辽宁省2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟卷05

**基本信息** 聚焦必修三、四核心内容，以无人机山林测绘（解答题16）、圆锥侧面爬行路径（填空题14）等真实情境为载体，分层考查数学抽象、逻辑推理与空间观念，适配高一期末综合能力评估。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|复数运算、三角函数图像变换、立体几何位置关系|多选第9题结合函数奇偶性考查充要条件，体现逻辑推理| |填空题|3题15分|向量模的范围、圆锥侧面最短路径|第14题将空间问题转化为平面展开图，考查空间观念| |解答题|5题77分|三角函数性质、解三角形应用、立体几何证明与计算|16题以无人机测绘为背景，综合解三角形知识；19题融合面面垂直、二面角及点面距离，体现应用意识与数学建模|

辽宁省2026年高一数学下学期期末模拟卷05 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修三全册，必修四全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设（），则，代入已知等式求出；再计算，最后求乘积. 【详解】设，，则. 代入得. 根据复数相等，得，解得，.，故. 2．已知 ， ，则 （    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】A 【分析】利用向量数量积的平方差公式，将所求转化为已知两个和差向量的数量积进行计算. 【详解】已知 ， ， 则. 3．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，可得到函数（ ）的图象 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的得到， 将向右平移个单位得到. 4．已知为第二象限角，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角公式化简可得，结合角的范围分别求出，即可求解. 【详解】由，得： 因为是第二象限角，所以，， 化简得：，即 由于，解得：， 因为，所以， 所以 5．已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由正切函数的单调递增区间为，求得函数的单调递增区间为；再根据函数在上单调，得，从而得到不等式组，确定的取值，结合的条件，确定的最大值. 【详解】由正切函数的单调递增区间为； 令，解得； 函数的单调递增区间为. 由()在上单调，得； ，解得； ，，解得； ，； ，得； 的最大值为. 6．在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用余弦定理和正弦定理化简已知条件，再结合三角函数性质求三角形周长的取值范围. 【详解】由余弦定理可得，由正弦定理可得，， 得到， 所以，化简可得，即， 又因为为锐角三角形，得，， 已知，由正弦定理可得，则， 而， 所以， ， 因为是锐角三角形，所以，解得， 则，，所以， 所以. 7．已知正方体的棱长为3，P为棱上更靠近A的三等分点，则平面截该正方体的截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据平面的性质确定截面的形状，再求其面积. 【详解】如图， 取棱 上更靠近的三等分点，连接 ，. 因为，， 所以平面截正方体的截面为平行四边形. 而平面，则平面， 又平面，则 ，则该平行四边形为矩形. 因为 ，，所以该截面的面积为. 8．如图，在正方体中，，，，，分别是，，，，的中点，则下列结论错误的是（    ） A．，，，四点共面 B．平面平面 C．直线与是异面直线 D．直线和所成角的正切值为 【答案】D 【分析】根据线线平行即可判断A；根据面面平行判定定理即可判断B；利用反证法可得矛盾判断C；根据异面直线的几何法找到其角，即可由三角形边角关系求解D. 【详解】对于A，取中点，连接， 由于是的中点，在正方体中可知， 又，，所以四边形为平行四边形，故， 因此，故四点共面，故A正确； 对于 B，如图，连接， 由于均为中点，所以，， 平面，平面，所以平面， 同理平面，，平面， 所以平面平面，故B正确； 对于C，假设与不是异面直线，则两直线共面. 若与相交，则交点在和上， 平面，与平面仅交于点，而，故与不相交； 若与平行，则平面或平面，这与与平面仅交于点矛盾； 所以与是异面直线，故C正确； 对于D，由于，所以， 故为直线和所成角或其补角， 不妨设正方体的棱长为，则， 由于底面，平面，所以， 所以， 所以直线和所成角的正切值为，故D错误. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列条件中是“为奇函数”的充要条件的有（   ） A． B．的图象关于原点对称 C．，使得 D． 【答案】ABD 【详解】为奇函数，则，都有，所以C错误； 即，化简得对恒成立， 所以，即， 反之，当时，， 当是偶数时，为奇函数， 当是奇数时，为奇函数， 所以为奇函数，A正确； 奇函数的图像关于原点对称，B正确； 因为，所以为奇函数， 若，则，由A选项可知，则为奇函数，D正确. 10．在 中，，，，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．是钝角三角形 D．内切圆的半径为 【答案】ABD 【分析】先求出，对于A，根据正弦定理即可求解；对于B，根据余弦定理即可求解；对于C，根据最大边对应的角为最大角即可判断；对于D，根据三角形的面积公式，及等面积法即可求解． 【详解】在 中，由，则， 对于A，设 外接圆的半径为 ， 则由正弦定理有，即，故A正确； 对于B，由余弦定理有， 即， 化简整理得， 解得，或（舍去），故B正确； 对于C，结合选项B知为最大边，且其对应的角为最大角， 又，所以的最大角为锐角， 所以 是锐角三角形，故C错误； 对于D，设 内切圆的半径为 ，结合选项B有， 则， 即，解得，故D正确． 11．如图，在四棱锥中，分别是，，的中点，且，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面与平面的交线记为，则直线 D．三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 【答案】BC 【分析】利用线面平行的判定推理判断AB；利用线面平行的判定性质推理判断C；利用锥体积体公式求出体积比判断D. 【详解】对于A，由题知相交，平面， 平面，所以与平面相交，故A错误； 对于B，如图，连接，因为分别是，的中点，所以，， 又因为且，所以且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C，因为，因为平面， 平面，所以平面， 因为平面，平面平面，所以，故C正确； 对于D，因为分别是的中点， 所以，，所以， 所以，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则______. 【答案】/ 【分析】根据诱导公式及二倍角余弦公式求解即可. 【详解】因为，所以. 所以. 13．在平面直角坐标系中，若平面向量，满足，，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用向量加法的坐标运算及模的坐标表示列式，再利用换元，结合辅助角公式及正弦函数性质求出范围. 【详解】设，由，得， 由，得， 设， 因此 ， 所以的取值范围是. 14．已知一个圆锥的底面半径，母线长，一只蚂蚁从底面圆周上的一点A出发，沿着圆锥的侧面绕轴爬行一周后又回到点A，则这只蚂蚁爬行的最短路程是______． 【答案】 【分析】将圆锥侧面展开，利用余弦定理可得最短距离. 【详解】如下图将圆锥侧面展开，得扇形，则最短距离为线段长度. 由题意圆锥底面圆周长为，则圆弧长度为， 又扇形半径为，则扇形圆心角为，从而为等腰直角三角形， 从而.    四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数，. (1)求； (2)求； (3)若，求. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出，再根据复数模的计算公式求其模； （2）根据复数乘法的运算法则计算； （3）先求出，再根据共轭复数的定义求出. 【详解】（1）， . （2）. （3）因为， 所以. 16．如图，为完善山区森林防火预警网络，林业公益小队操控固定高度巡航无人机开展山林测绘，计划在两处制高点布设火情监测摄像头，无人机在处测得山顶，的俯角分别为，，沿水平方向行驶到达处，在处测得山顶，的俯角分别为，．，，，在同一铅垂平面内． (1)求，间的距离； (2)求，间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中利用正弦定理可得； （2）先后在中利用正弦定理、在中利用余弦定理可得. 【详解】（1）由题意得，， 在中，由正弦定理，得， 即，解得， 所以，间的距离为 （2）在中，由正弦定理，得， 则， 在中，由余弦定理得 得，所以，间的距离为 17．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的最小值及对应的值； (3)若函数在区间上是单调函数，求实数m的最大值． 【答案】(1) (2)当时，最小值为 (3) 【分析】（1）由三角恒等变换公式化简，根据三角函数的周期公式算出答案； （2）根据正弦函数的单调性与最值进行求解，可得答案； （3）求出时，的取值范围，结合正弦函数的单调性建立关于的不等式，解之即可求得实数的最大值． 【详解】（1） 所以函数的最小正周期； （2）当时，， 结合正弦函数的性质，可知当即时，最小值为； （3）当时， 由正弦函数的性质可得，函数在为递增函数， 故函数在上单调递增， 所以，解得．又， 所以，故实数m的最大值为. 18．设的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，的面积为，为边上一点，满足， （i）求 （ii）求的长． 【答案】(1) (2)（i）；（ii） 【分析】（1）结合诱导公式及辅助角公式化简即可求角； （2）（i）根据三角形的面积公式及余弦定理求得；（ii）由（i）可解得，即为等边三角形，再根据余弦定理求． 【详解】（1）由，可得， 即，即，又， 则，即. （2）（i）因为，所以.   由余弦定理得：， 则，即， 所以， （ii），， 故为等边三角形，则， 由，所以， 在中，由余弦定理得 ， 所以． 19．在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 【答案】(1)取SD的中点M，连接ME，MC， 因为E，M分别为SA，SD的中点，则且， 又因为F为BC的中点，且四边形ABCD为菱形，则且， 可得且，可知四边形EFCM是平行四边形，则， 且平面SCD，平面SCD，所以平面SCD． (2) (3) 【分析】（1）作辅助线，可证，结合线面平行的判定定理分析证明； （2）作辅助线，根据线面垂直分析可知为二面角的平面角，即可得结果； （3）由（2）可知：平面ABCD，利用等体积转化法求点到平面的距离. 【详解】（1）略 （2）取AB的中点O，连接SO，CO，AC，    因为，则， 且平面平面ABCD，平面平面，平面SAB， 所以平面ABCD， 由题意可知：为等边三角形，则， 且，平面，可得平面， 由平面可得， 又因为，则，， 可知为二面角的平面角， 在中，则，，， 可得， 所以二面角的余弦值为． （3）由（2）可知：平面ABCD， 且，， 设点B到平面SCD的距离为h， 因为，则， 即，解得， 所以B到平面SCD的距离为． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省2026年高一数学下学期期末模拟卷05 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：必修三全册，必修四全册。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若复数满足，则（ ） A． B． C． D． 2．已知 ， ，则 （    ） A．0 B．1 C． D． 3．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向右平移个单位，可得到函数（ ）的图象 A． B． C． D． 4．已知为第二象限角，，则（     ） A． B． C． D． 5．已知函数在上单调，则的最大值是（    ） A．1 B． C． D．2 6．在锐角中，已知，，则周长的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．已知正方体的棱长为3，P为棱上更靠近A的三等分点，则平面截该正方体的截面的面积为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在正方体中，，，，，分别是，，，，的中点，则下列结论错误的是（    ） A．，，，四点共面 B．平面平面 C．直线与是异面直线 D．直线和所成角的正切值为 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，则下列条件中是“为奇函数”的充要条件的有（   ） A． B．的图象关于原点对称 C．，使得 D． 10．在 中，，，，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．是钝角三角形 D．内切圆的半径为 11．如图，在四棱锥中，分别是，，的中点，且，则下列说法正确的是（    ） A．平面 B．平面 C．平面与平面的交线记为，则直线 D．三棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则______. 13．在平面直角坐标系中，若平面向量，满足，，则的取值范围是_____________． 14．已知一个圆锥的底面半径，母线长，一只蚂蚁从底面圆周上的一点A出发，沿着圆锥的侧面绕轴爬行一周后又回到点A，则这只蚂蚁爬行的最短路程是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知复数，. (1)求； (2)求； (3)若，求. 16．如图，为完善山区森林防火预警网络，林业公益小队操控固定高度巡航无人机开展山林测绘，计划在两处制高点布设火情监测摄像头，无人机在处测得山顶，的俯角分别为，，沿水平方向行驶到达处，在处测得山顶，的俯角分别为，．，，，在同一铅垂平面内． (1)求，间的距离； (2)求，间的距离． 17．已知函数． (1)求函数的最小正周期； (2)当时，求函数的最小值及对应的值； (3)若函数在区间上是单调函数，求实数m的最大值． 18．设的内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若，的面积为，为边上一点，满足， （i）求 （ii）求的长． 19．在四棱锥中，平面平面ABCD，，底面ABCD为菱形，，，E，F分别是SA，BC的中点．    (1)求证：平面SCD； (2)求二面角的余弦值； (3)求点B到平面SCD的距离． 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $