精品解析：2026年河北省中考数学试题

2026年河北省初中学业水平考试（九年级） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 2. 如图，点P在直线外，点C是直线上的动点，则与的关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：点是直线上的点， 是平角，即， 由图可知，与组成了平角， ． 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 4. 河北博物院收藏的错金铜博山炉（如图1所示）是汉代颇具代表性的香薰器物．将它近似地看成由圆锥、半球和圆柱组成的几何体（如图2所示），则这个几何体的主视图中没有出现的图形是（ ） A. 三角形 B. 矩形 C. 半圆 D. 菱形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三视图的定义，分别分析圆锥、半球、圆柱的主视图形状，即可得出结论． 【详解】解：该几何体上部是圆锥，中部是半球，下部是圆柱 ∴圆锥的主视图是三角形，半球的主视图是半圆，圆柱的主视图是矩形 ∴这个几何体的主视图中出现的图形有三角形、半圆、矩形，没有菱形． 5. 嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用红色颜料和黄色颜料调配出的颜色属于（ ） A. ①类 B. ②类 C. ③类 D. ④类 【答案】C 【解析】 【分析】先求出调配出的颜料总质量，再计算红色颜料的占比，最后结合数轴上的分类范围进行判断． 【详解】解：∵红色颜料质量为，黄色颜料质量为 ∴调配出的颜料总质量为  ∴红色颜料的占比为 ∵  ∴该颜色属于③类 ． 6. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 7. 如图，将一个边长为的正方形分成6个全等的矩形，若这6个矩形周长之和比原正方形的周长多48，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形切割的特点，每切一刀，总周长增加两个切线长度，据此建立方程求解即可． 【详解】解：根据题意可知正方形的边长为，由图可知，将正方形分成6个全等矩形，需要横向切2刀，纵向切1刀， 每切一刀，周长之和增加， 6个矩形的周长之和比原正方形周长多， 6个矩形周长之和比原正方形的周长多48， ， 解得：． 8. 掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），若向上一面的点数之和为2的概率与点数之和为的概率相等，则（ ） A. 3 B. 4 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】通过列表法计算各选项概率即可得解． 【详解】解：列表如下： 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 ∴掷两枚质地均匀的骰子，所有等可能结果共有种，点数之和为的结果只有种， ∴点数之和为2的概率为． 对各选项逐一验证：当时，共种，，排除A； 当时，共种，，排除B； 当时，共种，，排除C； 当时，共种，，与点数和为2的概率相等． ∴． 9. 如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先证明四边形是平行四边形，得到，推出，由折叠得，，，，得到，证明，然后利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形 ∴ ∴ ∴ 由折叠得，，， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∴． 10. 如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 11. 平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（ ） A. 函数的图象上 B. 函数的图象上 C. 函数的图象上 D. 函数的图象上 【答案】B 【解析】 【分析】先根据直线过原点设出直线解析式，代入A、B坐标得到与的乘积，再根据C点坐标判断其满足哪个函数解析式． 【详解】解：∵直线经过原点， ∴设直线的解析式为， 把代入解析式得，即， ∴直线的解析式为， 把代入得，即， ∵点的坐标为， ∴点横纵坐标的乘积为， 对函数变形可得，满足点的坐标特征， ∴点一定在函数的图象上． 12. 如图，在平面直角坐标系中，若两阴影部分的面积分别为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用待定系数法求出四条直线的解析式，分别为，，，，求出阴影部分和各个顶点的坐标，观察图形可知，阴影部分和均可分割为一个平行四边形和一个三角形，分别计算面积，再计算面积差即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴交直线于点，过点作轴交直线于点， ∵轴，轴， ∴，， 由图可知，过，；过，；过，；过，， 设的直线解析式为， 将代入上式，则， ∴的直线解析式为； 同理可得另外三条直线的解析式分别为：，，， ∵直线与 的斜率均为 ， ∴， ∴四边形是平行四边形， 当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得，则； 当时，，解得，则； ∴， 联立与得：，解得：，则， ∴； 联立与 得：，解得：，则， ∴； 联立与得：，解得：，则， ∴； 联立与 得：，解得：，则， ∴； ∴阴影部分的面积． 阴影部分的面积． ∴． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算： ________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查有理数的减法，熟练掌握减法法则是解题的关键． 根据减去一个数等于加上它的相反数将减法变加法计算即可． 【详解】解∶， 故答案为∶10． 14. 某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中，于点，于点，若，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得，结合已知可判定四边形为平行四边形，从而得出；利用平行线的性质得出，最后在中利用三角函数求解的长，即可求解． 【详解】解：，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ， 在中，，， ． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的两根分别为和，利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积的表达式，先求解的值，再计算，最后验证原方程满足有两个实数根的条件即可． 【详解】解：设一元二次方程的两根分别为，． 根据根与系数的关系可得，． 整理得．变形得． 解得． 将代入得． 验证判别式：，符合题意． 16. 一游客计划从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地．该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如．若图中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为_________百元． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列举出所有可能的旅游路线，分别利用有理数加法法则计算各条路线的交通费用，通过比较大小得出最小值． 【详解】解：根据题意，从地出发到，，三地旅游，然后回到地，且每个地方只到1次，共有以下不同的路线方案： 方案一：路线为，交通费用为：（百元）； 方案二：路线为，交通费用为：（百元）； 方案三：路线为，交通费用为：（百元）； 方案四：路线为，交通费用为：（百元）； 方案五：路线为，交通费用为：（百元）； 方案六：路线为，交通费用为：（百元）； 因为， 所以此次旅游的交通费用最少为21百元． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程、解不等式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 移项，得 合并同类项，得，  系数化为，得； 【小问2详解】 解：， 去分母，得，   去括号，得，   移项，得，  合并同类项，得． 18. 用运算律或乘法公式可以简化运算，例如： ． （1）证明，并用以上方法计算； （2）计算：． 【答案】（1） 证明：∵右边左边， ∴， ； （2） 【解析】 【小问1详解】 证明见答案 解： ； 【小问2详解】 解： ． 19. 按要求解答下列问题： （1）尺规作图：如图1，在中，作出边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，在中，，点在边上，且．若，，求线段的长． 【答案】（1）如图1，直线即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）根据作已知线段的垂直平分线的方法作图即可； （2）根据等边对等角以及三角形的外角性质证明，即可证明，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 解得． 20. 为培养学生的劳动观念和家庭责任意识，某中学开展了“家长家务劳动时长”调查活动．在某一周，每名学生统计自己家长每天整理收纳、烧菜做饭、洗衣清扫等家务劳动时间，计算出家长日均家务劳动时长（单位：h）并提交．（计算方法：） 【收集数据】 淇淇随机抽取了40名同学提交的数据，如下： 3.6，2.1，1.9，3.2，2.4，3.1，2.0，2.6，1.9，3.2 1.3，2.8，2.9，1.4，2.1，2.5，1.7，3.5，2.6，2.6 2.3，3.7，2.7，1.9，3.3，2.0，2.6，2.0，1.6，2.8 3.4，2.5，2.1，2.2，1.8，2.4，3.0，2.5，3.5，2.3 【整理数据】 淇淇将数据适当分组后，绘制了如图所示的不完整的频数直方图． 【分析数据】 （1）补全上面的频数直方图；估计全校学生提交的数据中，的占比为____________%． （2）把频数直方图中各组数据用该组的中间值来代替（如的中间值为1.5），并利用图中信息，计算这40名学生提交的家长日均家务劳动时长的平均数． （3）资料显示，我国6周岁以上居民的日均家务劳动时长约为，淇淇发现与之相比有明显差异，请结合统计知识分析原因．（写出一条即可） 【答案】（1）补全频数分布直方图如图； ， （2） （3）调查对象为学生家长，样本不具有代表性，家长群体家务时长普遍高于全国平均水平 【解析】 【分析】（1）根据40个数据确定，和的数据个数，即可补全频数分布直方图，再求出的样本数据个数，除以总数即可求解占比； （2）先求出各组的组中值，再根据平均数的定义求解即可； （3）本次调查的样本是某中学学生的家长，群体具有特殊性，家长群体需要照顾家庭、承担更多家务，劳动时长普遍高于全国全年龄段居民的平均水平，且样本仅来自一所中学，不具备代表性，因此与全国均值存在明显差异． 【小问1详解】 解：由统计数据可得，的数据有4个，的数据有6个， 则补全频数分布直方图： ； ， ∴的占比为； 【小问2详解】 解：第一组的组中值为，同理可求其余各组组中值为2.0、2.5、3.0、3.5， ∴ 答：平均数； 【小问3详解】 略 21. 在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告． 主题 求生活中的圆弧长 研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形（如图1所示），已知扇形所在圆的半径于点，，用不同的方案分别求的长． 工具 软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等 研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三 用软尺直接测量的长． 测量数据： 第一次 第二次 用测角仪测角，利用弧长公式计算的长． 测量数据： 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”．图1中，弧长． 测量数据： 反思应用 取两次测量结果的平均数，则． 利用弧长公式，…… 根据“会圆术”，…… ①方案一可通过____________的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题． 如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度为，拱高为，虽然弧长和圆心角不方便测量，但可以通过计算近似得出． 计算过程如下：…… 请你帮助该小组完成活动报告，具体如下： （1）写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可） （2）分别利用方案二（结果保留）和方案三计算的长； （3）求图2中弧长和圆心角．（取3.1） 【答案】（1）多次测量取平均值 （2）方案二弧长为；方案三弧长为 （3）， 【解析】 【分析】（1）方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差； （2）方案二利用弧长公式求解即可，方案三代入已知数据求解即可； （3）先由垂径定理以及勾股定理求解，再由“会圆术”求解弧长，最后根据弧长公式求解圆心角的度数即可． 【小问1详解】 解：方案一可通过多次测量取平均值的方法减少误差； 【小问2详解】 解：方案二：的长； 方案三：∵，，， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴ 在中，由勾股定理得，， ∴ 解得 由“会圆术”可得，， 设的度数为，则由得，， 解得 22. 某登山爱好者根据经验，总结出一个预估自己登山用时（分钟）的模型：．其中，（为常数），（千米）表示登山路线的长度；，（千米）表示山顶与起点的海拔高度差．从A出发到山顶M的路线及相关数据如图所示．（说明：本题中模型已简化，且不计登山过程中休息和必要的预留时间） （1）①求，的值； ②计算路线3的长度． （2）已知山顶M的海拔高度为1000米，B在图所示的一条等高线上，等高线上标注的数字表示其海拔高度（单位：米）．若该登山爱好者从出发到山顶的路线长度为3千米，根据本题模型，求该登山爱好者登到山顶的预估用时． 【答案】（1）①；②千米 （2）分钟 【解析】 【分析】（1）①由题意得，，再用待定系数法求解即可；②先得到，然后将代入，解方程即可； （2）求出海拔差为，然后代入求解即可． 【小问1详解】 解：①由题意得，， 代入两组数据得， 解得； ②由①得， 路线3同样从A到M，海拔差仍为， 将代入，得 解得 即路线3的长度为5千米； 【小问2详解】 解：由等高线图可知，B点位于400米等高线上，海拔为； 山顶M海拔为，因此海拔差： 将代入得， 即预估用时为135分钟 23. 如图，二次函数（其中）的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为．将点绕点顺时针旋转得到点． （1）若，求直线的函数表达式，并判断点关于二次函数图象对称轴的对称点是否在直线上； （2）当时，二次函数的最大值为9，求的值； （3）连接，当点不在直线上时，过点作直线交轴于点，请直接写出的最小值． 【答案】（1），点不在直线上 （2）的值为或 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，，若，则，，则，，由旋转可得，则，再由待定系数法求解直线；然后求出点关于二次函数图象对称轴的对称点为，再代入直线表达式验证即可； （2）先求出对称轴为直线，然后分三种情况，根据二次函数的图象与性质求解即可； （3）同（1）可求，可求，设直线，求出，由，可设直线，求出直线，当时，，再由二次函数的图象与性质求解即可； 【小问1详解】 解：如图， 对于，当时，则， 解得， ∴，， 若，则， ∴， ∵将点绕点顺时针旋转得到点． ∴ ∴， 设直线， 则 解得 ∴直线； 对于，当时，， ∴ 由可得对称轴为直线， ∴点关于二次函数图象对称轴的对称点为， 当时，， ∴点不在直线上； 【小问2详解】 解：由（1）可得，， ∴对称轴为直线， 当，即时， ∵抛物线中，，则抛物线开口向上， ∴当时，随着的增大而增大， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或（舍去）； 当，即时， 若，即时，此时离对称轴更远， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或，均不在范围内，故舍去； 若时，即，此时离对称轴更远， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或，均不在范围内，故舍去； 当，即时， ∴当时，随着的增大而减小， ∴当时，函数取得最大值， ∴， 整理得，，解得或（舍去）； 综上：的值为或； 【小问3详解】 解：∵， ∴同（1）可求 对于，对称轴为直线， ∴把代入可得，， ∴， 设直线，则，解得， ∵， ∴设直线， 代入，则，解得， ∴直线， 当时，， ∵， ∴当时，取得最小值为； 24. 如图1和图2，在中，，，正方形的顶点，，分别在的三边，，上．当点从点出发沿向点移动时，点，随之分别在，上移动（正方形的大小发生变化），当点与点重合时，移动停止． （1）____________． （2）如图1，当时，求证：． （3）①如图2，当时，求的长； ②当时，直接写出正方形的边长． （4）在移动过程中，每当点移动1个单位长度时，点均移动d个单位长度，直接写出d的值． 【答案】（1） （2）证明：∵四边形是正方形， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴； （3）①；② （4） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，根据等腰三角形的性质以及勾股定理求解，再由正切的定义求解； （2）证明即可； （3）①过点作于点，过点作于点，在中，由，设，同理可设，证明即可求解； ②构造同样辅助线，如上图，由，可得方程组，解方程组求解，再由勾股定理求解； （4）先同样构造（3）问辅助线，再过点作交的延长线于点， 同理可证明，则，证明当点运动时，点到的距离不变，为，当点与点重合时，记作点，作出初始位置时的正方形，则点在同一直线上，由题意设，可得四边形是矩形，则，，那么，，解得，再由求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①过点作于点，过点作于点，则， ∴在中，，设， ∵， ∴，则设 ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴ ∴ 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴； ②构造同样辅助线，如上图， ∵， ∴可得方程组， 解得， ∴， ∴； 【小问4详解】 解：先同样构造（3）问辅助线，再过点作交的延长线于点， 同理可证明 ∴， 由（3）可知, ∴ ∴， ∴当点运动时，点到的距离不变，为， 当点与点重合时，记作点，作出初始位置时的正方形，则点在同一直线上， 由题意设， ∵四边形是正方形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， 解得 ∴，， ∴ ∴d的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河北省初中学业水平考试（九年级） 数学试卷 注意事项： 1．本试卷总分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，请将答题卡、试卷和草稿纸一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1. 计算：（ ） A. B. C. D. 2. 如图，点P在直线外，点C是直线上的动点，则与的关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 4. 河北博物院收藏的错金铜博山炉（如图1所示）是汉代颇具代表性的香薰器物．将它近似地看成由圆锥、半球和圆柱组成的几何体（如图2所示），则这个几何体的主视图中没有出现的图形是（ ） A. 三角形 B. 矩形 C. 半圆 D. 菱形 5. 嘉嘉在美术课上了解到，用不同比例的红、黄两种颜料能调配出多种暖色调颜色．如图，根据红色颜料的占比，可以将调配出的颜色分为①、②、③、④等四类．用红色颜料和黄色颜料调配出的颜色属于（ ） A. ①类 B. ②类 C. ③类 D. ④类 6. 计算：（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将一个边长为的正方形分成6个全等的矩形，若这6个矩形周长之和比原正方形的周长多48，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 8. 掷两枚质地均匀的骰子（六个面上分别刻有1到6的点数），若向上一面的点数之和为2的概率与点数之和为的概率相等，则（ ） A. 3 B. 4 C. 11 D. 12 9. 如图，在四边形中，，，过点作交于点，将沿翻折，得到．，分别与直线交于，两点，则与的面积之比为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（ ） A. B. C. D. 11. 平面直角坐标系中有，，三点．若直线经过原点，则点一定在（ ） A. 函数的图象上 B. 函数的图象上 C. 函数的图象上 D. 函数的图象上 12. 如图，在平面直角坐标系中，若两阴影部分的面积分别为，，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算： ________． 14. 某楼梯装有护栏，其侧面如图所示．其中，于点，于点，若，，则_________． 15. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，其中一个根是另一个根的平方，则_________． 16. 一游客计划从A地出发到B，C，D三地旅游，然后回到A地．该游客到三地的先后顺序不确定，且每个地方只到1次，如．若图中两地间连线上的数字表示两地之间单次通行的交通费用（单位：百元），则此次旅游的交通费用最少为_________百元． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解方程、解不等式： （1）； （2）． 18. 用运算律或乘法公式可以简化运算，例如： ． （1）证明，并用以上方法计算； （2）计算：． 19. 按要求解答下列问题： （1）尺规作图：如图1，在中，作出边的垂直平分线；（保留作图痕迹，不写作法） （2）如图2，在中，，点在边上，且．若，，求线段的长． 20. 为培养学生的劳动观念和家庭责任意识，某中学开展了“家长家务劳动时长”调查活动．在某一周，每名学生统计自己家长每天整理收纳、烧菜做饭、洗衣清扫等家务劳动时间，计算出家长日均家务劳动时长（单位：h）并提交．（计算方法：） 【收集数据】 淇淇随机抽取了40名同学提交的数据，如下： 3.6，2.1，1.9，3.2，2.4，3.1，2.0，2.6，1.9，3.2 1.3，2.8，2.9，1.4，2.1，2.5，1.7，3.5，2.6，2.6 2.3，3.7，2.7，1.9，3.3，2.0，2.6，2.0，1.6，2.8 3.4，2.5，2.1，2.2，1.8，2.4，3.0，2.5，3.5，2.3 【整理数据】 淇淇将数据适当分组后，绘制了如图所示的不完整的频数直方图． 【分析数据】 （1）补全上面的频数直方图；估计全校学生提交的数据中，的占比为____________%． （2）把频数直方图中各组数据用该组的中间值来代替（如的中间值为1.5），并利用图中信息，计算这40名学生提交的家长日均家务劳动时长的平均数． （3）资料显示，我国6周岁以上居民的日均家务劳动时长约为，淇淇发现与之相比有明显差异，请结合统计知识分析原因．（写出一条即可） 21. 在学习了圆的相关知识后，同学们设计并开展了一项综合实践活动，下面是一个小组尚未完成的活动报告． 主题 求生活中的圆弧长 研究内容 本次活动选取学校的铅球场地，将场地的一部分抽象为扇形（如图1所示），已知扇形所在圆的半径于点，，用不同的方案分别求的长． 工具 软尺（长度足够）、测角仪（可测量角度的大小）等 研究方案与实践成果 方案一 方案二 方案三 用软尺直接测量的长． 测量数据： 第一次 第二次 用测角仪测角，利用弧长公式计算的长． 测量数据： 查阅文献，发现北宋沈括的《梦溪笔谈》中收录了近似计算圆弧长度的“会圆术”．图1中，弧长． 测量数据： 反思应用 取两次测量结果的平均数，则． 利用弧长公式，…… 根据“会圆术”，…… ①方案一可通过____________的方法减少误差； ②我们可以利用上面的活动经验解决一些生活中的问题． 如图2所示，公园里一座桥的主桥拱是圆弧形，已知其跨度为，拱高为，虽然弧长和圆心角不方便测量，但可以通过计算近似得出． 计算过程如下：…… 请你帮助该小组完成活动报告，具体如下： （1）写出“反思应用”①中减少误差的方法；（写出一种方法即可） （2）分别利用方案二（结果保留）和方案三计算的长； （3）求图2中弧长和圆心角．（取3.1） 22. 某登山爱好者根据经验，总结出一个预估自己登山用时（分钟）的模型：．其中，（为常数），（千米）表示登山路线的长度；，（千米）表示山顶与起点的海拔高度差．从A出发到山顶M的路线及相关数据如图所示．（说明：本题中模型已简化，且不计登山过程中休息和必要的预留时间） （1）①求，的值； ②计算路线3的长度． （2）已知山顶M的海拔高度为1000米，B在图所示的一条等高线上，等高线上标注的数字表示其海拔高度（单位：米）．若该登山爱好者从出发到山顶的路线长度为3千米，根据本题模型，求该登山爱好者登到山顶的预估用时． 23. 如图，二次函数（其中）的图象与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点，顶点为．将点绕点顺时针旋转得到点． （1）若，求直线的函数表达式，并判断点关于二次函数图象对称轴的对称点是否在直线上； （2）当时，二次函数的最大值为9，求的值； （3）连接，当点不在直线上时，过点作直线交轴于点，请直接写出的最小值． 24. 如图1和图2，在中，，，正方形的顶点，，分别在的三边，，上．当点从点出发沿向点移动时，点，随之分别在，上移动（正方形的大小发生变化），当点与点重合时，移动停止． （1）____________． （2）如图1，当时，求证：． （3）①如图2，当时，求的长； ②当时，直接写出正方形的边长． （4）在移动过程中，每当点移动1个单位长度时，点均移动d个单位长度，直接写出d的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $