山东省济南市高新区2025-2026学年七年级下学期数学期末试题

**基本信息** 2025-2026学年七年级数学期末监测卷，以几何直观与推理能力为核心，融合文化传承（如罗士琳勾股数法则）与生活应用（如自动感应门测距），通过基础题（幂运算）与探究题（倍长中线）的分层设计，实现知识与素养的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/48|轴对称、常量变量、勾股定理|结合工程场景（电线杆固定）考等腰三角形三线合一| |填空题|6/24|幂运算、概率、函数关系|引用清代数学文化设计勾股数规律探究题| |解答题|12/78|全等证明、函数建模、几何探究|通过“倍长中线”构造全等（29题）及折纸情境（30题）培养推理与创新意识|

绝密★启用前 2025-2026学年第二学期七年级学业质量监测 参考样题 数学 本试题分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为48分；第Ⅱ卷共5页，满分为102分．本试题共6页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的考点、姓名、准考证号、座号填写在答题卡上和试卷规定的位置上．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器． 第I卷（选择题 共48分） 注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．如图，两个全等的直角三角板有一条边重合，组成的四个图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．用一根10cm长的铁丝围成一个长方形，下列选项中是常量的是（　　） A．长方形的长 B．长方形的宽 C．长方形的周长 D．长方形的面积 3．以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，6，8 C．5，7，9 D．6，8，10 4．下列成语所反映的事件中，可能性大小最小的事件是（　　） A．水中捞月 B．一箭双雕 C．旭日东升 D．绳锯木断 5．如图，AB∥CD，若∠2＝55°，则∠1的度数为（　　） A．35° B．125° C．50° D．55° 6．下列式子运算正确的是（　　） A．m4+m2＝m6 B．m4﹣m2＝m2 C．m4•m2＝m8 D．m4÷m2＝m2 7．已知三角形的两边长分别为2cm，4cm，则此三角形第三边的长可以是（　　） A．2cm B．4cm C．6cm D．8cm 8．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法通常是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且点B，E，C在同一直线上时，电线杆DE⊥BC．工程人员这种操作方法的依据是（　　） A．等角对等边 B．等腰三角形三线合一的性质 C．两点之间线段最短 D．垂线段最短 第8题图 第9题图 9．如图，某自动感应门的正上方装着一个感应器A，离地距离AB＝1.6米，当人体进入感应范围内时，感应门就会自动打开，一个身高1.1米的学生CD刚走到离门间距CB＝1.2米的地方时，感应门自动打开，则该感应器感应长度AD为（　　） A．1.2米 B．1.3米 C．1.5米 D．2米 10．若m是大于0的整数，则（m+1）2﹣（m﹣1）2一定是（　　） A．4的倍数 B．8的倍数 C．12的倍数 D．16的倍数 11．在长方形ABCD中，AB＝7cm，BC＝10cm，点P从点B出发，沿边BC向点C以3cm/s的速度运动（点P不与点C重合）；点M是边AD上任意一点．设点P的运动时间为x（s），△MPC的面积为S（cm2），则S与x之间的关系式为（　　） A． B．S＝7（10﹣3x） C． D．不能确定 第11题图 第12题图 12．如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第Ⅱ卷（非选择题 共102分） 注意事项： 1.第II卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 2.填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 二、填空题:（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．） 13．计算：x5÷x4＝　 　 ． 14．一个不透明的袋子里装有6个红球、4个白球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同，从中随机摸出一个球，那么摸到红球的概率是　 　 ． 15．为了提高学生劳动能力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量y（棵）与参与活动人数x（人）的变化关系如表所示： x/（人） 1 2 3 4 5 … y/（棵） 4 8 12 16 20 … 观察表中数据可知，该班有 　 　 人栽种幼苗时，栽种幼苗总数量为32棵． 16．若a+b＝2，a﹣b＝5，则a2﹣b2＝　 　 ． 17．如图，AD是△ABC的角平分线，若AB＝5， AC＝3，则 　 　 ． 18．清代数学家罗士琳（1789﹣1853）提出了推算勾股数的公式，被称为罗士琳法则．具体如下： Ⅰ．若n是大于1的奇数，则n，，是一组勾股数． Ⅱ．若n是大于2的偶数，则n，，是一组勾股数． 经研究，在Ⅰ中，最小的数是n，最大的数是；在Ⅱ中，若n＞4，则最小的数是n，最大的数是．若一组勾股数中，最小的数是m，最大数是25；另一组勾股数中，最小的数是m+1，则最大数是　 　 ． 三、解答题:（本大题共12个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 19．（本题4分）化简：． 20．（本题4分）计算：． 21．（本题4分）如图，已知△ABC． （1）画出△ABC的高BD；（2）画出△ABC的角平分线AE． 22．（本题5分）如图，已知AB∥CD，射线AH交BC于点F，交CD于点D，从D点引一条射线DE，若∠1＝∠2，求证：∠B+∠CDE＝180° 证明：∵∠1＝∠2（已知），且∠1＝∠BFD（　 　 ）， ∴∠BFD＝　 　 （等量代换）， ∴BC∥　 　 （　 　 ）． ∴∠CDE+∠C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵AB∥CD（已知）， ∴∠C＝　 　 （两直线平行，内错角相等）， ∴∠B+∠CDE＝180°． 23．（本题5分）△ABC和△CDE的位置如图所示，点B在CD边上，∠ACE＝∠D＝∠ABC＝90°，AC＝CE．求证：AB＝CD． 证明：∵点B在CD边上，∠ACE＝∠D＝∠ABC＝90°， ∴∠ACB+∠BAC＝90°，∠ACB+∠　 　＝90°， ∴∠DCE＝∠　 　， 在△ABC和△CDE中， ， ∴△ABC≌△CDE（　 　）， ∴AB＝CD． 24．（本题6分）先化简，再求值：（x+3）2﹣x（5+2x）+（x+2）（x﹣2），其中x＝1． 25．（本题6分）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过线段CD上一点E作EG∥AD，交AC于点F，交BA的延长线于点G．请判断△AFG的形状，并加以证明． 26．（本题6分）任意掷一枚质地均匀的正二十面体形状的骰子，骰子的1个面标有“6”，2个面标有“5”，3个面标有“4”，4个面标有“3”，5个面标有“2”，其余的面标有“1”． （1）掷出的数字是1的概率是　 　 ； 掷出的数字小于4的概率是　 　 ． （2）求掷出的数字是奇数的概率是多少？ 27．（本题8分）如图，在一个边长为10cm的正方形的四个角处，都剪去一个大小相等的小正方形，当小正方形的边长由小到大变化时，图中阴影部分的面积也随之发生变化． （1）在这个变化过程中，自变量是　 　 ，因变量是　 　 ； （2）如果小正方形的边长为xcm，图中阴影部分的面积为ycm2，用含x的代数式表示y为　 　 ． （3）当小正方形的边长由1cm变化到2.5cm时，阴影部分的面积发生了怎样的变化？ 28．（本题8分）【阅读材料】通过学习幂的运算，我们发现：当m，n都是正整数． ①若a＞1，当m＝n时，am＝an；当m＞n时，am＞an；当m＜n时，am＜an． ②若a＞0，b＞0，当a＝b时，am＝bm；当a＞b时，am＞bm；当a＜b时，am＜bm． 【理解知识】例如： ①若4x＝210，求x的值． 解：法一：∵4x＝（22）x＝22x，∴22x＝210．∴2x＝10，x＝5． 法二：∴210＝（22）5＝45．∴4x＝45．∴x＝5． ②比较230与320的大小． 解：230＝（23）10＝810，320＝（32）10＝910，∵8＜9，∴230＜320． 【运用知识】运用上面方法，解决下列问题． （1）若2×8x＝210，则x的值是　 　 ， （2）比较255，344与522的大小，用“＜”连接为　 　 ． （3）定义两个正数a，b之间的一种运算，记作[a，b]，如果am＝b，那么[a，b]＝m，例如：∵23＝8，∴[2，8]＝3．求的值． 29．（本题10分）【提出问题】数学课上老师提出了如下问题： 如图①，在△ABC中，AD是BC边上的中线，AB＝5，AD＝3，若AC边的长度为奇数，求AC的长．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使AD＝DE，连接BE、由已知和作图能得到△EDB≌△ADC，所以AC＝BE． 【思考发现】（1）如图①，△EDB≌△ADC的理由是　 　 ； A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA （2）请根据小明的方法思考，直接写出AC的长可能为　 　 （写一个值即可）； 【感悟方法】解题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件时，可以尝试“倍长”中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求（求证、证明）的结论集中到同一个三角形之中． （3）如图②，AD是△ABC的中线，BG交AC于G，交AD于F，AC＝BF．探究∠AFG与∠GAF的关系，并说明理由； 【深入探究】（4）如图③，在△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，且∠ACB＝∠DCE＝90°，连接AD、BE，F为AD的中点，连接FC并延长交BE于H，CF＝4，CH＝2，则△BCE的面积为　 　 ． 30．（本题12分）折纸中的数学（题中所有角都是指小于180°的角） 【问题情境】 动手折叠一张长方形纸片ABCD，点P在边AD上，点E，F分别在边AB，CD上，分别沿PE，PF把∠PAE，∠PDF折叠得到∠PA′E和∠PD′F． 【问题初探】 （1）如图①，若点A′，点D′，点P恰好在一条直线上，则∠EPF的度数是 　 　 ； （2）如图②，若点A′落在PF上，点D′落在PE上，则∠EPF的度数是 　 　 ； 【问题再探】 （3）若∠A′PD′＝β（β≠0），求∠EPF的度数（用含β的代数式表示）； 【问题深探】 （4）连接CP，若∠CPD＝m°，∠APE＝n°，且射线PC，射线PA′，射线PD′都与长方形的边相交．若射线PC是∠A′PD′的角平分线，直接写出∠EPF的度数（用含m、n的代数式表示）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $