精品解析：江苏无锡市2025-2026学年高二下学期调研考试数学试题

高二期终调研考试 数学 2026.06 注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 某电商平台的消费者中，男性用户占，其对某商品的好评率为；女性用户占，其对该商品的好评率为．若随机选择一名用户，则该用户对该商品给予好评的概率为（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 袋子中有5个大小质地均相同的球，其中2个红球、3个白球，依次不放回地取球，每次取1个球．则在第一次取得白球的条件下，第二次取得红球的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 可得到的回归方程为,则（ ） A. B. C. D. 6. 往一个圆锥形漏斗中匀速注水，水面半径r与水面高度h始终满足（单位：），漏斗内水的体积．当水面高度为时，体积关于高度的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 7. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ） A. 120 B. 60 C. 40 D. 30 8. 设是两个随机事件，且，，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数a、b满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为8 D. 的最大值为 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，为的导数，则（ ） A. 任意实数，一定存在极大值和极小值 B. 存在实数，使得在区间上单调递增 C. 任意实数，曲线一定存在与直线平行的切线 D. 存在实数，使得函数有唯一零点 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，，则实数______． 13. 曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______． 14. 有6张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取3次，每次取1张卡片．记X为取出的三张卡片上数字为奇数的张数，则X的数学期望______；若记m为前两次取出的卡片上数字的平均值，n为第三次取出的卡片上的数字，则的概率为______． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设关于的不等式解集为A． （1）若，求实数的值； （2）若，且，求实数的取值范围． 16. 已知函数． （1）当时，求在区间上的最大值； （2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 17. 某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，甲车间的产量占总产量的，乙车间的产量占总产量的．现按车间采用分层抽样的方法从该厂生产的产品中抽取件进行检测，测得甲车间有件一等品，乙车间有件一等品，其余均为二等品． （1）完成下面列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品为一等品与生产车间有关； 车间 等级 甲车间 乙车间 合计 一等品 二等品 合计 （2）若从上述件一等品中任选件，求其中至少有件是甲车间生产的概率； （3）现需进一步对该厂生产的一等品进行三个不同指标的检测，每次都从上述件一等品中任选一件有放回地检测，记为至少被检测一次的产品的件数，求． 附：，． 18. 2026年央视春晚的舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈、列队、翻转等高难度表演．某实验室为了检测机器人在目标位置定位的稳定性，设置了以下测试程序：机器人从图中的0号位置出发，每次右移2格或左移1格，共移动了n次，其中每次右移的概率为p（），左移的概率为． … 0 1 2 3 4 5 6 … （1）当，时，求机器人最终回到0号位置的概率； （2）当，时，记机器人最终位于X号位置，求X的分布列； （3）当时，机器人最终位于4号位置的概率为，求的最大值． 19. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时， （ⅰ）若，且互不相同的正实数和满足，求证：； （ⅱ）若对任意，且，都有恒成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二期终调研考试 数学 2026.06 注意事项及说明：本卷考试时间为120分钟，全卷满分为150分． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设全集，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为全集，，， 所以，所以. 2. 某电商平台的消费者中，男性用户占，其对某商品的好评率为；女性用户占，其对该商品的好评率为．若随机选择一名用户，则该用户对该商品给予好评的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先定义事件，明确各事件的概率，根据全概率公式求解即可. 【详解】设事件表示“随机选择一名用户对该商品给予好评”， 事件表示“随机选择一名用户为男性用户”， 事件表示“随机选择一名用户为女性用户”， 由题意，， ，， 所以. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解. 【详解】因为可得： 当时，，充分性成立； 当时，，必要性不成立； 所以当，是的充分不必要条件. 故选：A. 4. 袋子中有5个大小质地均相同的球，其中2个红球、3个白球，依次不放回地取球，每次取1个球．则在第一次取得白球的条件下，第二次取得红球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出第一次取得白球的和第一次取得白球且第二次取得红球的概率，再利用条件概率公式求解即可. 【详解】解：设事件为第一次取得白球，事件为第二次取得红球， 则，， 所以，由条件概率公式. 5. 根据如下样本数据 x 3 4 5 6 7 8 y 可得到的回归方程为,则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：依据样本数据描点连线可知图像为递减且在轴上的截距大于0，所以． 考点：1．散点图；2．线性回归方程； 6. 往一个圆锥形漏斗中匀速注水，水面半径r与水面高度h始终满足（单位：），漏斗内水的体积．当水面高度为时，体积关于高度的瞬时变化率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以， 所以当时，. 所以当水面高度为时，体积关于高度的瞬时变化率为. 7. 有五名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的选择种数为（ ） A. 120 B. 60 C. 40 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】选出一个志愿者连续参加两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人参加这两天的活动，计算结果即可. 【详解】不妨记五名志愿者为，假设连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的社区服务，共有种方法， 同理：连续参加了两天社区服务，也各有种方法， 所以恰有1人连续参加了两天社区服务的选择种数有种. 故选：B. 8. 设是两个随机事件，且，，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】选项A：利用对立事件概率关系，由已知的补事件概率直接推导并集概率；选项B：通过计算两事件各自概率的乘积，并与已知交事件概率比较，验证独立性条件；选项C：分别计算条件概率与另一条件下的条件概率，对比两者是否相等来判定；选项D：依据条件概率定义，通过交事件概率与另一事件概率的比值进行验证，判断其是否满足题设关系. 【详解】选项A：，选项A正确； 已知，又， 故， 由可得：， 再由，代入得：； 选项B：，等式成立，选项B正确； 选项C：； ，等式成立，选项C正确； 选项D：，选项D错误. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知正实数a、b满足，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为8 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可判断选项；将表示成，代入，利用二次函数即可求出的最小值；根据基本不等式“1”的应用，求的最小值即可判断选项；先求出的最大值，即可判断选项. 【详解】解：选项，由正实数a、b满足，则， 所以，当且仅当，即时取等号，因此的最大值为，选项正确； 选项，由，则，所以， 则当时，取最小值为，选项正确； 选项，由， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，选项错误； 选项，因为，由可知， 所以，当且仅当时取等号， 此时取最大值2，所以的最大值为，选项正确. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】直接对等式通过赋值法、导数法分别计算各选项对应的系数和，再逐一判断选项正误可得. 【详解】选项A：令，代入等式左边得，即，A错误. 选项B：是等式两侧的系数，左边最高次项为，故，B正确. 选项C：令，代入等式左边得，即， 结合得，C错误. 选项D：对等式两侧关于求导， 得， 令，左边值为，即，D正确. 11. 已知函数，为的导数，则（ ） A. 任意实数，一定存在极大值和极小值 B. 存在实数，使得在区间上单调递增 C. 任意实数，曲线一定存在与直线平行的切线 D. 存在实数，使得函数有唯一零点 【答案】AD 【解析】 【分析】求，其为指数函数乘二次函数的形式，因为指数函数恒正，所以导函数的符号由二次函数决定.选项A：判断导函数对应的二次方程的判别式符号，由此可判断的极值存在情况；选项B：将问题转化为二次函数在区间上恒非负的问题，求解参数的存在性；选项C：将问题转化为该方程是否对任意都有实根，判断对应方程的解的存在性；选项D：等价于导函数等于，将问题转化为对应方程是否存在使得仅有一个实根，结合二次函数的性质分析解的个数. 【详解】对求导得： ， ，其判别式， 因此恒有两个不同实根，的符号由决定. 选项A：因为恒成立，总有两个不同零点，不妨设， 当时，，，递增； 当时，，，递减； 当时，，，递增. 因此一定存在极大值和极小值，A正确. 选项B： ，故， 即且函数连续，故存在使得， 即不可能在区间上单调递增，B错误. 选项C：设切点为， 当曲线切线与重合时，，可得是一组解， 当时，， 设，则， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，且，所以只有唯一解0， 所以当时，曲线仅在处的切线斜率为1，且与直线重合，C错误. 选项D：， 因，即恒为的零点. 若令，则，其零点为，， 当或时不可能等于0， 若满足有唯一零点，即有唯一解. 因且， 而均为上的增函数，故为上的增函数， 故当时，令，则在单调递减； 当时，单调递增， 所以当时，在内有唯一的最小值， 结合的单调性可得有唯一解， 因此只有唯一零点，故存在这样的，D正确. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，，则实数______． 【答案】 【解析】 【详解】随机变量，其概率密度曲线关于直线对称， 即，由题意可知. 又因为， 由正态分布的对称性可知，即， ∴. 13. 曲线在点处的切线与直线垂直，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】先对函数求导，进而求出切线斜率，根据两直线垂直列方程求解. 【详解】，， 在点处的切线的斜率为， 在点处的切线与直线垂直， 所以，即， 则. 14. 有6张相同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回地随机取3次，每次取1张卡片．记X为取出的三张卡片上数字为奇数的张数，则X的数学期望______；若记m为前两次取出的卡片上数字的平均值，n为第三次取出的卡片上的数字，则的概率为______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】根据题意的可能取值为，求出相应的概率，并计算的期望；设第一次取出的卡片上的数字为，第二次取出的卡片上的数字为，第三次取出的卡片上的数字为，可得，即，对的取值讨论，求出满足题意的，利用古典概率公式求解. 【详解】由题意，的可能取值为， ，，， ， 所以的期望为， 设第一次取出的卡片上的数字为，第二次取出的卡片上的数字为，第三次取出的卡片上的数字为， 则，， 由，得，即，所以， 若，则，没有满足题意； 若，则，满足要求的有， 若，则，满足要求的有， 若，则，满足要求的有 若，则，满足要求的有， 若，则，没有满足题意， 综上，满足题意的共计36组， 所以满足的概率为. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设关于的不等式解集为A． （1）若，求实数的值； （2）若，且，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 不等式化简为，∵， 所以，∴ 【小问2详解】 由（1）可知，即， 则，解得. ∴实数的取值范围. 16. 已知函数． （1）当时，求在区间上的最大值； （2）当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过求导确定函数在给定区间上的极值点与端点，并比较各点的函数值，从而判定最值； （2） 将恒成立不等式转化为参数与函数最值的关系，通过分离变量将问题化为求函数的最小值，运用换元法简化函数形式，再利用导数分析新函数在定义域内的单调性与极值，最终确定参数的取值范围. 【小问1详解】 当时，， 求导得，令，得和， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 当时，，单调递减，故为极小值点，为极大值点， 计算极大值，端点值，， 故在区间上的最大值为. 【小问2详解】 当时，恒成立； 当时，不等式变形，由于， 可得， 令，由得，，设， 求导得， 令，得定义域内临界点（舍去）： 时，，单调递减；时，，单调递增， 因此在处取最小值，要使恒成立，得， 综上，实数的取值范围为. 17. 某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，甲车间的产量占总产量的，乙车间的产量占总产量的．现按车间采用分层抽样的方法从该厂生产的产品中抽取件进行检测，测得甲车间有件一等品，乙车间有件一等品，其余均为二等品． （1）完成下面列联表，依据小概率值的独立性检验，能否认为产品为一等品与生产车间有关； 车间 等级 甲车间 乙车间 合计 一等品 二等品 合计 （2）若从上述件一等品中任选件，求其中至少有件是甲车间生产的概率； （3）现需进一步对该厂生产的一等品进行三个不同指标的检测，每次都从上述件一等品中任选一件有放回地检测，记为至少被检测一次的产品的件数，求． 附：，． 【答案】（1）根据分层抽样，甲车间抽取数量：件，乙车间抽取数量：件， 据此填写列联表： 等级\车间 甲车间 乙车间 合计 一等品 二等品 合计 计算卡方统计量： ， 因为（对应的临界值）， 因此依据的独立性检验，不能认为产品为一等品与生产车间有关. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先由分层抽样可得甲、乙两个车间的产品数，进而可完成列联表并进行独立性检验可得； （2）根据古典概型及对立事件的概率公式计算可得； （3）先计算某件产品至少被选中一次的概率为，再由期望的性质可得所求期望. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为件一等品中，甲车间件，乙车间件，从件中任选件， 总情况数为. 记“至少件一等品是甲车间”的事件，则“一等品全是乙车间”的事件， 全是乙车间的情况数为， 因此，所以. 所以所抽取的件产品中，至少有件是甲车间生产的概率为. 【小问3详解】 设指示变量，表示第件产品至少被检测一次， 表示未被检测，则， 三次检测中，某件产品每次都未被选中的概率为​， 因此至少被选中一次的概率为： . 由期望的线性性质：. 18. 2026年央视春晚的舞台上，多款智能机器人协同完成舞蹈、列队、翻转等高难度表演．某实验室为了检测机器人在目标位置定位的稳定性，设置了以下测试程序：机器人从图中的0号位置出发，每次右移2格或左移1格，共移动了n次，其中每次右移的概率为p（），左移的概率为． … 0 1 2 3 4 5 6 … （1）当，时，求机器人最终回到0号位置的概率； （2）当，时，记机器人最终位于X号位置，求X的分布列； （3）当时，机器人最终位于4号位置的概率为，求的最大值． 【答案】（1） （2）X的分布列为 X 0 3 6 P （3）的最大值为. 【解析】 【分析】（1）设右移次，可知机器人最终位于号位置，且.根据题意可得机器人最终回到0号位置，则右移2次，结合二项分布运算求解即可； （2）可知，结合二项分布求分布列即可； （3）分析可知机器人最终位于4号位置，则右移3次，结合二项分布可得，，利用导数求最值即可. 【小问1详解】 移动了n次，设右移次，则左移次， 所以机器人最终位于号位置，且. 当，时， 令，可得， 即机器人最终回到0号位置，则右移2次， 所以机器人最终回到0号位置的概率. 【小问2详解】 当，时，则，， 可得； ； ； ； 所以X的分布列为 X 0 3 6 P 【小问3详解】 当时，令，解得， 机器人最终位于4号位置，则右移3次， 则，， 可得， 因为，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以的最大值为. 19. 已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）当时， （ⅰ）若，且互不相同的正实数和满足，求证：； （ⅱ）若对任意，且，都有恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）（i）由，，得， 所以， 所以，由（1）知在上单调递增； 若正实数满足，则，， 所以，得证. （ii） 【解析】 【分析】（1）求导，按照和讨论导数的正负，进而得函数的单调性； （2）（i）由题可得，结合函数单调性可得，利用基本不等式证明； （ii）令，则，问题转化为，，，分和讨论求解. 【小问1详解】 当时，，则，， 令，， 当，即时，有，即，故在上单调递增； 当，即或， 当时，，有，即，故在上单调递增； 当时，方程有两个不等的正根，，且， 当时，有，即， 所以在和上单调递增， 当时，，即，所以在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由，且，令，则， 所以，即恒成立， 所以，，， 由（i）知函数在上单调递增，故， 当时，有恒成立； 当时，， 令，，则， 若，则，即，故在上单调递增， 所以，满足题意； 若，令，，在上， 所以在上，故在上单调递减， 所以，不合题意； 综上，满足题意的实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $