精品解析：云南宣威市第七中学2025-2026学年高二上学期10月月考数学试卷

2025-2026学年宣威七中高二上学期10月月考试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先求解集合，再根据交集的定义，即可求解. 【详解】， 解得：，即，又， 所以. 故选：B 2. 若复数满足，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，可得，最后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，将复数化简成的形式，即可得到复数的虚部. 【详解】由于，所以 故复数的虚部是， 故选：A 【点睛】关键点点睛：该题考查复数模的公式，复数代数形式的乘除法，复数的基本概念，若，其中为复数的实部，为虚部，正确解题的关键是熟练掌握有关概念和运算公式． 3. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为（    ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量减法的坐标表示公式，结合投影向量的定义进行求解即可. 【详解】由， 向量在向量上的投影向量为 ，故D正确. 故选：D. 5. 在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理化角为边，即可得解. 【详解】因为， 由正弦定理得，则，即， 所以的形状一定是等腰三角形. 故选：A. 6. 已知圆与圆相交于，两点，且，则实数（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】圆的弦长问题结合垂径定理转化为圆心到直线的距离问题，从而求解. 【详解】由圆与圆的两方程相减可得： 相交弦的直线方程为：， 又由圆的圆心坐标为，半径为2，结合弦长， 可得圆心到相交弦的距离为：， 则由点到直线的距离公式可得：，化简得：， 解得或. 故选：A. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 平面与平面所成的角为 C. 四点共面 D. 点到平面的距离为 【答案】C 【解析】 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出可判断A；判断出为二面角的平面角，再由可判断B；取的中点，连接，判断出四边形是平行四边形可判断C；利用点到平面距离的向量求法可判断D. 【详解】以为坐标原点，建立如图1所示的空间直角坐标系，则， ，， 对于A，， 所以， 所以与所成角的余弦值为，故A错误； 对于B，平面平面， 又因为为等腰三角形，则即为二面角的平面角， ，故B错误； 对于C，如图2，取的中点，连接， 由正方体的性质可知， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可知： ，所以，， 四边形是平行四边形，则四点共面，故C正确； 对于D，，， 设平面法向量为， 则，即， 令，则，则， 点到平面的距离，D错误. 故选：C. 8. 某椭圆的两焦点坐标分别为，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的定义以及直角三角形的勾股定理列出方程，求解即可. 【详解】设，， 因为，，所以，即； 因为，所以， 所以； 因为，，所以，即，， 所以，， 所以椭圆的方程为， 故选：C. 二、多选题 9. 已知直线与圆，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相交 C. 若，直线被圆截得的弦长为 D. 若直线与直线垂直，则 【答案】BC 【解析】 【分析】利用点斜式可判定A，利用直线过定点结合点与圆的位置关系可判定B，利用弦长公式可判定C，利用直线的位置关系可判定D. 【详解】对于A，直线，即， 则直线恒过定点，故A错误； 对于B，因为，所以定点在圆内部， 所以直线l与圆O相交，故B正确； 对于C，当时，直线，圆心O到直线的距离， 直线l被圆O截得的弦长为，故C正确； 对于D，若直线与直线垂直，则或，故D不正确； 故选：BC. 10. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A，， 当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，， 当且仅当时，等号成立，故C不正确； 对于D，因为， 所以，当且仅当时，等号成立，故D正确； 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质，综合了基本不等式，指数函数及对数函数的单调性，侧重考查数学运算的核心素养. 11. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，若同一组中数据用该组区间中点值作为代表值，则下列说法正确的有（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为分 B. 考生参赛成绩的第百分位数约为分 C. 分数在区间内的频率为 D. 用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则成绩在区间应抽取人 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A：确定每组数据中间值，以及每组数据的频率代入到求平均数的公式即可求得；对于B：根据百分位数的定义分析求解；对于C：直接求分数在区间内的频率即可判断；对于D：根据分层随机抽样运算求解即可. 【详解】A：由频率分布直方图可知考生的平均成绩为 ，故A正确； B：因为，， 所以考生参赛成绩的第百分位数位于区间，则第百分位数为，故B错误； C：分数在区间内的频率为，故C正确； D：在区间应抽取，故D错误. 故选：AC. 三、填空题 12. 已知是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为______． 【答案】##0.25 【解析】 【分析】求得直线的方程，根据题意求得P点坐标，代入直线方程，即可求得椭圆的离心率. 【详解】如图所示， 由题意知：，直线的方程为， 由， 可得,代入直线的方程：，整理得， 所以所求的椭圆离心率为. 故答案为：. 13. 已知 =，则的值是____. 【答案】 【解析】 【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果. 【详解】 故答案为： 【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 14. 函数的部分图象如图所示，现将此图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合五点法作图求出函数的解析式，再利用图象平移变换求出的解析式. 【详解】观察图象，得，则，即，而， 解得，又，则，解得， 函数的最小正周期为，则且，即， 因此，解得，则，， 所以. 故答案为： 四、解答题 15. 设，两点的坐标分别为，.直线，相交于点，且它们的斜率之积为. （1）求点的轨迹方程； （2）过点且斜率为的直线与点的轨迹交于，两点，求面积的最大值(为原点). 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)根据斜率的乘积可得动点的轨迹方程，注意点的取舍； (2)联立直线和的方程，写出韦达定理，用三角形面积公式和基本不等式求面积的最大值. 【小问1详解】 设点，则， 同理， 由已知， 所以的轨迹方程为. 【小问2详解】 如图，由题意得直线l：， 由，， 设，，则，， 令， 所以，即或. 又因为点的轨迹除去椭圆上点，点， 则直线的斜率，即， 点到直线的距离， 所以 ， 令，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为. 16. 已知抛物线的焦点为． （1）求的方程； （2）若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1）； （2）为定值. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线焦点写出抛物线方程即可； （2）设直线的方程为，，，联立抛物线，应用韦达定理及两点距离公式化简目标式，即可证结论. 【小问1详解】 抛物线的焦点为，依题意，解得， 所以抛物线． 【小问2详解】 由题意，直线斜率不为0，设直线的方程为，，， 联立抛物线有，消去得，则， ∴，，又，， ∴ ，为定值. 17. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点作直线与曲线相切，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由，列出方程化简即可； （2）通过斜率存在与不存在两类情况讨论即可. 【小问1详解】 设，由，得， 整理得，即曲线的方程为． 【小问2详解】 因为，所以点在圆外， 当直线斜率不存在时，与圆不相切， 当直线斜率存在时，设直线为， 则圆心到直线的距离， 整理得，当时，直线的方程为， 当时，直线的方程为． 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于两点，且的周长为16. （1）求的方程； （2）过作直线与交于两点，若，求直线的斜率． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将代入曲线E得，故得，从而结合双曲线定义以及题意得，解出即可得解. （2）由题意得直线的斜率存在且不为0，设，接着与曲线E联立方程结合韦达定理求得和，由得，与韦达定理结合即可求出，进而即可得直线的斜率. 【小问1详解】 将代入，得， 所以，所以， 所以由题得，， 所以双曲线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，显然当直线的斜率不存在或的斜率为0时，不成立， 故直线的斜率存在，且不为0，设，，， 联立， 则，且即， ， 又，所以，所以， 所以由得，解得，故， 故直线的斜率为或. 19. 在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）先证明出平面，可得出，再由结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与平面所成角的大小； （3）设，根据空间向量法可得出关于的方程，解出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，，， 又，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面. 【小问2详解】 由（1）可知，平面，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系 ， 翻折前，在中，，则，则， 则，则，， 翻折后，因为平面，平面，则， 所以，，，则， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 不妨令，则，，则． 设直线与平面所成角的大小为， 则有，则， 直线与平面所成角的大小为. 【小问3详解】 假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为． 在空间直角坐标系中，，，， 设， 则， 设平面的法向量为，则有， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为． 则满足， 化简得，解得或，即或， 则或. 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为． 此时的长度为或． 20. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. （1）求A； （2）若，周长为6，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及辅助角公式求解. （2）由余弦定理得，结合的周长，求得,再求出三角形的面积． （3）由正弦定理得，结合锐角三角形的条件及三角函数性质求出范围. 【小问1详解】 在中，由及正弦定理，得， 整理得，即， 而，即，于是, 所以. 【小问2详解】 由余弦定理，得， 由周长为6，得，解得， 所以的面积. 【小问3详解】 在锐角中，由，得，，则， ，则，， 由正弦定理得 ， 所以的范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年宣威七中高二上学期10月月考试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，若，则向量在向量上的投影向量为（    ） A. 1 B. C. D. 5. 在中，若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 钝角三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 6. 已知圆与圆相交于，两点，且，则实数（ ） A. 或 B. C. D. 7. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为的中点，则（ ） A. 与所成角的余弦值为 B. 平面与平面所成的角为 C. 四点共面 D. 点到平面的距离为 8. 某椭圆的两焦点坐标分别为，，是椭圆上一点，若，，则该椭圆的方程是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知直线与圆，则下列结论正确的是（ ） A. 直线恒过定点 B. 直线与圆相交 C. 若，直线被圆截得的弦长为 D. 若直线与直线垂直，则 10. 已知a>0，b>0，且a+b=1，则（ ） A. B. C. D. 11. 某高中举行的数学史知识答题比赛，对参赛的名考生的成绩进行统计，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为，，，，，，若同一组中数据用该组区间中点值作为代表值，则下列说法正确的有（ ） A. 考生参赛成绩的平均分约为分 B. 考生参赛成绩的第百分位数约为分 C. 分数在区间内的频率为 D. 用分层抽样的方法从中抽取一个容量为的样本，则成绩在区间应抽取人 三、填空题 12. 已知是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为______． 13. 已知 =，则的值是____. 14. 函数的部分图象如图所示，现将此图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数的解析式为______. 四、解答题 15. 设，两点的坐标分别为，.直线，相交于点，且它们的斜率之积为. （1）求点的轨迹方程； （2）过点且斜率为的直线与点的轨迹交于，两点，求面积的最大值(为原点). 16. 已知抛物线的焦点为． （1）求的方程； （2）若过点的直线与抛物线交于，两点．是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，请说明理由． 17. 公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中证明了平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，这个圆被称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）过点作直线与曲线相切，求直线的方程． 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为的一条渐近线方程为，过且与轴垂直的直线与交于两点，且的周长为16. （1）求的方程； （2）过作直线与交于两点，若，求直线的斜率． 19. 在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示． （1）求证：平面； （2）求与平面所成角的大小； （3）在线段上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由． 20. 在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知. （1）求A； （2）若，周长为6，求的面积； （3）若为锐角三角形，求的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $