高二年级期末模拟试卷（命题范围：选择性必修第二册）高二数学湘教版选择性必修第二册

**基本信息** 以选择性必修第二册为核心，通过智能学习助手测试、网络购物统计等真实情境，考查导数、统计、概率、立体几何，注重数学思维与数据分析能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|导数计算、散点图分析、分布列、正方体轨迹|第2题散点图比较相关系数，考查数学眼光；第7题动点轨迹问题，体现空间观念| |填空题|3题/15分|切线方程、内切球截面、掷骰子比赛概率|第14题结合比赛规则求期望，培养应用意识| |解答题|5题/77分|独立性检验、立体几何证明与计算、回归预测、导数综合|17题购物人数预测与概率计算，融合数学建模；19题导数零点问题，考查逻辑推理，梯度分明|

2025-2026学年高二数学期末模拟试卷 命题范围：选择性必修第二册（参考答案） 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 B B B B D A B B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 ACD ABC BCD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． ， 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） （1） 乐观 不乐观 合计 国内代表 60 40 100 国外代表 40 60 100 合计 100 100 200 …………5分 （2）：假设对该品牌服饰的态度与国内外差异无关， 则， 答：有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关． .....................13分 16．（15分） （1） 连接交于点，连接， 因为是矩形，所以为中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面； 所以平面；…………4分 （2）因为平面，是矩形， 所以两两垂直， 以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的一个法向量， ，令，得， 所以点到平面的距离；…………10分 （3）显然是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． ....................15分17．(15分） （1）不妨设日期代号的取值依次为，，，，； 购物人数的取值依次为，，，，． 则，， 且， ， 从而， ． 所以关于的一元线性回归方程为， 从而当时，， 即根据此模型预测当年5月25日在该店购物的人数约为113人．…………5分 （2）设事件为“选取的单日购物人数不超过90人”， 事件为“选取的单日购物人数超过90人”， 事件为“抽取的顾客消费超过30元”． 由表格数据可知： 购物人数不超过90人共2天，故， 购物人数超过90人共3天，故． 并且，． （ⅰ） ， 所以该顾客消费超过30元的概率为0.62．…………11分 （ⅱ）由条件概率公式知， 其中 ， 所以， 故该天购物人数超过90人的概率为．……15分 18． （17分） （1）由题意， ．…………4分 （2）（i）服从超几何分布，且，，， 故的所有可能取值为：0，1，2，3， ，， ，， 故的分布列为： Y 0 1 2 3 期望．…………10分 （ii）记，， 则 ，解得 ， 故当 时，，当 时，， 当时，， 故 ， 所以或时，最大． 19． .....................17分（17分） （1）函数，求导可得， 因为在处取得极值，所以， 化简可得，解得. 此时， 令得或；令得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点.…………4分 （2）， 分类讨论，当时， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减. 终上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减；…………11分 （3）因为，由第二问可知当或时，，单调递增，当时， ，单调递减， 所以在时，取到极大值， 在时，取到极小值， 因为在上有三个零点，所以，即， 解得，即的取值范围是. .......................17分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学期末模拟考试卷 命题范围：选择性必修第二册 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 2.对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．已知随机变量的分布列如下，则（    ） A． B． C． D． 4．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为（     ） x 7 9 11 13 y 2 3 5 6 A．10 B．11 C．12 D．13 5．已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 6．设奇函数的导函数为，，当时，，则使得成立的的取值范围是(    ) A． B． C． D． 7．正方体的棱长为点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B．2 C． D． 8．设函数，且在上满足，则实数a的取值范围为（    ） A．[0,1] B．[－1,1] C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．变量与变量有较强的线性相关性，由下列表格得到经验回归方程是，则（     ） 1 2 3 4 5 2 4 5 6 8 A． B．变量与变量负相关 C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差是 10．下列说法正确的有（    ） A．已知事件A，B，若，且，，则 B．有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为X，则 C．若随机变量服从两点分布，且，则 D．若随机变量，，则， 11．如图，点P在正方体的面对角线上运动（P点异于点、点），则下列判断不正确的有（    ） A．三棱锥的体积不变 B．异面直线BD与所成角为 C．存在点P使得平面 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线是曲线的一条切线，则___________． 13．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为____ 14．甲、乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各抛掷质地均匀的骰子一次，向上点数大的一方得2分，小的一方得0分，点数相同时双方各得1分．若一方累计得分大于等于3分，则比赛结束．记比赛结束时，比赛的轮数为，则________，________． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某中国服装品牌为了解国内、外客户对该品牌服饰的态度，在国内和国外分别选择100人开展抽样调查，绘制了如图所示的等高条形图．等高条形图是一种用于展示两个分类变量之间关系的统计图表，其核心特点是所有条形的高度相同，通过颜色或图案区分不同类别，从而直观反映各组内百分比的差异．    (1)填写下面的列联表： 乐观 不乐观 合计 国内代表 国外代表 合计 (2)判断是否有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关． 附：， 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 17．(15分）某网络购物平台专营店统计了2026年5月19日至23日这5天在该店购物的人数的数据如下表： 日期 5月19日 5月20日 5月21日 5月22日 5月23日 日期代号 1 2 3 4 5 购物人数 77 84 93 96 100 (1)根据表中数据，建立关于的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年5月25日在该店购物的人数； (2)该店统计发现，购物人数越多，顾客平均消费意愿越高；当单日购物人数不超过90人时，每位顾客消费超过30元的概率为0.5；当单日购物人数超过90人时，每位顾客消费超过30元的概率为0.7． （ⅰ）从这5天中随机选择一天，然后从当天的购物顾客中随机抽取一人，求该顾客消费超过30元的概率； （ⅱ）若从某天购物顾客中随机抽取一人，其消费超过30元，求该天购物人数超过90人的概率． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 18．（17分）某研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率，对道高中数学概率统计题进行测试，记录了每道题的解题成功率（单位：%）．已知该助手解答同类型题目的成功率近似服从正态分布，其中，． (1)从该助手解答的题目中随机抽取1道，求其成功率满足的概率； （附：若，则，） (2)现有（，）同类型的题目，其中成功率不低于的题目共有6道．现从这道测试题中随机抽取3道进行人工复核，记抽到成功率不低于的题目数量为随机变量． （i）当时，求的分布列及数学期望； （ii）若，试估计的值（即使得取得最大值时的的值）． 19．（17分）已知，函数. (1)若在处取得极值，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若在上有三个零点，求的取值范围. 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高二数学期末模拟考试卷 命题范围：选择性必修第二册 建议用时：120分钟，满分：150分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，且，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【详解】由，可得：， 因，则，即：，解得： 2.对四组数据进行统计获得如下散点图并对其相关系数进行比较，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的四组数据的散点图，结合相关系数的含义，即可求解. 【详解】由给定的四组数据的散点图可以看成： 图（1）和图（3）是正相关，且图（1）中的数据更加集中，更接近，所以； 图（2）和图（4）是负相关，且图（2）中的数据更加集中，更接近，所以， 综上可得，. 3．已知随机变量的分布列如下，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由概率之和为可得，解得， 因为， 所以. 4．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表，根据表中数据，利用最小二乘法得到经验回归方程，据此模型预测当x=20时，y的估计值为（     ） x 7 9 11 13 y 2 3 5 6 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【详解】由题意可得：， 因经验回归方程经过样本中心点,故，解得， 所以经验回归方程为， 当时，． 5．已知随机变量，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布的概率公式即可. 【详解】由题意得 故选：D. 6．设奇函数的导函数为，，当时，，则使得成立的的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造辅助函数，利用导数判断其单调性，结合奇偶性分析函数在不同区间的符号，进而求解不等式. 【详解】构造函数，则. 当时，由，得，故在上单调递减. 由为奇函数，得，故，且为偶函数. 当时，等价于， 结合在单调递减且，得. 当时，等价于， 在上单调递增且，得. 综上，的解集为. 7．正方体的棱长为点为的中点，点为底面上的动点，满足的点的轨迹长度为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用坐标法可得动点的轨迹为线段，进而求解即可. 【详解】以为原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 所以，设点， 所以， 由， 所以，所以， 又，所以， 所以点的轨迹为平面上的线段：，即图中线段， 所以. 8．设函数，且在上满足，则实数a的取值范围为（    ） A．[0,1] B．[－1,1] C． D． 【答案】B 【分析】由在上满足得到是上的单调递增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，转化为二次函数的图像和性质求解. 【详解】，， 在R上满足， 或， 则是上的单调递增函数，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， ， 则转化为， 则转化为在上恒成立， 则需要满足，解得，即， 则实数a的取值范围为，故选项B正确. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．变量与变量有较强的线性相关性，由下列表格得到经验回归方程是，则（     ） 1 2 3 4 5 2 4 5 6 8 A． B．变量与变量负相关 C．当时，预测值 D．当时，样本点对应的残差是 【答案】ACD 【分析】本题考查线性回归方程的性质、相关关系判断、残差计算，核心利用回归直线必过样本中心点求解回归系数，再逐一验证选项即可. 【详解】先计算样本中心点：，. 经验回归直线过样本中心点，代入得，解得. 选项A：由上述计算得，A正确； 选项B：，说明变量与正相关，B错误； 选项C：当时，代入回归方程得，即预测值为11，C正确； 选项D：残差定义为实际值减预测值，当时，，对应实际， 故残差，D正确. 10．下列说法正确的有（    ） A．已知事件A，B，若，且，，则 B．有2个白球和4个黑球，从中一次摸三个球，记摸得白球数为X，则 C．若随机变量服从两点分布，且，则 D．若随机变量，，则， 【答案】ABC 【分析】根据条件概率求解选项A.根据超几何分布的数学期望求解选项B.根据两点分布的方差求解选项C.根据数学期望、方差的性质求解选项D. 【详解】选项A.由，，且， 则，正确. 选项B.服从超几何分布，总球数，白球数，抽取数， 超几何分布期望公式为，正确. 选项C.两点分布的方差，正确. 选项D.若，则，. 由期望、方差性质，，，错误. 11．如图，点P在正方体的面对角线上运动（P点异于点、点），则下列判断不正确的有（    ） A．三棱锥的体积不变 B．异面直线BD与所成角为 C．存在点P使得平面 D．直线与平面所成角的正弦值的取值范围是 【答案】BCD 【分析】利用线面平行，结合体积计算判断A；求出异面直线夹角判断B；建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断C；利用线面角的向量法求解判断D. 【详解】对于A，在正方体中，，平面， 平面，则平面，而点P在上运动， 则点到平面的距离为定值，又的面积为定值， 因此三棱锥的体积不变，A正确； 对于B，在正方体中，，为正三角形， 直线BD与所成角等于与夹角，B错误； 对于C，在正方体中，建立如图所示直角坐标系，令正方体的棱长为1， 设，， ，，， ，即与不垂直，而平面，因此与平面不垂直，C错误； 对于D，由正方体的性质知：平面， 即平面的法向量为， 直线与平面所成角正弦值， 由，得，因此，D错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若直线是曲线的一条切线，则___________． 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解. 【详解】设切点为， 由于，则，解得， 于是切点为，则，解得． 13．已知正方体的棱长为2，点为棱的中点，则平面截该正方体的内切球所得截面面积为____ 【答案】 【分析】由题意，可得正方体的内切球球心为正方体中心，内切球半径，法一：连接，相交于点，连接，先证明平面，可得到平面的距离等于点到平面的距离，再利用等体积法求得，进而求出截面圆半径，进而求解即可；法二：建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可利用点面距离公式求解到平面的距离，进而求出截面圆半径，进而求解即可. 【详解】由题意，正方体的内切球球心为正方体中心，内切球半径. 法一：连接，相交于点，则点为的中点，连接. 可得，因为平面，平面， 所以平面，在上， 则到平面的距离等于点到平面的距离，设为， ，， 由，得，则， 则截面圆半径，所以截面面积； 法二：以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 则到平面的距离， 所以截面圆半径，所以截面面积. 14．甲、乙两人进行掷骰子比赛，在每轮比赛中，两人各抛掷质地均匀的骰子一次，向上点数大的一方得2分，小的一方得0分，点数相同时双方各得1分．若一方累计得分大于等于3分，则比赛结束．记比赛结束时，比赛的轮数为，则________，________． 【答案】 【分析】先利用古典概型概率公式算出每轮比赛中甲、乙获得2分与双方平局的概率，分析推得的可能取值为2，3，根据，包含的不同情况，利用互斥事件的概率加法公式求出其概率，再由期望公式计算即得. 【详解】依题意，在每轮掷骰子比赛中，甲、乙各抛掷质地均匀的骰子一次，总的情况有中， 其中甲获得2分的概率为，同理乙获得2分的概率也为，甲乙各得1分的概率为. 当一方累计得分大于等于3分，则比赛结束，结束时比赛轮数为. 依题意，的可能取值为2，3.若2轮比赛结束，则说明2轮后至少一方得分大于等于3分比赛结果与得分情况如下表： 2轮结果 甲得分 乙得分 概率 甲连胜2轮 4 0 乙连胜2轮 0 4 1轮甲赢+1轮平局 3 1 1轮乙赢+1轮平局 1 3 故； 若前2轮未结束，先计算前2轮未结束的情况（2轮后双方得分均小于3）包括： ①2轮平局，各得2分，概率为；②一轮甲赢+一轮乙赢，各得2分，概率为， 故前2轮未结束的总概率为； 因双方前2轮均为2分，则第3轮无论结果如何，必然至少有一方得分大于等于3（甲赢则甲4分，乙赢则乙4分，平局则甲乙均3分），即第3轮必然结束，即. 故. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）某中国服装品牌为了解国内、外客户对该品牌服饰的态度，在国内和国外分别选择100人开展抽样调查，绘制了如图所示的等高条形图．等高条形图是一种用于展示两个分类变量之间关系的统计图表，其核心特点是所有条形的高度相同，通过颜色或图案区分不同类别，从而直观反映各组内百分比的差异．    (1)填写下面的列联表： 乐观 不乐观 合计 国内代表 国外代表 合计 (2)判断是否有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关． 附：， 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)答案见解析 (2)有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关． 【分析】（1）根据题中信息得出列联表； （2）根据（1）中数据计算卡方，结合附表进行判断. 【详解】（1） 乐观 不乐观 合计 国内代表 60 40 100 国外代表 40 60 100 合计 100 100 200 …………5分 （2）：假设对该品牌服饰的态度与国内外差异无关， 则， 答：有99.5%的把握认为对该品牌服饰的态度与国内外差异有关． .....................13分 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，平面，为中点，且． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离； (3)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可得； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量后，借助点到平面的距离公式计算即可得； （3）利用空间向量求出线面角的正弦值． 【详解】（1） 连接交于点，连接， 因为是矩形，所以为中点， 又为中点，所以， 因为平面，平面； 所以平面；…………4分 （2）因为平面，是矩形， 所以两两垂直， 以为坐标原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， ，，，，， ，，， 设平面的一个法向量， ，令，得， 所以点到平面的距离；…………10分 （3）显然是平面的一个法向量， 设直线与平面所成角为， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． ....................15分 17．(15分）某网络购物平台专营店统计了2026年5月19日至23日这5天在该店购物的人数的数据如下表： 日期 5月19日 5月20日 5月21日 5月22日 5月23日 日期代号 1 2 3 4 5 购物人数 77 84 93 96 100 (1)根据表中数据，建立关于的一元线性回归模型，并根据该回归模型预测当年5月25日在该店购物的人数； (2)该店统计发现，购物人数越多，顾客平均消费意愿越高；当单日购物人数不超过90人时，每位顾客消费超过30元的概率为0.5；当单日购物人数超过90人时，每位顾客消费超过30元的概率为0.7． （ⅰ）从这5天中随机选择一天，然后从当天的购物顾客中随机抽取一人，求该顾客消费超过30元的概率； （ⅱ）若从某天购物顾客中随机抽取一人，其消费超过30元，求该天购物人数超过90人的概率． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，． 【答案】(1)，113人 (2)（ⅰ）0.62（ⅱ） 【分析】（1）设日期代号的取值依次为，，，，，购物人数的取值依次为，，，，．分别求得，，进而求得，求解； （2）设事件为“选取的单日购物人数不超过90人”，事件为“选取的单日购物人数超过90人”，事件为“抽取的顾客消费超过30元”．由表格数据易得，，，，（ⅰ）由求解；（ⅱ）先求得，再由条件概率公式求解. 【详解】（1）不妨设日期代号的取值依次为，，，，； 购物人数的取值依次为，，，，． 则，， 且， ， 从而， ． 所以关于的一元线性回归方程为， 从而当时，， 即根据此模型预测当年5月25日在该店购物的人数约为113人．…………5分 （2）设事件为“选取的单日购物人数不超过90人”， 事件为“选取的单日购物人数超过90人”， 事件为“抽取的顾客消费超过30元”． 由表格数据可知： 购物人数不超过90人共2天，故， 购物人数超过90人共3天，故． 并且，． （ⅰ） ， 所以该顾客消费超过30元的概率为0.62．…………11分 （ⅱ）由条件概率公式知， 其中 ， 所以， 故该天购物人数超过90人的概率为．……15分 18．（17分）某研发团队为测试新型智能学习助手的答题准确率，对道高中数学概率统计题进行测试，记录了每道题的解题成功率（单位：%）．已知该助手解答同类型题目的成功率近似服从正态分布，其中，． (1)从该助手解答的题目中随机抽取1道，求其成功率满足的概率； （附：若，则，） (2)现有（，）同类型的题目，其中成功率不低于的题目共有6道．现从这道测试题中随机抽取3道进行人工复核，记抽到成功率不低于的题目数量为随机变量． （i）当时，求的分布列及数学期望； （ii）若，试估计的值（即使得取得最大值时的的值）． 【答案】(1) (2)（i） Y 0 1 2 3 ；（ii）或 【分析】（1）利用正态分布的对称性，结合已知，计算求解； （2）（i）识别分布类型，求出相关概率和分布列，进而计算期望值； （ii）写出的表达式，构造数列，分情况讨论相邻两项的比值确定单调性，找出单调性的分界点，即为对应的值． 【详解】（1）由题意， ．…………4分 （2）（i）服从超几何分布，且，，， 故的所有可能取值为：0，1，2，3， ，， ，， 故的分布列为： Y 0 1 2 3 期望．…………10分 （ii）记，， 则 ，解得 ， 故当 时，，当 时，， 当时，， 故 ， 所以或时，最大． .....................17分 19．（17分）已知，函数. (1)若在处取得极值，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若在上有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】通过求导，根据极值的性质导数等于0来求解参数； 通过求导，根据导数的正负来判断原函数的单调性； 根据零点的数量来判断满足条件的极值的正负情况，从而求解参数的取值范围. 【详解】（1）函数，求导可得， 因为在处取得极值，所以， 化简可得，解得. 此时， 令得或；令得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点.…………4分 （2）， 分类讨论，当时， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减. 终上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减；…………11分 （3）因为，由第二问可知当或时，，单调递增，当时， ，单调递减， 所以在时，取到极大值， 在时，取到极小值， 因为在上有三个零点，所以，即， 解得，即的取值范围是. .......................17分 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $