3.4 相似三角形的性质课时2（课件）2026-2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，及相似多边形的周长与面积比性质。课堂导入通过全等三角形与相似三角形的对比提问，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生自然过渡到新知探究。 其亮点在于以问题驱动，从特殊相似比实例推导到一般证明，类比迁移至多边形性质，培养学生推理能力与抽象能力。如先证相似比2的三角形性质再推广到k，类比三角形性质探究多边形。小结系统梳理知识，助学生构建体系，教师可高效教学，学生提升逻辑思维与探究能力。

第三章 图形的相似 3.4 相似三角形的性质课时2 九上数学北师 1.理解并初步掌握相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 2.类比相似三角形的周长比与面积比，猜想相似多边形的周长比与面积比，体验类比思想。 学习目标 2 两个全等三角形的周长相等、面积相等，那么两个相似三角形的周长、面积分别有怎样的关系呢? 课堂导入 3 知识点1 相似三角形的周长比、面积比的性质定理 问题1 如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为2，那么△ABC与△A′B′C′的周长比是多少?面积比呢? 设BC，B′C′边上的高分别为h，h′。 因为△ABC∽△A′B′C′，相似比为2， 所以AB = 2A′B′，BC = 2B′C′，AC = 2A′C′，h = 2h′， 所以周长比为 = = 2 。 所以面积比为 = = 4 。 新知讲解 知识点1 相似三角形的周长比、面积比的性质定理 问题2 如果△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，那么你能求△ABC与△A′B′C′ 的周长比和面积比吗? △ABC与△A′B′C′的周长比是k，面积比是k²。 新知讲解 知识点1 相似三角形的周长比、面积比的性质定理 证明：相似三角形的周长比等于相似比。 已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，AD，A′D′分别为△ABC和△A′B′C′对应边上的高。 求证： = k。 证明：∵△ABC∽△A′B′C，且相似比为k， ∴ = = k。 ∴ = = = k。 新知讲解 知识点1 相似三角形的周长比、面积比的性质定理 证明：面积比等于相似比的平方。 已知：如图，△ABC∽△A′B′C′，且相似比为k，AD，A′D′分别为△ABC和△A′B′C′对应边上的高。 求证： = k2。 证明：∵△ABC∽△A′B′C，且相似比为k， ∴ = k。 ∴ = = = k2。 新知讲解 定理 相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 知识点1 相似三角形的周长比、面积比的性质定理 新知讲解 如图，已知在△ABC中，DE∥BC。 (1)若AD ׃ AB = 2 ׃ 3，则S△ADE ׃ S△ABC = 。 (2)若D是AB的中点，△ADE的面积为3， 则△ABC的面积为 = 。 例1 知识点1 相似三角形的周长比、面积比的性质定理 12 新知讲解 两个相似四边形的周长比等于相似比吗?两个相似n边形呢? 设两个相似n边形的边长分别为，，···，和，，···，。 根据相似多边形的性质可知，相似多边形的对应边成比例， 利用等比性质 两个相似四边形的周长比等于相似比。 两个相似多边形的周长比等于相似比。 知识点2 相似多边形的性质 新知讲解 两个相似四边形的面积比等于相似比的平方吗?你能利用相似三角形的性质说明吗? 知识点2 相似多边形的性质 如图，已知四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为k，AC，A′C′分别为四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的对角线。 A D A′ D′ B C B′ C′ ∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，相似比为k， ∴ = k，∠ABC = ∠A′B′C′。 ∴△ABC∽△A′B′C′， ∴ = k2， 同理， = k2。 ∴ = = k2 。 新知讲解 相似多边形的性质： 两个相似多边形的面积比等于相似比的平方； 两个相似多边形的对应对角线之比等于相似比； 两个相似多边形被对角线分成的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比。 知识点2 相似多边形的性质 新知讲解 已知矩形ABCD∽矩形A′B′C′D′，相似比为2。若AB = 6cm，BC = 12cm，那么矩形A′B′C′D′的周长是 cm，面积是 cm²。 例2 18 18 知识点2 相似多边形的性质 新知讲解 如图，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF，△ABC与△DEF重叠部分(图中阴影部分)的面积S△GEC是△ABC面积S△ABC的一半。已知BC = 2，求△ABC平移的距离。 例3 知识点2 相似多边形的性质 A D G B E C F 新知讲解 解：根据平移的性质可知，EG∥AB。 ∴ ∠GEC = ∠B，∠EGC = ∠A。 ∴ △GEC∽△ABC(两角分别相等的两个三角形相似)。 ∴ = ()2 = (相似三角形的面积比等于相似比的平方)， 即 = ∴ EC² = 2。 ∴ EC = 。 ∴ BE = BC-EC = 2-，即△ABC平移的距离为2-。 知识点2 相似多边形的性质 A D G B E C F 新知讲解 1.判断正误： (1)如果把一个三角形三边的长同时扩大为原来的10倍，那么它的周长也扩大为原来的10倍； ( ) (2)如果把一个三角形的面积扩大为原来的9倍，那么它三边的长都扩大为原来的9倍。 ( ) √ × 随堂练习 2.若两个三角形相似，且它们的最大边分别为6cm和8cm，它们的周长之和为35cm，则较小的三角形的周长为______。 15cm 随堂练习 3.两个相似三角形面积之比为2 ׃ 7，较大三角形一边上的高为，则较小三角形的对应边上的高为_______。 随堂练习 4.在□ABCD中，E为AB上一点，BE ＝ 2AE，对角线AC交DE于点F，若S△AEF ＝ 6，求S△CDF。 . . 解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB，DC∥AB，∴∠DCA＝∠BAC， 又∵∠CFD＝∠AFE， ∴△AFE∽△CFD， ∵BE＝2AE，∴ ＝ ， ∵CD＝AB，∴ ＝ ， ∴ ＝ () ＝ () ＝ ， ∴S△CDF＝9S△AEF＝9×6＝54。 A B C D 随堂练习 5.如图，一张锐角三角形纸片ABC，点D，E分别在边AB，AC上，AD=2DB，沿DE将 ABC剪成面积相等的两部分，则的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 C 随堂练习 ①相似多边形的周长比等于相似比 ②相似多边形的面积比等于相似比的平方 ③相似多边形被对角线分成的对应三角形相似，其相似比等于相似多边形的相似比 周长比等于相似比 相似三角形的性质 周长 面积 面积比等于相似比的平方 拓展 课堂小结 $