5.4 练习3 单调性、最大值与最小值 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 围绕三角函数单调性与最值，通过基础辨析、中档综合到提高探究的三层设计，实现从概念理解到综合应用的知识巩固，适配新授课分层教学需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|单一函数单调性与最值判断|以单选为主（1-5题），强化概念辨析，培养抽象能力| |中档层|综合应用（定义域值域关系、多选辨析）|加入多选与填空（6-12题），提升知识迁移，发展推理意识| |提高层|复杂情境与证明（含新定义、奇偶性周期综合）|通过解答题与证明题（13-16题），培养逻辑推理与创新意识|

5.4 练习3　单调性、最大值与最小值 1. 下列区间中，函数f(x)＝|sin x|在其上单调递减的是(　D　) A. B. C. D. 【解析】由y＝sin x的图象与性质得，f(x)＝|sin x|的单调递减区间为 ，k∈Z，∴D符合题意. 2. 已知函数f(x)＝sin在x0处取得最大值，则x0可能为(　C　) A. B. C. D. 【解析】当x＋＋2kπ，k∈Z，即x＝＋2kπ，k∈Z时，f(x)取最大值. 3. 函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为(　C　) A. [－1，1] B. C. D. 【解析】令sin x＝t，则t∈[－1，1]，∴y＝t2＋t－1＝，∴当t＝－时，ymin＝－；当t＝1时，ymax＝1. 4. 下列关系式中，正确的是(　A　) A. sin 11°＜sin 168°＜cos 10° B. sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C. sin 11°＜cos 10°＜sin 168° D. sin 168°＜cos 10°＜sin 11° 【解析】∵sin 168°＝sin 12°，cos 10°＝sin 80°，∴只需比较sin 11°，sin 12°，sin 80°的大小.∵y＝sin x在0°＜x＜90°时单调递增，∴sin 11°＜sin 12°＜sin 80°，即sin 11°＜sin 168°＜cos 10°. 5. 下列四个函数中，以π为最小正周期，且在上单调递减的是(　A　) A. y＝|sinx| B. y＝sin|x| C. y＝cos 2x D. y＝sin 2x 【解析】y＝|sin x|的最小正周期为π，在上单调递减，符合题意，A正确；y＝sin|x|不是周期函数，B错误；y＝cos 2x中，x∈，则2x∈(π，2π)，故y＝cos 2x在x∈上不是单调递减函数，C错误；y＝sin 2x，x∈，则2x∈(π，2π)，故y＝sin 2x在x∈上不是单调函数，D错误. 6. 函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于(　C　) A. B. C. 2π D. 4π 【解析】如图所示，当定义域为[a1，b]时，值域为且b－a最大.当定义域为[a2，b]时，值域为，且b－a最小.∴最大值与最小值之和为(b－a1)＋(b－a2)＝2b－(a1＋a2)＝2×＝2π. 7. 已知函数f(x)＝cos(x＋θ)(0＜θ＜π)在x＝处取得最小值，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是(　A　) A. B. C. D. 【解析】∵f(x)＝cos(x＋θ)(0＜θ＜π)在x＝处取得最小值，∴＋θ＝π，解得 θ＝，故f(x)＝cos.令2kπ－π≤x＋≤2kπ(k∈Z)，解得2kπ－≤x≤2kπ－(k∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，∴f(x)在[0，π]上的单调递增区间为. 8. (多选)下列区间中，函数y＝sin在其上单调递增的有(　AC　) A. B. [－π，0] C. D. 【解析】由2kπ－≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.当k＝0时，可得x∈，当k＝1时，可得x∈. 9. (多选)下列不等式中，成立的有(　BD　) A. sin＞sin B. cos 400°＞cos(－50°) C. sin 3＞sin 2 D. sin＞cos 【解析】y＝sin x在上单调递增，又－＜－，∴sin＜ sin，A不成立；cos 400°＝cos 40°＞cos 50°＝cos (－50°)，B成立； y＝sin x在上单调递减，又＜2＜3＜π，∴sin 2＞sin 3，C不成立； sin ＝－sin ，cos ＝－cos ＝－sin＝－sin .∵0＜， 且y＝sin x在上单调递增，∴sin ＜sin ，∴sin ＞cos ，D成立. 10. 函数y＝|sin x|＋sin x的值域为　[0， 2]　.  【解析】∵y＝|sin x|＋sin x＝ 又－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2]. 11. 若函数y＝cos x在区间[－π， a]上单调递增，则a的取值范围是　(－π， 0]　.  【解析】易知函数y＝cos x在区间[－π， 0]上单调递增，在[0，π]上单调递减，∵函数y＝cos x在区间[－π，a]上单调递增，∴－π＜a≤0，∴a的取值范围是(－π， 0]. 12. (2024·义乌中学高一)已知函数f(x)＝2sin，若对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)(x1，x2∈R)成立，则|x1－x2|的最小值为　4π　.  【解析】∵f(x1)≤f(x)≤f(x2)对任意x∈R都成立，∴f(x1)为f(x)的最小值，f(x2)为f(x)的最大值.|x1－x2|取最小值时，x1与x2必为f(x)在同一周期内的最小值和最大值对应的x，设f(x)的最小正周期为T，则|x1－x2|min＝.又T＝＝8π，∴|x1－x2|min＝4π. 13. 设函数f(x)＝sin，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值. 解：(1)最小正周期T＝＝π，由2kπ－≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，∴函数f(x)的单调递增区间是(k∈Z).　 (2)令t＝2x－，则由≤x≤可得0≤t≤，∴当t＝，即x＝时，f(x)min＝×＝－1，当t＝，即x＝时，f(x)max＝×1＝. 14. 已知函数g(x)＝asin＋b(a＞0，b∈R)，且函数g(x)在区间上的最大值为3，最小值为0. (1)求函数g(x)的解析式； (2)求g(x)在(0，π)上的单调递增区间. 解：(1)由题意知，若x∈，则2x＋∈，∴sin∈，又a＞0，∴解得故g(x)＝2sin＋1. (2)∵x∈(0，π)，∴2x＋∈，函数y＝sin x在区间上的单调递增区间为和，∴＜2x＋≤，或≤2x＋，解得0＜x≤，或≤x＜π，∴g(x)在(0，π)上的单调递增区间为和. 15. (多选)(2024·佛山高一期末) 已知min{a，b}＝若函数f(x)＝min{sin x，cos x}，则(　AD　) A. f(x)的最小正周期为2π B. f(x)的最大值为1 C. f(x)在上单调递增 D. f(x)关于直线x＝对称 【解析】当sin x≥cos x时，f(x)＝cos x，当sin x＜cos x时，f(x)＝sin x，由此可作出函数f(x)的图象，如图中实线所示.对于A，结合图象可知f(x)的最小正周期为2π，A正确；对于B，结合图象可知f(x)的最大值为，B错误；对于C，结合图象可知，当x∈时，f(x)单调递增，当x∈时，f(x)单调递减，即f(x)在上不单调，C错误；对于D，结合图象可知，f(x)的图象关于直线x＝对称，D正确. 16. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上单调递增，α，β是锐角三角形的两个内角. 证明：f(sin α)＞f(cos β). 证明：由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，∴函数f(x)是周期函数，且2是它的一个周期.∵函数f(x)是偶函数且在[－4， －3]上单调递增，∴函数f(x)在[0，1]上单调递增.又α，β是锐角三角形的两个内角，则有α＋β＞，即＞α＞－β＞0，∵y＝sin x在上单调递增，∴sin α＞sin＝cos β，且sin α∈(0， 1)，cos β∈(0，1)，∴f(sin α)＞f(cos β). 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4 练习3　单调性、最大值与最小值 1. 下列区间中，函数f(x)＝|sin x|在其上单调递减的是(　 　) A. B. C. D. 2. 已知函数f(x)＝sin在x0处取得最大值，则x0可能为(　 　) A. B. C. D. 3. 函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为(　 　) A. [－1，1] B. C. D. 4. 下列关系式中，正确的是(　 　) A. sin 11°＜sin 168°＜cos 10° B. sin 168°＜sin 11°＜cos 10° C. sin 11°＜cos 10°＜sin 168° D. sin 168°＜cos 10°＜sin 11° 5. 下列四个函数中，以π为最小正周期，且在上单调递减的是(　 　) A. y＝|sinx| B. y＝sin|x| C. y＝cos 2x D. y＝sin 2x 6. 函数y＝sin x的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的最大值和最小值之和等于(　 　) A. B. C. 2π D. 4π 7. 已知函数f(x)＝cos(x＋θ)(0＜θ＜π)在x＝处取得最小值，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是(　 　) A. B. C. D. 8. (多选)下列区间中，函数y＝sin在其上单调递增的有(　 　) A. B. [－π，0] C. D. 9. (多选)下列不等式中，成立的有(　 　) A. sin＞sin B. cos 400°＞cos(－50°) C. sin 3＞sin 2 D. sin＞cos 10. 函数y＝|sin x|＋sin x的值域为　 　.  11. 若函数y＝cos x在区间[－π， a]上单调递增，则a的取值范围是　 　.  12. (2024·义乌中学高一)已知函数f(x)＝2sin，若对任意x∈R都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)(x1，x2∈R)成立，则|x1－x2|的最小值为　 　.  13. 设函数f(x)＝sin，x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)求函数f(x)在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值. 14. 已知函数g(x)＝asin＋b(a＞0，b∈R)，且函数g(x)在区间上的最大值为3，最小值为0. (1)求函数g(x)的解析式； (2)求g(x)在(0，π)上的单调递增区间. 15. (多选)(2024·佛山高一期末) 已知min{a，b}＝若函数f(x)＝min{sin x，cos x}，则(　 　) A. f(x)的最小正周期为2π B. f(x)的最大值为1 C. f(x)在上单调递增 D. f(x)关于直线x＝对称 16. 定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－4，－3]上单调递增，α，β是锐角三角形的两个内角. 证明：f(sin α)＞f(cos β). 学科网（北京）股份有限公司 $