1.3 用反比例函数解决问题（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 围绕反比例函数应用，通过基础题巩固概念、综合题提升能力、拓展题培养跨学科建模，分层梯度清晰，适配新授课知识内化与能力进阶。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|单一反比例函数概念（图像、关系式）|工程问题图像选择，强化抽象能力与几何直观| |综合应用|反比例函数与一次函数综合/跨学科应用（物理、行程）|行程问题表格数据分析，培养模型意识与推理能力| |拓展探究|几何结合/多阶段实际情境（面积计算、温度变化）|三明治机温度多函数综合题，发展创新意识与应用意识|

1.3 用反比例函数解决问题 题型一 工程/工作问题 1．工程队铺设某段公路效率是v（单位：/天）和铺设时间t（单位：天）之间函数图象是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】解：设公路的长是m千米，根据题意可得： ， 所以v是t的反比例函数，且其图象在第一象限， 故选：D． 2．某工厂为了提高生产效率，采购了一批新的生产设备．其中用5000元购买单价是元/台的机器台，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 根据题意可得，再整理可得与的函数关系式． 【详解】解：由题意可得：， 则， 故选：B． 3．某市政府计划建设一项水利工程，某运输公司承担了该工程中运送土石方的任务，已知该运输公司平均运送效率（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间是反比例函数关系，且当时，． (1)求反比例函数的表达式； (2)若该运输公司每天可运送土石方，求完成全部运输任务需要多少天？ 【答案】(1) (2)9天 【详解】（1）解：由题意得：， ∴v与t之间的函数关系式为； （2）解：在中，当时， ∴． 答：公司完成全部运输任务需要9天． 4．某农场为提高农药喷洒效率，使用无人机进行作业．喷洒过程中，农药浓度y（单位：）与喷洒时间x（单位：）的关系图像如图所示，为直线的一部分，为反比例函数图像的一部分． (1)求两段函数的解析式，并写出各自变量的取值范围； (2)结合函数图像，回答下列问题： ①当时，农药浓度是多少？当时，农药浓度是多少？ ②对比两段函数，说明在各自的自变量范围内，y随x的变化趋势； (3)农场规定：农药浓度不低于且不超过时，既能保证杀虫效果，又能避免药害．求此次喷洒过程中，符合规定的时间范围． 【答案】(1)函数图像的段解析式：，自变量取值范围：；函数图像的段的解析式：，自变量取值范围： (2)当 时， ；当 时， ． (3) 或 【详解】（1）解：函数图像的段是正比例函数， 设解析式为 ，代入点， 得 ， 解得： ． ∴函数图像的段解析式：，自变量取值范围：． 函数图像的段是反比例函数， 设解析式为 ，代入点， 得 ：， 解得： ． ∴函数图像的段的解析式：，自变量取值范围：． （2）解：①当 时，代入 ，得： ； 当 时，代入，得 ． ② 变化趋势：函数图像段，，y 随 x 的增大而增大； 函数图像段，，y 随 x 的增大而减小． （3）解：由题意可知：符合规定的时间范围要求 ， 当处于段：代入，得：，解得： ； 当处于段：代入，得 ，解得： ． 综上，符合规定的时间范围是 或． 题型二 行程问题 1．王伟家长将轿车油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之问是反比例函数关系（k是常数，）．已知某某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油升的速度行驶，可行驶400千米，当平均耗油量为每千米升时，该轿车可以行驶_______千米． 【答案】500 【详解】解：∵以平均耗油量为每千米耗油升的速度行驶，可行驶400千米， ∴， 解得：， ∴当平均耗油量为升/千米时，该轿车可以行驶的路程(千米)． 故答案为：500． 2．一段高速公路上，当汽车平均速度为 时，通过这段路程所需时间为，设汽车的平均速度为，所需时间为． (1)求关于的函数表达式，并说明是哪一种函数； (2)若这段高速公路上汽车的平均速度是，则行驶完这段路程需多少时间？ 【答案】(1)，反比例函数 (2) 【详解】（1）解：根据题意得， ∴， ∴y是关于x的反比例函数； （2）解：将代入 ∴行驶完这段路程需． 3．丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表： （千米/小时） 50 60 75 80 （小时） 6 5 4 3.75 (1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； (3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由． 【答案】(1)300 (2) (3)不能，理由见解析 【详解】（1）解：根据表格中的数据，∵ ∴s = 300， ∴该公司到杭州市场的路程为300千米； 故答案为：300； （2）解：由表格中的数据可以看出每一对v与t的对应值乘积为一定值，将每一对对应值作为点的坐标在平面直角坐标系中做出对应的图象是双曲线的一部分，设， ∵v=75时，t= 4， ∴k=75×4=300， ∴； （3）解：不能． 理由如下：∵10-7.5=2.5（小时）， ∴t=2.5时，， ∵120＞100， ∴汽车上午7：30从丽水出发，不能在上午10：00之前到达杭州市场． 4．A，B两地相距．汽车以的平均速度从A地到达B地需要． (1)①写出y与x的函数关系式； ②如果汽车的平均速度不超过，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ (2)若某车从A地驶往B地，先以的平均速度行驶，余下路程的行驶平均速度是原平均速度的倍，两段路程共用，求a的值． 【答案】(1)①；② (2)70 【详解】（1）①解：根据题意，得：， 答：y与x的函数表达式为； ②把代入得， ∵， ∴在每个象限内y随x的增大而减小， ∵汽车的平均速度不超过， ∴汽车从A地到B地至少需要； （2）解：余下路程的行驶平均速度是，根据题意得： ， 解得：， 经检验是所列方程的解， ∴的值为70． 题型三 物理学上的问题 1．在功w（单位：J）一定的条件下，功率p（单位：W）与做功时间t（单位：s）成反比例，p（单位：W）与t（单位：s）之间的函数关系如图所示．当时，p的值可以是（     ） A．18 B．28 C．38 D．48 【答案】A 【详解】解：依题意，设， 把代入，得， 解得， ∴， 依题意，把代入，得； 把代入，得； ∴当时，则， 观察四个选项，得p的值可以是． 2．已知放在木板上的物体和木板对地面的压力一定时，物体和木板对地面的压强与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强时，木板面积可以为（     ）． A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 【答案】C 【详解】解：设反比例函数解析式为，将点代入解析式，得 ，解得， ∴反比例函数解析式为， 当时，，解得； 当时，，解得； ∵反比例函数，在第一象限内，随的增大而减小， ∴当压强时，木板面积的取值范围为， 观察选项，只有在此范围内． 3．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，下列结论中错误的是（     ） A．当时，； B．当受力面积S大于时，压强p 小于 C．S每增加，p减小 D．当时，压强p的变化范围为 【答案】C 【详解】解：设， 图像经过点即， ∴． A．当时，，故A正确； B．由，则该函数在第一象限内p随S的增大而减小， 当时，， 即当时，，故B正确； C．当S从增加到时，p从1000减小到500，减小了500， 当S从增加到时，p从500减小到，减小量不为1000，故C错误，符合题意； D．当时，，当时，， 即当时，压强p的变化范围为，故选项D正确． 4．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻小于时，电流可能是________A． 【答案】5（答案不唯一） 【详解】解：由图象可知电流与电阻是反比例函数关系，电流随电阻的增大而减小，则当电阻R小于时，电流， 故可以是． 题型一 一次函数与反比例函数的应用 1．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 【答案】(1)32，10 (2)y= (3)59.5 【详解】（1）解：由函数图象可知；0～4时，风速平均每小时增加2千米；所以4时风速为8千米/时； 时，风速变为平均每小时增加4千米，10时达到最高风速，为千米/时； 时，风速不变；最高风速维持时间为小时； 故答案为：32，10； （2）解：设当时函数解析式为，将，代入， ，解得： 当时，出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式为； （3）解：∵当，时，，解得， ∴时风速为10千米/时， 当时，设风速y（千米/小时）与时间x（小时）的函数解析式为y= 将代入，得 解得 所以当时，风速y（千米/小时）与时间x（小时）之间的函数关系为； 当，时，，解得 “危险时刻”的时间为：（小时）． ∴在沙尘暴整个过程中，“危险时刻”共有 小时． 2．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点M在x轴上，且的面积为6，求点M的坐标． (3)结合图形，直接写出时x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 (3) 【详解】（1）解：（1）把代入得：， 即反比例函数的表达式为， 把代入得：， 即的坐标为， 把、的坐标代入得： ，解得， 即一次函数的表达式为； （2）一次函数与轴交于点， ， ，点在轴上，且的面积为6， ， 或； （3）观察函数图象知，时的取值范围为． 3．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)， (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3)有效，理由见解析 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 4．我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)5 【详解】（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． （2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 题型二 反比例函数在几何中的应用 1．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴交反比例函数的图象于点，垂足为点，过点作交反比例函数的图象于点，连接，．若四边形的面积为，，则________． 【答案】 【详解】解：由题意可设， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点的横坐标与点横坐标相同， ∴， ∴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)经过点A的直线与反比例函数图象交于点C，与y轴交于点D，连接，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：将代入，得， 解得， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：， ∴点是的中点， ∵，点在轴上， ∴点的横坐标为， ∴当时，， ∴， 如图，过点作轴交于点，过点作于点，过点作交延长线于点， 一次函数，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点P，连接，设直线的一次函数解析式为． (1)求点B的坐标以及反比例函数解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)， (2) (3)4 【详解】（1）解：∵， ∴ 如图所示，过点B作轴，交x轴于点D， ∵是等腰直角三角形，， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴点； ∴将代入，则， ∴反比例函数表达式为； （2）解：由题意得，点的横坐标为， 将代入， ∴， ∴不等式的解集为； （3）解：由（2）知， ∴， ∴的面积． 4．如图，反比例函数经过A，C两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，连接，，．已知C点的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2)的面积为4 【详解】（1）解：反比例函数经过A，两点， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：反比例函数解析式为，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴，则， ∴， ∴， ∴的横坐标为，则， 如图所示，过点C作轴于点，则四边形是矩形， ∴，则， ∴，， ∴ ， ∴的面积为4． 1．某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图所示为某次制作三明治时机器温度与时间x（）的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)预热阶段机器温度上升的平均速度是______，开机3分钟时，温度为_______； (2)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； (3)求三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟？ 【答案】(1)60，140 (2) (3)分钟 【详解】（1）解：根据速度等于温度除以时间计算即； 设温度与时间之间的关系式为， 根据题意，得， 解得， 故， 当时，， 故答案为：60,140． （2）解：由图象可知：当时，； 当时，， 综上：． （3）解：当时，设， 将代入得：   ； 当时， 依次代入及中， 分别解得， 故持续时间长为： (分钟)；   答：三明治机工作温度在以上持续分钟． 2．某工厂年3月份至6月份进行为期4个月的环保治污改造，改造过程中月产销额受到一定影响，改造完成后月产销额直线上升．在此改造过程中月产销额y（万元）与月份x之间满足反比例函数关系，改造完成后从7月份起满足一次函数关系，如图，点B，C，D在同一直线上． (1)求今年5月份的产销额； (2)求环保治污改造完成后，月份的产销额比3月份增长了多少万元？ 【答案】(1)万元 (2)万元 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， 由点代入得， 解得， 则反比例函数的解析式为， 当时，， 即今年5月份的产销额为万元； （2）解：设一次函数的解析式为， 当时，， ， 得， 由图可知，当时，，得； 解得，， 则一次函数的解析式为， 当时，， ， 则月份的产销额比3月份增长了万元． 3．打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题： 打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到1000后立即开始锻造操作，当材料温度低于500时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（）与时间x（）成一次函数关系，第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系． (1)求第一次煅烧和锻造的函数解析式； (2)求第一次锻造操作的时长； (3)求第二次开始锻造的时间（精确到0.1）． 【答案】(1)（）；（） (2)10 (3)25.1 【详解】（1）解：第一次煅烧时温度y（）与时间x（）成一次函数关系， 设此时函数解析式为，由图象可知，该函数经过和两点， 即，解得， 即（）， 第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系， 设此时函数解析式为， 由图象可知，该函数经过点，即，解得， 即（）； （2）解：当时，，解得：， 当时，， （）， 所以第一次锻造操作的时长是10； （3）解：每次煅烧温度上升的速度相同， 设第二次煅烧时温度y（）与时间x（）的函数解析式为， 由题意得，即函数解析式为，此函数经过点， 代入可得，， ，即， 当时，， 所以第二次开始锻造的时间约为第25.1． 4．【知识背景】杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，如图1，即．小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】第一步：在一根长度为的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度），在左侧末端处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端处确定支点，并用细麻绳固定； 第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的质量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．    (1)关于的函数关系式是________； (2)若，则的取值范围是________． 任务二：如图3，调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡．设重物的质量为，的长为，完成下列问题： (3)关于的函数关系式是________； (4)完成下表： … 0.5 1 2 4 … … ________ ________ ________ ________ … 任务三：如图4，在离左侧末端处确定第二个支点．现有重物约，可选用支点，和秤砣（）、（）进行称量． (5)请通过计算确定：应选择哪个支点和哪个秤砣？并说明如何判断重物是否正好为． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)见解析； (5)选择支点Q和秤砣来秤重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：∵ ∴ ∴； （4）解：根据题意得， … 0.25 0.5 1 2 4 … … 40 20 10 5 2.5 … （5）解：如图所示， 由题意知，，， 如果用支点O，则， （），不合题意，舍去； 如果用支点Q，则， ， 选择支点Q和秤砣来称重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 用反比例函数解决问题 题型一 工程/工作问题 1． D 2． B 3． (1)；(2)9天 4． (1)函数图像的段解析式：，自变量取值范围：；函数图像的段的解析式：，自变量取值范围：；(2)当 时， ；当 时， ；(3) 或 题型二 行程问题 1． 500 2． (1)，反比例函数；(2) 3． (1)300；(2)；(3)不能，理由见解析 4． (1)①；②；(2)70 题型三 物理学上的问题 1． A 2． C 3． C 4． 5（答案不唯一） 题型一 一次函数与反比例函数的应用 1． (1)32，10；(2)y=；(3)59.5 2． (1)；；(2)或；(3) 3． (1)，；(2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室；(3)有效，理由见解析 4． (1)当时，，当时，；(2)；(3)5 题型二 反比例函数在几何中的应用 1． 2． (1)；(2) 3． (1)，；(2)；(3)4 4． (1)；(2)的面积为4 1． (1)60，140；(2)；(3)分钟 2． (1)万元；(2)万元 3． (1)（）；（）；(2)10；(3)25.1 4． (1)；(2)；(3)；(4)见解析；(5)选择支点Q和秤砣来秤重物，当秤砣移动到离支点Q的距离为处时，秤杆平衡说明重物正好为，如果不平衡说明重物不是 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 用反比例函数解决问题 题型一 工程/工作问题 1．工程队铺设某段公路效率是v（单位：/天）和铺设时间t（单位：天）之间函数图象是（　　） A．   B．   C．   D．   2．某工厂为了提高生产效率，采购了一批新的生产设备．其中用5000元购买单价是元/台的机器台，则与的函数关系式为（   ） A． B． C． D． 3．某市政府计划建设一项水利工程，某运输公司承担了该工程中运送土石方的任务，已知该运输公司平均运送效率（单位：/天）与完成运送任务所需时间（单位：天）之间是反比例函数关系，且当时，． (1)求反比例函数的表达式； (2)若该运输公司每天可运送土石方，求完成全部运输任务需要多少天？ 4．某农场为提高农药喷洒效率，使用无人机进行作业．喷洒过程中，农药浓度y（单位：）与喷洒时间x（单位：）的关系图像如图所示，为直线的一部分，为反比例函数图像的一部分． (1)求两段函数的解析式，并写出各自变量的取值范围； (2)结合函数图像，回答下列问题： ①当时，农药浓度是多少？当时，农药浓度是多少？ ②对比两段函数，说明在各自的自变量范围内，y随x的变化趋势； (3)农场规定：农药浓度不低于且不超过时，既能保证杀虫效果，又能避免药害．求此次喷洒过程中，符合规定的时间范围． 题型二 行程问题 1．王伟家长将轿车油箱注满k升油后，轿车行驶的总路程S（单位：千米）与平均耗油量a（单位：升/千米）之问是反比例函数关系（k是常数，）．已知某某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油升的速度行驶，可行驶400千米，当平均耗油量为每千米升时，该轿车可以行驶_______千米． 2．一段高速公路上，当汽车平均速度为 时，通过这段路程所需时间为，设汽车的平均速度为，所需时间为． (1)求关于的函数表达式，并说明是哪一种函数； (2)若这段高速公路上汽车的平均速度是，则行驶完这段路程需多少时间？ 3．丽水某公司将“丽水山耕”农副产品运往杭州市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．驾驶员根据平时驾车去往杭州市场的经验，得到v、t的一组对应值如下表： （千米/小时） 50 60 75 80 （小时） 6 5 4 3.75 (1)根据表中的数据，可知该公司到杭州市场的路程为___________千米； (2)求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数表达式； (3)汽车上午7：30从丽水出发，能否在上午10：00之前到达杭州市场？请说明理由． 4．A，B两地相距．汽车以的平均速度从A地到达B地需要． (1)①写出y与x的函数关系式； ②如果汽车的平均速度不超过，那么汽车从A地到B地至少需要多少时间？ (2)若某车从A地驶往B地，先以的平均速度行驶，余下路程的行驶平均速度是原平均速度的倍，两段路程共用，求a的值． 题型三 物理学上的问题 1．在功w（单位：J）一定的条件下，功率p（单位：W）与做功时间t（单位：s）成反比例，p（单位：W）与t（单位：s）之间的函数关系如图所示．当时，p的值可以是（     ） A．18 B．28 C．38 D．48 2．已知放在木板上的物体和木板对地面的压力一定时，物体和木板对地面的压强与木板面积满足反比例函数关系，它的图象如图所示，当压强时，木板面积可以为（     ）． A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.8 3．根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强是它的受力面积的反比例函数，其函数图象如图所示，下列结论中错误的是（     ） A．当时，； B．当受力面积S大于时，压强p 小于 C．S每增加，p减小 D．当时，压强p的变化范围为 4．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示，当电阻小于时，电流可能是________A． 题型一 一次函数与反比例函数的应用 1．某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的全过程（如图）．开始一段时间风速平均每小时增加2千米，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速变为平均每小时增加4千米，然后风速不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，风速y（千米/时）与时间x（时）成反比例函数关系． (1)这场沙尘暴的最高风速是______千米/时，最高风速维持了______小时． (2)当时，求出风速y（千米/时）与时间x（时）的函数关系式． (3)在这次沙尘暴形成的过程中，当风速不超过10千米/时称为“安全时刻”，其余时刻为“危险时刻”，那么该沙尘暴在整个过程中的“危险时刻”共有多长时间？ 2．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点两点，与x轴交于点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)若点M在x轴上，且的面积为6，求点M的坐标． (3)结合图形，直接写出时x的取值范围． 3．某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 4．我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 题型二 反比例函数在几何中的应用 1．如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴交反比例函数的图象于点，垂足为点，过点作交反比例函数的图象于点，连接，．若四边形的面积为，，则________． 2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点B． (1)求反比例函数的解析式； (2)经过点A的直线与反比例函数图象交于点C，与y轴交于点D，连接，若，求的面积． 3．如图，是等腰直角三角形，，双曲线经过点B，过点作x轴的垂线交双曲线于点P，连接，设直线的一次函数解析式为． (1)求点B的坐标以及反比例函数解析式； (2)直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 4．如图，反比例函数经过A，C两点，过点A作轴于点B，过点C作轴于点D，连接，，．已知C点的坐标为． (1)求反比例函数解析式； (2)若，求的面积． 1．某款三明治机制作三明治的工作原理如下： ①预热阶段：开机1分钟空烧预热至，机器温度y与时间x成一次函数关系； ②操作阶段：操作3分钟后机器温度均衡升至最高温度后保持恒温状态； ③断电阶段：操作完成后进行断电降温，机器温度y与时间x成反比例关系． 如图所示为某次制作三明治时机器温度与时间x（）的函数图象，请结合图象回答下列问题： (1)预热阶段机器温度上升的平均速度是______，开机3分钟时，温度为_______； (2)当时，求机器温度y与时间x的函数关系式； (3)求三明治机工作温度持续在以上的时间是多少分钟？ 2．某工厂年3月份至6月份进行为期4个月的环保治污改造，改造过程中月产销额受到一定影响，改造完成后月产销额直线上升．在此改造过程中月产销额y（万元）与月份x之间满足反比例函数关系，改造完成后从7月份起满足一次函数关系，如图，点B，C，D在同一直线上． (1)求今年5月份的产销额； (2)求环保治污改造完成后，月份的产销额比3月份增长了多少万元？ 3．打铁是中国传统手工锻造工艺，以铁砧、火炉、风箱等工具将铁料经煅烧、锻造、淬火等工序制成农具或生活器具，该工艺始于汉代，作为一项老祖先的传承，小明某次旅游中，观看了一次打铁的非遗表演．并发现了以下现象，请帮他解决问题： 打铁要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到1000后立即开始锻造操作，当材料温度低于500时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度y（）与时间x（）成一次函数关系，第一次锻造时温度y（）与时间x（）成反比例函数关系． (1)求第一次煅烧和锻造的函数解析式； (2)求第一次锻造操作的时长； (3)求第二次开始锻造的时间（精确到0.1）． 4．【知识背景】杠杆原理：动力×动力臂=阻力×阻力臂，如图1，即．小明利用杠杆原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图2）． 【方案设计】第一步：在一根长度为的匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度），在左侧末端处固定一个金属吊钩，作为秤钩，在离左侧末端处确定支点，并用细麻绳固定； 第二步：取一个质量为的金属物体作为秤砣．（备注：秤钩与秤砣绳长的质量忽略不计） 任务一：在图2中，把重物挂在秤钩上，秤砣挂在支点右侧的处，秤杆平衡，就能称得重物的质量．当重物的质量变化时，的长度随之变化．设重物的质量为，的长为．    (1)关于的函数关系式是________； (2)若，则的取值范围是________． 任务二：如图3，调换秤砣与重物的位置，把秤砣挂在秤钩上，重物挂在支点右侧的处，使秤杆平衡．设重物的质量为，的长为，完成下列问题： (3)关于的函数关系式是________； (4)完成下表： … 0.5 1 2 4 … … ________ ________ ________ ________ … 任务三：如图4，在离左侧末端处确定第二个支点．现有重物约，可选用支点，和秤砣（）、（）进行称量． (5)请通过计算确定：应选择哪个支点和哪个秤砣？并说明如何判断重物是否正好为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $