期末复习模拟试题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 高一数学期末复习模拟卷，涵盖复数、立体几何、概率统计等核心知识，通过测量解放阁高度、微电影评分统计等真实情境，考查数学眼光、逻辑推理与数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|复数共轭、分层抽样、向量平行等|基础概念辨析，如第2题分层抽样直接考查方法| |多选题|3|统计图表分析、复数几何意义等|选项分层设计，如第9题对比甲乙得分的中位数、均值| |填空题|3|复数象限、方差计算等|知识迁移应用，如第13题结合原数据方差求剔除后方差| |解答题|5|概率、解三角形、立体几何综合等|多问递进，如第19题从面面垂直证明到线面角、二面角范围，考查逻辑推理与空间观念|

期末复习模拟试题 2025-2026学年高一 数学人教A版（2019）下学期（必修第二册） 一、单选题 1．复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 2．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取名学生．已知该校初中部和高中部分别有1500名和2000名学生，若从高中部抽取的学生人数为80，则（   ） A．60 B．100 C．120 D．140 3．已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．1 D．4 4．已知，是两个平面，m，n是两条直线，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，则 5．在平行四边形中，是的中点，交于点，则（   ） A． B． C． D． 6．不透明口袋中装有大小相同的五个球，分别标有1、2、3、4、5五个号码，依次不放回从中取得两个球，如果第二次取得号码比第一次大，则记录第二个球号码；如果第二次取得号码比第一次小，则记录袋中剩余球最大的号码，则记录号码为4的概率为（    ） A． B． C． D． 7．解放阁是山东省的“国防教育基地”．如图，为测量解放阁的高度，某人取了一条水平基线，使在同一条直线上．在两点用测角仪器测得的仰角分别是，并测得米，则约为（   ）（参考数据：） A．30米 B．35米 C．45米 D．70米 8．如图，为直三棱柱，用一个平行于底面的平面截此三棱柱，记下列三个三棱锥，，在平面上方的部位体积为，，，并记三个三棱锥被平面截得的面积分别为，，，那么当时，（    ） A． B． C．1 D． 二、多选题 9．某校举行了微电影评比活动，甲、乙两部微电影播放后，6位评委分别进行打分（满分10分），得到如图所示的统计图，则（    ）    A．甲得分的中位数大于乙得分的中位数 B．甲得分的极差大于乙得分的极差 C．甲得分的均值大于乙得分的均值 D．甲得分的方差大于乙得分的方差 10．复数，，在复平面内对应的点分别为，其中O为坐标原点，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．若，则 11．半径为1的球完全在半径为的球的内部，且两球球面有唯一的公共点，球表面上三点确定的平面与球相切，若，，则（    ） A．三点共线 B． C．直线与平面所成角小于 D．三棱锥的体积为 三、填空题 12．设是虚数单位，在复平面内复数的共轭复数对应的点位于第_______象限． 13．已知15个数，，  ，的平均数为6，方差为9，现从中剔除，，，，这5个数，且剔除的这5个数的平均数为7，方差为5，则剩余的10个数，，  ，的方差为__________． 14．如图，测量河对岸塔楼的高度时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为_____________米． 四、解答题 15．现有一红一绿两颗质地均匀的正方体骰子，六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，在抛掷骰子的试验中： (1)若只抛掷红色的骰子，记下骰子落地时朝上的面的点数，写出该试验的样本空间；设“骰子朝上的点数大于3”，求事件的概率； (2)若同时抛掷两枚骰子，记下骰子朝上的面的点数.若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次实验的结果.设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，分别求出事件，的概率. 16．已知的内角所对的边分别为，且 (1)求角A； (2)若的周长为，且，求的面积. 17．某市举行了数学竞赛选拔考试，参加的学生众多，为了解本次考试的成绩分布情况，抽取出100名学生的成绩进行分析，绘制成如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)估计这100名学生成绩的平均数和第85百分位数； (3)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取40人，若成绩在中的平均数和方差分别为62和40，成绩在中的平均数和方差分别为80和50，请据此估计这两组成绩总体的方差． （附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m，，；n，，，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差 18．在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，点F，G满足，． (1)用，表示，； (2)若，求； (3)若，求的取值范围． 19．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，.    (1)求证：平面平面； (2)当时，求直线与平面所成角的正弦值； (3)当时，求二面角的正切值的取值范围. 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D A B B B B B AC ABC 题号 11 答案 ACD 1．C 因为， 且，故选项C正确. 2．D 根据题意利用分层抽样的定义直接求解即可. . 故选：D. 3．A 由向量平行的坐标表示，结合题意得 ，解得. 4．B 对于A，若，，，不一定；对于B，先由和得，再由结合面面垂直的判定定理即可得解；对于C，若，，，则与相交或或；对于D，若，，由面面垂直的性质得或. 对于A，若，，，则与相交或，故A错误； 对于B，若，，则，又，则，故B正确； 对于C，若，，，则与相交或或，故C错误； 对于D，若，，则或，故D错误. 故选：B. 5．B 由题可得，再根据向量运算法则即可表示. 在平行四边形中，， 所以，， 因为是的中点， 所以，即， 因为， 所以. 故选：B 6．B 设相应事件，利用列举法可得，结合古典概型运算求解即可. 因为样本空间， ， 可得， 设“记录号码为4”为事件A， 由题意可知：，可得， 所以. 故选：B. 7．B 由题意可得在中，，在中，再结合正弦定理可得，从而可求解. 由题意可得在中，， 在中，，则由正弦定理可得， 即，解得千米，故B正确. 故选：B. 8．B 根据立体几何中直三棱柱的得性质，通过改变顶点的方式，简便计算棱锥体积，根据题意判断截面位置，求出结果. 如图所示，设直三棱柱的底面积为,体积为, 如图所示，,所以,此时. 此时平面在直棱柱的中间高度上，故平面与，，相交于它们的中点处，此时截面如图所示 可知,. 故选:B. 9．AC 根据折线统计图可分别计算出甲、乙得分的中位数、极差、均值即可判断出选项ABC，再根据两组数据的离散程度可判断D选项. 对于A，将甲的得分从大到小排列为8.1，8.2，8.3，8.4，8.4，8.7，易知其中位数为， 乙的得分从大到小排列为7.8，7.9，8.0，8.0，8.4，8.6，易知其中位数为， 所以可得甲得分的中位数大于乙得分的中位数，即A正确； 对于B，易知甲得分的极差为，乙得分的极差为， 因此甲得分的极差小于乙得分的极差，即B错误； 对于C，甲得分的均值为， 乙得分的均值为， 所以甲得分的均值大于乙得分的均值，即C正确； 对于D，结合统计图以及甲、乙得分的极差可知，乙得分的离散程度较大， 因此甲得分的方差小于乙得分的方差，可得D错误. 故选：AC 10．ABC 设出对应复数，利用复数的几何意义求出复数所对应的向量的坐标，再代入运算判断A，利用复数三角不等式判断B，利用复数的乘法公式结合模长公式判断C，举反例判断D即可. 设，，， 对于A，由复数的几何意义得，， ，满足，故A正确； 对于B，由复数三角不等式得， 当且仅当同向共线时取等，故B正确； 对于C，易得， 由模长公式得 ， 而， 可得，故C正确； 对于D，令，，则，， 此时满足，但不满足，故D错误. 故选：ABC 11．ACD 由题易知两球有唯一公切线即可判断A选项，根据确定的平面与球相切，可得平面，，接着可得到外接圆半径为，利用正弦定理可求得到B选项，就是直线与平面所成角，得到正弦值比较即可判断C选项；由外接圆半径为及，可计算，再得到，然后利用体积公式可算体积. 因为两球球面有唯一的公共点，所以它们有唯一公切线，所以三点共线，故A正确； 设外接圆半径为，外心为，又确定的平面与球相切， 所以平面，，， 在，，则， ，故B错误； 因为平面，所以就是直线与平面所成角， ，故C正确； 又，所以， 又，所以为直角三角形， 则，， ，故D正确； 故选：ACD. 12．三 由复数的除法可得，再由复数的几何意义即可求解. 计算，故其共轭复数为， 对应的点为，显然位于第三象限． 故答案为：三. 13． 根据平均数和方差的公式求解即可. 由题意知，，， 所以，所以剩余的10个数的平均数为． 根据方差公式， 得，， 即，， 所以， 所以剩余的10个数的方差为． 故答案为：． 14． 应用正弦定理求，再由即可求塔高． 由题设， 由正弦定理知，即， 所以米． 故答案为：． 15．(1) (2) （1）根据样本空间的定义、古典概型概率计算公式即可求解； （2）依次算出,，根据古典概型概率计算公式即可求解. （1）样本空间为，设“骰子朝上的点数大于3”，则， 所以事件的概率为； （2）由题意，设“两个点数之和等于8”，“至少有一颗骰子的点数为5”， 则， ， 所以， 所以. 16．(1) (2) （1）由正弦定理边化角得，根据两角和的正弦公式、诱导公式，可得，根据角A的范围，即可得答案. （2）根据题意，可得，根据余弦定理，可得的值，代入面积公式，即可得答案. （1）由正弦定理边化角得， 所以， 因为，所以， 所以，又， 所以. （2）因为周长为，且，所以， 由余弦定理得， 所以，解得， 所以的面积. 17．(1) (2)平均数为69.5，第85百分位数为80． (3)． （1）根据各组频率之和为1即得； （2）根据平均数和中位数的计算公式即可求解； （3）根据分层抽样比，结合总体方差和平均数的计算公式即可求解. （1）由图可得，解之可得． （2）根据题意知， ，， 设第85百分位数为x，所以， ，解之可得， 故这100名学生的成绩平均数为69.5，第85百分位数为80． （3）设，中成绩的平均数、方差分别为，，，， 且两组的频率之比为， 则，中成绩的平均数为， 所以，中成绩的方差为 ， 则，中成绩的方差为． 18．(1)， (2) (3) （1）根据平面向量的加减法即可求解； （2）由得，利用平面向量数量积的运算律即可求解； （3）设，，又，利用数量积的定义得，利用二倍角公式化简得，令，利用二次函数即可求解. （1）由题意知，， ； （2）若，则， 所以， 可得， 即，所以． （3）设，， 因为， 所以 ， 令，则，， 因为，， 可得， 所以的取值范围是． 19．(1)证明见解析 (2) (3) （1）先证明，继而根据面面垂直的性质推出平面，可得，再结合线面以及面面垂直的判定定理，即可证明结论； （2）利用等体积法求出D到平面的距离，再根据线面角的定义即可额求得答案； （3）根据二面角定义作出二面角的平面角，解三角形求出相关线段长，即可推出二面角平面角的正切值的表达式，结合不等式知识，即可求得答案. （1）由，，，可知， 故； 又平面平面，平面平面，平面， 故平面，平面，故， 又，平面， 故平面，平面， 故平面平面； （2）由（1）知平面，平面， 故，而，底面是平行四边形， ，，故， ； 设点D到平面的距离为d， 由， 得, 解得， 设直线与平面所成角为，则，而， 故； （3）作于M，作于N，连接，      由于平面平面，平面平面， 平面，故平面，平面， 故，而，平面， 故平面，则即为二面角的平面角； 设，，则， ， 由于，可得， 又，则， 故在中，， 设，则 ， 由于，故，则， 即二面角的正切值的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $