧面积为（    ） A． B． C．18 D． 4．如图，在正三棱柱中，为上一点，，，平面将三棱柱截为两部分，则这两部分几何体的表面积之比为（    ）    A． B． C．8 D．9 5．正三棱台中，，与底面所成角的正切值为2，则正三棱台的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．水晶是一种石英结晶体矿物，因其硬度、色泽、光学性质、稀缺性等，常被人们制作成饰品．如图所示，现有棱长为的正方体水晶一块，将其裁去八个相同的四面体，打磨成饰品，则该饰品的表面积为（   ） A． B． C． D． 7．如图，已知正方体的棱长为1．平面，平面和平面将该正方体分割成若干个多面体，则其中顶点所在的多面体的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．（多选）将一个棱长为2的正方体沿相邻三个面的对角线截去一个三棱锥，得到一个几何体．则（   ） A．该几何体的体积为 B．该几何体的表面积为 C．该几何体的外接球半径为 D．该几何体有7个面 9．（多选）已知圆台形状的容器的上､下底面半径分别为1，2，母线长为2.若容器壁厚度忽略不计，则（    ） A．该容器的侧面积为 B．该容器的容积为 C．该容器可以整体放入表面积为的球形容器内 D．能将7个半径为的球平铺放入该容器内 10．（多选）在棱长为1的正方体中，为正方体内（含表面）的动点，为线段上的动点，若直线与的夹角为，则（   ） A．的最小值为 B．点的轨迹形成图形的面积为 C．点的轨迹与正方体表面交线的长度为 D．当点在侧面上时，的最小值为1 题型六 空间几何体的体积 1.直接法：规则几何体的体积问题，直接利用公式进行求解． 2.把不规则的几何体补成规则的几何体，便于计算．常见的补形有：(1)将正四面体补形成正方体；(2)将等腰四面体(对棱相等)补形成长方体；(3)将三条棱两两相互垂直且相等的三棱锥补形成正方体；(4)将台体补形成锥体等． 3.分割法：把不规则的几何体分割成规则的几何体，当规则的几何体用公式不易求出时，可将其分割转化成比较好求体积的几何体． 4.(1)等体积转化法一般情况下是三棱锥才有的特性． (2)尽可能寻找在表面的三个点，通过三棱锥“换底”求解三棱锥的体积．转化的目的是找到易于计算的“好底”与“好高”． 【例题精讲】 1．若一个圆锥的底面半径r与一个球的半径相等，且这两个几何体的体积相等，则该圆锥的高为（   ） A．2r B． C．4r D． 2．如图，向一个高为3且底面水平放置的正四棱锥容器注水，水面高度为1时停止注水（不考虑容器厚度），将此四棱锥容器倒置后，水面高度为（     ） A．1 B．2 C． D． 3．在正三棱台中，，，则该棱台的体积为（     ） A． B． C． D． 4．我国古代数学名著《九章算术》对立体几何有深入的研究，从其中的一些数学用语可见，譬如将有三条棱互相平行且有一个面为平行四边形的五面体称为刍甍，今有一刍甍，底面ABCD为矩形，面ABCD，记该刍甍的体积为，三棱锥的体积为，，，若，则（   ） A．1 B． C． D． 5．在直三棱柱中，点满足，若经过，，三点的平面将棱柱分为，两部分的体积较小，则与的体积之比为（ ） A．4∶5 B．5∶7 C．10∶17 D．8∶19 6．如图1，在中，，，，，分别为边，，的中点．将沿折起到沿折起到，使得平面且为等边三角形，如图2所示，则多面体的体积为（） A． B． C． D． 7．六氟化硫，化学式为，在常压下是一种无色､无臭､无毒､不燃的稳定气体，具有良好的绝缘性，在电器工业方面具有广泛用途.六氟化硫分子结构为正八面体结构（正八面体每个面都是正三角形，可以看作是将两个棱长均相等的正四棱锥将底面粘接在一起的几何体）.如图所示，正八面体的棱长为，下列说法中正确的个数有（    ） ①此八面体的表面积为； ②异面直线与所成的角为； ③此八面体的外接球与内切球的体积之比为； ④若点为棱上的动点，则的最小值为. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．（多选）如图，在棱长为2的正方体中，E为棱CD的中点，动点P在侧面内（含边界）运动，则（   ） A．过点E，P的平面截正方体所得截面可能为五边形 B．若三棱锥的体积为，则动点P的轨迹长度为2 C．若P为的中点，则平面 D．若P为棱的中点，则平面AEP截正方体所得截面面积为 9．（多选）如图，在四棱锥中，底面 ，E，F分别为棱AB，AD上的动点，且满足，则（    ） A．直线SC与平面SAB所成角的正弦值为 B．平面SCD与平面SAB的夹角的余弦值为 C．四棱锥的体积为2 D．当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的表面积为 10．（多选）如图，已知圆锥的底面直径，母线，则下列说法正确的有（    ） A．圆锥的体积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆锥展开图中圆心角为 D．若，一只蚂蚁沿着表面从A爬到C，则最短距离为 课时精练 一、单选题 1．已知某圆锥的侧面展开图的面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与底面所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．若体积为的圆锥的高为1，则该圆锥的母线长为（    ） A． B． C． D． 3．已知正三棱台的高为，，则该棱台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 4．如图，圆台的高为，是母线，，.现在将圆台的侧面沿剪开，并展开成平面图形，点在侧面展开图中对应的点为，，则线段的长度为（   ） A．8 B． C．16 D． 5．如图所示，在六面体ABEDC中，，，，则（    ） A．1 B．3 C． D．4 6．公元前300年，几何之父欧几里得在《几何原本》里证明了世界上只存在正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体这5种正多面体.公元前200年，阿基米德把这5种正多面体进行截角操作（即切掉每个顶点），发现了5种对称的多面体，这些多面体的面仍然是正多边形，但各个面却不完全相同，如图所示，现代足球就是基于截角正二十面体的设计，则图2所示的足球截面体的棱数为（   ） A．60 B．90 C．120 D．180 7．如图，在直角梯形中，，，，，以直线为轴，其余各边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为（   ） A． B． C． D． 8．已知球与圆台的上下底面和侧面都相切.若圆台上下底面半径分别为，且.若球和圆台的体积分别为和，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）在直四棱柱中，四边形是菱形，，则（    ） A．四棱柱的体积为162 B．四棱柱的表面积为 C．点到平面的距离为 D．直线与所成角的余弦值为 10．（多选）如图，正八面体的八个面都是正三角形，且四边形是边长为2的正方形，则（    ） A．平面 B．平面平面 C．异面直线与所成角为 D．若正四面体可在内任意转动，则该正四面体棱长的最大值为 11．（多选）如图，在正方体中，分别为的中点，则下列结论正确的是（   ） A．若平面平面，则 B．平面 C．异面直线与所成的角为 D．四棱锥的体积为8 三、填空题 12．已知正四棱锥的高为2，，为棱的中点，若点均在球的球面上，则平面截球所得截面圆的面积为________． 13．如图，在多面体中，平面，，，，则多面体的体积为_________． 14．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面与平面的夹角为，则该四棱锥的侧面积为______． 四、解答题 15．已知直三棱柱中，，点M、N分别为的中点． (1)求证：平面； (2)求与平面BCN夹角的正弦值； (3)求三棱锥的体积． 16．如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求三棱锥的体积； (3)求平面与平面夹角的余弦值． 17．如图，在平行四边形ABCD中，．现将沿着AC翻折，使点到达点的位置，形成三棱锥．线段PB上有两点M，N，满足平面平面ACM且平面平面ACN． (1)当平面平面ACP时，求三棱锥外接球的表面积； (2)在翻折过程中，当点为线段PB上靠近点的三等分点时，求点到平面ACP的距离； (3)在翻折过程中，是否存在，若存在，求平面ACP与平面ABC所成角的余弦值；若不存在，请说明理由． 18．如图，顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． (1)证明：平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求的长； (3)是否存在一个点，满足点到点，，，，的距离均相等？若存在，求出二面角的余弦值的取值范围，若不存在，说明理由． 19．如图，在直三棱柱中，，，为的中点，点为棱上一动点，且，.    (1)求三棱锥的体积； (2)若平面，求的值. 1 / 74 学科网（北京）股份有限公司 $