第4章 微素养·专题突破五 代数式中的规律问题（主书）-【精彩三年·就练这一本】2025-2026学年七年级上册数学教师用书配套word（浙教版·新教材）

**基本信息** 聚焦代数式规律问题，通过图案、算式、数字三类递进规律训练，构建“观察-归纳-验证”方法体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图案排列|例1+变式|观察图形数量关系，归纳长度与砖块数代数式|从具体图案到抽象数量关系，建立几何直观与符号意识| |算式排列|例2+变式|发现数列求和与平方关系，推导通项公式|通过算式规律提炼数学模型，发展推理能力| |数字排列|例3+变式|分析分数/数表排列规律，确定位置与数值|结合数字循环周期，培养数据分析与归纳能力|

微素养·专题突破 五　代数式中的规律问题 类型1　递进规律——图案排列 【例1】 如图,学校准备新建一个长度为L的读书长廊,并准备用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格大小相同的正方形地面砖搭配在一起,按图中所示的规律拼成图案铺满长廊,已知每个小正方形地面砖的边长均为0.5 m。 (1)按图示规律,第一个图案的长度L1=　1.5　m;第二个图案的长度L2=　2.5　m。  (2)用代数式表示带有花纹的地面砖块数n与走廊的长度Ln(m)之间的关系为　Ln=n+0.5　。  【解析】 (1)第一个图案的长度L1=0.5×3=1.5(m),第二个图案的长度L2=0.5×5=2.5(m)。 (2)观察可得,第1个图案中带有花纹的地面砖有1块,第2个图案中带有花纹的地面砖有2块…… 故第n个图案中带有花纹的地面砖有n块。 第一个图案的边长L1=3×0.5,第二个图案的边长L2=5×0.5,……则第n个图案的边长为Ln=0.5(2n+1)=n+0.5。 【变式】 如图,这是一组有规律的图案,它们是由正三角形组成的,第1个图案中有6个正三角形,第2个图案中有10个正三角形,第3个图案中有14个正三角形……按此规律,第n个图案中有　(4n+2)　个正三角形。(用含n的代数式表示)  类型2　递进规律——算式排列 【例2】 观察下列各算式: 　　　1+3=4=22, 　　　1+3+5=9=32 , 　　　1+3+5+7=16=42, 　　　… (1)猜想:试猜想1+3+5+7+…+2 005+2 007的值。 (2)推广:求 1+3+5+7+9+…+(2n-1)+(2n+1)的值。 答案:(1)1 0042　(2)(n+1)2 【变式】 已知一列数a1,a2,a3,…,an,其中a1=0,a2=2a1+1,a3=2a2+1,…,=2an+1,则a2 028-a2 027的个位数字是　4　。  【解析】 因为a1=0,a2=1,a3=3,a4=7,a5=15,a6=31,a7=63,a8=127,a9=255,…,从a2开始an的个位数字以1,3,7,5每4个一循环,因为a2 028-a2 027=2a2027+1-a2 027=a2 027+1,(2 027-1)÷4=506……2,所以a2 027的个位数字是3,则a2 028-a2 027的个位数字是4。 类型3　递进规律——数字排列 【例3】 有一组分数,按下列规律排列:1,,,,,,,,,,,,,,,,… (1)是第几个分数? (2)第400个分数是几分之几? 解:(1)第88个和第94个分数　(2) 【变式】 一个正整数数表如下(表中下一行中数的个数是上一行中数的个数的2倍)。 第1行 1 第2行 3　5 第3行 7　9　11　13 … … 　　则第4行中的最后一个数是　29　,第n行中共有　2n-1　个数。  　　 　　　　　　　　　　　　　　 1.已知下列一组数:1,,,,,…,若用代数式表示第n个数,则第n个数是 (　B　) A. B. C. D. 2.下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律摆放而成的,其中图形①有5个小圆,图形②有9个小圆,图形③有13个小圆……按此规律排列,则图形⑩中小圆的个数为 (　C　) A.37 B.40 C.41 D.42 3.观察下列单项式:x,3x2,5x3,7x,9x2,11x3,…,则第2 024个单项式是　4 047x2　。  4.如图,有一种塑料杯子的高度是10 cm,两个以及三个这种杯子叠放时高度如图所示,则n个这种杯子叠放在一起的高度是　(3n+7)　cm。(用含n 的代数式表示)  5.观察下列关于自然数的等式: 32-4×12=5 52-4×22=9 72-4×32=13 … 根据上述规律解决下列问题。 (1)完成第四个等式:92-4×(　　)2=(　　)。 (2)写出你猜想的第n个等式。(用含n的代数式表示) 解:(1)4　17　(2)(2n+1)2-4n2=4n+1。 6.观察: 序号 1 2 3 4 5 6 7 … 数 20 21 22 23 24 25 26 … 个位上 的数字 1 2 4 8 6 m n … (1)思考:上面表格中m,n的值分别是多少? (2)探究:第10个数是什么?它个位上的数字是多少? (3)延伸:22 024的个位上的数字是多少? (4)拓展:用含k的代数式表示个位上的数字是6的数的序号。(k为正整数) 解:(1)因为25=32,26=64, 所以m=2,n=4。 (2)观察表格可知,第10个数是29,29=512, 所以它个位上的数字是2。 (3)从21开始,个位上的数字是以2,4,8,6,2,4,8,6,…排列,每4个一循环, 因为2 024÷4=506, 所以22 024的个位数字是6。 (4)因为个位上的数字是6的数的序号分别是5,9,13,…, 所以第k个个位上的数字是6的序号为4k+1。 学科网（北京）股份有限公司 $