辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一下学期数学期末复习卷（四）

**基本信息** 辽宁葫芦岛高一数学期末复习卷，涵盖复数、立体几何、向量等核心知识，解答题注重综合应用，如立体几何体积证明、三角函数性质探究，考查数学思维与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|纯虚数、斜二测面积、向量共线|基础巩固，梯度合理| |多选题|3/18|三角函数图像、解三角形结论|能力区分，多维度考查| |填空题|3/15|线段最值、正方体截面面积|创新应用，空间想象| |解答题|5/77|立体几何体积证明、三角函数性质、四棱锥动态截面|综合探究，关联真题趋势，培养推理与创新意识|

辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一数学下学期期末复习卷（四） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．为纯虚数，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】法一：先利用复数的除法法则化简计算即可；法二：设，化简计算即可. 【详解】解法一：，由题意得，则； 解法二：因为为纯虚数，设，则， 所以，则. 2．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【难度】0.77 【详解】过作交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积，故选项D正确. 3．已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【难度】0.7 【详解】由向量与的方向相反，得,， 而向量，不共线，得，由，得，所以. 4．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.65 【分析】利用充分条件与必要条件定义，结合直线与平面的位置关系判断即可得. 【详解】由，，若，则与可能平行也可能相交； 由，，若，则与可能平行、可能异面也可能相交； 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 5．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【难度】0.65 【分析】利用辅助角公式化简，然后对最小正周期进行分析即可求解. 【详解】，因为，所以是的最小正周期的整数倍， 即，其中，解得：，即：为正偶数； 在上存在零点，即：存在，使得：成立， 所以，其中，当，，要使区间内存在， 只需，解得：，又因为为正偶数，所以最小值为4. 6．某船行驶到甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的北偏东方向上，相距；在甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的南偏西方向上，相距．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看号灯塔，则号灯塔在乙地的北偏东方向上，则号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.63 【分析】在中，利用正弦定理求出，然后在中，利用余弦定理可求得. 【详解】在中，， 由正弦定理得，所以， 在中，，， 由余弦定理得， 所以． 7．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.6 【分析】利用诱导公式建立已知角与待求式中角的关系，结合同角三角函数基本关系、二倍角公式计算即可． 【详解】由，得， 又，所以， 所以， ， 所以． 8．在中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60º，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠NPM的余弦值为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.5 【分析】求三角形内角的余弦值，可以建立平面直角坐标系求出点坐标，进而求出三角形对应边长，利用解三角形的余弦定理求出角的余弦值. 【详解】以点为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， ，点的坐标为，过点作于点， 在中，，，， 点的坐标为，是中点，点的坐标为，是中点， 点的坐标为，设直线的解析式为，将点的坐标为代入，得，解得， 直线，设直线的解析式为，将点，的坐标代入，得，解得， 直线，联立直线与直线方程组得，解得，即点的坐标为， 根据两点间距离公式：，，， 根据余弦定理可得：，，解得. 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 【答案】ABD 【难度】0.65 【分析】根据图像先确定的值，根据周期得到，再代入点可得的解析式，再根据正弦型函数的性质逐项判断即可． 【详解】由题图知，，，所以， 又函数的图象过点， 所以，所以，， 又，所以，所以，故A，B正确． 由，，得函数的对称轴为直线，，故C错误． 由，，得，， 所以函数在区间上单调递减，故D正确． 10．在中，角的对边分别是．下面四个结论正确的是（   ） A．是的充要条件 B．，则的外接圆半径是 C．若，则 D．若，则有两解 【答案】AC 【难度】0.65 【详解】对A，若，则，由正弦定理得，即； 若，因为，根据正弦函数的图像与性质，可得，故正确； 对于B，，由正弦定理可得， 则的外接圆半径是，故错误； 对于C，若，由正弦定理得， 因为，所以，故正确； 对于D，若，则由余弦定理可得， 即， 解得，因为，所以有一解，即有一解，故错误． 11．如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（    ） A．不存在点P，使得平面 B．一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为 【答案】BCD 【难度】0.42 【分析】取中点，利用面面平行判定定理可得平面平面，则可利用面面平行性质定理得A；将平面展开后计算可得B；借助等积转换计算可得C；将三棱锥补形后可得D. 【详解】对A：取中点，连接、，由为中点，则， 又平面，平面，故平面， 由为中点，则， 又平面，平面，故平面， 又，、平面，则平面平面， 则当点在线段上时，由平面，可得平面， 故存在点，使得平面，故A错误； 对B：将平面与平面沿展开，使其位于同一平面如下图： 则从到的最短距离为，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：取、、中点、、，连接成四边形， 三棱锥的外接球与长方体的外接球相同， 故即为该外接球直径，故半径为， 则外接球表面积为，故D正确. 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，点在线段上，且，则的最小值为__________. 【答案】 【难度】0.65 【详解】由题意可得，，， 则, 等号成立时，即， 故的最小值为. 13．如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，则平面截正方体所得截面的面积为_____ 【答案】 【难度】0.57 【分析】找到平面截正方体的截面为正六边形，求出正六边形面积即可. 【详解】延长交于点，交于点， 连接并延长交于点， 过点在平面内作，连接，交于点， 因为，， 所以，所以， 同理可证，，故为的中点， 因为，，， 所以，所以为中点， 因为，，， 所以，故为的中点， 所以截面为正六边形，其边长为， 所以正六边形的面积为. 14．已知正 边形 内接于单位圆 ，且满足 的顶点 恰有 个.若等腰直角 （为直角顶点） 的顶点 在圆 上，并考虑所有满足要求的正 边形与等腰直角 ，则 的最大值为 ______. 【答案】 【难度】0.18 【分析】题意条件可转化为的顶点的个数仅3个，可先根据向量模长公式得出向量夹角的范围，利用正n边形的性质可得，即，再利用向量加法将转化为，进而利用等腰直角三角形与圆的性质，结合三角函数辅助角公式求最值即可. 【详解】由题知正n边形顶点为，设和夹角为， 由题意可得，满足的顶点仅3个， 不等式两边平方可得， 因为正n边形内接于单位圆O， 所以，且， 所以，则，故， 故满足条件的顶点只能为这三个， 所以有，解得，故； 所以. 下面求的最大值. 如图，由等腰直角三角形中，取中点，连接， 则，，故三点共线，设， 则，， 所以，当时，等号成立， 故， 且当时，取到最大值. 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在正方体中为的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面； 【答案】(1) (2)如图所示，在正方体中，平面，平面，因此. 由四边形是正方形，可知. 又因为平面，平面，且， 所以平面. 【难度】0.78 【分析】（1）确定三棱锥的底面与高，再结合三棱锥体积公式计算体积； （2）根据线面垂直判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线即可. 【详解】（1）在正方体中，，因此正方体棱长为，平面. 因为是中点，所以到平面的距离. 底面是直角三角形，. . （2）略 16．（15分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积，，． (1)求的值； (2)求和的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【难度】0.72 【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式得，即可求出； （2）代入余弦定理的公式即可求出和的值； （3）先利用正弦定理求出的值，再利用公式求出，最后利用两角差的余弦公式即可求出. 【详解】（1）由余弦定理可得：， 将上式代入已知面积条件中，得：， 又因为三角形面积公式为，两式联立可得：， 因为在中，，，所以：， 显然两边同除以得：， 因为，所以角A的大小为：, （2）由余弦定理，将，代入得： ，即，解得， 又由已知得. （3）在中，由正弦定理得：， 由（2）可知，，． ， ， ， . 17．（15分）已知函数，． (1)求在的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【难度】0.65 【分析】（1）根据降幂公式，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质即可求解； （2）根据三角函数的性质即可求解最值； （3）由已知得出，结合及同角三角函数的平方关系得出，由两角和的正弦公式即可求解． 【详解】（1）， 由，解得， 又，所以的单调递减区间为． （2）因为，所以，则， 所以， 所以的最大值为，最小值为． （3）由，所以，所以， 又，所以， 所以， 所以 ． 18．（17分）已知向量，，函数. (1)若，且，求的值； (2)若函数. （ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间； （ⅱ）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)（ⅰ）的最小正周期为，单调递增区间为； （ⅱ）. 【难度】0.45 【分析】（1）将向量坐标代入计算结合三角恒等变换得到正弦函数，代入已知条件求值，再通过两角和的余弦公式计算即可； （2）（ⅰ）利用正弦函数的性质得出最小正周期，利用整体法解不等式得到单调递增区间； （ⅱ）由已知条件可知问题转化为，利用整体法结合正弦函数性质可得，通过换元将化为含参的二次函数，结合二次函数性质求最大值，最后解不等式即可. 【详解】（1）由已知，， 因为，所以，因为，所以， . （2）（ⅰ），最小正周期， 令，因为的单调递增区间为， 所以，解得， 所以的单调递增区间为. （ⅱ）， 因为对任意的，总存在，使得成立， 所以， 令，所以， 在上单调递增，在单调递减， 所以，所以， 令，所以， 函数可化为，开口向下，对称轴， 当，在上单调递增，， 即，由于，所以，解得， 所以； 当，在上单调递增，在上单调递减， 则，即， 由于，所以，解得， 所以； 当，在上单调递减，， 即，由于，所以，解得， 所以； 综上所述，的取值范围为. 19．（17分）已知四棱锥的底面为菱形，且，且.平面与射线分别交于点，且满足 (1)当时，平面与棱交于点.证明：为中点； (2)当时，求平面截四棱锥所得截面的面积； (3)记为中点，若直线上始终存在动点满足平面.当 变化时，求动点的轨迹长度. 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【难度】0.44 【分析】(1)通过线面平行性质定理得到线线平行，利用相似三角形性质得到为中点； (2)截面五边形总面积等于三角形与四边形的面积和， (3)求得满足条件的是上部分点，由此确定动点的轨迹长度. 【详解】（1）当 时，由 ，可得 是 中点， 是 中点， 是 中点， 在 中，因为 是 中点， 是 中点， 所以由三角形中位线定理得：，又 平面 ， 平面 ， 由线面平行判定定理，得 平面 ； 底面 平面 （，，均在底面 内），且 平面 ，结合 平面 ，由线面平行的性质定理，得； 在底面菱形 中，， 是 中点，即 ， 在 中，，，由相似三角形性质：， 代入 ，得 ，即 ，因此， 为 的中点. （2）以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， ，，， 为菱形，，得，， 当，，，， ， 设平面的法向量为，则，， 取， 在取一点，则截面为五边形， 设，得，， 则也是平面的一个法向量，则， 所以，所以，， 所以， 所以， 所以， ，得 ， ， 所以四边形QPKR 是平行四边形， ， ， ， ，， ， 所以截面五边形总面积：； （3）因为 为 中点，得 ， 由 ， 得，，， ， 设平面 的法向量为，则 可取法向量 由(2)设，得， ， 由 面 ，得 ，即 ， ， 化简：， 得 得， ，得 当，当， 当，所以， 所以，   ， 所以动点 的轨迹为一段线段，长度为 . 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁葫芦岛市2025-2026学年高一数学下学期期末复习卷（四） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．为纯虚数，则实数（   ） A． B． C． D． 2．如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 3．已知向量，不共线，且向量与的方向相反，则实数的值为（    ） A．1 B． C．2 D． 4．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．某船行驶到甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的北偏东方向上，相距；在甲地看号灯塔时，号灯塔在甲地的南偏西方向上，相距．该船由甲地向正南航行到乙地时，再看号灯塔，则号灯塔在乙地的北偏东方向上，则号灯塔与乙地之间的距离是（    ） A． B． C． D． 7．已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．在中，已知AB=2，AC=5，∠BAC=60º，BC、AC边上的两条中线AM、BN相交于点P，则∠NPM的余弦值为（  ） A． B． C． D． 2． 多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知函数（，，）的部分图象如图所示，则（    ） A． B． C．函数的图象关于直线对称 D．函数在上单调递减 10．在中，角的对边分别是．下面四个结论正确的是（   ） A．是的充要条件 B．，则的外接圆半径是 C．若，则 D．若，则有两解 11．如图，正方体的棱长为2，E，F分别是，的中点，点P是底面ABCD内一动点，则下列结论正确的为（    ） A．不存在点P，使得平面 B．一蚂蚁从点A出发，沿正方体的表面爬行，到达点的最短距离为 C．三棱锥的体积为 D．三棱锥的外接球表面积为 3． 填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，点在线段上，且，则的最小值为__________. 13．如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，则平面截正方体所得截面的面积为_____ 14．已知正 边形 内接于单位圆 ，且满足 的顶点 恰有 个.若等腰直角 （为直角顶点） 的顶点 在圆 上，并考虑所有满足要求的正 边形与等腰直角 ，则 的最大值为 ______. 4． 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，在正方体中为的中点. (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面； 16．（15分）在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积，，． (1)求的值； (2)求和的值； (3)求的值． 17．（15分）已知函数，． (1)求在的单调递减区间； (2)当时，求的最大值和最小值； (3)若，，求的值． 18．（17分）已知向量，，函数. (1)若，且，求的值； (2)若函数. （ⅰ）求的最小正周期和单调递增区间； （ⅱ）设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求的取值范围. 19．（17分）已知四棱锥的底面为菱形，且，且.平面与射线分别交于点，且满足 (1)当时，平面与棱交于点.证明：为中点； (2)当时，求平面截四棱锥所得截面的面积； (3)记为中点，若直线上始终存在动点满足平面.当 变化时，求动点的轨迹长度. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $