第四单元 圆 举一反三讲义（知识梳理+考点讲练+综合训练）数学人教版六年级上册（新教材）

本讲义系统梳理圆与扇形的核心知识，从圆的定义、各部分名称、基本特征到半径直径关系、对称性及画圆步骤，再到周长（含半圆周长）、面积（含半圆面积）的公式推导与应用，延伸至圆环及组合图形面积计算，构建完整知识链作为学习支架。 资料亮点在于知识梳理注重几何直观与空间观念培养，如圆面积推导通过剪拼转化为长方形，考点讲练设17个分层考点，典例结合变式训练发展推理意识与应用意识，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用能力。

第四单元 圆 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、圆的认识 2 1. 圆的定义 2 2. 圆的各部分名称 2 3. 圆的基本特征 3 4. 半径与直径的关系 3 5. 圆的对称性 3 6. 用圆规画圆的步骤 3 二、扇形的认识 3 1. 扇形的定义 3 2. 圆心角 3 3. 扇形大小的影响因素 3 4. 扇形的对称性 3 三、圆的周长 4 1. 周长的定义 4 2. 圆周率的意义 4 3. 圆的周长计算公式 4 4. 半圆的周长 4 四、圆的面积 4 1. 面积的定义 4 2. 圆的面积推导 4 3. 圆的面积计算公式 4 五、圆环与组合图形的面积 5 1. 圆环的面积 5 2. 组合图形的面积计算 5 考点讲练 5 考点一：圆的概念及特点 5 考点二：画圆 7 考点三：与圆相关的轴对称图形 9 考点四：圆的周长 11 考点五：半圆的周长 13 考点六：圆的周长的应用 15 考点七：含圆的组合图形的周长 17 考点八：圆的面积 20 考点九：圆的面积的应用 22 考点十：圆环的面积 25 考点十一：求最大面积 28 考点十二：含圆的组合图形的面积 30 考点十三：方中圆和圆中方的面积问题 33 考点十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 37 考点十五：弧、圆心角、扇形的认识 40 考点十六：画扇形 43 考点十七：扇形的周长和面积 45 综合训练 49 知识梳理 一、圆的认识 1. 圆的定义 圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的封闭曲线图形。这个定点叫作圆心，一般用字母表示；定长叫作半径，一般用字母表示。 2. 圆的各部分名称 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母表示。 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段，用字母表示。直径是圆内最长的线段。 3. 圆的基本特征 在同一个圆（或等圆）中，有无数条半径，所有半径的长度都相等；有无数条直径，所有直径的长度都相等。 圆心决定圆的位置，半径（或直径）决定圆的大小。 4. 半径与直径的关系 在同一个圆（或等圆）中，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的。 用字母表示： 或 5. 圆的对称性 圆是轴对称图形，直径所在的直线都是圆的对称轴。 圆有无数条对称轴。 半圆也是轴对称图形，只有 1 条对称轴。 6. 用圆规画圆的步骤 定半径：把圆规两脚分开，定好两脚间的距离（即半径长度）； 定圆心：把有针尖的一只脚固定在一点上（即圆心）； 旋转一周：把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 二、扇形的认识 1. 扇形的定义 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。 2. 圆心角 顶点在圆心，并且两边都是圆的半径的角，叫作圆心角。 3. 扇形大小的影响因素 在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关：圆心角越大，扇形越大； 圆心角相等时，扇形的大小与半径的长短有关：半径越长，扇形越大。 4. 扇形的对称性 扇形是轴对称图形，沿着过圆心和弧中点的直线对折后两边完全重合，只有1 条对称轴。 三、圆的周长 1. 周长的定义 围成圆的曲线的长叫作圆的周长，一般用字母表示。 2. 圆周率的意义 圆的周长除以直径的商是一个固定不变的数，这个数叫作圆周率，用希腊字母（pài）表示。 是一个无限不循环小数，； 小学阶段计算时，通常取。 3. 圆的周长计算公式 已知直径，求周长： 已知半径，求周长： 4. 半圆的周长 半圆的周长不是圆周长的一半，而是圆周长的一半加上一条直径（或两条半径）。 公式： 四、圆的面积 1. 面积的定义 圆所占平面的大小叫作圆的面积，一般用字母表示。 2. 圆的面积推导 把圆平均分成若干偶数等份，剪开后可以拼成一个近似的长方形： 长方形的长相当于圆周长的一半，即； 长方形的宽相当于圆的半径，即； 因为长方形面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 = 。 3. 圆的面积计算公式 已知半径，求面积： 已知直径，求面积：先求半径，再代入公式 已知周长，求面积：先求半径，再代入公式 4. 半圆的面积 半圆的面积是对应圆面积的一半。 公式： 五、圆环与组合图形的面积 1. 圆环的面积 两个半径不相等的同心圆之间的部分叫作圆环，也叫环形。 外圆半径用表示，内圆半径用表示； 圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积 公式： 2. 组合图形的面积计算 计算由圆、扇形、长方形、正方形等组成的组合图形面积时，常用方法： 求和法：把组合图形拆分成几个规则图形，面积相加； 求差法：用大的规则图形面积减去空白部分的面积； 割补平移法：通过割补、平移、旋转，将不规则图形转化为规则图形计算。 考点讲练 考点一：圆的概念及特点 【典例精讲】用一张正方形的纸剪一个厘米的圆，正方形纸的边长至少是_________厘米。 【答案】 【分析】由题意可知，正方形纸的边长最小的长度相当于圆的直径，根据半径直径，据此计算即可； 【详解】（厘米） 正方形纸的边长至少是厘米。 【变式训练】六年的数学学习中，我们认识了很多著名的中外数学家，请你写出一位你了解的数学家的名字( )，它的杰出成就是( )。 【答案】 祖冲之 把圆周率精确到小数点后第7位 【分析】小学阶段学过的数学家很多，六年级上册《圆》这一节内容中有一位数学家叫祖冲之，他在数学上的成就是把圆周率精确到小数点后第7位，即，这项纪录保持近千年世界第一。（答案不唯一） 【详解】六年的数学学习中，我们认识了很多著名的中外数学家，请你写出一位你了解的数学家的名字祖冲之，它的杰出成就是把圆周率精确到小数点后第7位。（答案不唯一） 【变式训练】画圆时，圆规两个脚之间的距离是7cm，画出的圆的半径是( )cm，直径是( )cm。 【答案】 7 14 【分析】画圆时，把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径，直径的长度为半径的2倍。 【详解】7×2＝14（cm） 即画圆时，圆规两个脚之间的距离是7cm，画出的圆的半径是7cm，直径是14cm。 【变式训练】在长16cm，宽10cm的长方形铁皮上剪半径是2cm的圆，最多可以剪( )个。 【答案】8 【分析】这道题的关键是理解在长方形铁皮上剪圆时必须以圆的直径为单位长度，即长方形的长里面能剪几个圆的直径，宽里面能剪几个圆的直径，最后把这两个数相乘即可得到圆的个数。题目中已知圆的半径为2cm，通过直径等于半径乘2求出圆的直径。再利用“求一个数里面有几个另一个数用除法”，求出长和宽里面各有几个直径。据此解答。 【详解】根据分析： （个） （个）……2（cm） （个） 所以，最多可以剪8个圆。 【点睛】解答这道题的关键是利用长和宽除以直径来计算圆的个数，因为圆和圆之间有空隙，所以不能使用长方形面积除以圆的面积来计算。 考点二：画圆 【典例精讲】画一画。 请用圆规画一个直径3厘米的圆，分别用O，r表示圆心和半径。 【答案】图见详解 【分析】用圆规画一个直径3厘米的圆，圆规两脚间的距离是1.5厘米，圆规有针尖的一端定在某一点上，另一端绕这个点旋转一周即可。圆心用大写字母O表示，半径用小写字母r表示。 【详解】 【变式训练】要在下边正方形内画一个最大的圆，怎样才能确定圆心和半径？写出你的想法，并画出这个圆。 【答案】图见详解 正方形对角线的交点是这个圆的圆心，圆心到圆上的距离是这个圆的半径。 【分析】正方形对角线具有互相平分且相等的性质，当画出正方形两条对角线时，它们的交点就是圆的圆心，圆的半径是圆心到圆上任意一点的距离，在正方形内画最大圆时，圆要与正方形的四条边都刚好接触，此时，圆心到正方形任意一条边的距离就是圆的半径，而这个距离恰好等于正方形边长的一半。画出这个圆即可。 【详解】用直尺连接正方形的两条对角线，找到它们的交点，标记为圆心O，从圆心O向正方形的任意一条边作垂线，这条垂线的长度就是半径r，以O为圆心，r为半径，用圆规画圆，这个圆就是正方形内最大的圆，简单来说：正方形对角线的交点是这个圆的圆心，圆心到圆上的距离是这个圆的半径。 如图： 【变式训练】画一个半径为1.5cm的圆，并用字母标出它的圆心、半径和直径。 【答案】图见详解 【分析】画圆时，圆规两脚的距离是1.5厘米。圆心用大写字母O表示，半径用小写字母r表示，直径用小写字母d表示。 【详解】 【变式训练】按下列要求用圆规画圆。 以O点为圆心，OA长为半径画圆。 【答案】见详解 【分析】先确定一点为圆心O，以该点为定点，圆规的针尖与O点重合，圆规两脚间的距离等于OA，据此画图。 【详解】画图如下： 考点三：与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】画出下面各图形的对称轴，能画几条就画几条。 【答案】见详解 【分析】画对称轴的步骤： （1）找出轴对称图形的任意一组对称点。 （2）连结对称点。 （3）画出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到该图形的对称轴。 【详解】作图如下： 【点睛】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，直线叫做对称轴。 【变式训练】画出下面图形的所有对称轴。 【答案】见详解 【分析】画对称轴的步骤： （1）找出轴对称图形的任意一组对称点。 （2）连接对称点。 （3）画出对称点所连线段的垂直平分线，就可以得到该图形的对称轴。 【详解】作图如下： 【点睛】轴对称图形定义为平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形。直线叫做对称轴，并且对称轴用点画线表示；这时，这个图形关于这条直线对称。 【变式训练】画出下列图形的对称轴。（有几条画几条） 【答案】见详解 【分析】依据轴对称图形的概念，即在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此即可解答。 【详解】对称轴画法如下： 【变式训练】画出下面图形的所有对称轴。 【答案】见详解 【分析】在同一个平面内，一个图形沿某条直线对折，对折后的两部分能完全重合，则这个图形就是轴对称图形，这条直线就是其对称轴，据此画出图形的对称轴。 【详解】如下图。 考点四：圆的周长 【典例精讲】按要求计算。（单位：厘米） 计算圆的周长。     【答案】37.68厘米 【分析】已知圆的半径是6厘米，圆周长公式C＝2πr，把半径代入公式计算。 【详解】2×3.14×6 ＝6.28×6 ＝37.68（厘米） 【变式训练】求下列各圆的周长。 （1）r＝6厘米        （2）d＝16米 【答案】（1）37.68厘米；（2）50.24米 【分析】根据圆的周长＝圆周率×直径＝2×圆周率×半径，列式计算即可。 【详解】（1）2×3.14×6＝37.68（厘米） 圆的周长是37.68厘米。 （2）3.14×16＝50.24（米） 圆的周长是50.24米。 【变式训练】祖冲之得到的圆周率在3.1415926和3.1415927之间，在《隋书》中是这样记载的：以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。根据这种表达方式，5丈6寸可以用小数( )表示。 【答案】5.06 【分析】根据题干给出的圆周率记载，3丈1尺4寸1分5厘9毫2秒7忽对应数值3.1415927，可知丈、尺、 寸、分、厘、毫、秒、忽为十进制单位，相邻单位进率为10，以丈为基准单位时，1尺＝0.1丈，1寸＝0.01丈，6寸即为0.06丈，所以“5丈6寸”就是5个一加上6个0.01。 【详解】6寸＝0.06丈 5丈即5个一，0.06丈即6个0.01，所以5丈6寸用小数5.06表示。 【变式训练】孙师傅想制作一个无盖的圆柱形铁桶，长方形铁皮配上下面哪种圆形铁皮正好可以做成一个这样的铁桶？在括号里画“√”。 【答案】见详解 【分析】根据圆形铁皮的周长就是长方形铁皮的长12.56dm或宽9.42dm，根据圆的周长＝计算判断选择正确的圆形铁皮。。 【详解】图一半径为3dm的圆的周长： 图二直径为3dm的圆的周长： 图三直径为5dm的圆的周长： 所以直径为3dm的圆形铁皮的周长正好和长方形铁皮的宽相等可以做成一个这样的铁桶。 考点五：半圆的周长 【典例精讲】在一个长为8厘米，宽为3厘米的长方形内画一个半圆，这个半圆的周长是( )厘米。 【答案】 【分析】根据题干分析可得，这个长方形内最大的半圆的直径是厘米，由此利用半圆的周长整圆的周长的一半直径，由此代入数据即可解答。 【详解】 （厘米） 这个半圆的周长是厘米。 【变式训练】把一个直径是2厘米的圆形纸片剪成两个半圆后，每个半圆形纸片的周长是( )厘米。 【答案】5.14 【分析】半圆的周长＝圆周率×直径÷2＋直径。 【详解】3.14×2÷2＋2 ＝3.14＋2 ＝5.14（厘米） 【变式训练】从一个长、宽的长方形木板上锯下一个最大的半圆，这个半圆的半径是( )dm，周长是( )dm。 【答案】 4 20.56 【分析】从一个长方形木板上锯下一个最大的半圆，这个半圆的半径就是长方形的宽；半圆的周长是该半圆所在圆的周长的一半加上直径。根据圆的周长公式，可知圆周长的一半为，又知，据此解答。 【详解】 所以这个半圆的半径是4dm，周长是20.56dm。 【变式训练】把一张圆形纸板剪成两个相等的半圆，发现周长增加。每个半圆的周长是( )。 【答案】20.56 【分析】一个圆被分成两个相等半圆，周长增加了两个直径的长度，因此可得到圆的直径是8厘米，半圆的周长＝圆周长的一半＋直径，根据C＝πd解答。 【详解】d：16÷2＝8（厘米） 半圆周长：3.14×8÷2＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（厘米） 【点睛】解题关键是弄清楚一个圆剪成两个相等半圆周长增加2个直径的长。 考点六：圆的周长的应用 【典例精讲】杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径是40厘米，要骑过75.36米长的钢丝，车轮要转动多少圈？（π取3.14） 【答案】60圈 【分析】根据圆的周长＝π×直径，据此求出车轮的周长，再用钢丝的长度÷车轮的周长，即可解答，注意单位换算。 【详解】40厘米＝0.4米 75.36÷（3.14×0.4） ＝75.36÷1.256 ＝60（圈） 答：车轮要转动60圈。 【变式训练】一个半径50米的圆形草坪，沿着它的边线每隔2米栽一株牡丹花，一共可栽多少株？ 【答案】157株 【分析】利用圆的周长公式求出圆形草坪周长，用圆形草坪周长除以间隔距离求得牡丹花株数。 【详解】 （米） 牡丹花株数：（株） 答：一共可栽157株。 【变式训练】小芳有一辆自行车车轮的外直径是0.6米。 (1)车轮转动一圈，这辆自行车前进多少米？ (2)小芳骑自行车到学校用10分钟，车轮每分钟转100圈。小芳家距学校有多少米？ 【答案】(1)1.884米 (2)1884米 【分析】（1）车轮转动一圈前进的距离即为车轮的周长。已知车轮的外直径，根据圆的周长公式，将直径数据代入公式计算即可求出周长； （2）小芳家到学校的距离等于车轮的周长乘每分钟转动的圈数，再乘骑行的时间。利用第（1）题求出的周长，结合题目给出的每分钟转数和时间进行计算。 【详解】（1）（米） 答：车轮转动一圈，这辆自行车前进 1.884 米。 （2） （米） 答：小芳家距学校有 1884 米。 【变式训练】科技社团举办了一场赛车模型比赛，两辆赛车的比赛轨道如图所示：A车跑内圈两个小半圆，B车跑外圈一个大半圆。在科创社团举办的这场比赛中，如果这两辆赛车的速度相同，哪辆赛车会赢？（提示：用算式、文字或其他方法解决问题） 【答案】不分输赢 【分析】两辆车的速度相同，因此谁跑的距离短谁就会赢。我们需要分别计算A车和B车所跑的路程，并比较它们的大小。由图可知，A车跑的是两个小半圆，每个小半圆的直径为4米，因此需要计算两个小半圆的总长度B车跑的是一个大半圆，大半圆的直径为两个小半圆直径之和（即8米），因此需要计算大半圆的长度。最后比较两车的路程，判断谁更短。 【详解】A车走的路程： B车走的路程： 4π＝4π 答：两辆赛车的速度和路程相同，所以到达终点的时间相同，不分输赢。 考点七：含圆的组合图形的周长 【典例精讲】计算下面图形涂色部分的周长。 【答案】51.4cm 【分析】由图可知，2个空白部分可以合成一个半圆，半圆的直径相当于长方形的长（20cm），2条圆弧即为圆周长的一半，根据圆的周长公式C＝πd求出圆的周长，再除以2求出圆周长的一半，再加上长方形的长即可求出涂色部分的周长。 【详解】3.14×20÷2 ＝62.8÷2 ＝31.4（cm） 31.4＋20＝51.4（cm） 所以涂色部分的周长是51.4cm。 【变式训练】求下图阴影部分的周长，单位（厘米）。 【答案】38.84厘米 【分析】由图可知，阴影部分的周长＝圆的周长＋两条长的长度，由此解答即可。 【详解】3.14×6＋10×2 ＝18.84＋20 ＝38.84（厘米） 【变式训练】我会求下面涂阴影的图形的周长。 【答案】12.56cm；15.7cm 【分析】第一幅图，三角形内角和180°，因此阴影部分的周长可以拼成圆周长的一半，根据圆周长的一半＝圆周率×直径÷2，列式计算即可； 第二幅图，阴影部分的周长＝直径2cm的圆周长的一半＋直径3cm的圆周长的一半＋直径（2＋3）cm的圆周长的一半，据此列式计算。 【详解】3.14×8÷2＝12.56（cm） 3.14×2÷2＋3.14×3÷2＋3.14×（2＋3）÷2 ＝3.14＋4.71＋3.14×5÷2 ＝3.14＋4.71＋7.85 ＝15.7（cm） 涂阴影的图形的周长分别是12.56cm、15.7cm。 【变式训练】．求阴影部分的周长。（单位：cm） 【答案】18.84cm 【分析】观察图形可知，阴影部分的周长包括两条长度相等的弧长，其中每条弧的长度等于半径为6cm的圆周长的，那么阴影部分的周长等于圆周长的一半。根据圆的周长＝2πr求出整圆的周长，再除以2即可解答。 【详解】6×2×3.14÷2 ＝37.68÷2 ＝18.84（cm） 则阴影部分的周长是18.84cm。 考点八：圆的面积 【典例精讲】计算下面图形的面积。 【答案】50.24平方厘米 【分析】已知圆的直径d＝8厘米，先求出半径r，再代入圆的面积公式S＝πr2进行计算。 【详解】r＝d​÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 3.14×4×4 ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 这个圆的面积是50.24平方厘米。 【变式训练】小圆的直径是6厘米，大圆的半径是4厘米，小圆的周长与大圆的周长之比是( )，大圆的面积与小圆的面积之比是( )。 【答案】 【分析】分别求出小圆的半径、大圆的直径，根据圆的周长直径、圆的面积(为半径)，分别求出小圆、大圆的周长及面积进行比值计算，再根据比值化成比的形式即可。 【详解】小圆半径：（厘米），大圆直径：（厘米）； 根据圆的周长直径，小圆的周长：（厘米），大圆的周长：（厘米）； 因此小圆的周长与大圆的周长之比为。 根据圆的面积(为半径)，小圆的面积：（平方厘米），大圆的面积：（平方厘米）； 因此大圆的面积与小圆的面积之比是。 小圆的直径是6厘米，大圆的半径是4厘米，小圆的周长与大圆的周长之比是，大圆的面积与小圆的面积之比是。 【变式训练】数学课上，淘淘在边长是6厘米的正方形卡纸上画了一个最大的圆，他所画圆的半径是________厘米，面积是________平方厘米。 【答案】 3 28.26 【分析】在正方形上画了最大的圆，这个圆的直径等于正方形的边长，已知这个正方形的边长，可先求出圆的半径，再根据圆的面积公式：，代入数据即可求解。 【详解】6÷2＝3（厘米） 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 他所画圆的半径是3厘米，面积是28.26平方厘米。 【变式训练】妈妈准备了两张长是8cm、宽是6cm的长方形纸片。军军在这张纸片上画一个最大的圆，那么这个圆的周长是( )cm。欢欢在这张纸片上画一个最大的半圆形，这个半圆形的周长是( )cm，面积是( )cm2。 【答案】 18.84 20.56 25.12 【分析】长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，根据圆的周长＝π×直径，求出圆的周长；长方形内画最大的半圆，如果半圆的直径等于宽那么半径是6cm，直径是6×2＝12cm，长度不够。所以半圆的直径等于长方形的长，根据半圆的周长＝π×半径＋直径，据此求出半圆的周长，再根据圆的面积＝π×半径2，据此求出半圆的面积。 【详解】3.14×6＝18.84（cm） 8÷2＝4（cm） 3.14×4＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（cm2） 考点九：圆的面积的应用 【典例精讲】一个直径是20米的圆形泳池，周围铺设了宽1米的小路。小路的面积是多少？ 【答案】65.94平方米 【分析】本题考查圆环的面积计算，圆形泳池为内圆，泳池加小路为外圆，小路的面积就是外圆与内圆形成的圆环面积。泳池的直径除以2得到泳池的半径，也就是内圆的半径；泳池的半径加上1米，就是小路的半径，也就是外圆的半径。圆环的面积公式：S＝π（R2−r2）（R为外圆半径，r为内圆半径），代入数值即可解答。 【详解】20÷2＝10（米） 10＋1＝11（米） 3.14×（112－102） ＝3.14×（121－100） ＝3.14×21 ＝65.94（平方米） 答：小路的面积是65.94平方米。 【变式训练】把半径为的圆等分成16份，可以拼成近似的梯形，梯形的上底和下底之和是18.84厘米，圆的面积是多少平方厘米？ 【答案】113.04平方厘米 【分析】把一个圆平均分成16份，拼成一个近似的梯形，梯形上下底的和＝圆周长的一半，半径＝圆周长的一半÷π，根据圆的面积＝πr2，求出圆的面积。 【详解】根据题意可得：拼成的近似梯形的上底和下底之和是圆周长的一半，即圆半径为：18.84÷3.14＝6（厘米） 圆面积为： 3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方厘米） 答：圆的面积是113.04平方厘米。 【变式训练】日晷是一种古老的计时工具，下图中日晷投在圆形石面上的影子长5分米，圆形石面的面积是多少平方分米？ 【答案】78.5平方分米 【分析】日晷投在圆形石面上的影子长5分米，则圆形石面的半径为5分米，根据圆的面积＝即可求出圆形石面的面积。 【详解】3.14×5² ＝3.14×25 ＝78.5（平方分米） 答：圆形石面的面积是78.5平方分米。 【变式训练】星光小区里有一个圆形花坛，测得它的周长是31.4米。物业要在花坛的中心安装一个正好可以覆盖整个花坛喷水的自动旋转灌溉装置，装完后可以灌溉多大的一块地？ 【答案】78.5平方米 【分析】求灌溉面积，就是求这个圆形花坛的面积；根据圆的周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出这个圆形花坛的半径，再根据圆的面积＝π×半径2，代入数据，即可解答。 【详解】31.4÷3.14÷2 ＝10÷2 ＝5（米） 3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方米） 答：装完后可以灌溉78.5平方米的地。 考点十：圆环的面积 【典例精讲】如图，绿地公园广场有一个圆形花坛，半径是3米，在它的周围有一条宽1米的环形小路（阴影部分），求小路的面积。 【答案】21.98平方米 【分析】先用花坛半径加上小路宽度，求出外圆的半径，再根据圆环面积公式S＝π（R2－r2），代入数值，即可求出小路的面积。 【详解】3＋1＝4（米） 3.14×（42－32） ＝3.14×（16－9） ＝3.14×7 ＝21.98（平方米） 答：小路的面积是21.98平方米。 【变式训练】一个圆形养鱼池的周长是62.8米，中间有一个圆形小岛，小岛的半径是3米，这个养鱼池的水域面积是多少平方米？ 【答案】285.74平方米 【分析】整个养鱼池是外圆，中间的小岛是内圆，水域部分就是这两个同心圆之间的环形区域，也就是圆环。 已知养鱼池的周长是62.8米，即外圆周长是62.8米，根据圆的周长公式C＝2πr得r＝C÷π÷2，求出外圆半径为62.8÷3.14÷2＝10米；已知小岛的半径是3米，即内圆半径是3米，根据圆环面积公式S＝π（R2－r2）即可求出这个养鱼池的水域面积。据此解答。 【详解】62.8÷3.14÷2 ＝20÷2 ＝10（米） 3.14×（102－32） ＝3.14×（100－9） ＝3.14×91 ＝285.74（平方米） 答：这个养鱼池的水域面积是285.74平方米。 【变式训练】．李爷爷家有一个半径为6米的圆形菜园，他想再种点果树，打算把原来菜地的半径增加2米，现在菜园的面积比原来扩大了多少平方米？ 【答案】87.92平方米 【分析】扩建之前的菜园是半径为6米的圆形，扩建后的菜园是半径为（6＋2）米的圆形，根据圆的面积公式，分别计算出扩建前后菜园的面积，作差即可。 【详解】 ＝87.92（平方米） 答：现在菜园的面积比原来扩大了87.92平方米。 【变式训练】为了冬季用餐更加舒适，小明家新买了一个餐桌上的保温转盘（如下图），它的直径是10分米，为了防止使用时被烫伤，它的边上有1分米宽的区域是常温区。 (1)这个转盘加热区的面积是多少？ (2)这个转盘常温区的面积是多少？ 【答案】(1)50.24平方分米 (2)28.26平方分米 【分析】（1）已知保温转盘的直径是10分米，先根据半径＝直径除以2，求出转盘的半径。常温区在转盘边缘，宽1分米，用转盘半径减去常温区宽度，求出加热区半径。再根据圆的面积公式：S＝πr2（π取3.14），代入半径，求出加热区的面积。 （2）由图可知：常温区是转盘（外圆）和加热区（内圆）之间的环形，常温区面积＝外圆面积－内圆面积；内圆（加热区）面积已在小问1中求出；外圆（转盘）半径是5分米，代入圆的面积公式求出转盘总面积；再用转盘总面积减去加热区面积，求出常温区的面积。 【详解】（1）10÷2－1 ＝5－1 ＝4（分米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方分米） 答：这个转盘加热区的面积是50.24平方分米。 （2）3.14×52 ＝3.14×25 ＝78.5（平方分米） 78.5－50.24＝28.26（平方分米） 答：这个转盘常温区的面积是28.26平方分米。 考点十一：求最大面积 【典例精讲】滨江公园草地上有一个自动旋转洒水器，它的射程是4米，能洒到的草地面积是( )平方米。 【答案】50.24 【分析】由题意可知，能洒到的草地面积就是半径为4米的圆的面积，根据圆的面积公式：S＝πr2，据此计算即可。 【详解】3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 则能洒到的草地面积是50.24平方米。 【点睛】本题考查圆的面积，熟记公式是解题的关键。 【变式训练】两根铁丝都长6.28米，用它们分别围成一个正方形和一个圆，( )形的面积大，比另一个大( )平方米。 【答案】 圆 0.6751 【分析】正方形的边长＝周长÷4＝6.28÷4＝1.57（米），正方形的面积＝边长×边长；圆的半径＝圆的周长÷2÷π，圆的面积＝πr2；分别求出圆和正方形的面积，做对比即可。 【详解】6.28÷4＝1.57（米） 1.57×1.57＝2.4649（平方米） r＝6.28÷2÷3.14＝1（米） 3.14×1×1＝3.14（平方米） 3.14－2.4649＝0.6751（平方米） 【点睛】此题考查圆的周长公式以及面积公式的应用。 【变式训练】在正方形里面画一个最大的圆，圆面积是正方形面积的　 　，在圆里面画一个最大的正方形，正方形面积是圆面积的　 　．（结果中的π保留，不必取近似值计算） 【答案】， 【详解】试题分析：在正方形中画的最大圆的直径就等于正方形的边长，分别利用圆和正方形的面积公式表示出它们的面积，即可求得圆面积是正方形面积的几分之几； 在圆中画的最大正方形的对角线就是圆的直径，从而可以分别利用圆和正方形的面积公式表示出它们的面积，即可求得正方形面积是圆面积的几分之几； 解：如图所示， （1）在正方形里面画一个最大的圆，设正方形的边长为a， ， 因为正方形的面积=a×a=a2， 圆的面积=π=， 所以圆的面积÷正方形的面积=÷a2=； （2）在圆里面画一个最大的正方形，设圆的半径是R， ， 因为圆的面积=πR2， 正方形的面积=2R×R÷2×2=2R2， 所以正方形的面积÷圆的面积=2R2÷πR2=； 故答案为，． 点评：解答此题的关键是：依据画图弄清楚圆的半径与正方形的边长的关系，进而表示出各自的面积，求得面积之间的关系． 【变式训练】在一个正方形纸片内剪一个最大的圆形纸片，圆形纸片的半径是5厘米，正方形的面积是　 　平方厘米，圆的周长是　 　厘米，圆的面积是　 　平方厘米． 【答案】100，31.4，78.5 【详解】试题分析：由题意可知：这个最大圆的直径应该等于正方形的边长，圆的半径已知，从而可以求出正方形的边长，进而利用正方形的面积公式即可求解；圆的周长C=2πr，面积S=πr2，将半径代入公式，即可分别求出这个圆的周长和面积． 解：正方形的边长：5×2=10（厘米）； 正方形的面积：10×10=100（平方厘米）； 圆的周长：2×3.14×5=31.4（厘米）； 圆的面积：3.14×52=78.5（平方厘米）； 答：正方形的面积是100平方厘米；圆的周长是31.4厘米；圆的面积是78.5平方厘米． 故答案为100，31.4，78.5． 点评：此题主要考查圆的周长和面积以及正方形的面积的计算方法，关键是明白：这个最大圆的直径应该等于正方形的边长． 考点十二：含圆的组合图形的面积 【典例精讲】求下面阴影部分的面积。（单位：米）     【答案】28平方米 【分析】采用割补法，将右侧半圆内的阴影弓形移至左侧长方形内的空白弓形处，阴影部分面积转化为长9米、宽4米的长方形面积，减去底和高均为4米的直角三角形面积。 【详解】9×4－4×4÷2 ＝36－16÷2 ＝36－8 ＝28（平方米） 【变式训练】计算涂色部分的面积。 【答案】7.74cm2 【分析】正方形面积＝边长×边长，圆面积＝πr2，涂色部分的面积＝正方形面积－圆面积×。 【详解】6×6＝36（cm2） 3.14×62× ＝3.14×36× ＝28.26（cm2） 36－28.26＝7.74（cm2） 涂色部分的面积是7.74cm2。 【变式训练】求如图阴影部分的周长和面积。（单位：分米） 【答案】30.84分米；15.48平方分米 【分析】观察图形可知：阴影部分的周长＝半径为6分米的的圆的周长×2＋长方形的长，然后再根据圆的周长公式C＝2πr，解答即可；阴影部分的面积＝长为（6＋6）分米、宽为6分米的长方形的面积－半径为6分米的圆的面积×2，然后再根据长方形的面积公式S＝ab，圆的面积公式S＝πr2进行解答即可。 【详解】×2×3.14×6×2＋（6＋6） ＝18.84＋12 ＝30.84（分米） （6＋6）×6－×3.14×62×2 ＝12×6－×3.14×36×2 ＝72－56.52 ＝15.48（平方分米） 所以，阴影部分的周长是30.84分米，面积是15.48平方分米。 【变式训练】计算下图阴影部分的面积。 【答案】16cm2 【分析】 如图所示：，阴影部分面积＝长是8cm，宽是（8÷2）cm长方形面积－底是8cm，高是（8÷2）cm的三角形面积，根据长方形面积＝长×宽；三角形面积＝底×高÷2，据此解答。 【详解】 8÷2＝4（cm） 8×4－8×4÷2 ＝32－32÷2 ＝32－16 ＝16（cm2） 考点十三：方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】下图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是24cm。外面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？ 【答案】164.16平方厘米 【分析】外面的圆与内部的正方形之间的面积＝圆的面积－正方形的面积＝圆的面积－三角形的面积×2，据此解答。 【详解】 ＝164.16（平方厘米） 答：外面的圆与内部的正方形之间的面积是164.16平方厘米。 【点睛】掌握圆的面积计算公式的应用是解答题目的关键。 【变式训练】下图设计的是一个外圆内方的花坛，圆形部分种花，正方形和圆之间的部分种上草，如果每平方米草坪20元，共要多少钱？ 【答案】1720元 【分析】用正方形的面积减去圆的面积求出种草的面积，再乘每平方米草坪的价格即可。 【详解】20×20－3.14×（20÷2）2 ＝400－314 ＝86（平方米） 86×20＝1720（元） 答：如果每平方米草坪20元，共要1720元。 【点睛】熟练掌握圆的面积公式是解答本题的关键。 【变式训练】春节贴“福”字，是中国民间由来已久的风俗，“福”字指福气、福运，寄托了人们对幸福生活的向往，对美好未来的祝愿。下面这幅圆形“福”字窗花中，圆的半径是8cm，“福”所在的正方形与圆之间的部分的面积是多少？ 【答案】 【分析】把中心正方形分成两个三角形求解，三角形的底边是圆的直径，三角形的高是圆的半径，求出两个三角形的面积，即是正方形的面积。“福”所在的正方形与圆之间的部分的面积等于圆的面积减去中心正方形的面积，用圆的面积公式求出面积后，减去正方形的面积即可得解。 【详解】圆的面积 正方形面积 答：“福”所在的正方形与圆之间的部分的面积是。 【点睛】此题的解题关键是利用圆的面积和三角形的面积公式，求出组合图形的面积。 【变式训练】乐乐家有一张可以折叠的圆桌，如图它的直径是2米，可折叠部分的面积是多少平方米？ 【答案】1.14平方米 【分析】根据“圆的面积公式：”，即可求出这张圆桌的面积，正方形被分成了2个底是圆的直径、高是圆的半径的三角形，根据三角形的面积公式求出一个三角形的面积，再乘上2求出正方形的面积，然后用圆的面积减去圆内最大正方形的面积，即可求出折叠部分的面积。 【详解】半径：2÷1＝1（米） 圆的面积：3.14×12 ＝3.14×1 ＝3.14（平方米） 圆内最大正方形的面积： 2×1÷2×2 ＝2÷2×2 ＝1×2 ＝2（平方米） 折叠部分的面积： 3.14－2＝1.14（平方米） 答：可折叠部分的面积是1.14平方米。 【点睛】此题也可以根据圆内最大正方形和圆的面积比是3.14∶2，求出圆内最大正方形的面积，进而求出折叠部分的面积。 考点十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】已知圆的直径是8cm，求圆内阴影部分的面积。 【答案】25.12cm2 【分析】观察图形，分别把直径两边阴影部分凸出的小半圆补到空白处凹进去的小半圆位置后，两边阴影部分的面积之和正好等于大圆面积的一半，已知大圆直径是8cm，大圆半径为8除以2，得4cm，圆的面积＝，把数据代入公式计算即可。 【详解】3.14×（8÷2）2÷2 ＝3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（cm2） 圆内阴影部分的面积是25.12cm2。 【变式训练】“转化”是解决数学问题的一个重要思想方法。运用“转化”可以把未知的知识转化成已知的知识，把复杂的问题转化成简单的问题，把不规则的图形转化成规则的图形。请你运用“转化”的方法，求出下图的面积。 【答案】39.25cm2 【分析】通过观察图形可知，凸出来的小半圆与凹进去的小半圆直径相等，可以把凸出来的小半圆割补到凹进去的小半圆的位置，则这个不规则图形的面积就等于半径为5cm的大半圆的面积，最后根据圆的面积公式“”代入数据计算即可。 【详解】3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（cm2） 答：图形的面积是39.25cm2。 【变式训练】如图，三角形ABC是直角三角形，圆的直径是4厘米，阴影甲－阴影乙＝2.5平方厘米，则三角形中BC边长是多少厘米？（π取值为3） 【答案】4.75厘米 【分析】阴影甲的面积＝半圆的面积－空白部分的面积，阴影乙的面积＝三角形ABC的面积－空白部分的面积，再根据阴影甲－阴影乙＝2.5平方厘米，所以半圆的面积－空白部分的面积－（三角形ABC的面积－空白部分的面积）＝2.5平方厘米，即半圆的面积－三角形ABC的面积＝2.5平方厘米，利用圆和三角形的面积公式，代入数据求解即可。 【详解】3×（4÷2）2－4×BC÷2＝2.5 3×4－2BC＝2.5 12－2BC＝2.5 2BC＝12－2.5 2BC＝9.5 BC＝4.75 答：三角形中BC边长是4.75厘米。 【点睛】本题主要考查了组合图形的面积，解题的关键是把不规则图形转化为规则图形。 【变式训练】如图，，，求阴影部分的周长和面积。（结果保留整数） 【答案】周长：60；面积：81.64 【分析】根据图示，阴影部分的周长等于半径是8和5，圆心角是（360－120）°的弧长，加上两条8－5＝3的线段；面积等于圆心角是360－120＝240°的环形面积。利用圆环的面积公式：，圆的周长公式：，计算即可。 【详解】（3.14×5×2＋3.14×8×2）×＋（8－5）×2 ＝81.64×＋6 ≈54＋6 ＝60 3.14×（82－52）× ＝3.14×39× ＝81.64 答：阴影部分的周长是60，面积为81.64。 【点睛】本题主要考查组合图形的周长面积，关键把组合图形转化为规则图形，利用规则图形的周长与面积公式计算。 考点十五：弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲】把一个直径是20厘米的圆形纸片连续对折3次，得到( )个同样大小的扇形，每个扇形的圆心角是( )度，每个扇形的面积是( )平方厘米。 【答案】 8 45 39.25/ 【分析】把一张圆形纸对折1次，平均分成2份，所对的圆周角是360°除以2，对折2次，平均分成4份，所对的圆周角是360°除以4， 对折3次，平均分成8份，所对的圆心角是360°除以8，每个扇形的面积用圆的面积除以8，据此解答。 【详解】 （个） （度） （平方厘米） 把一个直径是20厘米的圆形纸片连续对折3次，得到8个同样大小的扇形，每个扇形的圆心角是45度，每个扇形的面积是39.25平方厘米。 【变式训练】如图，三个圆的半径都是2cm，三角形的顶点分别是三个圆的圆心，图中涂色部分的面积是( )cm2。 【答案】6.28 【分析】涂色部分是三个圆心角分别等于三角形三个内角的扇形，且三个扇形半径都是2cm。 因为三角形内角和为180°，所以三个扇形的圆心角之和为180°。 根据，就能计算出涂色部分的面积。 【详解】 （cm2） 【变式训练】如图，直角三角形ABC先绕顶点C顺时针旋转到位置②，此时BC边旋转了( )°；再如图示方式转动到位置③，点B第二次旋转所经过的路线长是( )厘米。 【答案】 150 6.28 【分析】旋转后的图形形状、大小不变，只是方向发生变化；当直角三角形ABC第一次旋转时，下面的边成一条直线，则顶点在C点的三个角组成一个平角，且左右两个角的度数相同，都是30°（如图），则用180°减去右边的角的度数30°，即可求出BC边旋转了的度数； 直角三角形ABC中，AB＝3厘米，∠B是直角，∠ACB是30°，根据三角形内角和是180°，可求出∠A的度数；求点B第二次旋转所经过的路线的长度，就是求以3厘米为半径的圆弧的长度；图形第二次旋转后（如图），因下面的边成一条直线，则顶点在O点的三个角组成一个平角，且左右两个角的度数都与∠A相同，是60°，则用180°减去左边的角的度数60°，即可求出圆弧所对的圆心角的度数；根据圆的周长公式，先求出圆弧所在的圆的周长，再乘圆弧所对的圆心角占周角的几分之几，即可求出圆弧的长度。据此解答。 【详解】180°－30°＝150° 所以，直角三角形ABC先绕顶点C顺时针旋转到位置②，此时BC边旋转了150°； 180°－90°－30°＝60° 180°－60°＝120° 3.14×2×3× ＝6.28×3× ＝6.28（厘米） 所以，点B第二次旋转所经过的路线长是6.28厘米。 【变式训练】如图表示的是一辆汽车油箱的储油量。如果油箱的储油量由图①变成图②，那么油箱的指针就会按_________时针方向旋转______________°。 【答案】 逆 90 【分析】从图中可以看出，油箱表盘是半圆形，一共12个刻度，半圆对应的角度是180度。12个刻度把180度平均分成12份，每两个刻度之间的夹角是180除以12，等于15度。 图①指针指在第9个刻度，图②指针指在第3个刻度。从第9个刻度到第3个刻度，指针是往回走的，往回走就是逆时针方向。指针走过了9减3等于6个刻度。旋转角度就是15°×6＝90°。 【详解】如果油箱的储油量由图①变成图②，那么油箱的指针就会按逆时针方向旋转90°。 考点十六：画扇形 【典例精讲】在下面的长方形中画一个最大的半圆，分别用字母O、r标出它的圆心和半径。 【答案】画图见详解 【分析】由题图可知长方形的长为4cm，宽为2cm，则长方形中最大的半圆是以长方形的长为直径的半圆，此时半径的长度等于宽，由此即可画图；先找到长方形长边的中点为圆心，再以长方形长边一半即宽的长度为半径作图即可。 【详解】因为长方形的长为4cm，宽为2cm，所以长方形内最大的半圆半径为4÷2＝2（cm），由此可在长方形中画一个最大的半圆，分别用字母O、r标出它的圆心和半径如下： 【变式训练】画一个半径为2厘米的圆，标出圆心和半径，然后在圆中画出一个圆心角为120°的扇形。 【答案】见详解 【分析】（1）用圆规画圆，把圆规的两脚分开，两脚间的距离为2厘米；把带有针尖的脚固定在一点上；把装有铅笔的脚旋转一周，就画出了一个圆。标出圆心O、半径r＝2厘米。 （2）先在圆中任意画一条半径OA；再以圆心O为顶点，以半径OA为边，画一个120°的角，使角的另一条边与圆相交于B点，并对应∠AOB标上120°；弧AB和半径OA、OB所围成的图形就是一个圆心角是120°的扇形。 【详解】如下图： 【变式训练】画一个周长是12.56cm的圆，再在圆中画一个圆心角是60°的扇形。 【答案】见详解 【分析】用周长除以2再除以3.14，求出这个圆的半径。圆规两脚间的距离调整为半径的长度，确定一个圆心，先画出这个圆。再结合量角器，以圆心为顶点，画出一个60°的角，延长角两边，直至和圆周相交，即可画出一个圆心角是60°的扇形。 【详解】12.56÷2÷3.14＝2（cm） 如图： （画法不唯一） 【点睛】本题考查了画圆和扇形，掌握圆和扇形的作图方法是解题的关键。 【变式训练】画一个半径是1厘米的圆，并在图上用、、分别标出圆的圆心、直径和半径。并在其中画一个圆心角是120°的扇形。 【答案】见详解 【分析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，由此以点O为圆心，以1厘米为半径，即可画出这个圆，并在图上用、、分别标出圆的圆心、直径和半径。因为圆周角为360°，所以用以圆的任意一条半径为扇形的边，再利用量角器画出圆心角为120°的扇形即可。 【详解】以点O为圆心，以1厘米为半径，画圆如下：    【点睛】本题考查圆和扇形的画法，先确定圆心的位置，再确定半径，明确圆规两脚间的距离等于圆的半径。 考点十七：扇形的周长和面积 【典例精讲】下图是汽车挡风玻璃上的雨刷装置。若雨刷左右摇摆最大角度是150°，雨刷长30厘米，那么雨刷摇摆一次刷到挡风玻璃的面积是多少？ 【答案】1962.5平方厘米 【分析】由图可知，雨刷每次扫过的面积是圆环面积（圆环的面积，表示外圆半径即雨刷长度，表示内圆半径即图中空白扇形的半径）的一部分。根据扇形面积公式“（为半径）”可知雨刷摇摆一次刷到挡风玻璃的面积是：。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1962.5（平方厘米） 答：雨刷摇摆一次刷到挡风玻璃的面积是1962.5平方厘米。 【变式训练】你见过停车场或小区门口的起降杆吗？在东方小区门口有车辆进出的起降杆（如图），当车进入或出去时这根起降杆就要完成一次起降运动。王叔叔外出办事，驾车从小区驶出后，这根起降杆A点起降总共移动了多少米？起降杆来回移动的面积是多少？（结果保留两位小数） 【答案】10.99米；19.23平方米 【分析】根据题意，起降杆完成一次起降运动，起降杆A点移动了2个半径为3.5米的圆周长的，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求出起降杆A点总共移动的长度。起降杆来回移动的面积相当于2个半径为3.5米的圆的面积的，根据圆的面积公式S＝πr²，代入可计算出起降杆来回移动的面积，保留两位小数则是根据千分位上的数字进行四舍五入。 【详解】2×3.14×3.5××2 ＝6.28×3.5××2 ＝21.98××2 ＝5.495×2 ＝10.99（米） 3.14×3.5²××2 ＝3.14×12.25××2 ＝38.465××2 ＝9.61625×2 ≈19.23（平方米） 答：这根起降杆A点起降总共移动了10.99米；起降杆来回移动的面积约是19.23平方米。 【变式训练】折扇又名“撒扇”、“纸扇”等，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子。如图是一把绫绢折扇，做这样一把折扇扇面至少需要绫绢面料多少平方分米？ 【答案】12.56平方分米 【分析】观察题意可知，折扇扇面的面积＝大圆面积的－小圆面积的，大圆的半径是3分米，小圆的半径是（3－2）分米，根据圆面积公式：S＝πr2，用3.14×32×－3.14×（3－2）2×即可求出折扇扇面的面积。 【详解】3.14×32×－3.14×（3－2）2× ＝3.14×32×－3.14×12× ＝3.14×9×－3.14×1× ＝14.13－1.57 ＝12.56（平方分米） 答：做这样一把折扇扇面至少需要绫绢面料12.56平方分米。 【点睛】本题考查了圆面积公式的灵活应用。 【变式训练】如图，用两个长方形和一个正方形拼成一个大正方形，两个长方形的面积如图所示，正方形中有一个最大的圆（涂色部分），则涂色部分的面积是多少？ 【答案】12.56平方米 【分析】如图 ①号正方形的面积＝两个长方形面积差，根据正方形面积＝边长×边长，确定①号正方形的边长，即小长方形的宽，根据长方形的长＝面积÷宽，求出小长方形的长，即圆的半径，根据圆的面积＝πr2，求出圆的面积，再乘就是涂色部分的面积。 【详解】12－8＝4＝2×2 8÷2＝4（m） 3.14×42× ＝3.14×16× ＝12.56（） 答：涂色部分的面积是12.56。 【点睛】关键是观察图示，确定圆的半径，掌握并灵活运用扇形面积公式。 综合训练 1．如图，折叠方桌的边长为1.2米，把它的四边撑开，就成了圆桌，撑开前后的面积比是（    ）。 A．2∶π B．π∶2 C．4∶π D．π∶4 【答案】A 【分析】设圆的半径是x米，则直径是2x米，正方形的面积等于2个底边是2x米，高是x米的三角形的面积，由此列方程，然后利用正方形的面积公式S＝，圆的面积公式S＝，解答即可。 【详解】 解：设圆的半径是x米，则直径是2x米， 2x×x÷2×2＝1.2×1.2 x2＝1.44÷2 x2＝0.72 撑开前后的面积比：（1.2×1.2）∶（π×x2） ＝1.44∶0.72π ＝（1.44÷0.72）∶（0.72π÷0.72） ＝2∶π 2．用18.84分米长的铁丝围成长方形、正方形、圆和三角形，（    ）的面积最大。 A．长方形 B．正方形 C．圆 D．三角形 【答案】C 【分析】铁丝长度固定即周长相等，周长相同的封闭图形中，越接近圆形面积越大，分别计算正方形、圆、长方形、三角形的面积对比即可。 【详解】圆的半径：18.84÷（2×3.14） ＝18.84÷6.28 ＝3（分米） 圆的面积：3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方分米） 正方形的边长：18.84÷4＝4.71（分米） 正方形的面积：4.71×4.71＝22.1841（平方分米） 当周长一定时，长方形的长和宽越接近，面积越大，当长和宽相等时即为正方形，此时面积最大，所以长方形的面积小于或等于正方形的面积。 当周长一定时，正三角形的面积在三角形中最大，但仍小于正方形的面积。 28.26＞22.1841 且正方形面积大于长方形和三角形面积。 所以，圆的面积最大。 3．一个圆形花坛的半径是5米，若在其周围加宽2米，增加的环形面积是（    ）平方米。 A．37.68 B．75.36 C．87.92 D．113.04 【答案】B 【分析】增加的环形面积＝大圆的面积－小圆的面积，圆的面积公式是：S＝πr2，大圆的半径是5＋2＝7（米），代入数据计算即可。 【详解】5＋2＝7（米） 3.14×72－3.14×52 ＝3.14×（49－25） ＝3.14×24 ＝75.36（平方米） 增加的环形面积是75.36平方米。 4．如图，一台半径为20cm的圆形扫地机器人，在一个长3m、宽2m的长方形空置区域内工作，该扫地机器人扫不到的面积是（    ）cm2。 A．1256 B．658 C．344 D．314 【答案】C 【分析】 分析题目，机器人扫不到的面积是长方形的4个角的位置，如红色区域所示：，红色区域的面积等于边长是20cm的正方形的面积减去半径是20cm的圆面积的，正方形的面积＝边长×边长，圆的面积＝πr2，据此列式求出1个角上扫不到的面积，最后乘4即可解答。 【详解】20×20－3.14×202÷4 ＝400－3.14×400÷4 ＝400－1256÷4 ＝400－314 ＝86（cm2） 86×4＝344（cm2） 该扫地机器人扫不到的面积是344cm2。 5．在方格纸上，如果每个小方格的边长都表示1cm，那么在这个方格纸上画一个半径是2cm的圆，圆心的位置不可能是（    ）。 A．（2，4） B．（4，2） C．（2，0） D．（3，4） 【答案】C 【分析】连接圆心和圆上任意一点的线段叫作半径，因为圆的半径是2cm，所以圆心位置所在的列数和行数都必须大于2或者等于2。 【详解】A．（2，4），列数等于2，行数大于2，符合圆心的位置的条件； B．（4，2），列数大于2，行数等于2，符合圆心的位置的条件； C．（2，0），列数等于2，行数小于2，不符合圆心的位置的条件； D．（3，4），列数大于2，行数大于2，符合圆心的位置的条件。 圆心的位置不可能是（2，0）。 6．把一张圆形卡片分割成两个半圆后，它的周长增加了12cm，那么原来这张圆形卡片的周长是（    ）。 A．37.68 B．6.28 C．9.42 D．18.84 【答案】D 【分析】根据题意，增加的12cm相当于是圆的2条直径的长度，用12除以2算出原来圆形卡片的直径；根据圆的周长C＝πd解决。 【详解】3.14×（12÷2） ＝3.14×6 ＝18.84（cm） 原来这张圆形卡片的周长是18.84cm。 7．辰辰在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，恰好围成一个圆锥模型（如图）。如果圆的半径为m，扇形的半径为n。那么n与m的比为( )。 【答案】 【分析】圆锥的侧面是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长；本题中扇形是从正方形铁皮上剪下的圆心角为90°的四分之一圆，因此扇形弧长是半径为n的圆周长的；已知圆锥底面圆的半径为m，我们可以根据“扇形弧长＝圆锥底面圆周长”这一等量关系列出等式，进而求出n与m的比。 【详解】扇形的弧长＝圆锥底面圆的周长 扇形的弧长是半径为n的圆周长的，即 圆锥底面圆周长：半径为m，周长为 列等式并化简： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝，所以。 8．一个圆的半径由3厘米增加到5厘米，它的周长增加( )，面积增加( )。 【答案】 12.56厘米/12.56cm 50.24平方厘米50.24cm2 【分析】根据圆的周长公式，计算原来圆的周长与半径增加后圆的周长，再求差即可； 根据圆的面积公式，计算原来圆的面积与半径增加后圆的面积，再求差即可。 【详解】周长增加： （厘米） 面积增加： （平方厘米） 9．一个圆的半径是4分米，这个圆的直径是__________分米，圆的周长是__________分米，面积是__________平方分米（π取3.14）。 【答案】 8 25.12 50.24 【分析】同一个圆，圆的直径是半径的两倍，利用圆的周长、面积公式，，可分别算出这个圆的周长和面积。 【详解】圆的直径：（分米）； 圆的周长：（分米）； 圆的面积： （平方分米） 由上可知，这个圆的直径是8分米，圆的周长是25.12分米，面积是50.24平方分米。 10．一根铁丝正好可以围成一个半径是1.5分米的圆，如果改围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长是( )分米。 【答案】 【分析】根据，代入数据算出圆的周长，也就是等边三角形的周长，再除以算出边长即可。 【详解】 （分米） 所以这个等边三角形的边长是分米。 11．如右图，把一个圆剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的长是6.28cm，则它的周长是( )cm，面积是( )。 【答案】 16.56 12.56 【分析】圆拼成一个近似长方形，长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径；用长方形长×2，求出圆的周长；再根据圆的周长＝2πr，据此求出圆的半径，再根据长方形周长＝（长＋宽）×2，据此求出近似长方形的周长，根据圆的面积＝πr2，据此求出圆的面积。 【详解】6.28×2＝12.56（cm） 12.56÷（3.14×2） ＝12.56÷6.28 ＝2（cm） （6.28＋2）×2 ＝8.28×2 ＝16.56（cm） 3.14×22 ＝3.14×4 ＝12.56（cm2） 12．有一张直径为1米的圆桌，如果把桌子的上下面都油漆一遍，油漆的面积有( )平方米；如果用铝条包桌边，至少需要( )米长的铝条。 【答案】 1.57 3.14 【分析】圆的面积公式为，要涂上、下两个面，因此总面积为圆面积乘2；包桌边的长度就是圆的周长，即铝条的长度为圆周长，圆的周长公式为。 【详解】油漆面积： 2×3.14×（1÷2）2 ＝2×3.14×0.52 ＝2×3.14×0.25 ＝1.57（平方米） 铝条长度： 3.14×1＝3.14（米） 13．用一张长20厘米、宽16厘米的长方形纸剪小圆片，若想要直径为整厘米数且剩余废料尽可能少，则直径最大为( )厘米，每个小圆片的面积是( )平方厘米。 【答案】 【分析】长方形纸的长是20厘米，宽是16厘米，我们需要找20和16的最大公因数，为了直径最大且整厘米数，并能整除长和宽以确保无废料，最大公因数就是最大直径，废料在能整除条件下最少；然后再根据圆的面积＝π求出每个小圆片的面积。圆的半径＝圆的直径÷2。 【详解】20的因数有：1，2，4，5，10，20； 16的因数有：1，2，4，8，16。 它们的最大公因数是4，所以直径最大为4厘米。 3.14× ＝3.14× ＝3.14×4 ＝12.56（平方厘米） 每个小圆片的面积是12.56平方厘米。 14．“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含着为人处世的道理。如图，量得正方形的周长是48dm，则里面圆的周长是( )dm，面积是( )dm2。 【答案】 37.68 113.04 【分析】用正方形的周长除以可以求出圆的直径和半径。根据周长公式求出圆的周长，根据面积公式求出圆的面积。 【详解】 15．圆规是画圆的工具，圆规的发明最早可以追溯到中国夏朝，《史记·夏本纪》记载大禹治水“左准（zhǔn）绳，右规矩”。亮亮学习用圆规画圆后，用圆规画了一个周长18.84厘米的圆，那么他在画圆时圆规两脚之间的距离应是( )厘米，画出的圆的面积是( )平方厘米。 【答案】 3 28.26 【分析】圆规两脚之间的距离就是所画圆的半径，用求出半径，再用公式求出圆的面积即可。 【详解】 （厘米） （平方厘米） 16．学校田径跑道如图所示，最内侧为第一跑道，长度为200米，每条跑道宽1米。若在这里进行200米赛跑，第二道的运动员起跑线应该比第一道运动员的起跑线提前( )米。 【答案】6.28 【分析】跑道是由两条直道和两个半圆组成，直道长度相同，所以起跑线的差距来自两个半圆的周长差，设第一跑道的内圈半径是r米，则第二跑道的半径为（r＋1）米，第二跑道比第一跑道多跑的距离是两个圆的周长差，再根据C＝2πr（π取3.14），进行计算即可。 【详解】设第一跑道的内圈半径是r米，则第二跑道的半径为（r＋1）米。 2π（r＋1）－2πr ＝2πr＋2π－2πr ＝2π ＝2×3.14 ＝6.28（米） 17．计算下面各图中涂色部分的面积。（单位：厘米） 【答案】39.25平方厘米；18.24平方厘米 【分析】左图：涂色部分是三个扇形，它们的圆心角之和是等腰直角三角形的内角和，即180°，所以这三个扇形拼起来是一个半径为5厘米的半圆，根据半圆面积公式S＝πr2（π取3.14），代入数值即可解答。 右图：涂色部分的面积＝圆的面积－中间正方形的面积。正方形可以看成两个底为8厘米、高为4厘米的三角形，先根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积，根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，再乘2求出正方形的面积，再相减，即可解答。 【详解】3.14×52÷2 ＝3.14×25÷2 ＝78.5÷2 ＝39.25（平方厘米） 3.14×（8÷2）2－8×（8÷2）÷2×2 ＝3.14×42－8×4÷2×2 ＝3.14×16－32 ＝50.24－32 ＝18.24（平方厘米） 18．计算下图阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】（1）29.76平方厘米；（2）6.28平方厘米 【分析】（1）梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，圆的面积。由图可知，梯形的高为8厘米。分别求出梯形和圆的面积后，用梯形面积减去圆的面积。 （2）如图，将左侧的阴影部分剪下，拼接在右侧空白处，正好拼成一个完整的半圆，利用求出半圆的面积。计算时需先根据直径等于4厘米，利用求出半圆的半径。 【详解】 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 第一个图阴影部分的面积是29.76平方厘米。 （2）（厘米） （平方厘米） 第二个图阴影部分的面积是6.28平方厘米。 19．一张圆形餐桌面的直径是2.3m，如果一个人需要0.4m宽的位置就餐，这张餐桌最多能坐多少人？ 【答案】18人 【分析】相当于在封闭路径上植树的问题，人数＝间隔数＝总长÷间距，因为人数必须为整数，根据实际情况需要用去尾法保留整数，圆的周长＝πd，周长÷每个人需要的位置＝人数，结果用去尾法保留整数 【详解】3.14×2.3＝7.222（米） 7.222÷0.4≈18（人） 答：这张餐桌最多能坐18人。 20．光伏板技术这些年已走进千家万户。陈先生家的天台因地制宜，安装了一块直径6米的圆形单晶硅光伏板。在达到有效光照时间的前提下（一般每天4小时），每平方米光伏板一天能转化电能0.5千瓦时。照这样计算，陈先生家的光伏板一天能转化电能多少千瓦时？ 【答案】14.13千瓦时 【分析】先根据直径求出半径，再利用圆的面积公式S＝πr2求出光伏板的面积，最后用每平方米光伏板一天能转化电能数乘光伏板的面积。 【详解】光伏板的半径：6÷2＝3（米） 光伏板的面积： 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 一天转化电能：0.5×28.26＝14.13（千瓦时） 答：陈先生家的光伏板一天能转化电能14.13千瓦时。 21．广西梧州出产的砧板非常有名。工匠们通常会给砧板边缘箍上一圈铁条，再预留20厘米的铁条长度用来做提手。如图这块砧板半径是12厘米，给它箍圈和做提手，需要的铁条至少是多少厘米？ 【答案】95.36厘米 【分析】本题需运用圆的周长公式，计算出砧板的周长，再加上预留做提手的铁条长度，得到所需铁条的总长度。 【详解】 （厘米） 答：需要的铁条至少是95.36厘米。 22．学校操场的示意图如下图所示，其左右两侧为两个大小相同的半圆形，中间为长方形。已知操场的周长为222.8米，求这个操场的面积是多少平方米？ 【答案】1914平方米 【分析】操场的周长＝长方形的长×2＋两个半圆弧长。 因为两个半圆大小相等，所以它们的弧长之和等于一个圆的周长。 根据圆的周长公式C＝2πr，求出半径，圆的直径d＝2r。 两个半圆的面积之和等于一个圆的面积。 圆的面积S＝πr²。 长方形的宽＝2r 长方形的面积＝长方形的长×长方形的宽。 操场的面积＝长方形的面积＋圆的面积。 【详解】根据分析可知： 80×2＝160（米） 两个半圆弧长：222.8－160＝62.8（米） 因为两个半圆大小相等，所以它们的弧长之和等于一个圆的周长。 圆的半径长：62.8÷3.14÷2＝10（米） 圆的面积：3.14×10²＝314（平方米） 长方形的宽：2×10＝20（米） 长方形的面积：20×80＝1600（平方米） 操场的面积：314＋1600＝1914（平方米） 答：这个操场的面积是1914平方米。 23．小明上午10：00准时坐到电视机前收看2025年九三大阅兵，11∶10观看结束。已知小明家的钟表的分针长20厘米，在此期间，分针针尖所走的路程是多少厘米？分针扫过的面积是多少平方厘米？（得数保留整数） 【答案】147厘米；1465平方厘米 【分析】钟面上有12个大格，每个大格是30°，从10：00到11∶10经历了1小时10分钟，则分针的针尖要绕钟面旋转一周外加两大格，分针针尖所走的路程也就是一个以分针的长20厘米为半径的圆的周长加圆心角是30°＋30°＝60°对应的弧长。根据圆的周长＝2πr，求出分针针尖旋转一周所走的路程。分针针尖所走的弧长对应的圆心角为60度，占整个圆心角360°的，所以分针针尖旋转一周所走的路程×即为圆心角60度的弧长。最后把分针针尖旋转一周的路程和60度对应的弧长相加即可求出分针针尖所走的路程； 分针扫过的面积是一个以分针的长20厘米为半径的圆的面积加圆心角是60°对应的扇形的面积，根据圆的面积＝πr2，求出圆的面积，扇形的面积＝圆的面积×，圆的面积加上扇形的面积即为分针扫过的面积。 【详解】2×3.14×20 ＝6.28×20 ＝125.6（厘米） 30＋30＝60（度） 125.6× ＝125.6× ≈21（厘米） 125.6＋21＝146.6≈147（厘米） 3.14×202 ＝3.14×400 ＝1256（平方厘米） 1256× ＝1256× ≈209（平方厘米） 1256＋209＝1465（平方厘米） 答：分针针尖所走的路程是147厘米，分针扫过的面积是1465平方厘米 24．手工课上，小华想用圆形纸片制作一些装饰品。他有一张长43厘米，宽30厘米的长方形卡纸，打算从中剪出直径6厘米的圆形纸片。 (1)在这张长方形卡纸上最多能剪出多少个直径6厘米的圆形纸片？ (2)剪完这些圆形纸片后，剩余卡纸的面积是多少平方厘米？ 【答案】(1)35个 (2)300.9平方厘米 【分析】（1）分别计算长方形卡纸的长和宽分别包含多少个圆的直径，再用长和宽能剪的圆的数量相乘，求出最多能剪出的圆的个数； （2）先算出长方形卡纸的面积和剪出的所有圆的面积，再用长方形面积减去圆的总面积得到剩余卡纸的面积。长方形面积＝长×宽，圆的面积S＝πr2。 【详解】（1）43÷6＝7（个）……1（厘米） 30÷6＝5（个） 7×5＝35（个） 答：最多能剪出35个直径6厘米的圆形纸片。 （2）43×30＝1290（平方厘米） 3.14×（6÷2）2×35 ＝3.14×32×35 ＝3.14×9×35 ＝28.26×35 ＝989.1（平方厘米） 1290－989.1＝300.9（平方厘米） 答：剩余卡纸的面积是300.9平方厘米。 25．在“美丽家园”社区改造计划中，物业决定对中心花园的圆形花坛进行景观升级。有一个直径是40米的圆形花坛，现在要用鹅卵石沿圆形花坛外围铺一条4米宽的小路。如果每平方米按30元的费用计算，铺这条小路需要多少元？ 【答案】16579.2元 【分析】这条小路是环形，先求出内圆半径，再根据“外圆半径＝内圆半径＋环宽”求出外圆半径，然后利用“”求出这条小路的面积，最后根据“总价＝单价×数量”求出总费用。 【详解】40÷2＝20（米） 20＋4＝24（米） 3.14×（242－202） ＝3.14×（576－400） ＝3.14×176 ＝552.64（平方米） 552.64×30＝16579.2（元） 答：铺这条小路需要16579.2元。 26．王叔叔买了一张可折叠的餐桌，中间是长100厘米，宽20厘米的长方形，两侧是半圆形，如图1所示。这张餐桌完全展开后，如图2所示，桌面的面积有多大？ 【答案】9850平方厘米 【分析】根据题意，餐桌完全展开后的面积由中间长方形和一个整圆（两侧半圆拼接而成）组成。需先计算长方形面积（长×宽），再计算圆的面积，其中圆的直径等于长方形的长），最后将两者面积相加。 【详解】长方形面积：100×20＝2000（平方厘米） 圆的半径：100÷2＝50（厘米） 圆的面积：3.14×502 ＝3.14×2500 ＝7850（平方厘米） 2000＋7850＝9850（平方厘米） 答：桌面的面积是9850平方厘米。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元 圆 举一反三讲义 目录 知识梳理 2 一、圆的认识 2 1. 圆的定义 2 2. 圆的各部分名称 2 3. 圆的基本特征 3 4. 半径与直径的关系 3 5. 圆的对称性 3 6. 用圆规画圆的步骤 3 二、扇形的认识 3 1. 扇形的定义 3 2. 圆心角 3 3. 扇形大小的影响因素 3 4. 扇形的对称性 3 三、圆的周长 4 1. 周长的定义 4 2. 圆周率的意义 4 3. 圆的周长计算公式 4 4. 半圆的周长 4 四、圆的面积 4 1. 面积的定义 4 2. 圆的面积推导 4 3. 圆的面积计算公式 4 五、圆环与组合图形的面积 5 1. 圆环的面积 5 2. 组合图形的面积计算 5 考点讲练 5 考点一：圆的概念及特点 5 考点二：画圆 5 考点三：与圆相关的轴对称图形 6 考点四：圆的周长 7 考点五：半圆的周长 8 考点六：圆的周长的应用 9 考点七：含圆的组合图形的周长 10 考点八：圆的面积 11 考点九：圆的面积的应用 12 考点十：圆环的面积 13 考点十一：求最大面积 14 考点十二：含圆的组合图形的面积 15 考点十三：方中圆和圆中方的面积问题 16 考点十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 18 考点十五：弧、圆心角、扇形的认识 20 考点十六：画扇形 20 考点十七：扇形的周长和面积 21 综合训练 23 知识梳理 一、圆的认识 1. 圆的定义 圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的封闭曲线图形。这个定点叫作圆心，一般用字母表示；定长叫作半径，一般用字母表示。 2. 圆的各部分名称 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，用字母表示。 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段，用字母表示。直径是圆内最长的线段。 3. 圆的基本特征 在同一个圆（或等圆）中，有无数条半径，所有半径的长度都相等；有无数条直径，所有直径的长度都相等。 圆心决定圆的位置，半径（或直径）决定圆的大小。 4. 半径与直径的关系 在同一个圆（或等圆）中，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的。 用字母表示： 或 5. 圆的对称性 圆是轴对称图形，直径所在的直线都是圆的对称轴。 圆有无数条对称轴。 半圆也是轴对称图形，只有 1 条对称轴。 6. 用圆规画圆的步骤 定半径：把圆规两脚分开，定好两脚间的距离（即半径长度）； 定圆心：把有针尖的一只脚固定在一点上（即圆心）； 旋转一周：把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 二、扇形的认识 1. 扇形的定义 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫作扇形。 2. 圆心角 顶点在圆心，并且两边都是圆的半径的角，叫作圆心角。 3. 扇形大小的影响因素 在同一个圆中，扇形的大小与圆心角的大小有关：圆心角越大，扇形越大； 圆心角相等时，扇形的大小与半径的长短有关：半径越长，扇形越大。 4. 扇形的对称性 扇形是轴对称图形，沿着过圆心和弧中点的直线对折后两边完全重合，只有1 条对称轴。 三、圆的周长 1. 周长的定义 围成圆的曲线的长叫作圆的周长，一般用字母表示。 2. 圆周率的意义 圆的周长除以直径的商是一个固定不变的数，这个数叫作圆周率，用希腊字母（pài）表示。 是一个无限不循环小数，； 小学阶段计算时，通常取。 3. 圆的周长计算公式 已知直径，求周长： 已知半径，求周长： 4. 半圆的周长 半圆的周长不是圆周长的一半，而是圆周长的一半加上一条直径（或两条半径）。 公式： 四、圆的面积 1. 面积的定义 圆所占平面的大小叫作圆的面积，一般用字母表示。 2. 圆的面积推导 把圆平均分成若干偶数等份，剪开后可以拼成一个近似的长方形： 长方形的长相当于圆周长的一半，即； 长方形的宽相当于圆的半径，即； 因为长方形面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 = 。 3. 圆的面积计算公式 已知半径，求面积： 已知直径，求面积：先求半径，再代入公式 已知周长，求面积：先求半径，再代入公式 4. 半圆的面积 半圆的面积是对应圆面积的一半。 公式： 五、圆环与组合图形的面积 1. 圆环的面积 两个半径不相等的同心圆之间的部分叫作圆环，也叫环形。 外圆半径用表示，内圆半径用表示； 圆环面积 = 外圆面积 - 内圆面积 公式： 2. 组合图形的面积计算 计算由圆、扇形、长方形、正方形等组成的组合图形面积时，常用方法： 求和法：把组合图形拆分成几个规则图形，面积相加； 求差法：用大的规则图形面积减去空白部分的面积； 割补平移法：通过割补、平移、旋转，将不规则图形转化为规则图形计算。 考点讲练 考点一：圆的概念及特点 【典例精讲】用一张正方形的纸剪一个厘米的圆，正方形纸的边长至少是_________厘米。 【变式训练】六年的数学学习中，我们认识了很多著名的中外数学家，请你写出一位你了解的数学家的名字( )，它的杰出成就是( )。 【变式训练】画圆时，圆规两个脚之间的距离是7cm，画出的圆的半径是( )cm，直径是( )cm。 【变式训练】在长16cm，宽10cm的长方形铁皮上剪半径是2cm的圆，最多可以剪( )个。 考点二：画圆 【典例精讲】画一画。 请用圆规画一个直径3厘米的圆，分别用O，r表示圆心和半径。 【变式训练】要在下边正方形内画一个最大的圆，怎样才能确定圆心和半径？写出你的想法，并画出这个圆。 【变式训练】画一个半径为1.5cm的圆，并用字母标出它的圆心、半径和直径。 【变式训练】按下列要求用圆规画圆。 以O点为圆心，OA长为半径画圆。 考点三：与圆相关的轴对称图形 【典例精讲】画出下面各图形的对称轴，能画几条就画几条。 【变式训练】画出下面图形的所有对称轴。 【变式训练】画出下列图形的对称轴。（有几条画几条） 【变式训练】画出下面图形的所有对称轴。 考点四：圆的周长 【典例精讲】按要求计算。（单位：厘米） 计算圆的周长。     【变式训练】求下列各圆的周长。 （1）r＝6厘米        （2）d＝16米 【变式训练】祖冲之得到的圆周率在3.1415926和3.1415927之间，在《隋书》中是这样记载的：以圆径一亿为一丈，圆周盈数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒七忽，朒数三丈一尺四寸一分五厘九毫二秒六忽，正数在盈朒二限之间。根据这种表达方式，5丈6寸可以用小数( )表示。 【变式训练】孙师傅想制作一个无盖的圆柱形铁桶，长方形铁皮配上下面哪种圆形铁皮正好可以做成一个这样的铁桶？在括号里画“√”。 考点五：半圆的周长 【典例精讲】在一个长为8厘米，宽为3厘米的长方形内画一个半圆，这个半圆的周长是( )厘米。 【变式训练】把一个直径是2厘米的圆形纸片剪成两个半圆后，每个半圆形纸片的周长是( )厘米。 【变式训练】从一个长、宽的长方形木板上锯下一个最大的半圆，这个半圆的半径是( )dm，周长是( )dm。 【变式训练】把一张圆形纸板剪成两个相等的半圆，发现周长增加。每个半圆的周长是( )。 考点六：圆的周长的应用 【典例精讲】杂技演员表演独轮车走钢丝，车轮的直径是40厘米，要骑过75.36米长的钢丝，车轮要转动多少圈？（π取3.14） 【变式训练】一个半径50米的圆形草坪，沿着它的边线每隔2米栽一株牡丹花，一共可栽多少株？ 【变式训练】小芳有一辆自行车车轮的外直径是0.6米。 (1)车轮转动一圈，这辆自行车前进多少米？ (2)小芳骑自行车到学校用10分钟，车轮每分钟转100圈。小芳家距学校有多少米？ 【变式训练】科技社团举办了一场赛车模型比赛，两辆赛车的比赛轨道如图所示：A车跑内圈两个小半圆，B车跑外圈一个大半圆。在科创社团举办的这场比赛中，如果这两辆赛车的速度相同，哪辆赛车会赢？（提示：用算式、文字或其他方法解决问题） 考点七：含圆的组合图形的周长 【典例精讲】计算下面图形涂色部分的周长。 【变式训练】求下图阴影部分的周长，单位（厘米）。 【变式训练】我会求下面涂阴影的图形的周长。 【变式训练】．求阴影部分的周长。（单位：cm） 考点八：圆的面积 【典例精讲】计算下面图形的面积。 【变式训练】小圆的直径是6厘米，大圆的半径是4厘米，小圆的周长与大圆的周长之比是( )，大圆的面积与小圆的面积之比是( )。 【变式训练】数学课上，淘淘在边长是6厘米的正方形卡纸上画了一个最大的圆，他所画圆的半径是________厘米，面积是________平方厘米。 【变式训练】妈妈准备了两张长是8cm、宽是6cm的长方形纸片。军军在这张纸片上画一个最大的圆，那么这个圆的周长是( )cm。欢欢在这张纸片上画一个最大的半圆形，这个半圆形的周长是( )cm，面积是( )cm2。 考点九：圆的面积的应用 【典例精讲】一个直径是20米的圆形泳池，周围铺设了宽1米的小路。小路的面积是多少？ 【变式训练】把半径为的圆等分成16份，可以拼成近似的梯形，梯形的上底和下底之和是18.84厘米，圆的面积是多少平方厘米？ 【变式训练】日晷是一种古老的计时工具，下图中日晷投在圆形石面上的影子长5分米，圆形石面的面积是多少平方分米？ 【变式训练】星光小区里有一个圆形花坛，测得它的周长是31.4米。物业要在花坛的中心安装一个正好可以覆盖整个花坛喷水的自动旋转灌溉装置，装完后可以灌溉多大的一块地？ 考点十：圆环的面积 【典例精讲】如图，绿地公园广场有一个圆形花坛，半径是3米，在它的周围有一条宽1米的环形小路（阴影部分），求小路的面积。 【变式训练】一个圆形养鱼池的周长是62.8米，中间有一个圆形小岛，小岛的半径是3米，这个养鱼池的水域面积是多少平方米？ 【变式训练】．李爷爷家有一个半径为6米的圆形菜园，他想再种点果树，打算把原来菜地的半径增加2米，现在菜园的面积比原来扩大了多少平方米？ 【变式训练】为了冬季用餐更加舒适，小明家新买了一个餐桌上的保温转盘（如下图），它的直径是10分米，为了防止使用时被烫伤，它的边上有1分米宽的区域是常温区。 (1)这个转盘加热区的面积是多少？ (2)这个转盘常温区的面积是多少？ 考点十一：求最大面积 【典例精讲】滨江公园草地上有一个自动旋转洒水器，它的射程是4米，能洒到的草地面积是( )平方米。 【变式训练】两根铁丝都长6.28米，用它们分别围成一个正方形和一个圆，( )形的面积大，比另一个大( )平方米。 【变式训练】在正方形里面画一个最大的圆，圆面积是正方形面积的　 　，在圆里面画一个最大的正方形，正方形面积是圆面积的　 　．（结果中的π保留，不必取近似值计算） 【变式训练】在一个正方形纸片内剪一个最大的圆形纸片，圆形纸片的半径是5厘米，正方形的面积是　 　平方厘米，圆的周长是　 　厘米，圆的面积是　 　平方厘米． 考点十二：含圆的组合图形的面积 【典例精讲】求下面阴影部分的面积。（单位：米）     【变式训练】计算涂色部分的面积。 【变式训练】求如图阴影部分的周长和面积。（单位：分米） 【变式训练】计算下图阴影部分的面积。 考点十三：方中圆和圆中方的面积问题 【典例精讲】下图是一面我国唐代外圆内方的铜镜。铜镜的直径是24cm。外面的圆与内部的正方形之间的面积是多少？ 【变式训练】下图设计的是一个外圆内方的花坛，圆形部分种花，正方形和圆之间的部分种上草，如果每平方米草坪20元，共要多少钱？ 【变式训练】春节贴“福”字，是中国民间由来已久的风俗，“福”字指福气、福运，寄托了人们对幸福生活的向往，对美好未来的祝愿。下面这幅圆形“福”字窗花中，圆的半径是8cm，“福”所在的正方形与圆之间的部分的面积是多少？ 【变式训练】乐乐家有一张可以折叠的圆桌，如图它的直径是2米，可折叠部分的面积是多少平方米？ 考点十四：用转化法求圆的组合图形的周长与面积 【典例精讲】已知圆的直径是8cm，求圆内阴影部分的面积。 【变式训练】“转化”是解决数学问题的一个重要思想方法。运用“转化”可以把未知的知识转化成已知的知识，把复杂的问题转化成简单的问题，把不规则的图形转化成规则的图形。请你运用“转化”的方法，求出下图的面积。 【变式训练】如图，三角形ABC是直角三角形，圆的直径是4厘米，阴影甲－阴影乙＝2.5平方厘米，则三角形中BC边长是多少厘米？（π取值为3） 【变式训练】如图，，，求阴影部分的周长和面积。（结果保留整数） 考点十五：弧、圆心角、扇形的认识 【典例精讲】把一个直径是20厘米的圆形纸片连续对折3次，得到( )个同样大小的扇形，每个扇形的圆心角是( )度，每个扇形的面积是( )平方厘米。 【变式训练】如图，三个圆的半径都是2cm，三角形的顶点分别是三个圆的圆心，图中涂色部分的面积是( )cm2。 【变式训练】如图，直角三角形ABC先绕顶点C顺时针旋转到位置②，此时BC边旋转了( )°；再如图示方式转动到位置③，点B第二次旋转所经过的路线长是( )厘米。 【变式训练】如图表示的是一辆汽车油箱的储油量。如果油箱的储油量由图①变成图②，那么油箱的指针就会按_________时针方向旋转______________°。 考点十六：画扇形 【典例精讲】在下面的长方形中画一个最大的半圆，分别用字母O、r标出它的圆心和半径。 【变式训练】画一个半径为2厘米的圆，标出圆心和半径，然后在圆中画出一个圆心角为120°的扇形。 【变式训练】画一个周长是12.56cm的圆，再在圆中画一个圆心角是60°的扇形。 【变式训练】画一个半径是1厘米的圆，并在图上用、、分别标出圆的圆心、直径和半径。并在其中画一个圆心角是120°的扇形。 考点十七：扇形的周长和面积 【典例精讲】下图是汽车挡风玻璃上的雨刷装置。若雨刷左右摇摆最大角度是150°，雨刷长30厘米，那么雨刷摇摆一次刷到挡风玻璃的面积是多少？ 【变式训练】你见过停车场或小区门口的起降杆吗？在东方小区门口有车辆进出的起降杆（如图），当车进入或出去时这根起降杆就要完成一次起降运动。王叔叔外出办事，驾车从小区驶出后，这根起降杆A点起降总共移动了多少米？起降杆来回移动的面积是多少？（结果保留两位小数） 【变式训练】折扇又名“撒扇”、“纸扇”等，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子。如图是一把绫绢折扇，做这样一把折扇扇面至少需要绫绢面料多少平方分米？ 【变式训练】如图，用两个长方形和一个正方形拼成一个大正方形，两个长方形的面积如图所示，正方形中有一个最大的圆（涂色部分），则涂色部分的面积是多少？ 综合训练 1．如图，折叠方桌的边长为1.2米，把它的四边撑开，就成了圆桌，撑开前后的面积比是（    ）。 A．2∶π B．π∶2 C．4∶π D．π∶4 2．用18.84分米长的铁丝围成长方形、正方形、圆和三角形，（    ）的面积最大。 A．长方形 B．正方形 C．圆 D．三角形 3．一个圆形花坛的半径是5米，若在其周围加宽2米，增加的环形面积是（    ）平方米。 A．37.68 B．75.36 C．87.92 D．113.04 4．如图，一台半径为20cm的圆形扫地机器人，在一个长3m、宽2m的长方形空置区域内工作，该扫地机器人扫不到的面积是（    ）cm2。 A．1256 B．658 C．344 D．314 5．在方格纸上，如果每个小方格的边长都表示1cm，那么在这个方格纸上画一个半径是2cm的圆，圆心的位置不可能是（    ）。 A．（2，4） B．（4，2） C．（2，0） D．（3，4） 6．把一张圆形卡片分割成两个半圆后，它的周长增加了12cm，那么原来这张圆形卡片的周长是（    ）。 A．37.68 B．6.28 C．9.42 D．18.84 7．辰辰在正方形铁皮上剪下一个圆和一个扇形，恰好围成一个圆锥模型（如图）。如果圆的半径为m，扇形的半径为n。那么n与m的比为( )。 8．一个圆的半径由3厘米增加到5厘米，它的周长增加( )，面积增加( )。 9．一个圆的半径是4分米，这个圆的直径是__________分米，圆的周长是__________分米，面积是__________平方分米（π取3.14）。 10．一根铁丝正好可以围成一个半径是1.5分米的圆，如果改围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长是( )分米。 11．如右图，把一个圆剪拼成一个近似的长方形，已知长方形的长是6.28cm，则它的周长是( )cm，面积是( )。 12．有一张直径为1米的圆桌，如果把桌子的上下面都油漆一遍，油漆的面积有( )平方米；如果用铝条包桌边，至少需要( )米长的铝条。 13．用一张长20厘米、宽16厘米的长方形纸剪小圆片，若想要直径为整厘米数且剩余废料尽可能少，则直径最大为( )厘米，每个小圆片的面积是( )平方厘米。 14．“外方内圆”是我国古代建筑中常见的设计，也蕴含着为人处世的道理。如图，量得正方形的周长是48dm，则里面圆的周长是( )dm，面积是( )dm2。 15．圆规是画圆的工具，圆规的发明最早可以追溯到中国夏朝，《史记·夏本纪》记载大禹治水“左准（zhǔn）绳，右规矩”。亮亮学习用圆规画圆后，用圆规画了一个周长18.84厘米的圆，那么他在画圆时圆规两脚之间的距离应是( )厘米，画出的圆的面积是( )平方厘米。 16．学校田径跑道如图所示，最内侧为第一跑道，长度为200米，每条跑道宽1米。若在这里进行200米赛跑，第二道的运动员起跑线应该比第一道运动员的起跑线提前( )米。 17．计算下面各图中涂色部分的面积。（单位：厘米） 18．计算下图阴影部分的面积。（单位：厘米） 19．一张圆形餐桌面的直径是2.3m，如果一个人需要0.4m宽的位置就餐，这张餐桌最多能坐多少人？ 20．光伏板技术这些年已走进千家万户。陈先生家的天台因地制宜，安装了一块直径6米的圆形单晶硅光伏板。在达到有效光照时间的前提下（一般每天4小时），每平方米光伏板一天能转化电能0.5千瓦时。照这样计算，陈先生家的光伏板一天能转化电能多少千瓦时？ 21．广西梧州出产的砧板非常有名。工匠们通常会给砧板边缘箍上一圈铁条，再预留20厘米的铁条长度用来做提手。如图这块砧板半径是12厘米，给它箍圈和做提手，需要的铁条至少是多少厘米？ 22．学校操场的示意图如下图所示，其左右两侧为两个大小相同的半圆形，中间为长方形。已知操场的周长为222.8米，求这个操场的面积是多少平方米？ 23．小明上午10：00准时坐到电视机前收看2025年九三大阅兵，11∶10观看结束。已知小明家的钟表的分针长20厘米，在此期间，分针针尖所走的路程是多少厘米？分针扫过的面积是多少平方厘米？（得数保留整数） 24．手工课上，小华想用圆形纸片制作一些装饰品。他有一张长43厘米，宽30厘米的长方形卡纸，打算从中剪出直径6厘米的圆形纸片。 (1)在这张长方形卡纸上最多能剪出多少个直径6厘米的圆形纸片？ (2)剪完这些圆形纸片后，剩余卡纸的面积是多少平方厘米？ 25．在“美丽家园”社区改造计划中，物业决定对中心花园的圆形花坛进行景观升级。有一个直径是40米的圆形花坛，现在要用鹅卵石沿圆形花坛外围铺一条4米宽的小路。如果每平方米按30元的费用计算，铺这条小路需要多少元？ 26．王叔叔买了一张可折叠的餐桌，中间是长100厘米，宽20厘米的长方形，两侧是半圆形，如图1所示。这张餐桌完全展开后，如图2所示，桌面的面积有多大？ 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $