第01讲 空间向量及其线性运算（思维导图+3知识点+4大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第01讲 空间向量及其线性运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 空间向量的相关概念辨析 题型02 空间向量的加减、数乘运算 题型03 空间向量共线及其参数问题 题型04 空间向量共面及其参数问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.空间向量的概念 2.空间向量的线性运算 1. 经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念,提升数学抽象的核心素养. 2. 经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程,培养逻辑推理的核心素养. 3. 掌握空间向量的线性运算,增强逻辑推理、数学运算及直观想象的核心素养. 学习重点：理解空间向量中的基本概念 学习难点：空间向量的共线、共面问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 即时即练 1．（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【方法总结】 处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系 (1)两个要素. 判断与向量有关的命题时,要抓住向量的两个主要要素,即大小与方向,两者缺一不可. (2)两个关系. ①模相等与向量相等的关系:两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件. ②向量的模与向量大小的关系:由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的.但向量的模是可以比较大小的. 知识点02 空间向量的加法、减法、数乘运算 1、空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． 2、空间向量加减法运算律 交换律： 结合律： 小结：空间向量加法的运算的小技巧 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 3、空间向量的数乘运算 （1）定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． （2）数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 （3）对数乘向量与向量的关系的进一步理解： ①可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． ②实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． ③实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 即时即练 1．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【方法总结】 (1)空间向量的线性运算技巧. ①巧用相反向量:向量加、减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接. ②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果. (2)化简空间向量的常用思路. ①分组:合理分组,以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简. ②多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则.若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和. ③走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径). (3)与空间向量的线性运算相关的结论. ①在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中,=++. ②若G为△ABC的重心,则++=0. ③若O为空间中任意一点,则 a.点P是线段AB中点的充要条件是=(+). b.若G为△ABC的重心,则=(++). 知识点03 共线向量与共面向量 一、共线向量 3、证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 二、共面向量 2、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3、空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对， 使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 4、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 即时即练 1．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 2．下列命题正确的是（ ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 【方法总结】 (1)判断或证明a,b共线,即找实数x,使得b=xa(a≠0),在这里要充分运用空间向量的运算法则,结合空间图形,化简转化为a,b的关系式,得到b=xa(a≠0)的形式,从而得到b∥a. (2)证明(或判断)A,B,C三点共线时,只需证明存在实数λ(或μ),使=λ(或=μ)即可.也可用“对空间任意一点O,有=t+(1-t),t∈R”来证明三点共线. (3)利用向量法解决向量共面问题,关键是熟练地进行向量的表示,恰当应用向量共面的充要条件.向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量. 题型01 空间向量的相关概念辨析 1．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 2．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．零向量与任意向量不平行 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任意两个空间向量都共面 D．将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 4．（多选题）（25-26高二·全国·暑假作业）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 5．（多选题）（25-26高二上·全国·期末）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【技巧归纳】 处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系 (1)两个要素. 判断与向量有关的命题时,要抓住向量的两个主要要素,即大小与方向,两者缺一不可. (2)两个关系. ①模相等与向量相等的关系:两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件. ②向量的模与向量大小的关系:由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的.但向量的模是可以比较大小的. 题型02 空间向量的加减、数乘运算 1．（25-26高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 3．点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·广东揭阳·期末）如图，在平行六面体中，M为和的交点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖南·阶段检测）在四面体中，，设，，，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知点是空间中四点，点分别为的中点，则（    ） A．对任意点恒有 B．当且仅当点共面时 C．对任意点恒有 D．当且仅当点共面时 【技巧归纳】 (1)空间向量的线性运算技巧. ①巧用相反向量:向量加、减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接. ②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果. (2)化简空间向量的常用思路. ①分组:合理分组,以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简. ②多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则.若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和. ③走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径). (3)与空间向量的线性运算相关的结论. ①在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中,=++. ②若G为△ABC的重心,则++=0. ③若O为空间中任意一点,则 a.点P是线段AB中点的充要条件是=(+). b.若G为△ABC的重心,则=(++). 题型03 空间向量共线及其参数问题 1．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 3．平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 4．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 5．（多选题）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 【技巧归纳】 (1)判断或证明a,b共线,即找实数x,使得b=xa(a≠0),在这里要充分运用空间向量的运算法则,结合空间图形,化简转化为a,b的关系式,得到b=xa(a≠0)的形式,从而得到b∥a. (2)证明(或判断)A,B,C三点共线时,只需证明存在实数λ(或μ),使=λ(或=μ)即可.也可用“对空间任意一点O,有=t+(1-t),t∈R”来证明三点共线. 题型04 空间向量共面及其参数问题 1．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知，，三点不共线，是平面外一点，且，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 2．向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 3．（多选题）（25-26高二上·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）已知是空间的一组基底，其中，，.若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·青海海东·期末）已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 8．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【技巧归纳】 1、利用向量法解决向量共面问题,关键是熟练地进行向量的表示,恰当应用向量共面的充要条件.向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量. 2、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 1．（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 3．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 5．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B． C． D． 7．已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 8．（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·广东茂名·阶段检测）已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则（    ） A．5 B．2 C． D． 10．（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 12．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）在四面体OABC中，空间的一点M满足，若共面，则（   ） A． B． C． D．1 13．（多选题）（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 14．（多选题）（25-26高二·全国·暑假作业）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 15．（多选题）（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 16．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第01讲 空间向量及其线性运算 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 空间向量的相关概念辨析 题型02 空间向量的加减、数乘运算 题型03 空间向量共线及其参数问题 题型04 空间向量共面及其参数问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.空间向量的概念 2.空间向量的线性运算 1. 经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念,提升数学抽象的核心素养. 2. 经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程,培养逻辑推理的核心素养. 3. 掌握空间向量的线性运算,增强逻辑推理、数学运算及直观想象的核心素养. 学习重点：理解空间向量中的基本概念 学习难点：空间向量的共线、共面问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 空间向量的有关概念 1、空间向量的有关概念 （1）概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，空间向量的大小叫做空间向量的长度或模；如空间中的位移速度、力等． （2）几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2、空间向量的表示 表示方法：和平面向量一样，空间向量有两种表示方法： （1）几何表示法：用有向线段来表示，叫向量的起点，叫向量的终点； （2）字母表示法：用表示．向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或. 即时即练 1．（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 【方法总结】 处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系 (1)两个要素. 判断与向量有关的命题时,要抓住向量的两个主要要素,即大小与方向,两者缺一不可. (2)两个关系. ①模相等与向量相等的关系:两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件. ②向量的模与向量大小的关系:由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的.但向量的模是可以比较大小的. 知识点02 空间向量的加法、减法、数乘运算 1、空间向量的加减法 空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法（如下图）． 2、空间向量加减法运算律 交换律： 结合律： 小结：空间向量加法的运算的小技巧 （1）首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量， 即： （2）首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量， 即：； 3、空间向量的数乘运算 （1）定义：与平面向量一样，实数与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为向量的数乘运算． （2）数乘向量与向量的关系 的范围 的方向 的模 与向量的方向相同 ，其方向是任意的 与向量的方向相反 （3）对数乘向量与向量的关系的进一步理解： ①可以把向量模扩大（当时），也可缩小（当时）；可以不改变向量的方向（当时），也可以改变向量的方向（当时）． ②实数与向量的积的特殊情况：当时，；当时，若，则． ③实数与向量可以求积，但是不能进行加减，例如，，没有意义，无法运算． 即时即练 1．已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【分析】（1）（2）（3）根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】（1）， 向量如图所示.    （2）； 向量如图所示.    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示.    【方法总结】 (1)空间向量的线性运算技巧. ①巧用相反向量:向量加、减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接. ②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果. (2)化简空间向量的常用思路. ①分组:合理分组,以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简. ②多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则.若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和. ③走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径). (3)与空间向量的线性运算相关的结论. ①在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中,=++. ②若G为△ABC的重心,则++=0. ③若O为空间中任意一点,则 a.点P是线段AB中点的充要条件是=(+). b.若G为△ABC的重心,则=(++). 知识点03 共线向量与共面向量 一、共线向量 3、证明空间三点共线的三种思路：对于空间三点P、A、B可通过证明下列结论来证明三点共线 二、共面向量 2、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3、空间共面向量的表示 如图空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对， 使． 或者等价于：对空间任意一点，空间一点位于平面内（四点共面）的充要条件是存在有序实数对，使，该式称为空间平面的向量表示式，由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定． 4、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 即时即练 1．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【详解】因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 2．下列命题正确的是（ ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 【答案】ABD 【分析】根据题意，由共面向量定理即可判断ABD，举出反例即可判断C. 【详解】选项A，根据共面向量基本定理可知，与，共面；所以选项A是正确的； 选项B，根据共面向量基本定理可知，共面，由于它们有公共点， 所以共面； 选项C，举反例说明，若，，是一个正方体同一个顶点的三条棱所对应的向量， 则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点不在同一个平面上，所以C选项是错误的； 选项D，由可得， 则，即， 则，此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的； 故选：ABD． 【方法总结】 (1)判断或证明a,b共线,即找实数x,使得b=xa(a≠0),在这里要充分运用空间向量的运算法则,结合空间图形,化简转化为a,b的关系式,得到b=xa(a≠0)的形式,从而得到b∥a. (2)证明(或判断)A,B,C三点共线时,只需证明存在实数λ(或μ),使=λ(或=μ)即可.也可用“对空间任意一点O,有=t+(1-t),t∈R”来证明三点共线. (3)利用向量法解决向量共面问题,关键是熟练地进行向量的表示,恰当应用向量共面的充要条件.向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量. 题型01 空间向量的相关概念辨析 1．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 2．（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的性质及中位线的性质，分析即可得答案. 【详解】因为E，F分别是AB，的中点， 所以且，，， 所以与向量相反的向量为. 故选：C 3．（25-26高二下·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．零向量与任意向量不平行 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任意两个空间向量都共面 D．将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 【答案】C 【分析】根据零向量定义及向量平行可判断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向量平移及相交直线可确定一个平面可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，零向量与任意向量平行，A错； 对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错； 对于C选项，任意两个空间向量，通过平移可以将起点重合，这两个向量所在直线能确定一个平面，因此任意两个空间向量都共面，C对； 对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个单位球面，D错. 4．（多选题）（25-26高二·全国·暑假作业）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 5．（多选题）（25-26高二上·全国·期末）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【答案】AC 【分析】根据共面向量的定义可判断A选项；利用向量的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项, 【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题； 对于B，若，则和的模相等，方向不一定相同， 若，则和的模相等，方向也相同， 所以是向量的必要不充分条件，故B为真命题； 对于C，向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题； 对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题． 故选：AC. 【技巧归纳】 处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系 (1)两个要素. 判断与向量有关的命题时,要抓住向量的两个主要要素,即大小与方向,两者缺一不可. (2)两个关系. ①模相等与向量相等的关系:两个向量的模相等,则它们的长度相等,但方向不确定,即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件. ②向量的模与向量大小的关系:由于方向不能比较大小,因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的.但向量的模是可以比较大小的. 题型02 空间向量的加减、数乘运算 1．（25-26高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，． 2．（2026高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】G是的中点，所以. 3．点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算即可求解. 【详解】因为四边形为平行四边形，所以为和的中点， 所以， 故选：D. 4．（25-26高二上·广东揭阳·期末）如图，在平行六面体中，M为和的交点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算法则，准确运算，即可求解. 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得：. 故选：C. 5．（25-26高二上·湖南·阶段检测）在四面体中，，设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先作出符合题意的图形，再利用空间向量的加法、减法和数乘运算法则求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 因为，所以， 由空间向量的加法、减法和数乘运算法则得 ，故A正确. 故选：A 6．（25-26高二上·广东·阶段检测）已知点是空间中四点，点分别为的中点，则（    ） A．对任意点恒有 B．当且仅当点共面时 C．对任意点恒有 D．当且仅当点共面时 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算列式求解判断. 【详解】由点分别为的中点，得， 因此，且， 两式相加得， 所以对任意点恒有，C正确，ABD错误. 故选：C 【技巧归纳】 (1)空间向量的线性运算技巧. ①巧用相反向量:向量加、减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键,灵活应用相反向量可使向量间首尾相接. ②巧用平移:利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法、减法运算时,务必要注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果. (2)化简空间向量的常用思路. ①分组:合理分组,以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简. ②多边形法则:在空间向量的加法运算中,若是多个向量求和,还可利用多边形法则.若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和. ③走边路:灵活运用空间向量的加法、减法法则,尽量走边路(即沿几何体的边选择途径). (3)与空间向量的线性运算相关的结论. ①在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中,=++. ②若G为△ABC的重心,则++=0. ③若O为空间中任意一点,则 a.点P是线段AB中点的充要条件是=(+). b.若G为△ABC的重心,则=(++). 题型03 空间向量共线及其参数问题 1．（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据向量的加法运算可判断A，根据向量的减法以及相反向量可判断B，根据共线向量的定义可判断C，向量的模长相等不一定能推出向量共线，即可判断D. 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 2．（25-26高二上·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【详解】因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 3．平行六面体中，，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】将都用基底表示出来，得到，即可得到. 【详解】 ， 所以， 故选：C.    4．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【分析】根据三点共线得，进而结合①得，再结合②得，最后求和即可得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， 5．（多选题）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 【答案】BCD 【分析】由空间向量共线定理逐一判断即可求解 【详解】当时，，所以， 则，即P在棱上，故A错误； 同理当时，则，故P在棱上，故B正确； 当时，，所以，即， 故点P在线段上，故C正确； 当时，，故点在线段上，故D正确． 故选：BCD． 【技巧归纳】 (1)判断或证明a,b共线,即找实数x,使得b=xa(a≠0),在这里要充分运用空间向量的运算法则,结合空间图形,化简转化为a,b的关系式,得到b=xa(a≠0)的形式,从而得到b∥a. (2)证明(或判断)A,B,C三点共线时,只需证明存在实数λ(或μ),使=λ(或=μ)即可.也可用“对空间任意一点O,有=t+(1-t),t∈R”来证明三点共线. 题型04 空间向量共面及其参数问题 1．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）已知，，三点不共线，是平面外一点，且，若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据四点共面的向量关系，即可求得答案. 【详解】因为，，，四点共面，且， 所以，解得. 故选：A 2．向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合共面向量与向量运算的性质，可得答案. 【详解】充分性证明：由不平行，则可作为所在平面内的一组基底， 由，则必定共面，所以充分性成立； 必要性证明：由共面，且不平行，当共线时，， 则不存在两个非零常数，使得，所以必要性不成立. 综上，该条件是充分非必要条件. 故选：A. 3．（多选题）（25-26高二上·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 4．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 5．（25-26高二上·天津西青·阶段检测）已知是空间的一组基底，其中，，.若，，，四点共面，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，设存在唯一的实数对，使得，结合向量的数乘运算和相等向量的概念计算，即可求解. 【详解】由题意，设存在唯一的实数对，使得， 即， 则， 则x=2，，，解得. 故选：D. 6．（25-26高二上·青海海东·期末）已知，，，四点共面于，且其中任意三点均不共线.设为空间中任意一点且，若，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用共面定理和空间向量的线性运算可求答案. 【详解】因为，，，四点共面，所以，其中， 所以， 即； 因为，所以， 而不共面，则，即. 故选：C 7．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 8．（25-26高二上·广东广州·期末）在正四棱锥中，，.若平面AEF与直线PC相交于点Q，且，则的值为（    ） A．4 B．5 C． D． 【答案】A 【分析】连接交于点，连接，由题设易得，进而得到，再根据四点共面求解即可. 【详解】连接交于点，连接， 在正四棱锥中，且为的中点， 则，，即， 则，即， 则， 由题意，四点共面，则，解得. 故选：A 【技巧归纳】 1、利用向量法解决向量共面问题,关键是熟练地进行向量的表示,恰当应用向量共面的充要条件.向量共面的充要条件的实质是共面的四点中所形成的两个不共线的向量一定可以表示其他向量. 2、共面向量定理：如果两个向量不共线，那么向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使 3、拓展 对于空间任意一点，四点共面（其中不共线）的充要条件是（其中）． 1．（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间三点共线的向量表示法求解即可. 【详解】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减运算法则和相反向量的概念判断即可 【详解】 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C 3．（25-26高二·全国·暑假作业）如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A中，； B中，； C中，； D中，. 4．（25-26高二上·内蒙古包头·期中）如图，在平行六面体中，与的交点为点，设，，，下列向量中与相等的向量是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的线性运算求解. 【详解】， 故选：B. 5．设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 6．（25-26高二上·四川南充·阶段检测）在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算法则得到，再由空间共面定理的推论得到方程，解得即可. 【详解】已知， 则， 因为是平面内一点， 所以， 解得. 故选：B. 7．已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【详解】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 8．（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求向量转化为以为起点的向量，利用向量的运算规则进行计算即可得出答案. 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 9．（25-26高二上·广东茂名·阶段检测）已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则（    ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量共面的推论求解即可. 【详解】，即， 即， 四点共面且任意三点不共线， ，． 故选：D. 10．（24-25高二上·河南南阳·期末）如图，在四面体中，设，为的重心，为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量的线性运算可得结果. 【详解】 如图，连接，连接并延长交于点，则为中点，且， ∴. ∵为的中点，∴， ∴． 故选：A. 11．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，点是棱的中点，点在线段上，点在线段上，点在平面内，且，则的值为（    ）    A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】应用空间向量加法和数乘运算，再结合四点共面列式计算求解参数. 【详解】以为空间向量的一组基底， 则 ， 因为，则， 因为四点共面，所以，故． 故选：B. 12．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）在四面体OABC中，空间的一点M满足，若共面，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】法一：根据空间向量运算结合共面向量定理即可得到相关方程组，解出即可； 法二：利用四点共面的结论即可. 【详解】法一：由题意，， ， 共面，所以存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得 法二：由共面得四点共面， 则根据四点共面的充要条件可得，即． 故选：A 13．（多选题）（24-25高二上·广东广州·期中）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，则或 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量、、满足，，则 【答案】BC 【分析】根据空间向量的概念可判断A选项；利用相反向量的概念可判断B选项；利用相等向量的概念可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项. 【详解】对于A：模相等的两个向量，它们的方向是任意的，A错误； 对于B：向量是向量的相反向量，则，B正确； 对于C：在正方体中，四边形是矩形，故，C正确； 对于D：若，则，，但、不一定共线，D错误. 故选：BC. 14．（多选题）（25-26高二·全国·暑假作业）在以下命题中，不正确的命题是（   ） A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则 B．是共线的充要条件 C．若与共线，则表示与的有向线段所在直线平行 D．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若（其中），则P，A，B，C四点共面 【答案】BCD 【分析】根据空间向量线性运算、模、平行、共面等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，故A正确； 若，同向共线，则，故B不正确； 若与共线，则表示与的有向线段所在直线重合或平行，故C不正确； D选项中，只有时，才有P，A，B，C四点共面，故D不正确． 15．（多选题）（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 【答案】AC 【分析】根据共面向量的定义、共线向量的定义，结合共面定理逐一判断即可. 【详解】A：因为，，， 所以， 即，所以由共面向量定理可以判断向量，，共面， 因此该选项命题正确； B：假设，所以存在，使得成立， 即， 因为空间向量，，不共面， 所以，显然不成立，假设不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D共面，所以本选项命题正确； D：， 因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D不共面，所以本选项命题不正确. 故选：AC 16．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量共线可得答案； （2）由四点共面设，得出，再由配方求最值可得答案. 【详解】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $