期末数学解答题专项复习真题汇编2025-2026学年重庆南岸区文德中学年级下册

**基本信息** 重庆文德中学八下期末数学解答题专项复习真题汇编，聚焦计算、几何、统计等核心模块，精选动态几何、一次函数综合等真题，适配期末冲刺专项突破。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |计算题|6道|方程与不等式求解|含分式方程验根、不等式组整数解| |化简求值|4道|分式运算|结合分式有意义条件选值代入| |尺规作图|3道|平行四边形判定|融合三角形全等与尺规操作| |统计图表|4道|数据分析|关联新能源汽车、人工智能等现实情境| |动态几何|5道|函数与图形|动点问题结合函数图象与性质分析| |几何压轴|4道|四边形综合|含旋转、菱形判定等探究性问题|

期末冲刺-2025-2026学年重庆文德中学八下期末数学解答题专项复习 真题汇编 计算、化简求值、尺规、统计、图形平移、分式方程应用、三角形应用、动态几何、一次函数、几何压轴 一、17.计算题(解方程3道、解不等式3道) 1． 解方程： (1) (2) 2． 解分式方程： (1) (2) 3． 解方程： (1)； (2)． 4． 求不等式组的所有整数解． 5． 求不等式组所有整数解的和． 6．解不等式组，并写出这个不等式组的所有整数解． 二、18.化简求值（4道） 6． 先化简，再求值：，其中． 7． 先化简，再求值：．其中a从0，1，2，3中选一个合适的数代入求值． 8． 先化简，再求值：，其中． 9． 先化简，再求值：，其中． 三、19.尺规作图（3道） 11．某数学兴趣小组同学定期进行课外扩展讨论，并发现了一些有趣的结论．其中他们发现，任意一个三角形（三边均不相等），以一边的端点为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点为顶点的三角形的内角，射线与这条边上的中线的延长线相交于一点，则以、、、四个点为顶点的四边形是平行四边形．基本思路就是利用三角形全等和平行四边形平行线的判定加以解决．请根据这个思路完成作图和填空． 如图，在中，点为边上的中点，连接． (1)尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点为边上的中点， ∴，在和中， ∴________， ∴________， ∵， ∴________． ∴四边形是平行四边形． 兴趣小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题： 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，以则该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是________． 12．如图，在中，点D为边上的中点，连接． (1)尺规作图：在下方作，交的延长线于点E，连接；（只保留作图痕迹） (2)在（1）所作的图中，若，求证：四边形是菱形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴①______________ 在和中， ∴， ∴②__________ ∵， ∴③__________ ∴四边形是平行四边形． 又∵④__________ ∴平行四边形是菱形． 13．某数学兴趣小组同学发现，任意一个（三边均不相等），以一边的端点B为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点C为顶点的三角形的内角，射线与这条边上的中线的延长线相交于一点E，则以A、B、C、E四个点为顶点的四边形是平行四边形．如图，在中，点D为边上的中点，连接． (1)尺规作图：在下方作射线，使得，且射线交的延长线于点E（不要求写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）所作的图中，连接，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点D为边上的中点， ∴ __________， 在和中， ∴ __________ （）， ∴__________， ∵，                                  ∴__________． ∴四边形是平行四边形． 四、20.统计图表（4道） 14．目前，新能源汽车发展迅速，在新能源汽车渗透率持续上升的趋势下，智能驾驶辅助系统（以下简称智驾系统）越发受到大家关注．有关人员开展了对“”、“”两款智驾系统的使用满意度评分（百分制）调查，从中各随机抽取了20个评分分数，并对数据进行了整理和分析，得到下列信息：（评分分数用x表示，共分为五个等级：，，，，），下面给出了部分信息： 抽取的“”款智驾系统的使用满意度评分数据： 57，69，70，78，79，80，88，89，90，91，93，93，93，93，93，94，94，97，99，100，抽取的“”款智驾系统的使用满意度评分数据中B等级的数据：85，87，88，89，89，89，90，抽取的“”、“”两款智驾系统的使用满意度评分统计表 智驾系统 平均数 中位数 众数 “”款 87 92 a “”款 87 b 89 抽取的“”款智驾系统的使用满意度评分扇形统计图 (1)填空： ； ； (2)根据以上数据，你认为哪款智驾系统更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)在此次调查中，有840人对“”智驾系统进行评分，有1100人对“”智驾系统进行评分，请通过计算，估计此次调查中对智驾系统的使用满意度评分等级为“A”的共有多少人？ 15．某校为了解学生对人工智能的了解情况，举办了人工智能有关的知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的竞赛成绩是：64，68，72，80，83，85，86，88，89，89，90，93，93，93，95，96，98，99，99，100． 八年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：89，86，87，83，85，88，89． 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 众数 中位数 方差 七年级 88 a 89.5 10.3 八年级 88 94 b 9.6 八年级抽取学生竞赛成绩扇形统计图    根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中的___________，___________，___________； (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可） (3)若该校七年级有1200名，八年级有1250名学生参加了此次知识竞赛，估计该校七、八年级学生参加此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 16．3月日是“世界气象日”，为了让同学们了解气象相关知识，某校八年级举办“世界气象日”知识比赛，并从男、女生中各抽取名学生的比赛成绩（比赛成绩为整数，满分分，分及以上为合格）．相关数据统计、整理如下： 【收集数据】 抽取的名男生的比赛成绩：． 抽取的名女生比赛成绩中位于一组的具体分数：． 【整理数据】 【分析数据】 性别 男生 女生 平均数 中位数 众数 合格率 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：_____，_____，并补全频数分布直方图； (2)请你评价该校八年级男、女生“世界气象日”知识比赛成绩，_____成绩更好；（填男生或女生） (3)该校八年级共人，其中女生人，成绩在分及以上为优秀，估计该校八年级学生中“世界气象日”知识比赛成绩优秀的人数． 17．某校初三年级一共有1200名学生，某一次体育测试后，彭老师为了了解本校初三学生体考成绩的大致情况，随机抽取了男、女各40名考生的体考成绩，并将数据进行整理分析，给出了下面部分信息： 数据分为A，B，C，D四个等级分别是：A：，B：，C：，D：. 40名男生成绩的条形统计图以及40名女生成绩的扇形统计图如图： 40名男生和40名女生成绩的平均数，中位数，众数如下：    性别 平均数 中位数 众数 男生 48 a 47 女生 48 男生成绩在B组的考生的分数为45，45，46，46，46.5，46.5，47，47，47，47，47，47，48，48，48.5； 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：________，女生成绩为B等对应的扇形的圆心角为________，并补全条形统计图； (2)根据以上数据，你认为在此次测试中，男生成绩好还是女生成绩好？请说明理由； (3)请估计该年级所有参加体考的学生中，成绩为A等级的考生人数. 五、20.图形平移和旋转（4道） 18．如图，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为．    (1)在图中，画出向左平移9个单位得到的； (2)在图中，画出以点O为对称中心，与成中心对称图形的； (3)在直角坐标系内，存在点P，使得以点A，，，P四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有满足条件的点P的坐标． 19．在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点，则称点为点的“双移点”根据上述定义，回答下列问题： (1)已知点，则它的“双移点”为________；若点的“双移点”为点，则点的坐标为________； (2)画出和，并求出的面积． (3)若点是点的“双移点”，且在轴上存在一点，使的面积为4，请求出点的坐标． 20．如图，已知在方格纸中，每个小正方形的边长为1个单位长度． (1)与关于x轴对称，请你在图中画出； (2)将向右平移4个单位后得到，请你在图中画出；并写出B2的坐标 　 　； (3)在x轴上存在点M，使得的值最小，请求出点M的坐标以及的最小值． 21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)在图中作出关于轴的对称图形； (2)求出的面积； (3)在轴上找一点，使得的和最小．（保留作图痕迹） 六、21.分式方程的应用（4道） 22．如图，某货轮往返于长江的A、B两港之间，已知A、B相距2000千米． (1)若水流速度为每小时5千米，这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的，求该货轮在静水中的速度． (2)若港口C到A、B两港的距离相等，货轮在静水中的速度为每小时v千米，段河流水速为每小时a千米，段因受降水影响，水速变为每小时b千米．设货轮在段的逆水航行时间为，在段的逆水航行时间为，请判断与的大小关系，通过计算说明理由． 23．长河耀星汉，万马聚狮城，沧州大运河第三届新春灯会将于2026年2月7日至3月8日在园博园举行，佳佳和珍珍相约先去沧州运河博物馆参观，再去园博园看灯会，7号下午2点两人同时从家出发，分别骑自行车到博物馆门口汇合，已知佳佳家和珍珍家到博物馆的距离分别为和． (1)若佳佳每分钟比珍珍每分钟多行，结果同时到达，求佳佳和珍珍的速度分别是多少米/分钟? (2)两人参观博物馆后，同时从博物馆出发去园博园东门，若珍珍骑车速度为千米/时，佳佳骑车速度为千米/时；其中，请判断谁先到达园博园，并说明理由． 24．电动汽车在保障能源安全、改善空气质量等方面较燃油汽车具有明显优势．经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现：电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少元． (1)若电动汽车平均每公里的充电费为元，当充电费和加油费均为100元时，电动汽车比燃油车多行驶多少公里？ (2)若充电费和加油费均为300元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 25．已知甲、乙两港口之间的距离为200千米，水流速度为5千米/时． (1)若一艘轮船从甲港口顺流航行到乙港口所用的时间是从乙港口逆流航行到甲港口所用时间的，求该轮船在静水中的航行速度； (2)若某艘轮船在静水中的航行速度为千米/时，记该轮船从甲港口顺流航行到乙港口，再从乙港口逆流航行返回到甲港口所用的时间为；若该船从甲港口航行到乙港口再返回到甲港口均为静水航行，所用时间为，请比较与的大小，并说明理由． 七、22.动态几何题（5道） 26．如图1，在四边形中，，，，，，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达C点时停止运动．点P在线段上的运动速度为每秒个单位长度，在线段上的运动速度为每秒3个单位长度．设点P的运动时间为x秒（），的面积为y： (1)请直接写出y与x的函数关系式； (2)在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质 (3)结合函数图象，若直线与该函数图象有1个交点，请直接写出m的取值范围． 27．如图，在矩形中，，，点为线段的中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发，沿着运动，连接，，设点的运动时间为，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质： (3)已知，请结合函数图象，直接写出时的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过0.2）． 28．如图，在中，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，到达点时停止运动，设动点运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出该函数的一条性质： (3)若关于的一次函数与该函数图象有且只有个交点，则的取值范围为_______． 29．如图1，四边形中，，，．点P从C出发，沿着折线运动，到达点A停止运动．设点P运动的速度为每秒1个单位，运动时间为x，连接，记的面积为y，已知点P在线段上运动时满足函数关系式是，请解答下列问题： (1) ； (2)当点P在上运动时，求y关于x的函数关系式，并在图2中补全图像； (3)结合图像，当的面积不小于四边形面积的时，直接写出x的取值范围． 30．如图，在菱形中，对角线交于点，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线运动，到达点时停止运动．设点的运动时间为秒，的面积为． (1)请直接写出与之间的函数解析式以及对应的取值范围： (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数图象，并写出该函数的一条性质； (3)请结合函数图象，直接写出的面积为3时的值． 八、22.小几何：三角形的应用（6道） 31．如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸．开始时，绳长米，且米，拉动绳子将船从点B沿方向移动到点D后，绳长米． (1)求的长度． (2)求船体的移动距离； (3)若在段拉动船的速度为1米/秒，到达点D后增加了人力，拉动船的速度变为2米/秒，求把船从点B拉到岸边点A所用的时间． 32．如图，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，早上8时，在A处测得小岛P在北偏东方向上，轮船继续向东航行，早上10点到达B处，并测得小岛在北偏东方向上． (1)求此时轮船与小岛的距离； (2)已知小岛周围21海里内有暗礁，若轮船仍向前航行，有无触礁危险？请说明理由． 33．如图，某校组织学生到地开展社会实践活动，车到达地后，发现地恰好在地的正北方向，且距离地10千米．导航显示车辆应沿北偏东方向行驶至地，再沿北偏西方向行驶一段距离才能到达地．求两地间的距离． 34．上午10时，一条船从处出发，以每小时15海里的速度向正北航行，12时到达处．从处望灯塔为北偏东，从处望灯塔为北偏东，求轮船继续航行多长时间在灯塔的正西方向？并求出此时轮船和灯塔的距离．（结果保留根号） 35．如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向，与灯塔P的距离为80海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处，求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离．（结果保留根号） 36．公园是周围市民健身散步的好去处，在某公园入口处有两条路线可以到达山顶．观景台在凉亭的正东方向，在入口的东北方向；凉亭在入口的西北方向，山顶在凉亭的北偏东方向，在观景台的北偏西方向，小明沿路线跑步到达山顶，与沿步行到山顶的爸爸汇合．已知米．（参考数据：，，） (1)求观景台到山顶的距离（结果保留根号）； (2)若小明跑步的速度为120米/分钟，爸爸步行的速度为80米/分钟，则爸爸和小明谁先到达山顶？请说明理由．（结果保留小数点后一位） 九、23.阅读材料题（因式分解的应用：5道） 37．例如：多项式可以分解为与另外一个整式M的乘积，即，令时，可知为该方程的一个根． 关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 观察知，显然时，原式，因此原式可分解为与另一个整式的积． 令：， 而，因等式两边x同次幂的系数相等，则有：，得，从而． 此时，不难发现是方程的一个根． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： (1)若是多项式的因式，求a的值并将多项式分解因式． (2)若多项式含有因式及，求的值． (3)若多项式可以分解为两个一次因式之积，求a的值将该多项式分解因式． 38．方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式．设另一个因式为，多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：． 我们把以上分解因式的方法叫做“试根法”． 问题解决： (1)用“试根法”分解因式：． (2)对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，多项式可以表示成，试求出题目中． 39．阅读材料： 利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解．例如． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式：； (2)求多项式的最小值； (3)已知，，是的三边长，且满足，求 的周长． 40．在快递物流行业，取件码是验证取件人身份的关键．为了让取件码既好记又有一定安全性，可利用“因式分解法”生成：将一个多项式因式分解，代入个人常用数字（如手机号后两位）作为字母的值，得到的因式结果组合成不同的取件码．例如：多项式因式分解为，若取，则，，取件码可为1317或1713． (1)若多项式为，当时，写出所有的取件码______． (2)某快递员使用多项式生成了其中一个6位取件码为“172320”，他选取x的值是______． (3)若多项式为，当，求出所有的取件码． 41．阅读下列材料：我们发现，关于x的一元二次方程，如果的值是一个完全平方数时，一元二次方程的根不一定都为整数，但是如果一元二次方程的根都为整数，的值一定是一个完全平方数． 定义：两根都为整数的一元二次方程称为“友好方程”，代数式的值为该“友好方程”的“超强代码”，用表示，即；若另一关于x的一元二次方程也为“友好方程”，其“超强代码”记为，当满足时，则称一元二次方程是一元二次方程的“最佳搭子方程”． (1)“友好方程”的“超强代码”是________； (2)关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“友好方程”，请求出该方程的“超强代码”； (3)若关于x的一元二次方程是（m，n均为正整数，且）的“最佳搭子方程”，且的一个根是的一个根的2倍，求m和n的值 十、24.一次函数与几何综合（5道） 42．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． (1) 求直线的解析式及点C的坐标； (2) 若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，，当四边形周长最小时，求点M的坐标； (3)在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 43．如图，一次函数的图象与轴交于点，一次函数的图象与轴交于点，为两函数图象的交点，且点的横坐标为． (1)求点坐标及一次函数的函数解析式； (2) 求的面积； (3)在坐标轴上，是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 44．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴，y轴交于点A，B两点，直线与x轴交于点，点D在第四象限，． (1) 直接写出点A和点B的坐标； (2)连接，若， ①求点D的坐标； ②若点F在直线上，且在x轴下方，试探究x轴上是否存在点E，使得以C，D，F，E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出的长度；若不存在，请说明理由． 45．如图1，已知直线l：交x，y轴于点 ， 两点，正比例函数的图象与直线 交于点． (1) 求直线的解析式和点C的坐标； (2) y轴负半轴上有一动点E，连接．点F是x轴上有一动点，当时，求的最小值； (3)如图2，将直线l向下平移7个单位长度，平移后的直线与y轴交于点G，与直线交于点M，点P在x轴上．当时，请直接写出点P的坐标． 46．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点．点是轴上一点，过点作轴的垂线交于点，交于点．      (1) 求直线，的函数解析式； (2) 如图2，点是线段上一动点，连接，，点，均为轴上的动点，且点在点的上方，．当时，求点的坐标及的最小值； (3)如图3，点是轴上一点，点是平面内一点，在（2）问的条件下，是否存在以点，，，为顶点的四边形是菱形，若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 十一、几何压轴：平行四边形（4道） 47．如图， 四边形是平行四边形，对角线相交于点O， E在线段上．    (1)如图1， 连接， 若，求； (2)如图2， 若， 延长交于点N， 且， 求证： (3)如图3，若，P为内一点，请直接写出的最小值． 48．在中，，M，N分别为，边上的点（不与端点重合），且．若，将绕点M逆时针旋转，得到，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，过点A作，垂足为E，交于点F．猜想与存在的关系，并证明你的结论； (3)如图3，当，，D，M，N恰好在一条直线上时，若P是边上的一个动点，连接，，直接写出周长的最小值． 49．在正方形中，连接，为中点，连接，将旋转得到，连接、，交与点，连接，过点作交于点． (1)如图1，若，，求四边形的面积． (2)如图2，连接，分别交、于点、，连接并延长，交于点，判断、的数量关系并证明． (3)如图3，在（1）的条件下为上一动点，连接，为中点，当最短时，平面内有一点使，连接，请直接写出的最小值． 50．如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，．       (1)如图1，若，，，求四边形的面积； (2)如图2，若点为线段的中点，且，连接，试探究线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； (3)如图3，连接，若，．请思考是否存在最小值，若存在，请直接写出的最小值，若不存在，请说明理由． 《期末冲刺-2025-2026学年重庆文德中学八下期末数学解答题专项复习真题汇编》参考答案 1．(1)， (2)原方程无解 【分析】（1）方程运用配方法求解即可； （2）方程去分母得整式方程，解整式方程，得整式方程的解，再进行检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ∴，； （2）解：， ， 方程去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的增根， ∴原方程无解． 2．(1) (2) 无解 【分析】本题主要考查分式方程的解法，解题的关键是找准最简公分母，将原分式方程化为整式方程，不要遗漏检验步骤． （1）方程两边同时乘最简公分母后解整式方程，再将得到的解代入原方程进行检验即可； （2）方程两边同时乘最简公分母后解整式方程，再将得到的解代入原方程进行检验即可； 【详解】（1）解： ， 经检验，是原方程的根， 则． （2）解： ， 经检验，是原方程的增根， 则原方程无解． 3．(1)， (2)， 【分析】 （1）因式分解法（十字相乘法）解一元二次方程：用十字相乘法分解为的形式，进而求解． （2）配方法解一元二次方程：通过移项将常数项移项至等式右边，同时二次项的系数化为，通过配方将等式左边写成完全平方式，进而开平方求解． 【详解】（1）解：， 因式分解，得：， ∴或， 解得：，； （2）解：， 移项，等式两边同时除以，得：， 配方，得：， 即：， ∴， 解得：，． 4． 【详解】解：，     解：由不等式①得：， 由不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， ∴整数解有：． 5．不等式组解集为：，整数解和为：． 【分析】先求出不等式组的解集，再确定整数解，然后求出和． 【详解】解： 解不等式①，得； 解不等式②，得， 则不等式组的解集是， 所以所有整数解是，其和为． 6．，整数解为： 【分析】本题考查解一元一次不等式组，关键是掌握不等式的基本性质，去分母； 先分别求出每个不等式的解，然后求出不等式组的解，最后写出整数解 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解为：，整数解为： 7．， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式 8．；，原式；，原式 【分析】本题考查分式的化简求值，先通分，计算括号内，除法变乘法，约分化简后，选择一个使分式有意义的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴时，原式；当时，原式． 9．， 【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可. 【详解】解： ， 当时，原式． 10．， 【分析】本题考查了分式的化简求值． 先计算括号里的，把除法转变为乘法，再根据完全平方公式化简，然后计算乘法，最后将代入求解即可． 【详解】解： ， 将代入得：原式． 11．(1)见解析 (2)；；；菱形； 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定，尺规作图—作与已知角相等的角： （1）根据尺规作图—作与已知角相等的角的作图方法作图即可； （2）证明得到，再证明．即可证明四边形是平行四边形；根据有一组邻边相等的四边形是菱形可得答案． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）证明：∵点为边上的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． 如图所示，当时，则，故平行四边形是菱形． 故答案为：；；；菱形． 12．(1)见解析 (2)①；②；③；④ 【分析】本题考查了尺规作图、菱形的判定，掌握基本作图方法是解题的关键． （1）根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可； （2）根据菱形的判定即可完成证明． 【详解】（1）解：如图所示，图形即为所求： （2）证明：∵点D为边上的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形是菱形． 故答案为：①；②；③；④． 13．(1)见解析 (2)①; ②; ③；④ 【分析】本题主要考查了用尺规作一个角等于已知角，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定， 对于（1），用尺规作，延长交射线于点E； 对于（2），根据中点的定义得，再根据“角边角”证明，可得，然后根据“内错角相等两直线平行”得，最后根据“一组对边平行且相等的四边形”得出结论. 【详解】（1）解：如图所示； （2）证明：∵点D为边上的中点， ∴. 在和中， ， ∴（）， ∴. ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形. 故答案为：；；；. 14．(1) (2)“”款智驾系统，理由见详解 (3)人 【分析】本题考查了中位数，众数，运用中位数，众数做决策，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）出现次数最多的数为众数，先把数据排序，位于中间位置的数（如果中间位置有两个数，那么求出它们的平均数）作为中位数，据此进行分析，即可作答． （2）再结合平均数相等的情况下，运用中位数，众数做决策，即可作答． （3）先分别求出对“”款和“”款智驾系统的使用满意度评分等级为“A”的人数，再求出它们的和，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，在抽取的“”款智驾系统的使用满意度评分数据中，93分出现次数最多，故， 在个数据中，位于中间位置的数在第10和11位， 观察扇形统计图，得出， ∵抽取的“”款智驾系统的使用满意度评分数据中B等级的数据：85，87，88，89，89，89，90， ∴在第10和11位的数都是89， 则， 即； ∵B等级的数据有个，即所在的百分数为， ∴， 即， 故答案为：． （2）解：依题意，“”款智驾系统更受用户喜爱，理由如下： 在平均数都是分的前提下，但“”款的中位数和众数都比“”款的要高， ∴“”款智驾系统更受用户喜爱． （3）解：∵在此次调查中，有840人对“”智驾系统进行评分，有1100人对“”智驾系统进行评分， ∴（人），（人）， ∴（人）， 即估计此次调查中对智驾系统的使用满意度评分等级为“A”的共有人． 15．(1)，， (2)七年级的成绩更好，理由见解析（答案不唯一） (3)1100 【分析】本题考查了扇形统计图、频数分布表、中位数、众数以及用样本估计总体，掌握相关统计量的意义以及计算方法是解答本题的关键． （1）根据众数、中位数的定义求解即可； （2）利用中位数作判断即可（答案不唯一）； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【详解】（1）解：七年级成绩的众数； 八年级20名学生竞赛成绩，组占，则组人数为人；组数据是89，86，87，83，85，88，89共7人． 将八年级成绩从小到大排列，、组共人，为前5个， 组7人，为第6到12个；组8人，为第13到20个， 中位数是第10和11个数据的平均数，这两个数据在组， 组数据排序后为，第10个是88，第11个是89， 所以， 八年级成绩的中位数； ，即， 故答案为：、、； （2）解：七年级的成绩更好，理由如下： 两个年级的平均数相同，但是七年级的中位数比八年级高，故七年级的成绩更好； （3）解：八（3）（人）， 答：估计该校七、八年级学生参加此次春节文化竞赛成绩达到优秀的共有1100人． 16．(1)，，见解析 (2)女生 (3)人 【分析】本题主要考查频数分布直方图，众数，中位数，熟练掌握相关统计量的意义是解题的关键． （1）根据中位数的定义以及众数的定义求出答案即可． （2）根据各统计量的意义进行评价即可． （3）用样本估计整体计算答案． 【详解】（1）解：∵男生内的成绩有两人，频数分布直方图中有三人， ∴频数分布直方图是女生的数据， ∵成绩在和区间有个数据，有个数据，女生名学生的比赛成绩的中位数应为数据由大到小排列时的第个数据， ∴故中位数位于区间由大到小排列第个数据，即分， ∴， ∵男生成绩中分出现次是出现次数最多的数据， ∴． ∵女生成绩在的人数为：（人）， 故补全频数分布直方图如下： （2）解：∵男生和女生比赛成绩的平均数和合格率分别相同，但是男生比赛成绩中位数和众数均低于女生比赛成绩的中位数和众数， ∴女生比赛成绩更好， 故答案为：女生． （3）解：（人） 估计该校八年级学生中“世界气象日”知识比赛成绩优秀的人数约为人； 17．(1) (2)女生的成绩较好 (3)成绩为A等级的考生人数为480人 【分析】本题考查了中位数的意义和求法，条形统计图和扇形统计图的意义和制作方法，掌握各个统计量的意义是解决问题的前提，理清扇形统计图中各个数量之间的关系是解决问题的关键，样本估计总体是统计中常用的方法． （1）计算出男生A类的人数，即可补全条形图，计算出男生体考成绩从大到小排列后处在第20、21位两个数的平均数，即为男生的成绩的中位数，确定a的值；根据扇形统计图计算出女生B类所占的百分比，可得圆心角； （2）从平均数、众数上的分析得出结论． （3）求出A等占总人数的百分比，再估计总体中人数即可． 【详解】（1）男生A组有（人）， 男生成绩处在第20、21位的两个数的平均数为， ， 补全条形统计图如图：    故答案为：； （2）女生的成绩较好，理由：女生的平均数、众数都比男生好； （3）男生40人A等有16人，女生40人A等有（人）， ∴A等占总人数的， ∴估计总体中A等有（人）， 答：估计该年级所有参加体考的学生中，成绩为A等级的考生人数为480人． 18．(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解 【分析】本题考查图形与坐标，图形的平移与旋转， （1）把向左平移9个单位即可； （2）以点O为对称中心，画出各个顶点的对称点，顺次连线即可； （3）根据平行四边形的性质，画出图形，即可得到P的坐标 【详解】（1）解：如图所示，    （2）解：如图所示，    （3）解：如图所示，    点P的坐标分别是 19．(1)， (2)作图见解析，10 (3)或 【详解】（1）解：点，先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到， 点，先向下平移4个单位，再向左平移2个单位得到； （2）解：点，先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到， 如图，画出和， ，边上的高， ； （3）解：点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到， 点在轴上，则到轴的距离，也就是的边上的高， 且 ， ， ∴的坐标为或． 20．(1)见解析 (2)见解析，的坐标 (3)，的最小值为5 【分析】（1）作出点A、B、C关于x轴的对称点、、，顺次连接即可得出； （2）作出点A、B、C向右平移4个单位后的对应点、、，顺次连接即可得出； （3）先求出直线的解析式，再求出直线与x轴的交点坐标即可得出点M的坐标，求出的长度即可得出的最小值． 【详解】（1）解：如图，作出点A、B、C关于x轴的对称点、、，顺次连接，则即为所求作的三角形； （2）解：如图，作出点A、B、C向右平移4个单位后的对应点、、，顺次连接，则即为所求作的三角形；点的坐标． 故答案为：． （3）解：如图，连接，交x轴于点M， ∵B与关于x轴对称， ∴的最小值为的长度， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 把代入得， 解得：， ∴， ∴的最小值． 【点睛】本题主要考查了平移作图和轴对称作图，轴对称的性质，两点间距离公式，解题的关键是作出点A、B、C对应点的位置． 21．(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了作图——轴对称变换，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质作出点，，关于轴的对称点，，，再顺次连接即可； （2）根据网格利用割补法即可求出的面积； （3）作关于轴对称的对称点，连接交轴于点，可得，则，当、、共线时，的和最小为，点即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积为； （3）解：如图，作关于轴对称的对称点，连接交轴于点，则点即为所求． 22．(1)该货轮在静水中的航行速度为千米/时． (2)，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程与异分母分式的加减．解题的关键在于正确的列分式方程与分式的比较大小． （1）设轮船在静水中的航行速度为千米/时，故可知顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时，列分式方程，求解即可； （2）由题意知，然后代入作减法比较即可． 【详解】（1）解：设货轮在静水中的航行速度为， 则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时； 故有， 解得， 经检验得是原方程的解， ∴该货轮在静水中的航行速度为千米/时． （2）由题意知， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 23．(1)佳佳的速度是米/分钟，珍珍的速度是米/分钟 (2)珍珍先到达园博园 【分析】（1）本题属于行程问题，利用两人同时到达即行驶时间相等的等量关系建立分式方程求解，需注意单位统一及分式方程的检验． （2）本题通过因式分解化简两人的速度表达式，设路程为正数，计算两人行驶时间的差，结合的条件判断差的正负，从而确定谁的行驶时间更短，进而判断谁先到达． 【详解】（1）解： 将路程单位统一，， ， 设珍珍的速度为米/分钟，则佳佳的速度为米/分钟 根据两人行驶时间相等，列方程 得 解得 ， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， 则佳佳的速度为米/分钟， 答：佳佳的速度是米/分钟，珍珍的速度是米/分钟． （2）解： 设博物馆到园博园东门的路程为，其中 珍珍的骑车速度为千米/时， 珍珍的行驶时间 ， 佳佳的行驶时间 ， ， 因为，， 所以，， ， 因此，即 ， 答：珍珍先到达园博园． 24．(1)电动汽车比燃油车多行驶公里 (2)这款电动汽车平均每公里的充电费为元 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用： （1）根据题意可得电动汽车行驶里程：公里，燃油汽车行驶里程：公里，求差即可解答； （2）设电动汽车平均每公里的充电费为元，根据题意，列出方程，即可解答． 【详解】（1）解：燃油车平均每公里的加油费为元． 当充电费和加油费均为100元时， 电动汽车行驶里程：公里，燃油汽车行驶里程：公里． ， 电动汽车比燃油车多行驶公里． （2）解：设电动汽车平均每公里的充电费为元． 根据题意，得：， 方程两边乘，得： 解得：， 检验：当时， 所以，原分式方程的解为，且符合题意． 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为元． 25．(1)该轮船在静水中的航行速度为35 千米/时 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了分式方程的应用，分式混合运算的应用．解决本题的关键是表示轮船顺水和逆水中的速度． （1）设轮船在静水中的航行速度为千米/时，则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时，列分式方程即可求解； （2）设轮船在静水中的速度为千米/时，由题意知，比较的大小即可． 【详解】（1）解：设轮船在静水中的航行速度为千米/时，则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时， 根据题意得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：该轮船在静水中的航行速度为35 千米/时； （2）解：，理由如下： 设轮船在静水中的航行速度为千米/时， 根据题意得：， ， ， 即． 26．(1) (2) 函数图象如下所示： 当时，y随x的增大而增大 (3)或 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质与判定及二次根式的运算，熟练掌握一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质与判定及二次根式的运算是解题的关键； （1）过点A作于点E，由题意易得，然后分当点P在线段上时，当点P在线段上时，进而分类求解即可； （2）根据（1）中函数解析式可进行画函数图象，然后问题可求解； （3）根据（2）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：过点A作于点E，如图所示： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当点P在线段上时，由题意得：，则，过点P作于点F，延长交的延长线于点G，如图所示， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ； 当点P在线段上时，如图， 由题意得：， ∴； 综上所述：； （2）该函数的一条性质是当时，y随x的增大而增大； （3）解：当经过点时，则，即， 当经过点时，则， 当经过点时，则，即， ∴要使与该函数图象有1个交点，则需满足或． 27．(1) (2)性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大 (3)或 【分析】本题为一次函数综合题目，考查了矩形的性质，三角形的面积，一次函数的图象和性质，动点问题，解决本题的关键是掌握一次函数的性质． （1）分两种情况：当点P在边上运动时，当点P在边上运动时，分别表示的面积即可； （2）结合（1）画出函数的图象，进而写出该函数的性质即可； （3）分别联立，和，，求出交点坐标，结合（2）的函数图象，即可写出满足的x的取值范围． 【详解】（1）解：在矩形中，，，点为线段的中点，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发， (秒)，． 时，点B和点P重合，不能构成三角形． ∴当点P在边上运动时，． ，． ∴的面积为； 当点P在边上运动时， (秒)， 点为线段的中点， ． 由题意可知， ∴的面积为； 综上所述，y关于x的函数表达式为 （2）解：画出函数的图象，如图 由图可知，性质：当时，随增大而减小；当时，随增大而增大； （3）解：画出函数、的图象，如图 当点P在边上运动时， 解得 当点P在边上运动时， 解得 由图象可知时x的取值范围是或 28．(1) (2)图象见详解；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小 (3)且 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，根据路程＝速度×时间，三角形面积＝底×高，计算出函数表达式并画出函数图象，是解题的关键． （1）根据路程＝速度×时间，三角形面积＝底×高，根据动点在上运动和动点在上运动两种情况分别讨论，得到函数的表达式． （2）根据函数的表达式，得到函数取值范围内端点的坐标，绘制函数图象即可，并根据图象得到函数在不同取值范围内的增减性变化情况，即为函数的性质之一． （3）根据一次函数过定点，得到一次函数绕定点旋转过程中和原函数图像的交点情况，得到与原函数图象有且只有个交点的的取值范围． 【详解】（1）解：∵，， ∴, 动点在上运动时，当运动到点时，秒， 即当时，的面积为， 其中，， ∴， 动点在上运动时，当运动到点时，秒， 即当时，的面积为， 其中，， ∴， ∴； （2）解：函数图象如图所示， 性质：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小； （3）解：∵关于的一次函数与该函数图象有且只有个交点， 且一次函数经过点， 观察函数图象可知，当一次函数过点时，一次函数与该函数图象有且只有个交点， 此时代入，得：，解得：， ∴当时，一次函数与该函数图象无交点，当时，一次函数与该函数图象有个交点， 当一次函数过点时，一次函数与该函数图象有且只有个交点， 此时代入，得：，解得：， ∴当时，一次函数与该函数图象有个交点，当时，一次函数与该函数图象有个交点， ∵是关于的一次函数， ∴， ∴当且时，一次函数与该函数图象有且只有个交点． 29．(1)3 (2)（），图像见解析 (3) 【分析】本题考查了运动图形的信息问题，一次函数，正比例函数的应用． （1）当时，，根据三角形的面积为，解答即可． （2）根据题意，计算即可，并画出图像； （3）利用数形结合思想，当时，，结合图像，写出x的取值范围． 【详解】（1）∵点P在线段上运动时满足函数关系式是， ∴ 当时， ， ∴， ∴， 解得， 故答案为：3． （2）根据题意，得 ，． 画图如下： （3）如图，， 故，， 解得；； 结合图像，当的面积不小于四边形面积的时， 故． 30．(1) (2)见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象性质、菱形的性质等知识点，利用三角形面积公式列出函数表达式是解题的关键． （1）利用菱形的性质表达出各边的长度，再利用三角形面积公式列出函数表达式即可； （2）根据函数表达式作图，再由图象分析出性质即可； （3）令，分别代入解析式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，． ∴，，， ∴在中，， ∴在中，边上的高， ∵点的运动速度为每秒1个单位长度， 当在上移动时，则 ∴； 当在上移动时，则， ∴， 综上． （2）解：把代入可得：， ∴函数过点； 把代入可得：， ∴函数过点； 由此可作图象为： 由图象可得：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． （3）解：当在上移动时，令，可得，解得：； 当在上移动时，令，可得，解得：． 综上，或． 31．(1)15米； (2)船体移动距离的长度为5米； (3)把船从B拉到岸边A点所用时间为12.5秒． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟知勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的长即可得到答案； （2）用勾股定理求出的长结合（1）中的长即可得到答案； （3）分别用的长除以对应的速度再加上的长除以对应的速度即可得到答案． 【详解】（1）解：米，米，， 在中， 由勾股定理得：（米）； （2）解：∵米，米，， （米）， 则（米）， 答：船体移动距离的长度为5米； （3）解：（秒）， 答：把船从B拉到岸边A点所用时间为12.5秒． 32．(1)40海里 (2)有触礁危险，理由见解析 【分析】（1）由题意可知，，，则，可得； （2）过点作射线的垂线，交射线于点C，根据题意可得．由含角的直角三角形的性质可得，．求出的值后，与21进行比较，并得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，海里，，， ∴， ∴， ∴海里； （2）如图，过点作射线的垂线，交射线于点C， ∵， ∴， ∵， ∴， 在直角中，，， ∴海里， ∵， ∴若轮船仍向前航行，有触礁危险． 【点睛】本题考查方位角的概念，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理与外角的性质，掌握好方位角的概念和三角形中角度的关系是解题关键． 33．（15﹣5）千米． 【分析】先过点C向AB作垂线，构造直角三角形，利用60°和45°特殊角，表示出相关线段，利用已知AB长度为10千米，建立方程，解出这些相关线段，从而求得A、C两地的距离． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CBD＝60°，∠DCA＝45°，∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴AD＝DC，∠BCD＝30° ∴设BD＝x千米， ∴BC＝2x千米 DC＝＝x，AC＝＝DC， ∴AD＝DC＝x， ∵AB＝10千米， ∴x+x＝10， ∴x＝5（﹣1）， ∴AC＝DC＝××5（）＝（15﹣5）（千米）， ∴A、C两地间的距离为（15﹣5）千米． 【点睛】本题属于勾股定理的应用题，首先构造直角三角形，然后利用特殊角表示相关线段，从而求解．本题中等难度． 34．轮船继续航行小时在灯塔在正西方向，此时轮船和灯塔的距离为海里． 【分析】求出，，可证，进而求出、的长即可． 【详解】如图，轮船与灯塔的距离是线段的长，由题意得，，， ∴，， ∴． ∵海里， ∴海里， ∴海里， ∴海里，小时． 所以轮船继续航行小时在灯塔在正西方向，此时轮船和灯塔的距离为海里． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，证明是解答本题的关键． 35．此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是海里 【分析】过点P作，则在中易得的长，再在直角中求出的长即可． 【详解】解：作于C点， 由题意，可得：（海里）， 在中，， ∴（海里）， 在中，， ∴（海里）， ∴（海里）， 答：此时轮船所在的B处与灯塔P的距离是海里． 【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键． 36．(1) (2)小明先到达山顶 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先根据等腰三角形的性质得到，进而由勾股定理得到，即可； （2）由题意得：，，根据时间计算比较即可． 【详解】（1）解：由题意得：，，，． ，，． ，，． ． 在中，，，根据勾股定理得， ． 又，， ． 在中，，，， 根据勾股定理得， ． 观景台到山顶的距离为． （2）解：由题意得：，， 小明所用时间为：． 爸爸所用时间为：． ， 小明先到达山顶． 37．(1) ，分解结果为 (2) (3) ，分解结果为 【分析】(1)设多项式能分解为，利用因式分解与整式的关系得关于a、b的方程，求解得a，代入后得分解结果； (2)设可分解为，利用因式分解与整式的关系得关于a、b、c的方程，求解后代入计算得结果． （3）由多项式可得部分因式之积，根据笛卡尔的“待定系数法”原理，可得设分解为两个一次因式之积，即可求得对应系数，进一步将多项式分解因式． 【详解】（1）解：∵是多项式的因式，设多项式能分解为， ∴． ∴，． ∴，． ∴． （2）解：∵多项式含有因式及，， 设可分解为， ∴ ． ∴， ∴． ∴． （3）解：∵， ∴可以分解为， 则， ∴， 解得， 则 ． 38．(1) (2)； 【分析】（1）将代入，可得多项式含有因式，设并将其展开进行求解即可； （2）将展开进行求解即可． 【详解】（1）解：将代入多项式，得 ， ∴多项式含有因式， 设， ∴ ∴一次项系数： 解得， 常数项：， ∴； （2）解：由题意得， ， ∴二次项系数： 解得， 常数项： 解得． 39．(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是因式分解的应用和非负数的性质，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式计算即可； （2）利用公式法和非负数的性质计算即可； （3）先将原式变形为，再利用非负数的性质计算出a，b，c,即可计算出的周长． 【详解】（1）解： （2）解： ， ， ， 多项式的最小值为． （3）解：， ， ， ， ，，， ，，， 的周长． 40．(1)1119和1911 (2)20 (3)262323、232623、232326 【分析】本题考查因式分解的应用． （1）直接因式分解后将代入求值即可； （2）将因式分解后通过取件码数字反推x值即可； （3）将因式分解，将代入求出三个取件码数字，进而排列即可． 【详解】（1）解：， 代入，得 ，， 取件码为11和19的排列，即1119和1911； 故答案为：1119和1911； （2）解： ， 取件码172320对应数字17、23、20， ∵时，，， ∴他选取x的值是20； 故答案为：20； （3）解：， 代入，得 ，， 即三个取件码数字分别为26、23、23， 所有取件码为262323、232623、232326． 41．(1) (2) (3)， 【分析】本题考查了一元二次方程的新定义运算． （1）直接根据“超强代码”的定义作答即可； （2）先根据“友好方程”的定义求出m的范围，进而求出，再根据“超强代码”的定义计算即可； （3）先分别求出两方程的“超强代码”，再根据“最佳搭子方程”得到，可知，再根据“的一个根是的一个根的2倍”列出所有情况，判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解：“友好方程”的“超强代码”是：， 故答案为：； （2）解：∵是“友好方程”， ∴且为完全平方数， ∵， ∴， ∴=36或49或64， ∴或或， ∵为整数， ∴， 将代入原方程，则， ∴， ∴方程的“超强代码”为； （3）解：方程的“超强代码”为： ， 由得： 方程的“超强代码”为： ， 由得： ∵是的“最佳搭子方程”， ∴， 即， 整理得，， ∵，均为正整数且， ∴， ∴， 即， 又∵的一个根是的一个根的2倍， ∴①当时，得：，， ②当时，，，（舍）， ③当时，得：（舍）， 综上所述：，． 42．(1) (2) (3)点的坐标为或或 【分析】本题主要考查一次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法求解析式及图形的平移性质是解题的关键． （1）由直线与直线平行，可设直线的解析式为，根据直线交轴于点，可求出解析式，再根据解析式求出点坐标即可； （2）四边形周长中和长度固定，所以求出长度后四边形周长由决定，将向右平移两个单位至，则，过轴作点的对称点，连接交轴于点，此时最小，即最小，求出直线的解析式，即可确定点坐标，进而确定点坐标； （3）由题意确定点坐标，再分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况分别计算出点的坐标即可． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行， ∴设直线的解析式为， ∵直线交轴于点， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线交于点， ， 解得， ， 故答案为：； （2）解：， ， 即， 则， 解得：， ， ∵与轴交于点， ， ∴， ∴， 当最小时，四边形的周长最小，将向右平移两个单位至，如图 1 ， 则， 过轴作点的对称点，连接交轴于点， 此时最小，即最小， 设直线的解析式为， 代入坐标，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令时，， 解得：， ， ． （3）解：存在，点的坐标为或或． 理由如下： 过作轴，图2， 由题知，， ， ， ， ， 设， 当为对角线时，， ， 解得， ； 当为对角线时，， ， 解得， ； 当为对角线时，， ， 解得， ， 综上，点的坐标为或或． 43．(1)，； (2)的面积为； (3)存在一点，使得，点的坐标为或或或． 【分析】本题考查的知识点是待定系数法求一次函数的解析式、一次函数的性质、一次函数与几何综合、一次函数图象与坐标轴的交点问题，解题关键是利用分类讨论思想解题． （1）将代入可求出点坐标，再利用待定系数法即可解决问题； （2）求出点的坐标，然后根据三角形面积公式求解即可； （3）分情况讨论：①当点在轴上时；②当点在轴上时． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 设， 把，代入，得， 解得， ； （2）解：一次函数的图象与轴交于点， ， ， ； （3）解：存在，理由如下： ， ， ①当点在轴上时，， ， ， ，， 点的坐标为或， ②当点在轴上时，如图， 设直线与轴交于点， ， ， ， ， ，， 点的坐标为或， 综上，在坐标轴上，存在一点，使得，点的坐标为或或或． 44．(1)， (2)①点D的坐标为；②或 【分析】（1）根据一次函数图象的性质即可解答； （2）①如图，过点D作轴于点E，根据A、B、C三点的坐标，得出，，由勾股定理得到，再结合，求出，证明是等腰直角三角形，推出，即可得出点D的坐标；②分两种情况讨论：a四边形为平行四边形时，根据平行四边形的性质，得到点Q的纵坐标为，进而得到点Q的坐标，再根据，得到点P的坐标；b四边形为平行四边形时，结合平行四边形的性质，进而的得到点P的坐标，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵直线分别与x轴、y轴交于点A、B， 令，则；令时，； ∴，． （2）解：①如图，过点D作轴于点E， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． ②存在点E，使得以C、D、F、E为顶点的四边形是平行四边形， ∵，， ∴设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为． a．如图，当四边形为平行四边形时， ∴，， ∴点F的纵坐标为， ∵点F在直线上， 令，则， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴． b．如图2，当四边形为平行四边形时， 由a得，，， ∵， ∴． 综上可知，以点C、D、F、E为顶点的四边形是平行四边形，或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象的性质、求一次函数解析式、平行四边形的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定和性质等知识点，利用数形结合和分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 45．(1)； (2) (3)或 【分析】（1）根据 ， ，带入可得解析式；点是正比例函数 和直线的交点，联立方程组可得点C的坐标； （2）设，可得，由面积可得或，然后再求解论即可； （3）由平移得直线的解析式为：，可得，接着分类讨论即可，①然后可知与关于直线对称，②点关于直线的对称点 【详解】（1）解：将点 ， 带入中得 ，则 ∴直线AB的解析式为： ∵点是正比例函数 和直线的交点， ∴ ，解得： ∴ （2）∵，，，设 ∴ 过点作垂直y轴交于点D ∴ 解得：或（舍去）， 当时，则，作点E关于x轴的对称点， ∴ 连接则与x轴交点G是使得的值最小； 在中，根据勾股定理可得 ∴的值最小是 综上所述：的最小值是：； （3）∵直线l：向下平移7个单位长度后，则直线的解析式为： ∴ 当时， ①如图；在x轴上取点，连接 ∴与关于直线对称， ∴ ∴ ∴ ∴ ②如图，过点的垂直于x轴的直线，点关于直线的对称点，连接 ∵直线与交于点 ∴ ，解得 ∴ ∵点是关于直线为对称轴的点的对称点 ∴ 综上所述：的坐标为或. 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，一次函数平移，全等三角形的性质，等腰三角形对称的性质，构造辅助线利用勾股定理求最值的问题，掌握知识点的应用是解题的关键． 46．(1)直线：，直线： (2)，的最小值为 (3)，，， 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）先通过，求出，确定点，将点向下平移一个单位长度得到，作点关于轴的对称点，得出，从而确定当，，共线时，的值最小，最小值为，即可求解； （3）分四种情况进行讨论，第一种情况：当为边，点在点的下方时；第二种情况：当为对角线时；第三种情况：当为边，点在点的右方时；第四种情况：当为边，点在点的左方时，分别画出图形并求解即可． 【详解】（1）解：直线与直线交于点， ， ， 直线：，直线：； （2）由（1）得：，，，． ， ． ． 如图所示，将点向下平移一个单位长度得到，作点关于轴的对称点． ，， 四边形是平行四边形， ， ， 当，，共线时，的值最小，最小值为， 点的坐标，的最小值为； （3）， ，， 第一种情况：如图所示，当为边时，点在点的下方时， 四边形是菱形， 与互相垂直平分， 点在直线上，且， 此时； 第二种情况：如图所示，当为对角线时，取线段的中点，过点作交轴于点，连接，过点作交于点，连接， 四边形是菱形， ， 设， ， ， ， 解得：， ， ， 此时； 第三种情况：如图所示，当为边，点在点的右方时，在轴正半轴上取，过点作，且， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 此时； 第四种情况：如图所示，当为边，点在点的左方时，在轴负半轴上取，过点作，且， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， 此时； 综上所述，，，，． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式、坐标与图形的性质、平行四边形的判定及性质、求线段和的最值、菱形的判定及性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点、灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 47．(1)2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，从而得到，即可求解； （2）延长至点F，使，连接，证明是等腰直角三角形，可得，，进而得到，证明，可得，然后证明，可得，即可求证； （3）取的中点K，则，证明是等边三角形，可得，从而得到，把绕点C逆时针旋转得到，连接，则，可得到是等边三角形，从而得到，进而得到当点D，P，G，H四点共线时，的值最小，最小值为的长，在中，由勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， 是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴； （2）证明：如图，延长至点F，使，连接，    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； （3）解：如图，取的中点K，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 如图，把绕点C逆时针旋转得到，连接，则，    ∴，，，是等边三角形， ∴， ∴， 即当点D，P，G，H四点共线时，的值最小，最小值为的长， 在中，， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，图形的旋转问题，直角三角形的性质等知识，第（2）问得到，第（3）问利用旋转的性质解答是解题的关键． 48．(1)见详解 (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）结合旋转的性质以及邻补角性质得，结合，证明，即可作答． （2）与（1）同理证明，结合等腰直角三角形的判定与性质以及进行角的等量代换得，证明，再根据内错角相等两直线平行得，然后证明四边形是平行四边形，即可作答． （3）与（1）同理证明，在取点，连接，使得，作点M关于的对称点，连接， ，整理得出，故，运用勾股定理算出，再证明三点共线，则当点运动点处，得周长的最小值，再列式进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵将绕点M逆时针旋转， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： ∵，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵将绕点M逆时针旋转，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （3）解：∵，将绕点M逆时针旋转， ∴， ∴， ∵D，M，N恰好在一条直线上， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 同理得， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在取点，连接，使得，作点M关于的对称点，连接， ，如图所示： ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ 则 ∴是等腰直角三角形， 在中，， ∴ 即三点共线， ∴当点运动点处，得周长的最小值 则 ∴ 故周长的最小值 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，轴对称性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 49．(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）勾股定理求出的长，证明，推出四边形的面积等于进行求解即可； （2）旋转，得到，，进而求出，证明，推出，中垂线的性质，推出，设设交于点，连接，证明，得到，延长至点，使，连接，则：为等腰直角三角形，得到，证明，得到即可． （3）易得，得到当最小时，最小，垂线段最短，得到时，最短，得到的位置，取的中点，连接，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形， ∴，， 在中，，， ∴， ∵是的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即：， ∵， ∴； （2），证明如下： ∵旋转， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， 设交于点，连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，则：为等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵为中点， ∴， ∴当最小时，最小， ∵为上一动点， ∴当时，最小，此时最小， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， 取的中点，连接，作于点，如图，， ∵，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，斜边上的中线等知识点，熟练掌握相关知识点，合理添加辅助线构造特殊图形和全等三角形是解题的关键． 50．(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、矩形的判定及性质、等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，会作出适当的辅助线灵活构造全等三角形是解题的关键． （1）通过已知条件，易求，，根据勾股定理得，，利用梯形面积公式即可求解； （2）过点作于点，作于点，易证：，得，，再证明四边形是矩形，进而证明为等腰直角三角形，即可证得； （3）在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，，先证，得，得出点轨迹为过中点，与夹角为的直线上，作点关于的对称点，当取最小值时，，，三点共线，由勾股定理可得，最小值为． 【详解】（1）解：，， ， 四边形为矩形， ， ， 又， ． 在中，，，， 根据勾股定理得，， ， ； （2），理由如下： 如图所示，过点作于点，作于点． ，， ， ，， ，， ， ， ，． 点为线段的中点， ． ， 四边形是矩形， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）如图所示，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接，设，，， ，，， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点轨迹为如图过中点，与夹角为的直线上， 如图所示，作点关于的对称点， ， 当取最小值时，，，三点共线，最小值为， 延长交直线于点，连接， ， ， ， ， ，， 由勾股定理可得，最小值． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $