有趣的密铺 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学人教版五年级上册（新教材）

有趣的密铺 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、密铺的定义与核心特征 1 1. 密铺的概念 1 2. 密铺三大核心特征 1 3. 生活中的密铺实例 1 二、密铺的数学原理（核心考点） 2 三、常见平面图形密铺情况分类 2 1. 可以单独密铺的图形 2 2. 不可以单独密铺的图形 2 四、组合密铺 2 五、密铺的应用与设计 2 考点讲练 2 考点一：密铺的概念与特征判断 2 考点二：单一图形能否密铺的判断 4 考点三：密铺原理应用与综合判断 5 综合训练 6 知识梳理 一、密铺的定义与核心特征 1. 密铺的概念 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺满整个平面，这种现象叫作密铺，也叫镶嵌。 2. 密铺三大核心特征 无空隙：图形拼接后，平面上没有空白、留白区域； 不重叠：图形之间互不遮挡、没有重合部分； 全覆盖：可以无限延展，铺满整个平面。 3. 生活中的密铺实例 生活中随处可见密铺图案：地面瓷砖、墙面墙砖、蜂巢六边形结构、棋盘、马赛克装饰、拼图、人行道地砖等。 二、密铺的数学原理（核心考点） 图形能够单独密铺的根本条件：拼接在同一个顶点处的所有内角之和等于360°。 通俗理解：多个相同图形的角拼在一点，刚好凑成一个周角（360°），就能实现无缝、无重叠密铺。 补充：360°是周角度数，只有凑满周角，才能无限平铺且无空隙、无重叠。 三、常见平面图形密铺情况分类 1. 可以单独密铺的图形 所有三角形、四边形（任意、规则均可）、正六边形可以单独密铺。 任意三角形：内角和180°，6个相同三角形的内角可凑成360°，可密铺； 任意四边形（长方形、正方形、平行四边形、梯形、不规则四边形）：内角和360°，4个相同四边形可凑成360°，可密铺； 正六边形：每个内角120°，3个120°刚好凑成360°，可密铺。 2. 不可以单独密铺的图形 圆形：没有内角，拼接后存在空隙，无法密铺； 正五边形：每个内角108°，3个108°=324°（不足360°），4个108°=432°（超过360°），无法凑成周角，不能密铺； 边数大于6的正多边形（正七边形、正八边形等），均无法单独密铺。 四、组合密铺 两种或两种以上不同的图形搭配拼接，满足顶点处内角和为360°，也可以实现密铺，叫作组合密铺。 常见组合：正方形+正八边形、正三角形+正六边形等，生活中复杂的装饰图案大多为组合密铺。 五、密铺的应用与设计 利用可密铺的图形（三角形、四边形、正六边形），可以自主设计美观、规律的密铺图案，核心要求：拼接无空隙、无重叠、排列规律。 考点讲练 考点一：密铺的概念与特征判断 【典例精讲】 判断下列说法是否正确：能够铺满平面的图形，就是密铺。 【分析】 本题考查密铺的完整定义，密铺必须同时满足两个核心条件：无空隙、不重叠，只铺满平面不满足全部条件，不能判定为密铺。 【详解】 图形铺满平面时，若存在空隙或重叠，就不属于密铺。题干缺少“无空隙、不重叠”两个关键条件，说法错误。 【答案】× 【变式训练1】 下列现象属于密铺的是（ ）。 A. 桌面上随意摆放的圆形纽扣 B. 客厅铺满的正方形地砖 C. 散落的三角形积木 【分析】 根据密铺特征判断：无空隙、不重叠、铺满平面。A有缝隙、C杂乱重叠有空隙，均不符合密铺要求。 【详解】 A选项圆形纽扣拼接有空隙；C选项积木散落杂乱，存在重叠和空隙；B选项正方形地砖无缝隙、不重叠铺满地面，属于密铺。 【答案】B 【变式训练2】 填空题：密铺的两个必备条件是（________）和（________）。 【分析】 直接考查密铺的核心特征，牢记密铺两大关键：无空隙、不重叠。 【详解】 根据密铺定义，图形密铺必须满足彼此之间不留空隙、不重叠。 【答案】无空隙；不重叠 【变式训练3】 判断：密铺图形可以无限延展，铺满整个平面。（ ） 【分析】 考查密铺的基本性质，合格的密铺图案具备可重复性、可无限延展性。 【详解】 密铺图形排列规律整齐，无空隙无重叠，能够向四周无限延伸，铺满整个平面，说法正确。 【答案】√ 考点二：单一图形能否密铺的判断 【典例精讲】 下列图形中，不能单独密铺的是（ ）。 A. 长方形 B. 正五边形 C. 平行四边形 【分析】 依据密铺数学原理：顶点内角和能否凑成360°。四边形均可密铺，正五边形内角无法凑出360°，不能单独密铺。 【详解】 长方形、平行四边形属于四边形，4个图形内角可凑360°，能单独密铺；正五边形每个内角108°，无法凑成360°周角，不能单独密铺。 【答案】B 【变式训练1】 判断题：任意三角形都可以单独密铺。（ ） 【分析】 任意三角形内角和180°，6个相同三角形的内角可以拼接成360°，满足密铺条件。 【详解】 无论锐角、直角、钝角三角形，6个相同三角形均可在同一顶点凑成周角，无空隙不重叠，可单独密铺，说法正确。 【答案】√ 【变式训练2】 选择题：可以单独密铺的正多边形是（ ）。 A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 【分析】 正六边形每个内角120°，3个120°=360°，满足密铺条件；其余两种正多边形无法凑出360°周角。 【详解】 正五边形、正七边形内角无法拼接成360°，不能密铺；正六边形3个内角刚好拼成周角，可单独密铺。 【答案】B 【变式训练3】 判断：圆形可以单独密铺。（ ） 【分析】 圆形没有内角，图形之间拼接会产生空隙，不满足密铺无空隙的条件，无法密铺。 【详解】 圆形边缘为弧形，平铺时图形之间存在空白空隙，不能实现密铺，说法错误。 【答案】× 考点三：密铺原理应用与综合判断 【典例精讲】 为什么正方形可以单独密铺？请用密铺原理说明。 【分析】 结合密铺核心原理：顶点处内角和为360°，结合正方形内角度数分析解答。 【详解】 正方形每个内角是90°，4个90°的角相加：90°×4=360°，刚好拼成一个周角，拼接后无空隙、不重叠，因此正方形可以单独密铺。 【答案】见详解 【变式训练1】 填空：正六边形每个内角是120°，（____）个正六边形可以在同一个顶点拼接成360°，实现密铺。 【分析】 已知单个内角度数，用周角360°除以单个内角度数，即可求出拼接个数。 【详解】 360°÷120°=3，因此3个正六边形可拼接成周角，完成密铺。 【答案】3 【变式训练2】 下列说法正确的是（ ）。 A. 只有正多边形可以密铺 B. 梯形一定可以密铺 C. 密铺图形必须是规则图形 【分析】 任意四边形（含不规则梯形）均可密铺；不规则三角形、四边形也可密铺，并非只有正多边形、规则图形能密铺。 【详解】 A错误，不规则三角形、四边形也可密铺；B正确，梯形属于四边形，可单独密铺；C错误，不规则图形只要满足条件也可密铺。 【答案】B 【变式训练3】 举例说明生活中的两种密铺现象，并简单说明原因。 【分析】 结合生活实例，搭配密铺核心特征（无空隙、不重叠、内角和360°）简单阐述。 【详解】 1. 地面正方形地砖：正方形内角90°，4个内角凑成360°，铺设后无空隙、不重叠，属于密铺； 2. 蜂巢：由正六边形组成，3个正六边形内角凑成360°，无缝隙排列，属于密铺。 【答案】见详解 综合训练 1．学校计划用一种地砖铺设劳动实践教室，要求铺好的地面无缝隙、不重叠。下列四种地砖中，无法实现铺设要求的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】图形的密铺是：拼接在同一个点的所有内角加起来恰好等于360°，且拼接不留空隙不重叠，即这个图形的内角和能整除360°或被360°整除，则这个图形就能单独密铺。 【详解】A．平行四边形是四边形，四边形的内角和是360°，4个平行四边形的不同内角可以拼成一个周角，能密铺，不符合题意； B．等边三角形的每个内角是60°，360°÷60°＝6，即6个等边三角形的内角可以拼成一个周角，能密铺，不符合题意； C．正五边形的每个内角是108°，360°不是108°的整数倍，在拼接点处无法保证没有空隙或重叠，不能密铺，符合题意； D．正六边形内角和为720°，720°÷360°＝2，因此正六边形可以单独密铺，不符合题意； 2．下面各个图形中，不能密铺的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】平面密铺的核心条件：围绕一个点拼接的几个多边形的内角和，必须等于360°。 【详解】A．任意三角形的内角和是180°，通过不同三角形组合，都能凑成360°，可以密铺； B．任意四边形的内角和是360°，4个不同的内角可以在一点处拼成360°，可以密铺； C．正五边形每个内角的度数为108°，无法在一个点处拼成360°，不能密铺； D．正六边形每个内角的度数为120°，3×120°＝360°，可以密铺。 3．下面图形中单独使用同一种图形，能够密铺的有（    ）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据所给图形逐一尝试密铺，从而明确能够密铺的有几种即可。 【详解】 ，所以能够密铺； ，中间有空隙，所以不能密铺； ，所以能够密铺； ，中间有空隙和重叠，所以不能密铺； ，所以能够密铺。 综上，这些图形中单独使用同一种图形，能够密铺的有3种。 4．某城市进行老城区人行道的路面翻新，准备重新铺地砖。如果只能选择一种形状和大小的地砖，（    ）形状不能密铺。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。判断一个图形能否单独密铺，关键看在拼接点处，几个图形的内角之和能否等于360°。任意三角形和任意四边形都能单独密铺，而正五边形的内角不能整除360°，因此不能单独密铺。 【详解】 A．平行四边形是四边形，四边形的内角和是360°，4个平行四边形的不同内角可以拼成一个周角，能密铺，不符合题意； B．正五边形的每个内角是108°，360°不是108°的整数倍，在拼接点处无法保证没有空隙或重叠，不能密铺，符合题意； C．等边三角形的每个内角是60°，360°÷60°＝6，即6个等边三角形的内角可以拼成一个周角，能密铺，不符合题意； D．正方形的每个内角是90°，360°÷90°＝4，即4个正方形的内角可以拼成一个周角，能密铺，不符合题意。 所以，不能密铺。 5．青青在课中研究三角形，用直尺、圆规绘制了下面三幅图，她在探究（      ）问题。 A．三角形的稳定性 B．三角形的内角和 C．三角形的三边关系 D．三角形是否可以密铺 【答案】C 【分析】在这三幅图里，圆规用于截取线段长度，直尺用于测量和辅助绘图。可以看到，通过这些操作是在构建三角形并对边进行处理。三角形的特征涵盖角和边等方面；内角和是三个内角的度数总和；周长是三边长度之和；而三边关系指任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。 【详解】从图中构建三角形及对边的操作方式，明显是在探究三角形三边长度之间的关系，即两边之和大于第三边这一三边关系。 所以，青青在探究的问题是三角形三边关系。 故答案为：C 6．瓷砖厂最新出品了4款形状的瓷砖，不可以单独密铺的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，因此，一个多边形的内角和能被360°整除，这个图形就能密铺，否则，不能密铺，据此解答即可。 【详解】 A． 根据多边形内角和（n－2）×180° 三角形内角和为（3－2）×180° ＝1×180° ＝180° 则180°÷3＝60° 60°×6＝360° 三角形能密铺； B． 正方形的内角和是： （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 360°÷360°＝1 正方形能密铺； C． 五边形的内角和是： （5－2）×180° ＝3×180° ＝540° 540°÷360°＝1……180° 540°不能被360°整除，正五边形不能密铺； D． 六边形的内角和是： （6－2）×180° ＝4×180° ＝720° 720°÷360°＝2 正六边形能密铺。 瓷砖厂最新出品了4款形状的瓷砖，不可以单独密铺的是。 故答案为：C 7．下图中有( )个图形可以密铺。 【答案】4 【分析】平面图形密铺的要求是：拼接处的内角和恰好等于360°，且拼接后不留空隙、不重叠，逐个判断即可。 【详解】长方形：每个内角为 90°，4个内角和刚好为360°，可以密铺； 梯形：属于四边形，四边形内角和为360°，可以密铺； 正六边形：每个内角为120°，3个内角和刚好为360°，可以密铺； 正三角形：每个内角为 60°，6个内角和刚好为360°，可以密铺； 正五边形：每个内角为108°，无论几个都无法凑出 360° ，不能密铺； 圆形：拼接后会有空隙，不能密铺。 综上，一共有4个图形可以密铺。 8．在装修时，无论是( )形、( )形还是( )形的瓷砖，都可以将一块墙面中间不留空隙，也不重叠地铺满，这就是密铺。 【答案】 正三角 正四边 正六边 【分析】密铺的要求是图形在拼接点处的内角和等于360°，且能不留空隙、不重叠地铺满平面，据此解答。 【详解】正四边形（正方形）：每个内角是90°，4个90°的角可以在拼接点处凑成360°，所以能密铺； 正三角形（等边三角形）：每个内角是60°，6个60°的角可以在拼接点处凑成360°，所以能密铺； 正六边形：每个内角是120°，3个120°的角可以在拼接点处凑成360°，所以能密铺； 因此，在装修时，无论是正方形、正三角形还是正六边形的瓷砖，都可以将一块墙面中间不留空隙，也不重叠地铺满，这就是密铺。 9．同一种图形拼在一起，是密铺的在方框里画“√”，不是的画“×”。 ( )           ( )           ( )            ( ) 【答案】 √ × √ × 【分析】密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种图形，在平面上没有空隙，又不重叠地满铺。 【详解】通过观察： 图①中的各个六边形之间没有空隙，又不重叠，是密铺； 图②中的五边形之间不重叠，但有空隙，所以不是密铺； 图③中的每个平行四边形之间没有空隙，也不重叠，所以是密铺； 图④中的每个圆之间不重叠，但有空隙，所以不是密铺。 所以①√；②×；③√；④× 10．解决铺地垫问题有两种方法，分别是( )和( )。 【答案】 边长铺设法 面积相除法 【详解】长方形面积应用的典型铺地垫问题，两种常规解题思路，第一种方法：先算地面的长能铺几块地垫、宽能铺几块地垫，再把两个方向的块数相乘，也能得出总块数。第二种方法：先算出要铺地面的总面积，除以一块地垫的面积，就能得出一共需要多少块地垫，也就是用大面积除以小面积得总块数。 解决铺地垫问题有两种方法，分别是边长铺设法和面积相除法。 11．如果一个四边形一组对边平行，这组对边的长度分别为5cm和8cm，那么这个四边形一定是( )，像这样的四边形( )单独密铺。（填“能”或“不能”） 【答案】 梯形 能 【分析】两组对边都平行的四边形是平行四边形，只有一组对边平行的四边形是梯形； 用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺，如果该图形的内角和正好能被360°整除，则可以密铺，据此填空即可。 【详解】一组对边平行，且长度不相等，另一组对边不平行，这一定是梯形； 梯形的内角和是360°，用4个相同的梯形拼接时，每个角只需用一次，拼接点的四个角刚好能拼成一个周角，所以用梯形密铺，拼接点处有4个角；所以梯形能密铺，即像这样的四边形能单独密铺。 12．选出学习过两种不同图形组合一起，使其可以进行密铺的有( )。（写出一组即可） 【答案】正三角形和正方形 【分析】图形的密铺是将形状、大小完全相同的一种或者几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠的铺成一片；关键是围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起刚好组成一个周角，据此解答。   【详解】根据分析得：正三角形的内角为60°，正方形的内角为90°，能组成360°，则能铺成一个平面； 所以：选出学习过两种不同图形组合一起，使其可以进行密铺的有正三角形和正方形。（答案不唯一） 【点睛】本题考查了图形的密铺，熟练掌握图形密铺的特点是本题解答的关键。 13．在设计密铺图案时，能单独密铺的图形有( )（请写出一种图形）。 【答案】三角形 【分析】图形的密铺是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角；因此只要这个图形的内角和能整除360°或被360°整除，则这个图形就能单独密铺。 【详解】梯形内角和为360°，360°÷360°＝1，因此梯形可以单独进行密铺。 三角形的三个角的度数之和是180°，360°÷180°＝2，因此三角形可以单独进行密铺。 平行四边形的内角和是360°，360°÷360°＝1，因此平行四边形可以单独进行密铺。 由此可知，在设计密铺图案时，能单独密铺的图形有梯形、三角形、平行四边形。（答案不唯一） 【点睛】此题考查的是图形的密铺，应熟练掌握密铺的特点。 14．下列图形中可以用来单独密铺的有( )种。 【答案】6 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合，据此解答即可。 【详解】长方形、正方形、梯形和平行四边形的内角和都是360°，三角形的内角和是180°，能整除360°，可以密铺。正六边形的每个内角是120°，能整除360°，可以密铺。五边形的内角和是540°，不能整除360°，不可以密铺。圆形与圆形之间有空隙，不能密铺。图形中可以用来单独密铺的有6种。 【点睛】本题考查了密铺的知识点，要明确能密铺的图形在一个拼接点处的特点。 15．正五边形不能密铺，其原因是每个角是( )°。 【答案】108 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此，一个多边形的内角和除以360°没有余数或者360°除以一个多边形的内角没有余数，这样的多边形能密铺。正五边形内角和是540°每个角是108°，围绕正五边形的一个角的顶点拼在一起的内角加在一起不能组成一个周角，不能密铺。 【详解】正五边形不能密铺，其原因是每个角是（108）°。 【点睛】判断图形能否密铺的关键是看这个图形的内角和能否除以360°没有余数或者360°除以这个图形的内角和没有余数。 16．英英家准备给厨房铺地砖，只用一种形状的地砖来铺，某装饰市场有五种型号的地砖，分别是：①圆；②正方形；③正五边形；④直角梯形；⑤等边三角形。那么可以选择( )号地砖。（填序号） 【答案】②④⑤ 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此，一个多边形的内角和除以360°没有余数或者360°除以一个多边形的内角和没有余数，这样的多边形能密铺。据此选择地砖型号。 【详解】圆形不能密铺；正方形的内角和是360°，能密铺；正五边形的内角和是540°，不能密铺；直角梯形的内角和是360°，能密铺；等边三角形的内角和是180°，能密铺。应选择正方形、直角梯形、等边三角形型号地砖。 英英家准备给厨房铺地砖，只用一种形状的地砖来铺，某装饰市场有五种型号的地砖，分别是：①圆；②正方形；③正五边形；④直角梯形；⑤等边三角形。那么可以选择（②④⑤）号地砖。（填序号） 【点睛】判断图形能否密铺的关键是看这个图形的内角和能否除以360°没有余数或者360°除以这个图形的内角和没有余数。 17．有、、、、这样的图形各两个，你能选出几个图形密铺下面的方格吗？试试看。 【答案】见详解 【分析】先观察图形特征，每个图形都是由4个小正方形组成，而需要密铺的方格中有16个小正方形，则需要4个这样的图形进行密铺；再根据图形特征，将要密铺的小图形各边相结合，据此密铺即可。 【详解】根据分析可得： （答案不唯一） 18．请从下面图形中选择能密铺的图形铺满一个平面，画在右面的方框中。 【答案】见详解 【分析】根据平面图形密铺的条件，判断所给图形能否密铺，能密铺的图形在拼接时，围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。所给的图形中，除了圆和正五边形不能密铺，其它的都可以。 【详解】画图如下： （画法不唯一） 19．下图中的六边形是由与涂色部分同样的三角形密铺成的。请把空白部分分一分，使得能看出这些三角形是怎样密铺成六边形的。 【答案】 【分析】观察涂色三角形的形状和六边形的特点，由于六边形的内角和为720°，正六边形每个内角是120°，而该三角形可以通过拼接组成六边形的内角。从六边形的中心出发，连接各个顶点，这样就可以把六边形分割成6个与涂色部分同样的三角形，从而清晰看出密铺方式。 【详解】略 20．在点子图上画一个平行四边形和一个只有一组对边平行的四边形。画好后想一想：四边形（    ）密铺（填“能”或“不能”）。 【答案】图见详解；能 【分析】平行四边形的特征，平行四边形对边平行且相等。在点子图中画平行四边形时，先画平行四边形上下对应的两条边，要注意平行四边形的上下两条边所占的点子数是相同的，再把上下两条边对应的端点连接起来，即可画出平行四边形。一组对边平行的四边形叫梯形，平行的一组对边较短的是上底，较长是下底，两底间的距离是梯形的高。在点子图中画梯形时，先画梯形的上底和下底，要注意上底和下底所占的点子数不相同，再把上下底对应的端点连接起来，即可画出梯形。 几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角，因此，一个多边形的内角和能被整除，这个图形就能密铺，否则，不能密铺，据此解答即可。 【详解】 （4－2）×180° ＝2×180° ＝360° 360°÷360°＝1 四边形能密铺。 21．王叔叔家门前有一大块空地，他准备在空地上铺一块长方形的草坪。他买回了24块边长为0.5米的正方形草皮，一共有多少种不同的铺草坪方法？至少要准备多少米长的篱笆才能把这块草坪完全围起来进行养护？（接头处忽略不计） 【答案】不同的铺草坪方法有4种；至少需要10米长的篱笆。 【分析】要确定不同的铺法，因为24能分解成不同的两个整数相乘的形式，像1×24、2×12、3×8、4×6，所以对应有4种铺法。对于每种铺法，根据正方形草皮的边长算出长方形草坪的长和宽，再依据长方形周长的计算方式，求出围草坪所需篱笆的长度。最后，对不同铺法所需篱笆长度进行比较，从而找出最短的篱笆长度。 【详解】24＝1×24＝2×12＝3×8＝4×6，所以可以有以下4种铺法： 第一种：将24块草皮排成1行，此时长方形草坪的长为24×0.5＝12（米），宽为0.5米。 第二种：排成2行，每行12块，长为12×0.5＝6（米），宽为2×0.5＝1（米）。 第三种：排成3行，每行8块，长为8×0.5 ＝4（米），宽为3×0.5＝1.5（米）。 第四种：排成4行，每行6块，长为6×0.5＝3（米），宽为4×0.5＝2（米）。 第一种铺法：（12＋0.5）×2 ＝12.5×2 ＝25（米） 第二种铺法：（6＋1）×2 ＝7×2 ＝14（米） 第三种铺法：（4＋1.5）×2 ＝5.5×2 ＝11（米） 第四种铺法：（3＋2）×2 ＝5×2 ＝10（米） 10＜11＜14＜25，所以至少要准备 10 米长的篱笆。 答：一共有4种不同的铺草坪方法，至少要准备10米长的篱笆才能把这块草坪完全围起来进行养护。 22．在一个工厂的废料堆里，堆放着大量不规则的四边形木料（如下图），这些木料的大小和形状是一样的。如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料。有人建议用这些木料来铺地板，你认为这些木料能密铺吗？为什么？ 【答案】能。因为四边形的内角和是360°，按题图所示的拼法拼接就能填满这个平面，而且无缝隙、不重叠。因此，凡是有着同样大小和形状的任意四边形木块都可用来密铺。 【分析】判断图形能否密铺，关键是看拼接点处几个角的度数之和是否为360°。对于任意四边形，其内角和是360°。 【详解】这些不规则四边形木料大小和形状一样，当把它们拼接时，每个拼接点处正好可以摆放4个四边形的不同内角，这4个内角的度数之和等于四边形的内角和360°，能保证拼接后无缝隙、不重叠。所以这些木料能密铺。   答：能。因为四边形的内角和是360°，按题图所示的拼法拼接就能填满这个平面，而且无缝隙、不重叠。因此，凡是有着同样大小和形状的任意四边形木块都可用来密铺。 23．用正八边形和什么图形能密铺？    【答案】与正八边形边长相等的正方形 【分析】用一种或几种全等图形（规则图形或不规则图形）进行拼接，图形之间没有空隙，也不重复，这种铺法在数学上叫图形的密铺，也叫图形的镶嵌。 【详解】正八边形密铺后，中间会有空隙，是一个四边形，四边形的每条边长都和正八边形的边长相等，四边形的每个角都是90°，所以这个四边形是正方形，即正八边形和与它边长相等的正方形组合可以密铺。 【点睛】此题考查的是图形的密铺，应熟练掌握密铺的特点。 24．如图，在一个正方形的内部按图1的方式剪去1个三角形，并平移，形成如图2所示的新图案，以这个图案为基本图案。能否进行密铺？画简图说明。    【答案】能密铺；画图见详解 【分析】平面图形密铺的特点：（1）用一种或几种全等图形进行拼接；（2）拼接处不留空隙、不重叠；（3）连续铺成一片。能密铺的图形在一个拼接点处的特点是：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360°，并使相等的边互相重合。正方形能密铺，从正方形的一个边去剪一个三角形补在对边的上方，仍能密铺。 【详解】能密铺。方法是把有剪去缺口的一边与补的边上缺口剪下一块的一边，拼接。如图所示：    【点睛】考查了平面镶嵌（密铺）问题，两种或两种以上几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。 25．品品家客厅的地板砖太旧了，妈妈准备换新的，现有、 、 、 四种地板砖可供选择，妈妈让品品挑一种形状的地板砖，你能帮品品挑一挑吗，有哪些不同的选法？ 【答案】可以挑三角形、正方形或六边形地板砖，一共有3种选法。 【分析】几何图形密铺成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角。因此，一个多边形的内角之和能被360°整除，这样的多边形能密铺；找出可以密铺的地板砖即可解答。 【详解】三角形的内角和是180°，360°÷180°＝2，三角形能密铺； 四边形的内角和是360°，360°÷360°＝1，正方形、长方形能密铺； 正六边形的每个内角是120°，能整除360°，可以单独进行密铺； 正五边形的每个内角都是108°，不管几个角拼在一起都不能正好等于360°，在每个拼接点处的内角不能保证没空隙或重叠现象，不能密铺； 答：可以挑三角形、正方形或六边形地板砖，一共有3种选法。 【点睛】密铺，即平面图形的镶嵌，指用形状、大小完全相同的几种或几十种平面图形进行拼接，使彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片。判断图形能否密铺的关键是看这个图形的内角和能被360°整除。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 有趣的密铺 举一反三讲义 目录 知识梳理 1 一、密铺的定义与核心特征 1 1. 密铺的概念 1 2. 密铺三大核心特征 1 3. 生活中的密铺实例 2 二、密铺的数学原理（核心考点） 2 三、常见平面图形密铺情况分类 2 1. 可以单独密铺的图形 2 2. 不可以单独密铺的图形 2 四、组合密铺 2 五、密铺的应用与设计 3 考点讲练 3 考点一：密铺的概念与特征判断 3 考点二：单一图形能否密铺的判断 3 考点三：密铺原理应用与综合判断 4 综合训练 5 知识梳理 一、密铺的定义与核心特征 1. 密铺的概念 用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺满整个平面，这种现象叫作密铺，也叫镶嵌。 2. 密铺三大核心特征 无空隙：图形拼接后，平面上没有空白、留白区域； 不重叠：图形之间互不遮挡、没有重合部分； 全覆盖：可以无限延展，铺满整个平面。 3. 生活中的密铺实例 生活中随处可见密铺图案：地面瓷砖、墙面墙砖、蜂巢六边形结构、棋盘、马赛克装饰、拼图、人行道地砖等。 二、密铺的数学原理（核心考点） 图形能够单独密铺的根本条件：拼接在同一个顶点处的所有内角之和等于360°。 通俗理解：多个相同图形的角拼在一点，刚好凑成一个周角（360°），就能实现无缝、无重叠密铺。 补充：360°是周角度数，只有凑满周角，才能无限平铺且无空隙、无重叠。 三、常见平面图形密铺情况分类 1. 可以单独密铺的图形 所有三角形、四边形（任意、规则均可）、正六边形可以单独密铺。 任意三角形：内角和180°，6个相同三角形的内角可凑成360°，可密铺； 任意四边形（长方形、正方形、平行四边形、梯形、不规则四边形）：内角和360°，4个相同四边形可凑成360°，可密铺； 正六边形：每个内角120°，3个120°刚好凑成360°，可密铺。 2. 不可以单独密铺的图形 圆形：没有内角，拼接后存在空隙，无法密铺； 正五边形：每个内角108°，3个108°=324°（不足360°），4个108°=432°（超过360°），无法凑成周角，不能密铺； 边数大于6的正多边形（正七边形、正八边形等），均无法单独密铺。 四、组合密铺 两种或两种以上不同的图形搭配拼接，满足顶点处内角和为360°，也可以实现密铺，叫作组合密铺。 常见组合：正方形+正八边形、正三角形+正六边形等，生活中复杂的装饰图案大多为组合密铺。 五、密铺的应用与设计 利用可密铺的图形（三角形、四边形、正六边形），可以自主设计美观、规律的密铺图案，核心要求：拼接无空隙、无重叠、排列规律。 考点讲练 考点一：密铺的概念与特征判断 【典例精讲】 判断下列说法是否正确：能够铺满平面的图形，就是密铺。 【变式训练1】 下列现象属于密铺的是（ ）。 A. 桌面上随意摆放的圆形纽扣 B. 客厅铺满的正方形地砖 C. 散落的三角形积木 【变式训练2】 填空题：密铺的两个必备条件是（________）和（________）。 【变式训练3】 判断：密铺图形可以无限延展，铺满整个平面。（ ） 考点二：单一图形能否密铺的判断 【典例精讲】 下列图形中，不能单独密铺的是（ ）。 A. 长方形 B. 正五边形 C. 平行四边形 【变式训练1】 判断题：任意三角形都可以单独密铺。（ ） 【变式训练2】 选择题：可以单独密铺的正多边形是（ ）。 A. 正五边形 B. 正六边形 C. 正七边形 【变式训练3】 判断：圆形可以单独密铺。（ ） 考点三：密铺原理应用与综合判断 【典例精讲】 为什么正方形可以单独密铺？请用密铺原理说明。 【变式训练1】 填空：正六边形每个内角是120°，（____）个正六边形可以在同一个顶点拼接成360°，实现密铺。 【变式训练2】 下列说法正确的是（ ）。 A. 只有正多边形可以密铺 B. 梯形一定可以密铺 C. 密铺图形必须是规则图形 【变式训练3】 举例说明生活中的两种密铺现象，并简单说明原因。 综合训练 1．学校计划用一种地砖铺设劳动实践教室，要求铺好的地面无缝隙、不重叠。下列四种地砖中，无法实现铺设要求的是（    ）。 A． B． C． D． 2．下面各个图形中，不能密铺的是（    ）。 A． B． C． D． 3．下面图形中单独使用同一种图形，能够密铺的有（    ）种。 A．1 B．2 C．3 D．4 4．某城市进行老城区人行道的路面翻新，准备重新铺地砖。如果只能选择一种形状和大小的地砖，（    ）形状不能密铺。 A． B． C． D． 5．青青在课中研究三角形，用直尺、圆规绘制了下面三幅图，她在探究（      ）问题。 A．三角形的稳定性 B．三角形的内角和 C．三角形的三边关系 D．三角形是否可以密铺 6．瓷砖厂最新出品了4款形状的瓷砖，不可以单独密铺的是（    ）。 A． B． C． D． 7．下图中有( )个图形可以密铺。 8．在装修时，无论是( )形、( )形还是( )形的瓷砖，都可以将一块墙面中间不留空隙，也不重叠地铺满，这就是密铺。 9．同一种图形拼在一起，是密铺的在方框里画“√”，不是的画“×”。 ( )           ( )           ( )            ( ) 10．解决铺地垫问题有两种方法，分别是( )和( )。 11．如果一个四边形一组对边平行，这组对边的长度分别为5cm和8cm，那么这个四边形一定是( )，像这样的四边形( )单独密铺。（填“能”或“不能”） 12．选出学习过两种不同图形组合一起，使其可以进行密铺的有( )。（写出一组即可） 13．在设计密铺图案时，能单独密铺的图形有( )（请写出一种图形）。 14．下列图形中可以用来单独密铺的有( )种。 15．正五边形不能密铺，其原因是每个角是( )°。 16．英英家准备给厨房铺地砖，只用一种形状的地砖来铺，某装饰市场有五种型号的地砖，分别是：①圆；②正方形；③正五边形；④直角梯形；⑤等边三角形。那么可以选择( )号地砖。（填序号） 17．有、、、、这样的图形各两个，你能选出几个图形密铺下面的方格吗？试试看。 18．请从下面图形中选择能密铺的图形铺满一个平面，画在右面的方框中。 19．下图中的六边形是由与涂色部分同样的三角形密铺成的。请把空白部分分一分，使得能看出这些三角形是怎样密铺成六边形的。 20．在点子图上画一个平行四边形和一个只有一组对边平行的四边形。画好后想一想：四边形（    ）密铺（填“能”或“不能”）。 21．王叔叔家门前有一大块空地，他准备在空地上铺一块长方形的草坪。他买回了24块边长为0.5米的正方形草皮，一共有多少种不同的铺草坪方法？至少要准备多少米长的篱笆才能把这块草坪完全围起来进行养护？（接头处忽略不计） 22．在一个工厂的废料堆里，堆放着大量不规则的四边形木料（如下图），这些木料的大小和形状是一样的。如果把它们做成比较规则的形状，必须锯掉一些边角，就要浪费很多木料。有人建议用这些木料来铺地板，你认为这些木料能密铺吗？为什么？ 23．用正八边形和什么图形能密铺？    24．如图，在一个正方形的内部按图1的方式剪去1个三角形，并平移，形成如图2所示的新图案，以这个图案为基本图案。能否进行密铺？画简图说明。    25．品品家客厅的地板砖太旧了，妈妈准备换新的，现有、 、 、 四种地板砖可供选择，妈妈让品品挑一种形状的地板砖，你能帮品品挑一挑吗，有哪些不同的选法？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $