专题2第八章整式乘法易错必刷题型专项训练 2025-2026学年苏科版七年级下册数学期末复习专项

**基本信息** 以19类易错题型为载体，构建从基础运算到公式应用再到综合拓展的递进式训练体系，突出运算能力与几何直观的结合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础运算|题型1-4（4类）|单项式/多项式乘法法则，(x+p)(x+q)规律总结|从单乘单到多乘多，逐步构建整式乘法运算体系| |公式应用|题型12-17（6类）|平方差/完全平方公式特征识别，公式变形求值技巧|结合几何图形验证公式，强化符号意识与推理能力| |几何与实际应用|题型7-8,11,13,16（5类）|图形面积转化，多项式乘法实际建模|通过几何直观理解代数运算，培养应用意识| |综合拓展|题型9-10,18-19（4类）|混合运算顺序，新定义问题转化|整合各类运算与方法，提升综合解题能力|

专题2 第八章整式乘法易错必刷题型专项训练 题型1 单项式乘单项式 题型11 多项式乘多项式的实际应用 题型2 单项式乘多项式 题型12 运用平方差公式进行运算 题型3 多项式乘多项式 题型13 平方差公式与几何图形 题型4（x+p）（x+q）型多项式乘法 题型14 运用完全平方公式进行运算 题型5 多项式乘多项式—化简求值 题型15 通过对完全平方公式变形求值 题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型16 完全平方公式在几何图形中的应用 题型7 多项式乘多项式与图形面积 题型17 求完全平方公式中的字母系数 题型8 多项式乘法中的规律问题 题型18 完全平方式在几何图形中的应用 题型9 整式乘法混合运算 题型19 整式的混合运算 题型10 多项式乘多项式的新定义问题 题型1 单项式乘单项式 1．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 2．计算：_______． 3．计算：； 4．计算：． 题型2 单项式乘多项式 5．计算：． 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 7．如图，在边长为的正方形中剪掉矩形，记阴影矩形的面积为，被剪掉的矩形的面积为，． (1)用表示； (2)若，求的值． 8．已知等式成立，求的值． 题型3 多项式乘多项式 9．在综合与实践课上，小明设计了如下的运算：，则经过运算可化简为（     ） A． B． C． D． 10．若，则m、n的值分别为（    ） A．5；6 B．5； C．1；6 D．1； 11．若，则的值为____． 12．化简：． 题型4（x+p）（x+q）型多项式乘法 13．化简：． 14．探究规律，并回答问题： (1)运用多项式乘法，计算下列各题： ①__________________； ②__________________； ③__________________； (2)若，则________，________； (3)根据此规律，直接写出以下结果： ①_________________； ②__________________； 15．已知．请用表示p． 16．先化简，再求值：，其中． 题型5 多项式乘多项式—化简求值 17．先化简，再求值：，其中x与y满足． 18．先化简，再求值：，其中． 19．先化简，再求值：，其中． 20．先化简，再求值：，其中． 题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值 21．若的展开式中不含x项，则a的值是（　 　） A． B． C．0 D．2 22．若的积中不含x的二次项和一次项，则_________． 23．已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 24．小华同学在计算后，爱思考的他发现：是项的系数，与通过计算后的结果对比，项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，项的系数为，用他发现的方法计算，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中项的系数是________； ②若，其中________． (2)若的积中不含项，求的值． (3)拓展应用：某超市计划购进，两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案，这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： 进价/（元/箱） 22 32 售价/（元/箱） 46 59 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱型号矿泉水，向社会福利机构捐款元，型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进型号矿泉水箱，超市获得的利润为元，用含，的式子表示，并求的值． 题型7 多项式乘多项式与图形面积 25．如图，有一块长为，宽为的长方形土地，规划部门计划在中间长方形部分修建一个喷泉广场，将其余部分都留出宽为的绿化带，则绿化带的面积为（     ） A． B． C． D． 26．现有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为__________． 27．如图，有一块长、宽的长方形地块．现计划在其中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪．（） (1)用含的代数式表示草坪的面积．（结果需化简） (2)已知草坪的单价为每平方米20元，当时，求购买草坪所需要的总费用． 28．为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形． (1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）． (2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）． 题型8 多项式乘法中的规律问题 29．我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（     ） A． B． C． D． 30．“杨辉三角”是中国古代数学无比睿智的成就之一（如图）．根据图中的规律，的展开式里含项的系数为______． 31．观察下列等式： ； ； ； … 利用你发现的规律解决下列问题： (1)计算：_________． (2)计算：_________； (3)利用（2）中结论，求的值． 32．阅读材料并解答下列问题：下面是关于杨辉三角的介绍． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有______项；写出的第三项的系数是______； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算（结果用乘方表示）：； ②猜想：的展开式中含项的系数是多少． (3)运用：若今天是星期六，那么再过天是星期几． 题型9 整式乘法混合运算 33．计算： (1) (2) 34．计算： (1)； (2)． 35．计算： (1)； (2)． 36．已知， (1)求； (2)若的值与的取值无关，当时，求A的值． 题型10 多项式乘多项式的新定义问题 37．定义：对于任意有理数a，b，c，d，规定一种运算，记作：． 例如：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 38．定义新运算：，，等式右边是通常的加法、乘法运算． (1)求的值； (2)化简：． 39．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，叫做2阶行列式，定义．若，求的值． 40．定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 题型11 多项式乘多项式的实际应用 41．如图，某小区有一块长、宽的长方形空地，物业规划了一块长方形草坪（阴影部分），草坪的三面都留有宽度为的小路（空白部分）． (1)求该长方形草坪（阴影部分）的面积（用含，的代数式表示）； (2)若，，种植草坪的价格为每平方米40元，那么种植草坪需要多少元？ 42．某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼（如图①），也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院（如图②），同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． 一组的同学们认为回字形福建土楼的占地面积更大；二组的同学们认为山西大院的占地面积更大； 为证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了测量，测量结果如图所示． (1)请用，分别表示这两个建筑物的占地面积；（结果化为最简） (2)若，，请判断哪个建筑物的占地面积更大？ 43．小厉、小琪在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，她们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①小厉认为图1中回字形福建土楼的占地面积（记为）更大； ②小琪认为图2中山西大院的占地面积（记为）更大． 【数据采集】 为了证明自己的想法是正确的，她们二人分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 【数据应用】 (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)若，则______（填“小厉”或“小琪”）的想法正确，并说明理由． 44．综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】如图1是2026年1月的月历，在月历中用如图2中所示的“型框”框住四个数． (1)用含的代数式表示__________；__________． (2)【拓展探究】探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． (3)【迁移运用】是否存在这样的型框，使得？若存在，求出这四个数；若不存在，说明理由． 题型12 运用平方差公式进行运算 45．下列整式的乘法，能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 46．已知，，则的值为________． 47．化简：． 48．先化简，再求值：，其中． 题型13 平方差公式与几何图形 49．小敏用纸片裁剪验证乘法公式，下图中不能验证“平方差公式”的是（     ） A． B． C． D． 50．图1是将边长为的正方形纸片裁剪掉边长为的正方形后的剩余纸片，将纸片沿虚线剪开拼成图2的形式．由此可以得到的等式为_____． 51．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） (1)如图，可以求出阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）． (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，比较左、右的阴影部分面积，可以得到公式________． (3)请应用这个公式完成下列各题： ①计算： ②计算： 52．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 题型14 运用完全平方公式进行运算 53．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 54．已知，，则_____． 55．化简：． 56．计算：． 题型15 通过对完全平方公式变形求值 57．已知，．则的值是（     ） A．22 B．19 C．16 D．10 58．已知，则______． 59．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流讨论后，总结如下解答方法：，因为，所以，从而得到代数式的最小值是4．请你根据上述方法解答下列各题． (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)将变形为的形式，并求出代数式的最小值； (3)代数式有最大值还是最小值？求出最值． 60．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是， ， 当时，的值最小，最小值是， 的最小值是． 请你根据上述方法，解答下列各题． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是______； (2)知识运用：若，当为何值时，有最值，并求出最值． (3)知识拓展：若，求的最小值． 题型16 完全平方公式在几何图形中的应用 61．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)直接写出图2中空白部分的面积________________； (2)观察图2，探究：，，三个式子之间存在怎样的关系？ (3)根据（2）中数量关系解决下列问题： ①若，，求的值；②若，求的值． 62．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系为 ； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片＿张，B 号卡片__张，C号卡片__张； (3)解答问题：若 ，则的值为_______； (4)两个正方形 如图3摆放，边长分别为x、y，若 ，则图中阴影部分的面积为_____． 63．根据以下素材，探索完成任务 探索“用代数思想解决图形问题” 素材1 我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题 素材2 琪琪用如图①所示的大小不同的正方形与长方形纸片拼成了一个如图②所示的正方形    问题解决 (1)数学思考：用不同的代数式表示图②中阴影部分的面积和，写出你能得到的等式，并用乘法公式说明这个等式成立； (2)解决问题：琪琪想到利用“数学思考”中得到的等式可以完成下面这道题目：如果满足，求的值．琪琪想：如果设，，那么要求的式子就可以写成了，请你按照琪琪的思路完成这道题目； (3)拓展应用：如图③，在长方形中，，，、是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，直接写出图中阴影部分的面积．    64．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要号纸片1张，号纸片2张，号纸片_____张； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 题型17 求完全平方公式中的字母系数 65．若是完全平方式，则m的值为（     ） A．4 B． C．8 D． 66．若能用完全平方公式因式分解，则k的值为______． 67．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定：． (1)填空：对于有理数x，y，k，若是一个完全平方式，则______． (2)对于有理数x，y，已知，，求的值． 68．规定一种新运算为：，例如：．根据此规定，解决下列问题： (1)__________； (2)若的结果是一个关于，的完全平方式，则的值为__________； (3)若，求的值． 题型18 完全平方式在几何图形中的应用 69．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ，，利用中的恒等式求的值． 70．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    71．如图，点D在长方形的边上，且四边形、四边形均为正方形，延长交于点M，设，的面积记为，四边形的面积记为，长方形的面积记为．    (1)用a、b的代数式表示和； (2)若，求的值； (3)若，求的长． 72．已知8张长为，宽为的小长方形纸片，按下图方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形，左上角阴影为长方形．设六边形与长方形面积的差为，设． (1)用的代数式表示； (2)当的长度变化时，如果始终保持不变，则应满足的关系是什么？ (3)在（2）的结论成立的情况下，用10张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片（是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的的值． 题型19 整式的混合运算 73．计算： (1) (2) (3) (4) 74．计算： (1) (2) 75．先化简，再求值：，其中，． 76．先化简，再求值：，其中，满足， 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2 第八章整式乘法易错必刷题型专项训练 题型1 单项式乘单项式 题型11 多项式乘多项式的实际应用 题型2 单项式乘多项式 题型12 运用平方差公式进行运算 题型3 多项式乘多项式 题型13 平方差公式与几何图形 题型4（x+p）（x+q）型多项式乘法 题型14 运用完全平方公式进行运算 题型5 多项式乘多项式—化简求值 题型15 通过对完全平方公式变形求值 题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型16 完全平方公式在几何图形中的应用 题型7 多项式乘多项式与图形面积 题型17 求完全平方公式中的字母系数 题型8 多项式乘法中的规律问题 题型18 完全平方式在几何图形中的应用 题型9 整式乘法混合运算 题型19 整式的混合运算 题型10 多项式乘多项式的新定义问题 题型1 单项式乘单项式 1．计算的结果是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．计算：_______． 【答案】 【详解】解：． 3．计算：； 【答案】 【分析】先进行积的乘方运算，再进行单项式的乘法运算即可解答． 【详解】解：原式 ． 4．计算：． 【答案】． 【详解】解： ． 题型2 单项式乘多项式 5．计算：． 【答案】 【分析】先计算积的乘方，再计算单项式乘以多项式即可. 【详解】解：原式 . 6．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查单项式乘多项式的计算，用到单项式乘多项式法则，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，结合同底数幂的乘法法则计算即可得到结果． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 7．如图，在边长为的正方形中剪掉矩形，记阴影矩形的面积为，被剪掉的矩形的面积为，． (1)用表示； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质可知，因为，所以，根据矩形的面积公式可得：； （2）根据矩形的面积公式可得，根据，可得：，从而可求． 【详解】（1）解：四边形为正方形，，， ， ； （2）解：， ， ． 8．已知等式成立，求的值． 【答案】2 【分析】先将等式转化为，则问题转化为恒成立，即且且，即可解得、、，进而可得答案． 【详解】解：， ∵恒成立， ∴恒成立， 即：恒成立， ∴，，， 解得：，，， ∴ ． 题型3 多项式乘多项式 9．在综合与实践课上，小明设计了如下的运算：，则经过运算可化简为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据新定义代入对应数值，再按照多项式乘多项式法则计算化简即可得到结果． 【详解】解： ． 10．若，则m、n的值分别为（    ） A．5；6 B．5； C．1；6 D．1； 【答案】D 【分析】将等式左边展开，根据多项式相等时对应项系数相等，即可求出m，n的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 11．若，则的值为____． 【答案】 【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则计算，将关于x的一次项合并，进而得出的值． 【详解】解：， ， ∴， ． 12．化简：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据多项式乘多项式、单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 题型4（x+p）（x+q）型多项式乘法 13．化简：． 【答案】 【详解】解： ． 14．探究规律，并回答问题： (1)运用多项式乘法，计算下列各题： ①__________________； ②__________________； ③__________________； (2)若，则________，________； (3)根据此规律，直接写出以下结果： ①_________________； ②__________________； 【答案】(1)；；； (2)， (3)； 【分析】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （1）①根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可；②根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可；③根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可； （2）根据多项式与多项式相乘的运算法则计算即可； （3）①利用规律求解；②利用规律求解． 【详解】（1）解：①； ②； ③； 故答案为：；；； （2）解：若，则，； 故答案为：，； （3）解：①； ②． 故答案为：；． 15．已知．请用表示p． 【答案】 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键；先把等式右边进行化简，然后对比等式两边的系数，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， 即． 16．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先计算整式的乘法，再合并同类项，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 题型5 多项式乘多项式—化简求值 17．先化简，再求值：，其中x与y满足． 【答案】 ， 【分析】先计算多项式乘以多项式，再计算整式的加减，然后根据偶次方和绝对值的非负性可得，的值，代入计算即可． 【详解】解：原式 ， ∵，且， ∴， ∴， ∴原式． 18．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 ， 当时 原式． 19．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【详解】解： ， ∵， ∴， 原式． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ； 【分析】先根据多项式乘多项式、单项式乘多项式的法则展开原式，再合并同类项化简，最后代入计算求值即可． 【详解】解： ， 当时 ，原式 ． 题型6 已知多项式乘积不含某项求字母的值 21．若的展开式中不含x项，则a的值是（　 　） A． B． C．0 D．2 【答案】D 【分析】先根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，由展开式不含项，可得项的系数为，据此求解的值即可． 【详解】解： ； ∵展开式中不含项， ∴项的系数等于，即， 解得． 22．若的积中不含x的二次项和一次项，则_________． 【答案】 【分析】根据多项式乘多项式法则展开原式，合并同类项后，由积不含x的二次项和一次项，可得对应项的系数为0，求出与的值，再计算ab即可． 【详解】解： ， ∵ 积中不含x的二次项和一次项， ∴ 二次项和一次项的系数都为0，可得 ，解得 ， ∴． 23．已知的乘积中不含项和项． (1)求、的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1)， (2)2 【分析】（1）先化简，得到，根据的乘积中不含项和项，得到，求出，即可解答； （2）先根据同底数幂的乘法的逆运算与积的乘方的逆运算化简，再代值求解即可． 【详解】（1）解： ， ∵的乘积中不含项和项， ∴， 解得， ∴的值为，的值为2． （2）解：∵， ∴． 24．小华同学在计算后，爱思考的他发现：是项的系数，与通过计算后的结果对比，项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，项的系数为，用他发现的方法计算，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中项的系数是________； ②若，其中________． (2)若的积中不含项，求的值． (3)拓展应用：某超市计划购进，两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案，这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： 进价/（元/箱） 22 32 售价/（元/箱） 46 59 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱型号矿泉水，向社会福利机构捐款元，型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进型号矿泉水箱，超市获得的利润为元，用含，的式子表示，并求的值． 【答案】(1)①；②4052 (2) (3)；， 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． （1）①由题干中计算方法即可得解；②由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （2）由题干中计算方法即可得解； （3）根据题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 【详解】（1）解：①的系数：； ②的展开式中，的系数 ∵是由2026个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2026个2的和， ∴. （2）解：的系数为： 不含项则， ∴． （3）解：购进型箱，型箱，利润： 整理得： 因利润与无关，故， ∴， 题型7 多项式乘多项式与图形面积 25．如图，有一块长为，宽为的长方形土地，规划部门计划在中间长方形部分修建一个喷泉广场，将其余部分都留出宽为的绿化带，则绿化带的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由大的长方形的面积减去喷泉广场的面积列式计算即可. 【详解】解：根据题意，绿化带的面积为 . 26．现有边长分别为a和的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类长方形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的长方形，则需要C类纸片的张数为__________． 【答案】19 【分析】根据一张A类正方形的面积为，一张B类正方形的面积为，一张C类长方形的面积为，计算出长为、宽为的长方形的面积，确定面积中的系数即可 【详解】解：根据题意，得一张A类正方形的面积为，一张B类正方形的面积为，一张C类长方形的面积为， 且， 故需要19张C类纸片 27．如图，有一块长、宽的长方形地块．现计划在其中间修筑一个长、宽的长方形塑像基台（空白部分），其余部分（阴影部分）铺上草坪．（） (1)用含的代数式表示草坪的面积．（结果需化简） (2)已知草坪的单价为每平方米20元，当时，求购买草坪所需要的总费用． 【答案】(1) (2)12500元 【分析】（1）根据长方形面积公式求出长方形地块和塑像的面积，再通过两者面积的关系求出草坪的面积， （2）将a、b的值代入草坪面积的表达式中求出具体数值即可． 【详解】（1）解： ， 答：草坪面积为； （2）解：当，时， ， （元） 答：购买草坪所需要的总费用为12500元． 28．为响应儿童友好空间建设的号召，某市政公园规划出一片长为，宽为的长方形区域，用来打造儿童活动区域．如图，该区域划分为三个功能区，分别是游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区，其中、游戏娱乐区和文化体验区均为长方形，绿化休息区为边长为的正方形． (1)分别求出游戏娱乐区、文化体验区、绿化休息区这三个区域的面积（用含的式子表示）． (2)该公园计划对这片儿童活动区域的地面进行处理，为游戏娱乐区和文化体验区铺设塑胶地面，造价为每平方米元；为绿化休息区铺设草坪，造价为每平方米元．求处理这片儿童活动区域的地面所需的费用（用含的式子表示）． 【答案】(1)游戏娱乐区的面积；文化体验区的面积；绿化休息区的面积 (2)元 【分析】（1）根据题干中的图形列式计算即可； （2）结合（1）中所求结果列式计算即可． 【详解】（1）解：游戏娱乐区的面积 ． 文化体验区的面积 ． 绿化休息区的面积． （2）解：处理这片儿童活动区域的地面所需的费用 元． 题型8 多项式乘法中的规律问题 29．我国宋代数学家杨辉发现了展开式系数的规律： 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 展开式系数和为 以上系数三角表称为“杨辉三角”，根据上述规律，展开式的系数和是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过归纳已知式子的系数和，得到通用规律，再代入计算即可. 【详解】解：由题意得 当时，展开式系数和为. 当时，展开式系数和为. 当时，展开式系数和为. 当时，展开式系数和为. …… 归纳可得，展开式的系数和为. 当时，系数和为． 30．“杨辉三角”是中国古代数学无比睿智的成就之一（如图）．根据图中的规律，的展开式里含项的系数为______． 【答案】 【分析】根据所给前几个展开式的规律得到的展开式，进而可得答案． 【详解】解：根据图中规律，得， ∴的展开式里含项的系数为4． 31．观察下列等式： ； ； ； … 利用你发现的规律解决下列问题： (1)计算：_________． (2)计算：_________； (3)利用（2）中结论，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干提示的信息总结归纳可得答案； （2）根据题干提示的信息总结归纳可得答案； （3）利用（2）中的规律进行变形，再计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵； ； ； … ∴； （3）解： ． 32．阅读材料并解答下列问题：下面是关于杨辉三角的介绍． 如果将（为非负整数）的展开式的每一项按字母的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式： ，它只有一项，系数为1； ，它有两项，系数分别为1，1； ，它有三项，系数分别为1，2，1； ，它有四项，系数分别为1，3，3，1； 将上述每个式子的各项系数排成该表． 观察该表，可以发现每一行的首末都是1，并且下一行的数比上一行多1个，中间各数都写在上一行两数的中间，且等于它们的和．按照这个规律可以将这个表继续往下写． (1)判断的展开式共有______项；写出的第三项的系数是______； (2)结合杨辉三角解决以下问题： ①计算（结果用乘方表示）：； ②猜想：的展开式中含项的系数是多少． (3)运用：若今天是星期六，那么再过天是星期几． 【答案】(1)六，15 (2)①；② (3)日 【分析】（1）通过观察，可知展开式有五项，分别写出和展开式的系数，从而得到展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1，从而得到答案； （2）①通过观察可知，，从而得出答案；②写出的展开项，从而算得的系数； （3），其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除，求出其展开式的最后一项为，往后数一天即可． 【详解】（1）解：根据题意，可知展开式有五项，系数分别是1，4，6，4，1， 展开式有六项，系数分别是1，5，10，10，5，1， 展开式有七项，系数分别是1，6，15，20，15，6，1， 故的第三项的系数是15； （2）解：①根据杨辉三角规律：的展开式系数为， 即：， 代入， ∴； ②，理由如下： 展开后共项， 第一项是： 第二项是： 第三项是： 第四项是： 故的展开式中含项的系数是； （3）解：，其展开式除最后一项外，均含有因数，都能被整除， 其展开式的最后一项为 从星期六往后数天是星期日． 题型9 整式乘法混合运算 33．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 34．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 35．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 36．已知， (1)求； (2)若的值与的取值无关，当时，求A的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据整式乘法运算法则进行计算即可； （2）的值与x的取值无关，得出，最后将代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ； （2）解：的值与x的取值无关， ， ， 当时，． 题型10 多项式乘多项式的新定义问题 37．定义：对于任意有理数a，b，c，d，规定一种运算，记作：． 例如：． (1)求的值； (2)若，求x的值． 【答案】(1)7 (2) 【分析】（1）直接根据新定义计算即可； （2）根据新定义得出方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：由得：， 化简得：， 解得：． 38．定义新运算：，，等式右边是通常的加法、乘法运算． (1)求的值； (2)化简：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的运算以及整式的乘法运算： （1）根据有理数的运算法则计算即可； （2）根据整式乘法的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式 ． 39．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，叫做2阶行列式，定义．若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，关键是先根据二阶行列式的定义将所求行列式转化为整式的减法运算，再利用多项式乘多项式法则和平方差公式展开并化简，最后代入的值计算． 【详解】解：根据二阶行列式的定义， ， 当时，原式． 40．定义：一个含有两个字母的代数式中，若交换它们的位置，当这两个字母的取值不相等，且都不为0时，代数式的值变为原来的相反数，这样的式子叫做反对称式． 例如：代数式中两个字母交换位置，可得到代数式，当，且都不为0时，因为，所以是反对称式． 根据上述定义，解答下列问题： (1)下列代数式中是反对称式的有________（填序号）； ①            ②        ③        ④ (2)若关于m，n的代数式为反对称式，求k的值； (3)若关于m，n的代数式（m，n均为（均为奇偶性不同的正整数）为反对称式，直接写出的值． 【答案】(1)②④ (2)2 (3) 【分析】本题考查了整式加减法的应用，解题关键是理解反对称式的定义． （1）根据反对称式的定义，交换字母位置后值变为相反数，判断各代数式是否满足条件． （2）将代数式化简后，根据反对称式的定义，交换m和n后令其值等于原式的相反数，解方程求k． （3）由反对称式的定义可得：代数式中两个字母交换位置后两个代数式的和为0，可得，进而可得，，由此得出m和n奇偶性不同，，结合两者条件得到的值． 【详解】（1）解：①交换和后，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ②交换和后，，是相反数，故是反对称式． ③交换和后，(n-m)²=(m-n)²，值不变，不是相反数，故不是反对称式． ④交换和后，（因为2025是奇数），是相反数，故是反对称式． 故答案为②④． （2）∵， ∴ 交换m和n得， 由反对称式的定义可得： ． 整理得： ， 由于且不一定为0， 故， 解得． （3）交换m和n后可得． 由反对称式的定义可得： ， 又∵，， ∴ ∴， 因此，当且和奇偶性不同时，整个代数式为反对称式． 此时，由于和奇偶性不同，为奇数， 故． 题型11 多项式乘多项式的实际应用 41．如图，某小区有一块长、宽的长方形空地，物业规划了一块长方形草坪（阴影部分），草坪的三面都留有宽度为的小路（空白部分）． (1)求该长方形草坪（阴影部分）的面积（用含，的代数式表示）； (2)若，，种植草坪的价格为每平方米40元，那么种植草坪需要多少元？ 【答案】(1) (2)10920元 【分析】（1）根据长方形的面积公式并结合多项式乘以多项式的运算法则计算即可得出结果； （2）将，代入（1）中所求的代数值，再结合种植草坪的价格为每平方米40元，计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ． 答：该长方形草坪的面积为． （2）解：当，时，， （元）， 答：种植草坪需要10920元． 42．某校同学在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼（如图①），也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院（如图②），同学们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． 一组的同学们认为回字形福建土楼的占地面积更大；二组的同学们认为山西大院的占地面积更大； 为证明自己的想法是正确的，两组同学分别对建筑物进行了测量，测量结果如图所示． (1)请用，分别表示这两个建筑物的占地面积；（结果化为最简） (2)若，，请判断哪个建筑物的占地面积更大？ 【答案】(1)回字形福建土楼的占地面积为，山西大院的占地面积为 (2)山西大院的占地面积更大 【分析】（1）根据图形特点，根据长方形面积公式，利用多项式乘以多项式运算法则求解； （2）根据，，分别求两个代数式的值，比较值的大小，判断哪个建筑物的占地面积更大即可． 【详解】（1）解：根据题意得：回字形福建土楼面积为： ； 山西大院的占地面积为： ． （2）解：当，时， 回字形福建土楼的占地面积； 山西大院的占地面积， 而， 故山西大院的占地面积更大． 43．小厉、小琪在社会实践的过程中，遇到了一些各具特色的建筑，有在世界遗产大会上被正式列入《世界遗产名录》的福建土楼，也有被誉为中国民居建筑典范的山西大院，她们对于哪个建筑的占地面积（图中阴影）更大展开了讨论． ①小厉认为图1中回字形福建土楼的占地面积（记为）更大； ②小琪认为图2中山西大院的占地面积（记为）更大． 【数据采集】 为了证明自己的想法是正确的，她们二人分别对建筑物进行了数据测量，数据如图所示． 【数据应用】 (1)请分别计算这两个建筑物的占地面积； (2)若，则______（填“小厉”或“小琪”）的想法正确，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)小厉，理由见解析 【分析】（1）根据阴影部分面积大长方形的面积小长方形的面积，分别表示出、，利用整式的混合运算法则化简即可； （2）计算并化简得出最简结果，根据即可求解． 【详解】（1）解： ； ． （2）解：小厉的想法正确，理由如下： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴小厉的想法正确． 44．综合与实践：月历中的奥秘 【提出问题】月历上的数每行、每列之间都存在一定的规律，那这些数字经过运算得到的结果是否也存在规律呢？ 【初步探究】如图1是2026年1月的月历，在月历中用如图2中所示的“型框”框住四个数． (1)用含的代数式表示__________；__________． (2)【拓展探究】探究的值的规律，写出你发现的结论，并说明理由． (3)【迁移运用】是否存在这样的型框，使得？若存在，求出这四个数；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) ， 理由如下： ∵， ∴； (3) 不存在， 理由： 假设存在， ∵，， ∴， ∴， ∵b、c是正整数， ∴， ∴不符合题意， ∴不存在． 【分析】（1）根据所给“Z型框”的特征，用含a的代数式分别表示出b和d即可； （2）根据题意，用a分别表示出其余字母，再据此进行计算即可； （3）结合（2）中可求出，然后根据b、c是正整数即可判断． 【详解】（1）解：由题意得：，； （2）略 （3）略 题型12 运用平方差公式进行运算 45．下列整式的乘法，能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平方差公式为，即两个二项式相乘需满足“一项完全相同，另一项互为相反数”，据此逐一判断选项即可． 【详解】∵平方差公式要求两个相乘的二项式满足：有一项完全相同，另一项互为相反数．对选项逐一判断： A选项、，相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，能用平方差公式计算，符合题意； B选项、，不存在完全相同的项，不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式计算，不符合题意； C选项、两个因式完全相同，不存在互为相反数的项，不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式计算，不符合题意； D选项、，不存在完全相同的项，不符合平方差公式的结构，不能用平方差公式计算，不符合题意． 选A． 46．已知，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题利用平方差公式对进行因式分解，代入已知条件即可求出的值． 【详解】解：∵， 将，代入上式得：， ∴ ． 47．化简：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 48．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】利用多项式乘法、平方差公式和完全平方公式展开原式，合并同类项化简后，代入的值计算结果． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 题型13 平方差公式与几何图形 49．小敏用纸片裁剪验证乘法公式，下图中不能验证“平方差公式”的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算裁剪前后阴影部分的面积，是否符合平方差公式即可． 【详解】解：．将阴影部分沿着虚线裁剪，可以拼成右侧的平行四边形， 阴影部分面积可以看作两个正方形的面积差，即，所拼成的是底为，高为的平行四边形，因此面积为，所以有，能验证，故该选项不符合题意； ．左图阴影面积为，右图拼成的长方形长为，宽为，面积为，能验证 ，故该选项不符合题意； ．原图阴影部分面积为，拼后新图是平行四边形，其中底为，底边上高为，则阴影部分面积为，则有，能验证，故该选项不符合题意； ．左边阴影图形的面积为，右边长方形的面积为，不能够验证平方差公式，符合题意． 50．图1是将边长为的正方形纸片裁剪掉边长为的正方形后的剩余纸片，将纸片沿虚线剪开拼成图2的形式．由此可以得到的等式为_____． 【答案】 【分析】理解题意，由大正方形的面积小正方形的面积图2的图形的面积，进而可以证明平方差公式． 【详解】解：依题意，图1的图形的面积=大正方形的面积小正方形的面积， 图2的图形的面积， 故． 51．如图，边长为的大正方形有一个边长为的小正方形，把图中的阴影部分拼成一个长方形（如图所示） (1)如图，可以求出阴影部分的面积是________（写成平方差的形式）． (2)如图，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，比较左、右的阴影部分面积，可以得到公式________． (3)请应用这个公式完成下列各题： ①计算： ②计算： 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）用大正方形的面积减去小正方形的面积，即可得解； （2）根据图形，即可得到长方形的长和宽，利用长乘宽就可得到长方形的面积，根据阴影面积相等，列出等式即可； （3）①利用公式进行计算即可； ②利用（2）中公式，逐项展开，进行计算即可． 【详解】（1）解：阴影部分的面积是：； （2）解：由图可知：长方形的宽为，长为，面积为； 由题意，得：； （3）解：①由，可知： ②原式 ． 52．图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 【答案】(1) (2)需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张 (3)64 【分析】（1）根据等积法，列出等式即可； （2）将利用多项式乘以多项式的法则展开，即可得出结果； （3）设，根据题意易得，，再根据完全平方公式和平方差公式进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积， 故； （2）解：， 由图2可知，的面积为，的面积为，的面积为， 故需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张； （3）解：设，不妨设，将图形补成边长为的大正方形，如图： 由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴两个正方形的面积之差为. 题型14 运用完全平方公式进行运算 53．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项，积的乘方，去括号法则，完全平方公式逐项判断即可． 【详解】解：A、，本选项计算错误； B、，本选项计算错误； C、，本选项计算正确； D、，本选项计算错误． 54．已知，，则_____． 【答案】3 【详解】解：∵，， ∴ ∴ ∴． 55．化简：． 【答案】 【详解】解： 56．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查完全平方公式和整式的乘法，按照完全平方公式和整式乘法的公式和运算规则计算即可． 【详解】解：原式． 题型15 通过对完全平方公式变形求值 57．已知，．则的值是（     ） A．22 B．19 C．16 D．10 【答案】A 【分析】利用完全平方公式，将所求的用已知的和表示，代入数值计算即可． 【详解】∵由完全平方公式可得 ∴变形得 ， 将，代入得， ． 58．已知，则______． 【答案】 【分析】设，，得，，根据完全平方公式变形得： 代入计算即可． 【详解】解：设，， ∴， 又∵， ∴，即， ∴． 59．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流讨论后，总结如下解答方法：，因为，所以，从而得到代数式的最小值是4．请你根据上述方法解答下列各题． (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)将变形为的形式，并求出代数式的最小值； (3)代数式有最大值还是最小值？求出最值． 【答案】(1) (2)变形为，最小值是 (3)有最大值，最大值为 【分析】（1）根据完全平方公式的结构确定常数项； （2）通过配方得到指定形式，再根据平方非负性求最小值； （3）配方后根据二次项系数为负判断最值类型，再求出最值． 【详解】（1）解：对于，根据完全平方公式，一次项系数为，一半的平方为， 因此应添的常数项为； （2）解：对配方：， ， ， 因此的最小值为； （3）解：对配方： ， ， ， ， 因此代数式有最大值，最大值为． 60．上数学课时，王老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解： ， 当时，的值最小，最小值是， ， 当时，的值最小，最小值是， 的最小值是． 请你根据上述方法，解答下列各题． (1)知识再现：当______时，代数式的最小值是______； (2)知识运用：若，当为何值时，有最值，并求出最值． (3)知识拓展：若，求的最小值． 【答案】(1)； (2)当时，有最大值，最大值是 (3)的最小值是 【分析】（1）仿照例题先变形代数式为一个完全平方式加一个数的形式，再根据非负数的性质求解即可； （2）仿照例题先变形代数式为一个完全平方式加一个数的形式，再根据非负数的性质求解即可； （3）先将已知式子变形得到，然后得到，再变形式子为一个完全平方式加一个数的形式，然后根据非负数的性质求解即可． 【详解】（1）解：， ， 当时，的值最小，最小值是， ， 当时，的最小值是； （2）解：， ， 当时，的值最小，最小值是， 当时，的值最大，最大值是， ， 当时，有最大值，最大值是； （3）解：， ， ， ， 当时，的值最小，最小值是， ， 当时，的最小值是． 题型16 完全平方公式在几何图形中的应用 61．如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均匀分成四块小长方形，然后按图2形状拼成一个正方形． (1)直接写出图2中空白部分的面积________________； (2)观察图2，探究：，，三个式子之间存在怎样的关系？ (3)根据（2）中数量关系解决下列问题： ①若，，求的值；②若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；②29 【分析】（1）由拼图可知：图2中空白部分是正方形，且边长为，由此可得出图2中空白部分的面积； （2）根据图2中大正方形的面积为，空白部分正方形的面积为，“图2中大正方形的面积 空白部分正方形的面积图1中矩形的面积”即可得出答案； （3）①由（2）可知，将，代入得，然后根据平方根的意义即可得出的值； ②由（2）可知，将代入得，即可解答． 【详解】（1）解：由拼图可知：图2中空白部分是正方形，且边长为：， ∴图2中空白部分的面积为：； （2）解：∵图2中大正方形的边长为：， ∴图2中大正方形的面积为：， 又∵图2中空白部分是正方形，且边长为：， ∴图2中空白部分正方形的面积为：， 由拼图可知：图2中大正方形的面积 空白部分正方形的面积图1中矩形的面积， ∴， ∴，，三个式子之间存在的关系是：； （3）解：①由（2）可知：， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②由（2）可知：， ∵， ∴， ∴． 62．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片（其中A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是边长分别为a、b的长方形），并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：之间的等量关系为 ； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要A号卡片＿张，B 号卡片__张，C号卡片__张； (3)解答问题：若 ，则的值为_______； (4)两个正方形 如图3摆放，边长分别为x、y，若 ，则图中阴影部分的面积为_____． 【答案】(1) (2)2，3，7 (3) (4) 【分析】（1）用两种方法表示出大正方形的面积， 即可得出三者的关系； （2）计算 ，再根据三个纸片的面积可求解； （3）根据计算求解即可； （4）根据三角形面积公式得到阴影部分的面积和为进行求解，即可解题． 【详解】（1）解：由图2知，大正方形的面积为，又可以为， ， （2）解： ， ∵A种纸片的面积为，B种纸片的面积为，C种纸片的面积为， ∴需A种纸片2张，B种纸片3张，C种纸片7张. （3）解：∵， ． ∴． （4）解：∵ ，正方形 的边长分别为x、y， ∴阴影部分的面积和为： ． 63．根据以下素材，探索完成任务 探索“用代数思想解决图形问题” 素材1 我们知道，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表现一些代数中的数量关系，而运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题 素材2 琪琪用如图①所示的大小不同的正方形与长方形纸片拼成了一个如图②所示的正方形    问题解决 (1)数学思考：用不同的代数式表示图②中阴影部分的面积和，写出你能得到的等式，并用乘法公式说明这个等式成立； (2)解决问题：琪琪想到利用“数学思考”中得到的等式可以完成下面这道题目：如果满足，求的值．琪琪想：如果设，，那么要求的式子就可以写成了，请你按照琪琪的思路完成这道题目； (3)拓展应用：如图③，在长方形中，，，、是，上的点，且，分别以，为边在长方形外侧作正方形，两个正方形的面积分别为和，且，直接写出图中阴影部分的面积．    【答案】(1)由题意得，． 右边， 左边， ∴右边＝左边， ∴． (2)解：设，，则， ∵， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）根据题意得出，利用完全平方公式证明右边＝左边即可； （2）利用完全平方公式，结合（1）中结论即可得出答案； （3）根据四边形是长方形得出，，设，，得出，，利用完全平方公式得出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∵长方形中，，， ∴， ∵， ∴，， ∵两个正方形的面积分别为和，且， ∴， 设，， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∴阴影部分的面积为． 64．数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形，并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系； (2)若要拼出一个面积为的长方形，则需要号纸片1张，号纸片2张，号纸片_____张； (3)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： ①已知，，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）利用图中大正方形的面积写出完全平方公式； （2）号纸片的数量展开后的系数； （3）①由即可求解的值； ②采用换元法，令，则，，由，计算出的值，即的值． 【详解】（1）解：由图中大正方形的面积可得，； （2）解：∵， ∴需要3张号纸片； （3）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②令，则，， ∵， ∴， ∴，即． 题型17 求完全平方公式中的字母系数 65．若是完全平方式，则m的值为（     ） A．4 B． C．8 D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的形式即可求出的值． 【详解】解：∵是完全平方式，可改写为． 根据完全平方公式， 令，． ∴ ． 比较系数得． 66．若能用完全平方公式因式分解，则k的值为______． 【答案】或 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，即可求出的值． 【详解】解：能用完全平方公式因式分解，，， 根据完全平方公式的结构特征可得， 解得或． 67．对于任意有理数a，b，c，d，我们规定：． (1)填空：对于有理数x，y，k，若是一个完全平方式，则______． (2)对于有理数x，y，已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由新定义可得，再根据完全平方公式确定k的值即可； （2）由新定义可得，再运用完全平方公式可得，然后将整体代入计算即可． 【详解】（1）解： 是一个完全平方式， ∴， ∴，解得：． （2）解： ∵ ∴ ∴，即，解得：． 68．规定一种新运算为：，例如：．根据此规定，解决下列问题： (1)__________； (2)若的结果是一个关于，的完全平方式，则的值为__________； (3)若，求的值． 【答案】(1)8 (2) (3)0 【分析】 （1）根据定义可得，据此求解即可； （2）根据定义可得，根据完全平方式的特点确定一次项即可得到答案； （3）由，可以得到，则可推出，据此可得答案． 【详解】（1） 解：由题意得，； （2） 解：由题意得，， ∵的结果是一个关于，的完全平方式， ∴一次项为， ∴； （3） 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型18 完全平方式在几何图形中的应用 69．通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． (1)请利用图①所得的恒等式解决如下问题：若，，求的值； (2)正方形、正方形如图②所示方式摆放，边长分别为，．若，，请直接写出图中阴影部分的面积； (3)类似的，用两种不同的方法计算同一个几何体的体积，也可以得到一个恒等式．图③是由个正方体和个长方体拼成的一个大正方体，请写出一个恒等式； (4)已知 ，，利用中的恒等式求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查完全平方公式和立方公式，熟练掌握数形结合是解题的关键； （1）根据图形的面积即可求解； （2）根据四边形和都是正方形，设，，根据，即可求解； （3）根据题意可得，正方形体积表示为或，即可求解； （4）根据，，结合即可求解； 【详解】（1）由图可知，大正方形面积为或， ， ， （2）由图可知，∵四边形和都是正方形， ， ， ，又， ， ， ， ， 即阴影部分的面积为 （3）由图得，正方形体积表示为， 也可以表示为， ， 即 （4），， 由得， ， 70．定义：对于任意四个有理数a、b、c、d，定义一种新运算：． (1) ； (2) ；若是完全平方式，则 ； (3)若有理数m、n满足，且． ① 求的值； ② 如图，四边形是长方形，点E、F、G、H分别在边上，连接交于点P，且将长方形分割成四个小长方形，若，，，，在①的条件下，求图中阴影部分的面积．    【答案】(1)11 (2)； (3)①2；② 【分析】本题考查了新定义，完全平方公式的变形求解，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据计算即可； （2）根据计算，再根据完全平方式的特征求解即可； （3）①根据得出，再结合即可求出； ②根据图象可得，化简后代入，即可求解； 【详解】（1）解：； （2）解：； 若是完全平方式，则； （3）解：①∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②由题意可知： ， 将，代入可得，原式． 71．如图，点D在长方形的边上，且四边形、四边形均为正方形，延长交于点M，设，的面积记为，四边形的面积记为，长方形的面积记为．    (1)用a、b的代数式表示和； (2)若，求的值； (3)若，求的长． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了长方形面积公式、三角形面积公式，多项式的乘法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握相关公式是解题关键． （1）由题意可知，，，利用三角形和长方形的面积求解即可表示出和； （2）先求得，再将代入即可求出的值； （3）根据题意可知，，，再利用完全平方公式，求出的值，即可求出的长． 【详解】（1）解：点在长方形的边上，四边形和四边形为正方形，且，， ，， ， ； （2）解：，， ， ， ， ； （3）解：，， ，， ， ， ， ． 72．已知8张长为，宽为的小长方形纸片，按下图方式不重叠地放在矩形内，未被覆盖的部分分别用两个阴影表示．其中右下角阴影为六边形，左上角阴影为长方形．设六边形与长方形面积的差为，设． (1)用的代数式表示； (2)当的长度变化时，如果始终保持不变，则应满足的关系是什么？ (3)在（2）的结论成立的情况下，用10张长为，宽为的矩形纸片，再加上张边长为的正方形纸片，张边长为的正方形纸片（是正整数），拼成一个大的正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则当大正方形面积最小时，求拼成的大的正方形的边长为多少（用含的代数式表示）？并求出此时的的值． 【答案】(1) (2) (3)时，大正方形面积最小，此时边长为 【分析】本题考查列代数式、整式的混合运算以及几何应用、算术平方根，理解题意，正确列出代数式，以及能得出是完全平方数是解答的关键． （1）先用、、分别表示出阴影部分的长和宽，进而分别表示出阴影的面积，然后作差求解即可； （2）根据差与无关可知代数式的值与无关，即可求出、的关系； （3）根据题意可得出拼得的正方形的面积为，根据正方形的面积可知，是完全平方数，结合为正整数即可得出答案． 【详解】（1）解：记长方形的面积为，六边形的面积为， 则，，，， ，， ∴， ， ∴ ， 即：； （2）由（1）可知，， 当的长度变化时，要使得始终保持不变，即上面代数式的值与无关， ∴，即、满足的关系是：． （3）拼成的大正方形的面积为：10张边长为，宽为的矩形的面积张边长为的正方形的面积张边长为的正方形的面积， ∴拼成的大正方形的面积为：， ∵， ∴， ∵是边长的平方， ∴是完全平方数，而为正整数， 当时，， 当取更大的完全平方数时，正方形的面积也变大， 故时，大正方形面积最小，此时面积为，则边长为． 题型19 整式的混合运算 73．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 74．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 75．先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 76．先化简，再求值：，其中，满足， 【答案】； 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $