第一章课时2 常用逻辑用语讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦常用逻辑用语核心考点，涵盖充分必要条件、全称与存在量词及命题否定，按课标要求-知识梳理-基础回顾-考点扫描逻辑架构组织，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生构建知识网络，突破逻辑推理难点，体现复习系统性与针对性。 资料特色在于结合集合关系深化充要条件理解，设置分层练习与规律总结，如“改量词，否结论”法则。通过考点二利用集合包含关系分析参数范围等实例，培养学生数学思维与规范表达能力，提升解题效率，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

˙课时2 常用逻辑用语 一、课标要求 1．理解必要条件、充分条件、充要条件的意义. 2．理解全称量词与存在量词的意义. 3．能正确对含有一个量词的命题进行否定． 二、知识梳理 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 定义 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分又不必要条件 2．全称量词与存在量词 (1) 全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫作全称量词，用符号“ ”表示. (2) 存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫作存在量词，用符号“ ”表示. 量词名称 常见量词 表示符号 全称量词 所有、一切、任意、全部、每一个等 存在量词 存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等 （3）含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) x0∈M，p(x0) 【拓展知识】 1．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”. 2．集合关系下的充要条件 设条件p：x∈A，条件q：x∈B. （1）若AB，则p是q的充分条件，,则p是q的 条件． （2）若BA，则p是q的必要条件，,则p是q的 条件． （3）若A＝B，则p是q的 条件． 三、基础回顾 1．判断正误.（正确的打“√”，错误的打“×”） (1) “三角形的内角和为180°”是全称量词命题． ( ) (2) 命题“若a>b>0，则ac2>bc2”是真命题． ( ) (3) “x>0”是“x>1”的充分不必要条件． ( ) (4) x∈M，p(x)与∀x∈M，的真假性相反. ( ) 2. 命题“x∈R，有x2－2x＋4≤0”的否定为(　　) A．x∈R，有x2－2x＋4≥0 B．x∈R，使得x2－2x＋4>0 C．xR，有x2－2x＋4≤0 D．xR，使得x2－2x＋4>0 3. “m＝3”是“m2＝9”的(　 　) A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 4.(多选题)已知命题p：∀x∈R，有x＋2≤0，则下列说法正确的有(　　) A．p是真命题 B．：∀x∈R，有x＋2>0 C．：∃x∈R，使得x＋2>0 D．是真命题 四、考点扫描 考点一 充分条件、必要条件的判定 例1（1） （2026·山东青岛市一模）“x2>y2”是“x>y”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 （2）（2026·天津高考）设，则“”是“”的　　 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 对点训练 （1） “a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 （2）“x∈A”是“x∈(A∩B)”的(　 　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 考点二 充分条件、必要条件的应用 例2 (1) (多选题)若“x2－x－2＜0”是“－2＜x＜a”的充分不必要条件，则实数a的值可以是(　 　) A．1　 B．2　 C．3　 D．4 (2)已知条件p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0).若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 对点训练 （1）（2026·江苏扬州市高三期初调研）已知p：＞2，q：m－x＜0.若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是(　 　) A．(－∞，3) B．(3，＋∞) C．(－∞，5) D．(5，＋∞) （2）已知p：x≤1，q：x≤a.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　　　　　；若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是　　　　　　.  规律方法： 考点三 全称量词命题与存在量词命题 考向1 两种命题及其否定 例3（1）(多选题)下列说法正确的有(　　) A．“正方形是菱形”是全称量词命题 B．∃x∈R，使得ex<ex＋1 C．命题“∃x∈R，使得x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，有x2－2x＋3≠0” D．命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x≤1，使得2x＋1≤5” （2）命题“x∈R，有2x＜3x”的否定是 . 考向2 两种命题的真假判定 例4 （2024·全国Ⅱ卷）已知命题p：，有，命题q：，使得，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 考向3 两种命题的含参问题 例5 （1）(2026·山东枣庄市期末)已知“∃x0∈R，ax＋1＜0”为假命题，则实数a的取值范围是__ __． （2）已知命题“x∈R，有ax2＋4ax＋3>0”为真，则实数a的取值范围是 ． 对点训练（1）设命题：，使得，则为（ ） A．，有 B．，有 C．，有 D．，有 （2）(2026·广东联考)若命题“∀x∈[－1,2]，有x2＋1≥m”是真命题，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，0] B．(－∞，1] C．(－∞，2] D．(－∞，5] （3）设命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0，命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0．若p，q都为真命题，则实数m的取值范围是__ __． 课时2 常用逻辑用语参考答案 二、知识梳理 1．p⇒q且qp q⇒p且pq pq pq且qp 2．（1）∀（2） ∀ （3） x0∈M，¬p(x0) ∀x∈M，¬p(x) 【拓展知识】 2．（1） 充分不必要 （2） 必要不充分 （3） 充要 三、基础回顾 1.（1）√ 【解析】根据全称量词命题概念. （2）× 【解析】当c=0时，结论错误. （3）× 【解析】“x>0”是“x>1”的必要不充分条件. （4）√ 【解析】命题和它的否定一真一假. 2. B【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，将任意改为存在后将结论加以否定，x2－2x＋4≤0的否定为x2－2x＋4>0，因此，命题的否定为x∈R，x2－2x＋4>0.故选B. 3. B【解析】 由m2＝9得m＝±3，所以“m＝3”可以推出“m2＝9”，反之不然．所以“m＝3”是“m2＝9”的充分不必要条件．故选B. 4.CD 【解析】　当x＝0时，x＋2≤0不成立，故p是假命题，故A错误；由含量词命题的否定可知，p：∀x∈R，x＋2≤0的否定为：∃x∈R，x＋2>0，故C正确，B错误；是真命题，故D正确．故选CD. 四、考点扫描 例1（1）D 【解析】取x=－1，y=0，x2>y2成立，但x>y不成立；取x=1，y=－2，x>y成立，但x2>y2不成立，故“x2>y2”是“x>y”的既不充分又不必要条件.故选D. （2）A【解析】x∈R，则“”“”，充分性成立； “”“，”，x可以不取0，如x=π时有sin2x=0，即心要性不成立. 所以“”是“”的充分不必要条件．故选A． 对点训练（1）B 【解析】由a2＝b2，则a＝±b，当a＝－b≠0时a2＋b2＝2ab不成立，充分性不成立；由a2＋b2＝2ab，则(a－b)2＝0，即a＝b，显然a2＝b2成立，必要性成立．所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B. （2）B【解析】由“x∈A∩B”一定有“x∈A”，反之不成立.故选B. 例2 (1) BCD 【解析】 由x2－x－2＜0，解得－1＜x＜2，所以(－1，2)(－2，a)，所以a≥2，所以实数a的值可以是2,3,4．故选BCD. (2) 【解】　p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． 因为p是q的必要不充分条件， 所以q是p的充分不必要条件， 即{x|1－m≤x≤1＋m}{x|－2≤x≤10}， 故有或解得m≤3. 又m>0，所以实数m的取值范围是{m|0<m≤3}． 对点训练 （1）C 【解析】 p：因为＞2，所以x－1＞4，解得x＞5；q：x＞m. 因为p是q的充分不必要条件，所以m＜5.故选C. （2）　(－∞，1)　(－∞，1] 【解析】　因为p：x≤1，q：x≤a， 若p是q的必要不充分条件，则(－∞，a](－∞，1]，因此a<1， 即实数a的取值范围是(－∞，1). 若p是q的必要条件，则(－∞，a]⊆(－∞，1]， 因此a≤1，即实数a的取值范围是(－∞，1]. 例3（1）ABC【解析】对于选项A，“正方形是菱形”等价于“所有的正方形都是菱形”，是全称量词命题，故A正确； 对于选项B，当x＝1时，e<e＋1成立，故B正确； 对于选项C，命题“∃x∈R，x2－2x＋3＝0”的否定为“∀x∈R，x2－2x＋3≠0”，故C正确； 对于选项D，命题“∀x>1，都有2x＋1>5”的否定为“∃x>1，使得2x＋1≤5”，故D不正确．故选ABC. （2） x∈R，使得2x≥3x 【解析】 因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“x∈R，2x＜3x”的否定是x∈R，使得2x≥3x. 例4 B【解析】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题；对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题. 综上，和都是真命题.故选B. 例5 （1）[0，＋∞)【解析】 因为命题“∃x0∈R，ax＋1＜0”为假命题，则命题“∀x∈R，ax2＋1≥0”为真命题．当a＝0时，1≥0恒成立，则a＝0满足题意；当a≠0时，必有解得a＞0．综上，实数a的取值范围是[0，＋∞)． （2）【解析】由题意知，不等式ax2＋4ax＋3>0对x∈R恒成立.当a＝0时，可得3>0，恒成立满足；当a≠0时，若不等式恒成立，则需解得0<a<.所以实数a的取值范围是. 对点训练 （1）C 【解析】 存在量词命题的否定为全称量词命题，所以为，.故选C. （2）B 【解析】由“∀x∈[－1,2]，x2＋1≥m”是真命题可知， 不等式m≤x2＋1，对∀x∈[－1,2]恒成立， 因此只需m≤(x2＋1)min，x∈[－1,2]， 易知函数y＝x2＋1在x∈[－1,2]上的最小值为1，所以m≤1. 即实数m的取值范围是(－∞，1]．故选B. （3）【解析】 若命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0为真命题， 则Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4． 若命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0为真命题， 则Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)＜0，解得m＞． 又p，q都为真命题，所以实数m的取值范围是． . 学科网（北京）股份有限公司 $