辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（八）

**基本信息** 辽宁葫芦岛市高一下学期数学期末复习卷，聚焦立体几何、三角函数等核心知识，通过翻折问题（如解答题19）、外接球计算（如单选题7）等设计，考查空间观念与推理能力，适配期末综合复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|线面关系、解三角形最值|结合正三棱柱与球的相交曲线（题6），考查几何直观| |多选题|3/18|函数图像、复数性质|通过三棱锥外接球（题11），融合空间想象与逻辑推理| |填空题|3/15|向量模最值、棱台表面积|以两直线间垂直射线（题14），体现数学语言表达| |解答题|5/77|立体几何证明与计算、三角函数应用|解答题18含动态二面角问题，发展创新意识与运算能力|

辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（八） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【难度】0.85 【详解】若，则或，所以A错误； 若，则或，所以B错误； 若，则或与相交，所以C错误； 若，根据线面垂直的性质定理可知，，所以D正确. 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.7 【分析】应用两角差正弦公式计算判断A，C，再应用二倍角余弦公式计算求解判断B，D. 【详解】已知，且， ，A，C选项错误； 又因为， 所以，B选项错误，D选项正确； 3． 中，已知，则（   ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．无最小值 【答案】A 【难度】0.65 【分析】根据数量积的定义及余弦定理，找到三边之间的关系，进而由余弦定理和基本不等式求解最值即可. 【详解】设的三个内角所对的边分别为， 由可得， 即， 由余弦定理，得，化简可得， 则， 令，代入则得， 设函数，令，则， 代入可得， ，当且仅当，即时取等号，所以， 即当时，即时，取得最小值. 4．在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.6 【分析】根据平面向量基本定理，结合向量共线得出相关线段比例关系，进而根据三角形的面积公式求解． 【详解】 已知，由共线，设， ，故， ，则， ， ，故，故； 设，则，即，则， ，解得， 由得出，故， 由知，设到的距离为，则， 由知，设到的距离为，则，即， ． 5．已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【分析】利用正弦定理求出，，利用平面向量数量积的运算性质、三角恒等变换并结合角的取值范围可求得的最大值. 【详解】由正弦定理可得，则，， 因为，所以， 所以 ， 因为，所以， 故当时，取最大值. 6．在正三棱柱中，，以为球心，为半径的球与侧面相交于曲线，则曲线的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.55 【分析】先找出侧面截球所得截面圆的圆心，再求出曲线所对的圆心角，根据弧长公式求解. 【详解】因为正三棱柱的底面是边长为2的正三角形，取的中点， 连接，则；又侧棱底面，所以，， 所以平面，所以为截面圆的圆心，且. 设侧面截球所得的小圆半径为，由球的截面性质， 得. 设球与三棱柱的棱的交点分别为，因为为截面圆的圆心， 根据对称性，则， 所以， 所以曲线为以点为圆心，圆心角为，半径的圆弧， 则弧长为，所以曲线的长度为. 7．已知菱形的边长为，．将沿对角折起，折起后，两点的距离为，则折起后所得三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.55 【分析】由题可知三棱锥为正四面体，由的截面圆半径、球心到截面圆距离和球半径构成的直角三角形求出球的半径，进而得到表面积. 【详解】已知菱形边长为，， 可得，折叠后， 因此三棱锥的所有棱长均为，即该三棱锥是正四面体. 设的外接圆圆心为，连接,则平面,三棱锥的外接球球心必在上， 连接并延长交于，则为中点，则，则, 设三棱锥的外接球半径为，由，得， 解得，所以外接球的表面积. 8．某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.42 【分析】过作下底面的垂线，垂足为，过作，垂足为，就是二面角的平面角，解三角形求其余弦值. 【详解】已知轴截面等腰梯形中，上底，下底，腰长为， 因此圆台的高（即等腰梯形的高） 为下底圆的直径，故下底圆半径， 因为在下底圆周上，是直径，所以， ，在中，， 过作下底面的垂线，垂足为（在轴截面上，故在直径上）， 得，且下底面， 过作，垂足为，连接，则就是二面角的平面角， 因为的面积， 其中（为下底圆心），是到的距离， 又，所以，解得， 在中，， 因此二面角的余弦值. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数（）的部分图象如图所示，其中，，为的图象上的三个点，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的一个周期 B． C． D．若，则 【答案】AC 【难度】0.55 【分析】根据，确定函数的最小正周期，再判断A的真假；利用点坐标和点处函数的性质，可求出的值，判断B的真假；确定点坐标，利用平面向量数量积的坐标运算，判断C的真假；利用二倍角公式，计算，可判断D的真假. 【详解】对于A：函数的最小正周期为，为函数的一个周期，选项A正确. 对于B：函数经过点，代入得，显然点位于图象的增区间上，()，又由于，则，，选项B错误. 对于C：由选项B：，，得，，得. ，，则，选项C正确. 对于D：若，即，则，选项D错误. 10．下列说法正确的是（     ） A．已知向量，，且，，则 B．在锐角 中为两个内角，则 C．设，为复数，若，则与互为共轭复数是的充要条件 D．直线与平面所成角的取值范围是 【答案】ABC 【难度】0.51 【分析】A利用向量数量积的运算律求判断，B应用和差化积及二倍角正弦公式，结合作差法及锐角三角形的性质判断，C应用复数的乘法、模长的定义及共轭复数的概念、计算判断；D由线面角的定义确定其范围判断. 【详解】A：由，，则， 故，正确； B：由 ， 由，且，即， 所以 ， 由且，则，， 综上，，即，正确； C：设，则， ，且， 若与互为共轭复数，则， 此时，即成立， 若，则且，故，与互为共轭复数， 所以与互为共轭复数是的充要条件，正确； D：直线与平面所成角的取值范围是，错误. 11．已知三棱锥的底面是一个边长为的正三角形，且三棱锥的外接球球心为的中点，则下列结论正确的是（     ） A．、与平面所成的角相等 B．二面角的大小可能为 C．若二面角的正切值为，则三棱锥的高为 D．若，则球的表面积为 【答案】ACD 【难度】0.32 【分析】设等边的中心为点，连接、，利用线面角的定义可判断A选项；利用二面角的定义结合余弦定理可判断B选项；利用二面角的定义结合两角和的正切公式可求出三棱锥的高，可判断C选项；求出、的长，结合勾股定理可求出的长，再利用球体表面积公式可判断D选项. 【详解】设等边的中心为点，连接、， A，因为为等边的中心，则， 因为三棱锥的外接球球心为线段的中点，所以平面， 所以直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为， 因为，易知、均为锐角，故， 所以、与平面所成的角相等，A对； B，连接，过点在平面内作，垂足为点，连接， 因为，，，所以，则， 因为，，，所以， 所以，所以二面角的平面角为， 设，则， 显然、、三点不共线，则，即，可得， 易知为球的一条直径，则， 因为，则，则，所以， 由余弦定理可得， 由图可知，所以， 故二面角的大小不可能是，B错； C，取的中点，连接、、，则、、三点共线， 因为，，，所以， 所以， 因为为的中点，所以， 因为，为的中点，所以， 所以二面角的平面角为，由题意可得， 设点在平面内的射影点为，连接，则为外接圆的一条直径， 因为平面，平面，所以， 因为为的中点，所以， 因为是边长为的等边三角形，所以， 因为为的中心，所以， ，则 ，， ， 整理可得，解得或（舍去）， 故三棱锥的高为，C对； D，因为，若，则，故， 所以， 又因为，，所以， 故球的表面积为，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，则的最大值为__________． 【答案】5 【难度】0.85 【分析】由向量数量积的坐标表示，和辅助角公式化简计算即可求解. 【详解】由题意可得 ， 当，取最大值5 ， 所以的最大值为5. 13．如图，在棱台中，底面ABCD和为正方形，，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面ABCD的夹角均为45°，则该棱台的表面积为________． 【答案】 【难度】0.56 【分析】取上下底面对应边的中点，构造侧面与底面所成二面角的平面角，求出侧面等腰梯形的高，结合面积公式求解. 【详解】设棱台上下底面的中心分别为， 取的中点，的中点， 连接. 由正棱台的性质可知， 平面，，， 且四点共面. 过作于点， 则平面，且. 因为，，，所以平面， 又平面， 所以. 同理. 所以即为侧面与底面所成二面角的平面角， 由题意可知. 因为， 所以，， 又四边形为矩形， 所以. 所以， 在中，， 即侧面等腰梯形的高为. 上底面面积为，下底面面积为， 侧面积为， 所以该棱台的表面积. 14．在平面内，直线，在两直线之间且到的距离分别为1，2，过作两条相互垂直的射线与分别交于两点，为的重心．若设，，则可用，表示为______；的最小值为______． 【答案】 1 【难度】0.45 【分析】根据重心的几何性质，以及平面向量的线性运算，用基底表示出向量即可，根据题干条件，建立平面直角坐标系，设出点的坐标，根据垂直的向量关系，求出参数关系，进而求出向量模长的最小值. 【详解】 可知， 即； 如图所示，以直线为轴，点为原点，建立平面直角坐标系， 则直线方程为，直线的方程为，可知点在直线上， 设，所以点， 则， 因为，所以，即， 可知， 因为，当且仅当时取等号， 所以，所以的最小值为. 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． (1)求在上的取值范围； (2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.66 【分析】（1）利用两角和的余弦公式、降幂公式、辅助角公式把原函数的解析式化成正弦型函数解析式形式，再结合正弦型函数的最值性质进行求解即可； （2）利用特殊角的三角函数值、三角形面积公式、正弦定理和余弦定理进行求解即可. 【详解】（1） ， 因为，所以， 因此，， 所以在上的取值范围为； （2）由， 因为角A是的内角，所以，于是有， 因为的面积为，所以， 由正弦定理，得， 由余弦定理，得 . 16．（15分）如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，．求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明： 因为且，，且， 所以平面. 因为平面，所以. 又，，平面，平面，平面， 所以平面，故. (2) 【难度】0.57 【分析】（1）根据题意可得，，再结合线面垂直的性质定理证明即可； （2）法一：建立空间直角坐标系，求解向量和平面的法向量，再结合向量法求解线面夹角；法二：利用体积法解出设点到平面的距离为，进而计算线面夹角. 【详解】（1）略 （2）如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 可得， ， ， . 因为 且 ，所以. 所以，，. 设平面 的法向量 ，则， 可得，令，则：，，即. 设与平面所成的角为： 所以， 所以与平面所成的角的正弦值为. 法二：在 中，， 在 中，， 由（1）知，则. 在 中，. 在 中，. ， 为直角三角形，则. 设点到平面的距离为，与平面所成角为， 由得：，即， 解得：.所以. 17．（15分）在中，内角，，所对的边分别为，，，为边上一点，且，，． (1)若，求的值； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.56 【分析】（1）根据余弦定理即可求解； （2）根据余弦定理及基本不等式即可求解． 【详解】（1）在中，， 即，解得， 在中，， 所以． （2）在中，， 在中，， 即，化简得， 因为，所以，当，时取等号， 所以的最大值为． 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，．    (1)求证：平面； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角正切值的取值范围． 【答案】(1)由，，，得，则. 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面. 因为平面，所以.又因为，所以. 又因为，平面，所以平面. (2) (3) 【难度】0.51 【分析】（1）根据面面垂直的性质以及线面垂直的判定定理证明即可. （2）证明平面，再利用面面垂直的性质求出点到平面的距离即可. （3）作出二面角的平面角，利用几何法求出该角正切的函数关系，进而求出范围. 【详解】（1）略 （2）在四边形中，，平面，平面， 则平面，所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 如图，在平面内过点作于点. 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 在中，，，，则，所以， 所以点到平面的距离为. （3）如图，在平面内，过点作于点；在平面内，作于点，连接. 由(1)得，平面，又平面，所以平面平面. 又因为平面平面，所以平面. 又因为平面平面，所以. 又因为平面，所以平面. 又因为平面，所以.则即为二面角的平面角. 设.由(1)得，则. 在中，由，得. 在中，由，得； 在中， 所以. 由，得，则 所以二面角的正切值的取值范围为. 19．（17分）如图，直角梯形中，，，，，，点为线段（不含端点）上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体． (1)若，求的长； (2)求异面直线与所成角余弦值的最小值； (3)若，点在内部（含边界）运动，满足四棱锥与三棱锥的体积相等，求点轨迹长度． 【答案】(1) (2)． (3) 【难度】0.42 【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出线面垂直平面，再应用线面垂直判定定理得出平面，最后应用相似计算求解； （2）先根据异面直线夹角定义得出即为异面直线与所成的角，再设，应用两角差正切公式结合基本不等式计算最值即可； （3）先得出点轨迹为两平面的交线轨迹为线段，再应用棱锥体积公式结合余弦定理计算求解. 【详解】（1）连接，平面平面，交线为， 由，有平面，又平面，所以， 当，平面，所以平面， 又平面，所以， 直角梯形中，， 所以，此时与相似，故， 设，由，解得或（舍），所以． （2）过作的平行线交于点，连接，由，且， 得四边形是平行四边形，故，所以即为异面直线与所成的角， 设， ， 当且仅当取等， 所以锐角正切值的最大值为1，此时余弦值有最小值， 所以异面直线与所成角余弦值的最小值为． （3），，，， 由题可知，点到平面和平面的距离为常数，所以点的轨迹为线段， 设轨迹与交于，与交于， ， 因为，所以， 又，所以 同理，，，， ，所以 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（八） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知，，则（    ） A． B． C． D． 3． 中，已知，则（   ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．无最小值 4．在中，，分别为线段，上的点，直线，交于点，且满足，则（    ） A． B． C． D． 5．已知的外接圆半径为，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．在正三棱柱中，，以为球心，为半径的球与侧面相交于曲线，则曲线的长度为（     ） A． B． C． D． 7．已知菱形的边长为，．将沿对角折起，折起后，两点的距离为，则折起后所得三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数（）的部分图象如图所示，其中，，为的图象上的三个点，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的一个周期 B． C． D．若，则 10．下列说法正确的是（     ） A．已知向量，，且，，则 B．在锐角 中为两个内角，则 C．设，为复数，若，则与互为共轭复数是的充要条件 D．直线与平面所成角的取值范围是 11．已知三棱锥的底面是一个边长为的正三角形，且三棱锥的外接球球心为的中点，则下列结论正确的是（     ） A．、与平面所成的角相等 B．二面角的大小可能为 C．若二面角的正切值为，则三棱锥的高为 D．若，则球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知向量，，则的最大值为__________． 13．如图，在棱台中，底面ABCD和为正方形，，，侧面均为等腰梯形，且侧面与底面ABCD的夹角均为45°，则该棱台的表面积为________． 14．在平面内，直线，在两直线之间且到的距离分别为1，2，过作两条相互垂直的射线与分别交于两点，为的重心．若设，，则可用，表示为______；的最小值为______． 四、解答题:本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）已知函数． (1)求在上的取值范围； (2)在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，的面积为，求的值． 16．（15分）如图，三棱锥中，点在上，，，． (1)证明：； (2)若，，，．求直线与平面所成角的正弦值． 17．（15分）在中，内角，，所对的边分别为，，，为边上一点，且，，． (1)若，求的值； (2)求的最大值． 18．（17分）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且，，，．    (1)求证：平面； (2)当时，求点到平面的距离； (3)当时，求二面角正切值的取值范围． 19．（17分）如图，直角梯形中，，，，，，点为线段（不含端点）上的一点，过作的平行线交于，将矩形翻折至与梯形垂直，得到六面体． (1)若，求的长； (2)求异面直线与所成角余弦值的最小值； (3)若，点在内部（含边界）运动，满足四棱锥与三棱锥的体积相等，求点轨迹长度． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $