第七单元 可能性 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学人教版五年级上册（新教材）

第七单元 可能性 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、事件发生的确定性与不确定性 1 1. 确定性事件 1 2. 不确定性事件（随机事件） 1 3. 判断方法 2 二、可能性的大小 2 1. 可能性的大小规律 2 2. 易错提醒 2 3. 可能性的反推 2 三、可能性的实际应用 2 1. 游戏公平性判断 2 2. 设计公平游戏规则 3 3. 生活中的可能性应用 3 考点讲练 3 考点一：事件的确定性与不确定性判断 3 考点二：可能性的大小判断 5 考点三：可能性的应用与公平性判断 6 综合训练 8 知识梳理 一、事件发生的确定性与不确定性 1. 确定性事件 生活中，有些事件的结果是可以预知的，具有确定性，这类事件叫作确定性事件。 一定：在给定条件下，必然会发生的事件。 例：太阳从东方升起；正方形的四条边都相等。 不可能：在给定条件下，必然不会发生的事件。 例：太阳从西方升起；三角形内角和是 200°。 2. 不确定性事件（随机事件） 生活中，有些事件的结果无法预知，可能发生也可能不发生，具有不确定性，这类事件叫作随机事件，通常用 “可能” 来描述。 例：明天会下雨；抛一枚硬币正面朝上；抽奖中奖。 3. 判断方法 判断事件类型时，结合自然规律、数学定义、生活常识进行分析： 结果唯一、必然出现 → 一定； 结果绝对不会出现 → 不可能； 结果无法提前确定 → 可能。 二、可能性的大小 1. 可能性的大小规律 随机事件发生的可能性有大有小。 在总数中，某一类事物的数量越多，对应的事件发生的可能性就越大； 某一类事物的数量越少，对应的事件发生的可能性就越小； 当两类事物的数量相等时，发生的可能性大小相等。 例：盒子里有 8 个红球、2 个白球，红球数量多，摸出红球的可能性大；白球数量少，摸出白球的可能性小。 2. 易错提醒 可能性的大小和数量占比有关，和事物本身的顺序、位置无关。 可能性大不代表 “一定发生”，可能性小也不代表 “一定不发生”。比如摸奖中奖率低，不代表绝对不会中奖。 3. 可能性的反推 根据事件发生的可能性大小，可以反向判断对应事物的数量多少： 事件发生的可能性大 → 对应事物的数量多； 事件发生的可能性小 → 对应事物的数量少； 事件发生的可能性相等 → 对应事物的数量相等。 三、可能性的实际应用 1. 游戏公平性判断 判断一个游戏规则是否公平，核心标准是：参与游戏的各方获胜的可能性是否相等。 可能性相等 → 游戏公平； 可能性不相等 → 游戏不公平。 2. 设计公平游戏规则 设计公平游戏时，要保证各方获胜的条件对应的可能性大小相等，常见方法： 让双方可选的结果数量相同； 用转盘、抽卡片、抛硬币等工具时，均分区域或数量。 3. 生活中的可能性应用 抽奖、转盘游戏、比赛抽签、天气预报等场景，都会用到可能性的知识来分析结果、判断公平性。 考点讲练 考点一：事件的确定性与不确定性判断 【典例精讲】 下列事件中，一定发生的画 “√”，不可能发生的画 “×”，可能发生的画 “○”。 （1）人长生不老。（ ） （2）水往低处流。（ ） （3）下周阴天。（ ） 【分析】 结合生活常识和自然规律判断事件类型：必然不发生的是 “不可能”，必然发生的是 “一定”，无法确定的是 “可能”。 【详解】 （1）人的寿命是有限的，长生不老不可能实现，属于不可能事件，画 ×。 （2）受重力影响，水自然状态下一定往低处流，属于一定发生的事件，画√。 （3）下周的天气无法提前完全确定，可能阴天也可能晴天，属于可能事件，画○。 【答案】（1）×；（2）√；（3）○ 【变式训练 1】 下列事件中，属于确定事件的是（ ）。 A. 抛一枚硬币，正面朝上 B. 小明考试得 100 分 C. 地球绕着太阳转 【分析】 确定事件包括 “一定” 和 “不可能”，结果是确定的；不确定事件是结果无法确定的 “可能” 事件。 【详解】 A 选项抛硬币结果可能正面也可能反面，是不确定事件； B 选项考试得分无法提前确定，是不确定事件； C 选项地球绕太阳转是客观规律，一定发生，属于确定事件。 【答案】C 【变式训练 2】 判断题：冬天一定会下雪。（ ） 【分析】 不同地区冬天气候不同，有的地方冬天不下雪，因此 “下雪” 不是必然发生的事件。 【详解】 冬天是否下雪和地区、气候有关，有的地方冬天不会下雪，因此是可能事件，不是一定发生，题目说法错误。 【答案】× 【变式训练 3】 将下列事件的序号填在对应的横线上。 ① 从全是黑棋的盒子里摸出白棋 ② 两位数加两位数，和是三位数 ③ 爸爸的年龄比儿子大 ④ 雨后出现彩虹 一定发生： 不可能发生： 可能发生： 【分析】 逐个分析事件的确定性：必然发生的归 “一定”，必然不发生的归 “不可能”，无法确定的归 “可能”。 【详解】 ① 全是黑棋的盒子里不可能摸出白棋，属于不可能发生； ② 两位数加两位数，和可能是两位数也可能是三位数，属于可能发生； ③ 爸爸的年龄一定比儿子大，属于一定发生； ④ 雨后不一定会出现彩虹，属于可能发生。 【答案】一定发生：③；不可能发生：①；可能发生：②④ 考点二：可能性的大小判断 【典例精讲】 盒子里有 5 个红球、3 个黄球、1 个白球（球的大小、质地完全相同）。任意摸出 1 个球，摸到（ ）球的可能性最大，摸到（ ）球的可能性最小。 【分析】 球的总数固定，哪种颜色的球数量最多，摸到的可能性就最大；数量最少，摸到的可能性就最小。 【详解】 红球 5 个，黄球 3 个，白球 1 个，5＞3＞1，红球数量最多，白球数量最少。 因此摸到红球的可能性最大，摸到白球的可能性最小。 【答案】红；白 【变式训练 1】 一个转盘被平均分成 8 份，其中 3 份涂红色，5 份涂蓝色。转动转盘，指针停在（ ）色区域的可能性大。 A. 红 B. 蓝 C. 无法确定 【分析】 转盘区域总面积相等，哪种颜色占的份数多，指针停在对应区域的可能性就大。 【详解】 红色占 3 份，蓝色占 5 份，5＞3，蓝色区域面积大，因此指针停在蓝色区域的可能性大。 【答案】B 【变式训练 2】 判断题：盒子里有 10 个白球、1 个黑球，任意摸一个，一定能摸到白球。（ ） 【分析】 白球数量多，只是摸到白球的可能性大，不代表一定能摸到，也有可能摸到黑球。 【详解】 盒子里既有白球也有黑球，就有可能摸到黑球，只是可能性小。“一定能摸到白球” 的说法错误。 【答案】× 【变式训练 3】 布袋里有大小相同的卡片：8 张数字卡片、5 张字母卡片、2 张图形卡片。任意抽一张，最有可能抽到（ ）卡片，抽到（ ）卡片的可能性最小。如果想要让抽到字母卡片和图形卡片的可能性相等，可以怎么做？ 【分析】 数量最多的抽到可能性最大，数量最少的可能性最小；要让可能性相等，需要让两种卡片的数量相等。 【详解】 8＞5＞2，数字卡片数量最多，图形卡片数量最少，因此最有可能抽到数字卡片，抽到图形卡片可能性最小。 要让字母卡片和图形卡片可能性相等，可以增加 3 张图形卡片，或者减少 3 张字母卡片，使两者数量相同。 【答案】数字；图形；增加 3 张图形卡片（或减少 3 张字母卡片，合理即可） 考点三：可能性的应用与公平性判断 【典例精讲】 小明和小刚玩抽卡片游戏，有 6 张背面完全相同的卡片，正面分别写着 1~6。规则是：抽到奇数小明赢，抽到偶数小刚赢。这个游戏规则公平吗？为什么？ 【分析】 判断游戏是否公平，要看双方赢的可能性是否相等，先数出奇数和偶数的数量，再比较。 【详解】 1~6 中，奇数有 1、3、5，共 3 个；偶数有 2、4、6，共 3 个。 奇数和偶数的数量相等，因此抽到奇数和偶数的可能性大小相等，两人获胜的可能性相同。 所以这个游戏规则公平。 【答案】公平，因为奇数和偶数的数量相等，两人获胜的可能性相同。 【变式训练 1】 下面的游戏规则中，不公平的是（ ）。 A. 抛硬币，正面朝上甲赢，反面朝上乙赢 B. 掷骰子，点数大于 3 甲赢，小于 3 乙赢 C. 盒子里有 3 个红球、3 个黄球，摸红球甲赢，摸黄球乙赢 【分析】 分别计算每个选项中双方获胜的可能性是否相等，不相等的就是不公平的。 【详解】 A 选项：硬币正反两面各 1 个，可能性相等，公平； B 选项：大于 3 的点数有 4、5、6，共 3 个；小于 3 的点数有 1、2，共 2 个。数量不同，可能性不相等，不公平； C 选项：红球和黄球数量都是 3 个，可能性相等，公平。 【答案】B 【变式训练 2】 两个小组做摸球游戏，摸到红球第一组得 1 分，摸到黄球第二组得 1 分。要让游戏公平，应该选（ ）号盒子。 A. 5 红 3 黄 B. 4 红 4 黄 C. 2 红 6 黄 【分析】 游戏公平需要两组得分的可能性相等，也就是红球和黄球的数量相等。 【详解】 只有 B 选项中红球和黄球数量都是 4 个，摸到两种球的可能性相等，游戏公平。 【答案】B 【变式训练 3】 请你设计一个公平的转盘游戏，使甲、乙两人获胜的可能性相等。 【分析】 要让两人获胜可能性相等，只需要把转盘平均分成两份，两人各占一半区域即可，也可以均分更多份数，只要对应份数相等。 【详解】 示例：把一个圆形转盘平均分成 2 份，一份涂红色，一份涂蓝色。转动转盘，指针停在红色区域甲赢，停在蓝色区域乙赢。 （答案不唯一，只要两人对应的区域面积相等即可，比如平均分成 4 份，各占 2 份也可以。） 【答案】示例：将转盘平均分成 2 份，分别涂两种颜色，指针停在每种颜色区域对应一人获胜，游戏公平（合理即可） 综合训练 1．下列成语所描述的事件中，属于不确定事件的是（    ）。 A．守株待兔 B．瓜熟蒂落 C．水中捞月 D．旭日东升 【答案】A 【分析】事件分为确定事件和不确定事件。确定事件包括必然事件和不可能事件。 不确定事件（随机事件）：在一定条件下，有可能发生、也有可能不发生的事件； 必然事件：在一定条件下，一定发生的事件。 不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件。 结合成语含义与生活常识，逐一判断事件类型，选出不确定事件。 【详解】A．守株待兔：指农夫偶然捡到撞死在树桩上的兔子，此后便每天守在树桩旁等待。兔子撞死在树桩上可能发生，也可能不发生，属于不确定事件，此选项正确； B．瓜熟蒂落：指瓜熟了，瓜蒂自然脱落。这是植物生长的自然规律，一定会发生，属于必然事件，此选项错误； C．水中捞月：指到水中去捞月亮。月亮在天上，水中的是月亮的倒影，实际上捞不到月亮，属于不可能事件，此选项错误； D．旭日东升：指早上太阳从东方升起。这是地球自转形成的自然规律，一定会发生，属于必然事件，此选项错误。 综上所述，属于不确定事件的是守株待兔。 2．盒子里有2个黄球，3个红球，5个蓝球，至少再放进（    ）个黄球，摸到黄球的可能性最大。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据事件发生的可能性大小与物体数量有关，数量越多，可能性越大。要使摸到黄球的可能性最大，必须保证黄球的数量多于盒子里其他任何一种颜色球的数量，先找出当前数量最多的球及其个数，确定黄球需要达到的最小数量，再减去原有的黄球数量，即可得出需要放进的个数。 【详解】盒子里原有黄球2个，红球3个，蓝球5个，要使摸到黄球的可能性最大，黄球的数量必须多于红球和蓝球的数量； 现有球中数量最多的是蓝球，有5个，所以黄球的数量至少要比5多1个，即： （个） 需要再放进黄球的数量为： （个） 即至少再放进4个黄球，摸到黄球的可比性最大。 3．下面有四个游戏转盘。乐乐玩转盘游戏，转了30次，结果如下表。根据数据推测，乐乐玩的游戏转盘最有可能是（    ）。 颜色 白色 灰色 次数 8 22 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】转30次，灰色出现22次，白色仅出现8次，说明灰色区域面积远大于白色区域面积，逐一分析。 【详解】A．灰色区域面积等于白色区域面积，不符合； B．灰色区域面积小于白色区域面积，不符合； C．灰色区域面积远大于白色区域面积，符合； D．灰色区域面积等于白色区域面积，不符合。 4．一个盒子里装有大小、材质相同的黑球和白球共10个（如图）。从盒子中任意摸出一个球，下面说法正确的是（    ）。 A．一定能摸到黑球 B．摸到白球的可能性大 C．不可能摸到白球 D．摸到黑球的可能性大 【答案】D 【分析】由图可知黑球有8个，白球有2个，事件发生的可能性大小与事件本身的数量有关，数量越多发生的可能性越大。 【详解】A．盒子里既有黑球也有白球，所以可能摸到白球，不是一定摸到黑球，A错误； B．白球数量少于黑球数量，摸到白球的可能性更小，B错误； C．盒子里存在白球，所以有可能摸到白球，C错误； D．黑球的数量比白球多，因此摸到黑球的可能性更大，D正确。 5．盒子里放了若干个大小相同的球，任意摸出一个，要使摸到白球的可能性最小，摸到蓝球的可能性最大，还有可能摸到红球，盒子里最少要放（    ）个球。 A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据题意；盒子里有白球、红球、蓝球3种球以及可能有其它颜色的球，摸到某种颜色的球的可能性大小和球的数量多少有关：数量越少，摸到的可能性越小；数量越多，摸到的可能性越大，求最少要放多少个球，则盒子里最少有红、白、蓝三种颜色的球，把每种颜色球最少的数量相加即可。 【详解】摸到白球的可能性最小，则盒子里最少有1个白球，有可能摸到红球，则摸到红球的可能性大于白球，红球最少有2个，摸到蓝球的可能性最大，则蓝球个数要多于红球个数，蓝球最少有2＋1＝3个，则盒子里最少要放的球有： 1＋2＋3＝6（个） 6．在日常生活中，我们常用成语描述事情发生的可能性大小。按可能性从小到大的顺序，将①瓮中捉鳖；②海底捞针；③胜券在握；④平分秋色排列为（    ）。 A．②④①③ B．④②①③ C．②①④③ D．①②④③ 【答案】A 【分析】“海底捞针”，它表示几乎没有可能发生，所以对应的可能性最小； “平分秋色”，它表示双方获胜的概率相近，可能性处于中间水平； “瓮中捉鳖”，因为它表示事情很有把握发生，可能性较高； “胜券在握”，因为它表示完全有把握成功，表示一定发生。 【详解】根据成语的含义，可知其可能性大小排序为：②④①③ 7．一个盒子里有5个黑球，9个红球和3个黄球，除颜色外其余均相同。从中任意摸出一个，摸到________球的可能性最小，摸到________球的可能性最大。 【答案】 黄 红 【分析】可能性的大小与物体的数量有关，数量越多，被摸到的可能性就越大；据此解答即可。 【详解】9＞5＞3，黄球的数量最少，红球的数量最多，所以摸到黄球的可能性最小，摸到红球的可能性最大。 8．从布袋中摸大小相同的玻璃球，要使摸到红色玻璃球的可能性最小，摸到黑色玻璃球的可能性最大，还有可能摸到白色玻璃球，布袋中至少要装( )种玻璃球，至少要装( )颗玻璃球。 【答案】 3 6 【分析】因为要存在红色、黑色、白色三种不同可能性的玻璃球，所以可确定最少的种类数。 根据摸到红色可能性最小、黑色最大、还有白色，那么三种球的数量需满足数量大小关系，据此得到总最少颗数。 【详解】布袋中至少要有红色玻璃球，白色玻璃球和黑色玻璃球这3种玻璃球； 红色玻璃球的可能性最小，说明红色玻璃球的数量最少，黑色玻璃球的可能性最大，说明黑色玻璃球的数量最多。那么说明黑色玻璃球的数量比白色玻璃球的数量多，白色玻璃球的数量比红色玻璃球的数量多，所以可以让袋子中至少有1个红色玻璃球，2个白色玻璃球，3个黑色玻璃球，所以布袋中至少要有1＋2＋3＝6（颗）玻璃球。 9．一个不透明的袋子中装有红、黄、绿这三种颜色的球（每个球除颜色外，其他都相同），已知红球有9个，黄球有8个，绿球有13个，东东从袋子中随机摸出一个球，摸到( )球的可能性最大。 【答案】绿 【分析】根据三种球数量的多少，直接判断可能性的大小即可；哪种颜色的球的数量越大，摸到的可能性就越大，据此解答即可。 【详解】13＞9＞8，绿球数量最多，所以东东从袋子中随机摸出一个球，摸到绿球的可能性最大。 10．盒子里装有除颜色外完全相同的红球、蓝球共10个，如果任意摸出1个球，摸到红球的可能性大，那么红球至少有( )个。 【答案】 6 【分析】在总数一定的情况下，某种球的数量越多，摸到的可能性就越大。要使摸到红球的可能性大，红球的数量必须多于蓝球的数量，即红球数量超过总数的一半。 【详解】盒子里球的总数是10个， 若红球和蓝球数量相等，则每种球各有：（个） 因为摸到红球的可能性大，所以红球的数量要多于蓝球的数量。 即红球的数量必须大于5个， 大于5的最小整数是6，即红球至少有6个。 11．从下面的盒子里任意摸出一个球，若一定摸出黑球，则应选( )号盒子；若可能摸出白球也可能摸出黑球，则应选( )号盒子。（填序号） 【答案】 ③ ① 【分析】要确定一定能摸出黑球的盒子，需看盒子里是否全是黑球；要确定可能摸出白球也可能摸出黑球的盒子，需看盒子里是否既有白球也有黑球。据此解答。 【详解】观察可知，③号盒子里面全部是黑球，所以从③号盒子任意摸出一个球，一定能摸出黑球。因此，若一定摸出黑球，则应选③号盒子； 观察可知，①号盒子里面既有黑球和也有白球，所以从①号盒子摸球，有可能摸到黑球，也有可能摸到白球。因此，若可能摸出白球也可能摸出黑球，则应选①号盒子。 12．象棋起源于中国，古代叫“象戏”。唐朝时，象棋基本普及，到了宋代，中国象棋基本定型，并且在全国流行，象棋中红方棋子有“帅”1个，“车”“马”“炮”“相”“士”各2个，“兵”5个，如果把红方棋子都装入一个袋子，从袋子里任意摸出一个棋子，摸到棋子“( )”的可能性最大，摸到棋子“( )”的可能性最小。 【答案】 兵 帅 【分析】比较各种棋子的数量，哪种棋子的数量最多，摸到哪种棋子的可能性就最大；哪种棋子的数量最少，摸到哪种棋子的可能性就最小。 【详解】5＞2＞1，摸到棋子“兵”的可能性最大，摸到棋子“帅”的可能性最小。 13．盒子里有8个红球、5个蓝球、2个黄球，任意摸出一个球，摸到( )球的可能性最大，摸到( )球的可能性最小。 【答案】 红 黄 【分析】不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小。 【详解】盒子里有8个红球、5个蓝球、2个黄球，8＞5＞2，摸到红球的可能性最大，摸到黄球的可能性最小。 14．游乐场的抽奖转盘分为蓝色奖区和绿色奖区。笑笑转动转盘60次，指针落在蓝色奖区12次，落在绿色奖区48次。根据数据可知，笑笑使用的转盘中( )色奖区的区域面积更大。 【答案】绿 【分析】指针落在哪种颜色区域的次数越多，说明指针落在该种颜色区域的可能性越大，即转盘中该种颜色区域的面积就越大；指针落在哪种颜色区域的次数越少，说明指针落在该种颜色区域的可能性越小，即转盘中该种颜色区域的面积就越小。 【详解】分析可知，因为12＜48，所以指针落在绿色奖区的可能性比较大，即笑笑使用的转盘中绿色奖区的区域面积更大。 15．正方体六个面涂上涂上代表色：红色（红色文化）、绿色（生态文化）、黄色（民俗文化），每个正方体都要涂有这三种颜色。要使三种文化可能性一样大，每种颜色各涂( )面；要使民俗文化可能性最大，黄色最少要涂( )面。 【答案】 2 3 【分析】每种颜色的面一样多，则三种文化的可能性一样大；要使民俗文化可能性最大，黄色的面就要涂得最多。 【详解】要使三种文化可能性一样大，6÷3＝2（面），每种颜色各涂2面；要使民俗文化可能性最大，6＝3＋2＋1，3＞2＞1，黄色最少要涂3面。 16．盒子里有3个黄球和6个白球（这些球的材质、大小都相同）。若从盒子里任意摸出一个球，要使摸出黄球的可能性最大，至少要从盒子里拿出( )个白球；若从盒子里任意摸出两个球，可能出现( )种结果。 【答案】 4 3 【分析】要使摸出黄球的可能性最大，黄球数量须比白球多。现有3个黄球、6个白球，先让白球数量和黄球相等，再减少1个白球，就能让黄球数量更多。 分别列举出拿出两个球的颜色组合，最后把这些组合相加即可得到可能的结果。 【详解】白球最多剩：3－1＝2（个） 需要拿出白球：6－2＝4（个） 拿出两个球的颜色组合：黄黄、白黄、白白，共3种颜色组合，所有可能出现3种结果。 17．一个袋子里有红、白、黑三种颜色的球共15个，其中红球和白球共有10个，白球和黑球共有9个。红球、白球和黑球各有多少个？ 【答案】红球6个；白球4个；黑球5个 【分析】三种球的总数减去红球和白球的数量和，即为黑球的数量；三种球的总数减去白球和黑球的数量和，即为红球的数量；求出红球后，用红球和白球的数量和减去红球的数量，即为白球的数量。 【详解】黑球的数量： 15－10＝5（个） 红球的数量： 15－9＝6（个） 白球的数量： 10－6＝4（个） 答：红球有6个，白球有4个，黑球有5个。 18．某商场举行促销活动，准备了两个抽奖转盘，每个转盘均分为5个相等的区域，并标有数字（如图）。 (1)如果两个转盘转到的数字和为双数，则获得一等奖，和为单数，则获得二等奖。你认为游戏公平吗？请说明理由： 。 (2)若你是商场经理，一等奖的和设为( )比较公平。 【答案】(1)不公平；理由见详解 (2)小于10 【分析】（1） 因为左边转盘数字为单数，右边转盘数字为双数，根据单数＋双数＝单数的运算性质，两个转盘转到的数字和只能是单数，不可能是双数，所以该规则不合理。 （2） 找出出现次数相对均衡的和作为一等奖。经过统计，和为3出现1次；和为5出现2次；和为7出现3次；和为9出现4次；和为11出现5次；和为13出现4次；和为15出现3次；和为17出现2次；和为19出现1次。和小于10的总次数为1＋2＋3＋4＝10次；和大于10的总次数为：5＋4＋3＋2＋1＝15次，据此设置出现的次数相对较多且相对均衡，如和小于10或大于10等。 【详解】（1）答：不公平。理由：左盘数字全是单数，右盘数字全是双数，单数＋双数＝单数，所以和一定是单数，一等奖（双数）永远无法获得。 （2）答：和小于10的总次数为10次；和大于10的总次数为15次，因此一等奖的和设为小于10比较公平。（答案不唯一） 19．奇奇从盒子里每次取一枚棋子，记录完颜色后放回盒子里并摇匀再取，重复30次，记录如下表。 颜色 黑色棋子 白色棋子 次数 21 9 则他用的盒子最可能是以下哪个？为什么？ 【答案】②号盒子；理由见详解 【分析】重复取棋子30次，其中21次是黑色，9次是白色，黑色次数远远大于白色，说明盒子中黑色棋子的个数远远多于白色棋子，分别判断3个盒子中的棋子个数是否符合这一条件。 【详解】①号盒子，黑色棋子有3个，白色棋子有2个，黑色棋子和白色棋子的个数差别不大，摇匀后取出黑色的可能性比白色略大，不符合记录数据； ②号盒子，黑色棋子有4个，白色棋子有2个，黑色棋子的个数多于白色棋子，且是白色的2倍，更可能满足记录数据； ③号盒子，黑色棋子有3个，白色棋子有3个，黑色棋子和白色棋子的个数一致，可能出现取出后的数据相近，不符合题目要求。 答：奇奇用的盒子最可能是②号。因为从取棋子的结果看，取到黑色棋子的次数21次远多于白色棋子的9次，说明盒子中黑棋子数量比白棋子多很多。对比三个盒子，盒子②中黑棋子数量相对白棋子数量多的程度更大（黑棋子4个，白棋子2个），所以他用的盒子最可能是②号。 20．小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成10颗棋子，如图。 “字母棋”的游戏规则如下： ①游戏时，棋子背面朝上，打乱顺序，两人各摸1颗棋子进行比赛，称一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回； ②A棋胜B棋、C棋；B棋胜C棋、D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋； ③相同棋子不分胜负。 （1）已知小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9颗棋子中随机摸1颗，问这一轮中小玲胜小军的可能性大还是小军胜小玲的可能性大？为什么？ （2）已知小玲先摸1颗棋子，小军在剩余的9颗棋子中随机摸1颗，这一轮中小玲摸到哪种棋子胜小军的可能性最大？为什么？ 【答案】（1）小玲胜小军；理由见详解 （2）B棋；理由见详解 【解答】（1）已知A棋胜B棋、C棋；B棋胜C棋、D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋，可用列表来表示： 小玲摸到 C 小军摸到 A B B C C D D D D 小玲胜负 负 负 负 平 平 胜 胜 胜 胜 从表中可知，小玲3负2平4胜，所以小玲胜小军的可能性大。 （2）如果小玲摸到A棋，那么小玲5胜4负；如果小玲摸到B棋，那么小玲1负1平7胜；如果小玲摸到C棋，那么小玲3负2平4胜；如果小玲摸到D棋，那么小玲1胜5负3平。所以小玲摸到B棋胜小军的可能性最大。 【详解】（1） 小玲摸到 C 小军摸到 A B B C C D D D D 小玲胜负 负 负 负 平 平 胜 胜 胜 胜 小玲先摸到了C棋，小玲3负2平4胜，所以小玲胜小军的可能性大。 答：小玲胜小军的可能性大，因为小玲3负2平4胜。 （2）小玲摸到B棋时，小玲1负1平7胜，此时胜率最大。 答：小玲摸到B棋胜小军的可能性最大。因为小玲摸到B棋时，小玲1负1平7胜，胜率最大。 21．乐乐和小宇准备从下面袋子中选一个做摸球游戏。每次任意摸一个球，摸后放回摇匀，每人摸20次，摸到黑球乐乐得1分，摸到白球小宇得1分，摸到灰球两人都不得分。 （1）如果他们选择1号袋子进行游戏，那么（    ）赢的可能性小。 （2）选择（    ）号袋子进行游戏，乐乐不可能赢。 （3）如果他们选择3号袋子进行游戏，要使摸球游戏公平，3号袋子里可以放什么球？各放几个？ 【答案】（1）小宇； （2）2； （3）可以放黑球和白球，各放2个。（答案不唯一） 【分析】（1）根据1号袋子内，比较不同颜色的球的数量，看哪种颜色的球最少； （2）根据题意，摸到黑球乐乐得1分，观察哪个袋子里没有黑球即可； （3）要使摸球游戏公平，只要满足黑球，白球的数量相同即可。 【详解】（1）1号袋子里，黑球有3个，白球只有2个，灰球有1个，所以小宇赢的可能性小； （2）2号袋子只有白球和灰球，没有黑球，所以乐乐不可能赢； （3）可以放黑球和白球，各放2个。（答案不唯一） 22．把8张大小相同的数字卡片放入不透明袋中，从中摸1张，摸出数字“7”的可能性最大，摸出数字“4”的可能性最小。如果8张数字卡片上只有3种数字，那么“7”至少有（    ）张。请你填出其中的一种放法。 【答案】4 7；7；7；7；5；5；5；4（填法不唯一） 【分析】通过比较不同数字卡片数量的多少，来判断摸到该数字可能性的大小，数量越多，摸到的可能性越大，反之越小，以此确定满足条件的卡片数量 。在 8 张卡片上安排 3 种数字，使摸出“7”的可能性最大，摸出“4”的可能性最小，那么“7”的数量要最多，“4”的数量要最少，至少有一张卡片是“4”。再把剩下8-1＝7（张）的卡片进行分配，“7”要分给另外2种数字，“7”的数量最多就要先平均分，每种数字分3张，还剩的1张无论分给哪种数字，那种数字就会有3＋1＝4（张）。依此填写，答案不唯一。 【详解】 23．小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的概率是多少？ 【答案】 【分析】列举出所有可能出现的结果，找出其中一颗是牛奶味的情况，另一颗也是牛奶味的情况，求出小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的概率是多少即可。 【详解】巧克力味的糖简称巧，果味简称果，两颗牛奶味分别简称牛1、牛2。取出两颗糖一共有6种情况：巧果，巧牛1，巧牛2，果牛1，果牛2，牛1牛2。其中一颗是牛奶味的情况有5种，另一颗也是牛奶味的情况占1种。 答：小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的概率是。 24．在举行中国象棋决赛前夕，学校公布了参加决赛的两名棋手的有关资料。 李俊 张宁 双方交战记录 5胜6负 6胜5负 在校象棋队练习成绩 15胜3负 11胜5负 （1）你认为本次象棋决赛中，谁获胜的可能性大些？说说理由。 （2）如果学校要推荐一名棋手参加区里的比赛，你认为推荐谁比较合适？简要说明理由。 【答案】（1）张宁获胜的可能性大些。因为李俊获胜的可能性是，张宁获胜的可能性是，。 （2）我认为推荐李俊去参加比较合适。他与其他学生比赛的胜率更大一些。 【分析】（1）通过李俊与张宁的双方交战记录，可以得出两人共比赛了5＋6＝11（局），李俊获胜的成绩是，张宁获胜的成绩是，。 （2）李俊在练习的过程中，15胜3负，胜利的可能性是18局比赛里面有15局是胜利的，也就是胜率约是0.83； 而张宁在练习的过程中，11胜5负，胜利的可能性16局比赛里面有11局是胜利的，也就是胜率约是0.69； 则李俊的获胜的可能性比较大。 【详解】（1）李俊获胜的可能性： 张宁获胜的可能性： 答：张宁获胜的可能性大些。 （2）15÷（15＋3） ＝15÷18 ≈0.83 11÷（11＋5） ＝11÷16 ≈0.69 0.85＞0.69 答：我认为推荐李俊去参加比较合适。他与其他学生比赛的胜率更大一些。 25．幸运转盘，欢乐年华。 联欢会上，同学们通过转转盘来决定参加做游戏还是表演节目。明明很想为同学们讲一个故事，小刚最喜欢做游戏了。请你告诉明明和小刚，他们分别应该转动几号转盘。 【答案】明明应该转动3号转盘，小刚应该转动1号转盘。 【分析】可能性大小的判断，从数量上分析，份数最多的，转到的可能性最大，份数最少的，转到的可能性最小，份数相等的，转到的可能性一样。明明想讲故事，就要选择写有“讲故事”份数最多的转盘；小刚喜欢做游戏，就要选择写有“做游戏”份数最多的转盘。 【详解】1号转盘有0份“讲故事”，2号转盘有1份“讲故事”，3号转盘有4份“讲故事”，，所以明明应该转动3号转盘； 1号转盘有8份“做游戏”，2号转盘有0份“做游戏”，3号转盘有1份“做游戏”，，所以小刚应该转动1号转盘。 答：明明应该转动3号转盘，小刚应该转动1号转盘。 26．有：①6个红球；②2个黑球；③4个白球；④4个黄球。请按活动要求把球放进盲盒里（把球的序号填在盒子的正面）。想一想该怎么设计？ 【答案】见详解 【分析】根据可能性大小的判断方法，第1个盒子一定摸到红球，那么这个盒子里全部放红球； 第2个盒子一定摸到黑球，那么这个盒子里全部放黑球； 第3个盒子摸到白球和黄球的可能性一样大，那么这个盒子里放4个白球和4个黄球即可。 【详解】盲盒设计如下： 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七单元 可能性 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、事件发生的确定性与不确定性 1 1. 确定性事件 1 2. 不确定性事件（随机事件） 2 3. 判断方法 2 二、可能性的大小 2 1. 可能性的大小规律 2 2. 易错提醒 2 3. 可能性的反推 2 三、可能性的实际应用 3 1. 游戏公平性判断 3 2. 设计公平游戏规则 3 3. 生活中的可能性应用 3 考点讲练 3 考点一：事件的确定性与不确定性判断 3 考点二：可能性的大小判断 4 考点三：可能性的应用与公平性判断 5 综合训练 5 知识梳理 一、事件发生的确定性与不确定性 1. 确定性事件 生活中，有些事件的结果是可以预知的，具有确定性，这类事件叫作确定性事件。 一定：在给定条件下，必然会发生的事件。 例：太阳从东方升起；正方形的四条边都相等。 不可能：在给定条件下，必然不会发生的事件。 例：太阳从西方升起；三角形内角和是 200°。 2. 不确定性事件（随机事件） 生活中，有些事件的结果无法预知，可能发生也可能不发生，具有不确定性，这类事件叫作随机事件，通常用 “可能” 来描述。 例：明天会下雨；抛一枚硬币正面朝上；抽奖中奖。 3. 判断方法 判断事件类型时，结合自然规律、数学定义、生活常识进行分析： 结果唯一、必然出现 → 一定； 结果绝对不会出现 → 不可能； 结果无法提前确定 → 可能。 二、可能性的大小 1. 可能性的大小规律 随机事件发生的可能性有大有小。 在总数中，某一类事物的数量越多，对应的事件发生的可能性就越大； 某一类事物的数量越少，对应的事件发生的可能性就越小； 当两类事物的数量相等时，发生的可能性大小相等。 例：盒子里有 8 个红球、2 个白球，红球数量多，摸出红球的可能性大；白球数量少，摸出白球的可能性小。 2. 易错提醒 可能性的大小和数量占比有关，和事物本身的顺序、位置无关。 可能性大不代表 “一定发生”，可能性小也不代表 “一定不发生”。比如摸奖中奖率低，不代表绝对不会中奖。 3. 可能性的反推 根据事件发生的可能性大小，可以反向判断对应事物的数量多少： 事件发生的可能性大 → 对应事物的数量多； 事件发生的可能性小 → 对应事物的数量少； 事件发生的可能性相等 → 对应事物的数量相等。 三、可能性的实际应用 1. 游戏公平性判断 判断一个游戏规则是否公平，核心标准是：参与游戏的各方获胜的可能性是否相等。 可能性相等 → 游戏公平； 可能性不相等 → 游戏不公平。 2. 设计公平游戏规则 设计公平游戏时，要保证各方获胜的条件对应的可能性大小相等，常见方法： 让双方可选的结果数量相同； 用转盘、抽卡片、抛硬币等工具时，均分区域或数量。 3. 生活中的可能性应用 抽奖、转盘游戏、比赛抽签、天气预报等场景，都会用到可能性的知识来分析结果、判断公平性。 考点讲练 考点一：事件的确定性与不确定性判断 【典例精讲】 下列事件中，一定发生的画 “√”，不可能发生的画 “×”，可能发生的画 “○”。 （1）人长生不老。（ ） （2）水往低处流。（ ） （3）下周阴天。（ ） 【变式训练 1】 下列事件中，属于确定事件的是（ ）。 A. 抛一枚硬币，正面朝上 B. 小明考试得 100 分 C. 地球绕着太阳转 【变式训练 2】 判断题：冬天一定会下雪。（ ） 【变式训练 3】 将下列事件的序号填在对应的横线上。 ① 从全是黑棋的盒子里摸出白棋 ② 两位数加两位数，和是三位数 ③ 爸爸的年龄比儿子大 ④ 雨后出现彩虹 一定发生： 不可能发生： 可能发生： 考点二：可能性的大小判断 【典例精讲】 盒子里有 5 个红球、3 个黄球、1 个白球（球的大小、质地完全相同）。任意摸出 1 个球，摸到（ ）球的可能性最大，摸到（ ）球的可能性最小。 【变式训练 1】 一个转盘被平均分成 8 份，其中 3 份涂红色，5 份涂蓝色。转动转盘，指针停在（ ）色区域的可能性大。 A. 红 B. 蓝 C. 无法确定 【变式训练 2】 判断题：盒子里有 10 个白球、1 个黑球，任意摸一个，一定能摸到白球。（ ） 【变式训练 3】 布袋里有大小相同的卡片：8 张数字卡片、5 张字母卡片、2 张图形卡片。任意抽一张，最有可能抽到（ ）卡片，抽到（ ）卡片的可能性最小。如果想要让抽到字母卡片和图形卡片的可能性相等，可以怎么做？ 考点三：可能性的应用与公平性判断 【典例精讲】 小明和小刚玩抽卡片游戏，有 6 张背面完全相同的卡片，正面分别写着 1~6。规则是：抽到奇数小明赢，抽到偶数小刚赢。这个游戏规则公平吗？为什么？ 【变式训练 1】 下面的游戏规则中，不公平的是（ ）。 A. 抛硬币，正面朝上甲赢，反面朝上乙赢 B. 掷骰子，点数大于 3 甲赢，小于 3 乙赢 C. 盒子里有 3 个红球、3 个黄球，摸红球甲赢，摸黄球乙赢 【变式训练 2】 两个小组做摸球游戏，摸到红球第一组得 1 分，摸到黄球第二组得 1 分。要让游戏公平，应该选（ ）号盒子。 A. 5 红 3 黄 B. 4 红 4 黄 C. 2 红 6 黄 【变式训练 3】 请你设计一个公平的转盘游戏，使甲、乙两人获胜的可能性相等。 综合训练 1．下列成语所描述的事件中，属于不确定事件的是（    ）。 A．守株待兔 B．瓜熟蒂落 C．水中捞月 D．旭日东升 2．盒子里有2个黄球，3个红球，5个蓝球，至少再放进（    ）个黄球，摸到黄球的可能性最大。 A．2 B．3 C．4 D．5 3．下面有四个游戏转盘。乐乐玩转盘游戏，转了30次，结果如下表。根据数据推测，乐乐玩的游戏转盘最有可能是（    ）。 颜色 白色 灰色 次数 8 22 A． B． C． D． 4．一个盒子里装有大小、材质相同的黑球和白球共10个（如图）。从盒子中任意摸出一个球，下面说法正确的是（    ）。 A．一定能摸到黑球 B．摸到白球的可能性大 C．不可能摸到白球 D．摸到黑球的可能性大 5．盒子里放了若干个大小相同的球，任意摸出一个，要使摸到白球的可能性最小，摸到蓝球的可能性最大，还有可能摸到红球，盒子里最少要放（    ）个球。 A．4 B．5 C．6 D．7 6．在日常生活中，我们常用成语描述事情发生的可能性大小。按可能性从小到大的顺序，将①瓮中捉鳖；②海底捞针；③胜券在握；④平分秋色排列为（    ）。 A．②④①③ B．④②①③ C．②①④③ D．①②④③ 7．一个盒子里有5个黑球，9个红球和3个黄球，除颜色外其余均相同。从中任意摸出一个，摸到________球的可能性最小，摸到________球的可能性最大。 8．从布袋中摸大小相同的玻璃球，要使摸到红色玻璃球的可能性最小，摸到黑色玻璃球的可能性最大，还有可能摸到白色玻璃球，布袋中至少要装( )种玻璃球，至少要装( )颗玻璃球。 9．一个不透明的袋子中装有红、黄、绿这三种颜色的球（每个球除颜色外，其他都相同），已知红球有9个，黄球有8个，绿球有13个，东东从袋子中随机摸出一个球，摸到( )球的可能性最大。 10．盒子里装有除颜色外完全相同的红球、蓝球共10个，如果任意摸出1个球，摸到红球的可能性大，那么红球至少有( )个。 11．从下面的盒子里任意摸出一个球，若一定摸出黑球，则应选( )号盒子；若可能摸出白球也可能摸出黑球，则应选( )号盒子。（填序号） 12．象棋起源于中国，古代叫“象戏”。唐朝时，象棋基本普及，到了宋代，中国象棋基本定型，并且在全国流行，象棋中红方棋子有“帅”1个，“车”“马”“炮”“相”“士”各2个，“兵”5个，如果把红方棋子都装入一个袋子，从袋子里任意摸出一个棋子，摸到棋子“( )”的可能性最大，摸到棋子“( )”的可能性最小。 13．盒子里有8个红球、5个蓝球、2个黄球，任意摸出一个球，摸到( )球的可能性最大，摸到( )球的可能性最小。 14．游乐场的抽奖转盘分为蓝色奖区和绿色奖区。笑笑转动转盘60次，指针落在蓝色奖区12次，落在绿色奖区48次。根据数据可知，笑笑使用的转盘中( )色奖区的区域面积更大。 15．正方体六个面涂上涂上代表色：红色（红色文化）、绿色（生态文化）、黄色（民俗文化），每个正方体都要涂有这三种颜色。要使三种文化可能性一样大，每种颜色各涂( )面；要使民俗文化可能性最大，黄色最少要涂( )面。 16．盒子里有3个黄球和6个白球（这些球的材质、大小都相同）。若从盒子里任意摸出一个球，要使摸出黄球的可能性最大，至少要从盒子里拿出( )个白球；若从盒子里任意摸出两个球，可能出现( )种结果。 17．一个袋子里有红、白、黑三种颜色的球共15个，其中红球和白球共有10个，白球和黑球共有9个。红球、白球和黑球各有多少个？ 18．某商场举行促销活动，准备了两个抽奖转盘，每个转盘均分为5个相等的区域，并标有数字（如图）。 (1)如果两个转盘转到的数字和为双数，则获得一等奖，和为单数，则获得二等奖。你认为游戏公平吗？请说明理由： 。 (2)若你是商场经理，一等奖的和设为( )比较公平。 19．奇奇从盒子里每次取一枚棋子，记录完颜色后放回盒子里并摇匀再取，重复30次，记录如下表。 颜色 黑色棋子 白色棋子 次数 21 9 则他用的盒子最可能是以下哪个？为什么？ 20．小军与小玲共同发明了一种“字母棋”，进行比胜负的游戏。他们用四个字母做成10颗棋子，如图。 “字母棋”的游戏规则如下： ①游戏时，棋子背面朝上，打乱顺序，两人各摸1颗棋子进行比赛，称一轮比赛，先摸者摸出的棋子不放回； ②A棋胜B棋、C棋；B棋胜C棋、D棋；C棋胜D棋；D棋胜A棋； ③相同棋子不分胜负。 （1）已知小玲先摸到了C棋，小军在剩余的9颗棋子中随机摸1颗，问这一轮中小玲胜小军的可能性大还是小军胜小玲的可能性大？为什么？ （2）已知小玲先摸1颗棋子，小军在剩余的9颗棋子中随机摸1颗，这一轮中小玲摸到哪种棋子胜小军的可能性最大？为什么？ 21．乐乐和小宇准备从下面袋子中选一个做摸球游戏。每次任意摸一个球，摸后放回摇匀，每人摸20次，摸到黑球乐乐得1分，摸到白球小宇得1分，摸到灰球两人都不得分。 （1）如果他们选择1号袋子进行游戏，那么（    ）赢的可能性小。 （2）选择（    ）号袋子进行游戏，乐乐不可能赢。 （3）如果他们选择3号袋子进行游戏，要使摸球游戏公平，3号袋子里可以放什么球？各放几个？ 22．把8张大小相同的数字卡片放入不透明袋中，从中摸1张，摸出数字“7”的可能性最大，摸出数字“4”的可能性最小。如果8张数字卡片上只有3种数字，那么“7”至少有（    ）张。请你填出其中的一种放法。 23．小孙的口袋里有四颗糖，一颗巧克力味的，一颗果味的，两颗牛奶味的。小孙任意从口袋里取出两颗糖，他看了看后说，其中一颗是牛奶味的。小孙取出的另一颗糖也是牛奶味的概率是多少？ 24．在举行中国象棋决赛前夕，学校公布了参加决赛的两名棋手的有关资料。 李俊 张宁 双方交战记录 5胜6负 6胜5负 在校象棋队练习成绩 15胜3负 11胜5负 （1）你认为本次象棋决赛中，谁获胜的可能性大些？说说理由。 （2）如果学校要推荐一名棋手参加区里的比赛，你认为推荐谁比较合适？简要说明理由。 25．幸运转盘，欢乐年华。 联欢会上，同学们通过转转盘来决定参加做游戏还是表演节目。明明很想为同学们讲一个故事，小刚最喜欢做游戏了。请你告诉明明和小刚，他们分别应该转动几号转盘。 26．有：①6个红球；②2个黑球；③4个白球；④4个黄球。请按活动要求把球放进盲盒里（把球的序号填在盒子的正面）。想一想该怎么设计？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $