第07讲 有理数的混合运算（暑假预习举一反三讲义）新七年级数学上册新教材苏科版

第07讲 有理数的混合运算（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+1个知识归纳+7个题型+课后作业】 模块二 有理数的混合运算 同学们，大家小时候一定都玩过“24点”的游戏吧？今天我们就要用数学的眼光来重新挑战它！ 规则很简单：老师随手抽出4张扑克牌（J、Q、K分别代表11、12、13），请你们运用加、减、乘、除以及我们刚学过的乘方，让这4个数字经过运算后，结果刚好等于24.每张牌必须用，而且只能用一次！ 现在，老师抽出的牌是：3、4、-6、10.（注意：为了增加难度，我们引入了代表负数的黑色牌） 大家先别急着动笔，在心里想一想： 如果先算3加4，再乘以-6，结果会怎样？ 如果先算10减去4，再乘以3，能不能凑出24？ 面对这么多种加减乘除的组合，到底应该先算哪一步，才能准确又快速地得到24呢？ 其实，不仅仅是玩游戏，我们在解决很多复杂的数学问题时，都会遇到这种既有加减、又有乘除和乘方的算式.到底谁先谁后？有没有一个全世界统一的“交通规则”来指挥它们呢？今天，我们就来学习——有理数的混合运算！ 【知识点 有理数的混合运算】 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 【题型1 有理数运算的顺序】 【例1】式子－52＋(－2)÷ 有以下三种运算，对其运算顺序排序正确的是(　　) ①乘方；②加法；③除法． A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 【答案】B 【分析】根据有理数的加减乘除运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的进行分析即可得出答案． 【详解】解：由有理数的运算顺序“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内的”可知： 先计算乘方－52和的结果，再计算(－2)÷的结果，最后相加， 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的加减乘除运算法则及运算顺序，属于基础题，熟练掌握运算顺序是解决本题的关键． 【变式1-1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过顺序的运算，可列式为：，8经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（    ） A．23 B．19 C．18 D．17 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据题意可以列出算式，计算即可．理解题目提示的运算顺序是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ∴经过顺序的运算结果为23． 故选：A． 【变式1-2】（2025·河北保定·二模）如图，A，B，C三个乒乓球分别代表一种运算，利用这三个乒乓球设计一个数学游戏，我们可以将A，B，C的顺序重新排序，任意选择一个实数进行一次列式计算．例如：若实数2按的顺序运算，则可列算式为． (1)对于实数5，经过的顺序运算后，求出计算结果； (2)对于实数，经过的顺序运算后，要使结果不超过，求出的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、解一元一次不等式，熟练掌握有理数运算的法则是解题的关键． （1）仿照示例，即可得到运算结果； （2）仿照示例，得到，解答即可得到结果． 【详解】（1）解：由题意，得 ； （2）由题意，得 ， ，即的最小值为5． 【变式1-3】（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用、、、四张卡片分别代表四名同学．例如：1经过，，，的顺序运算后，结果是． 列式，并计算： (1)经过，，，的顺序运算后，结果是多少？ (2)5经过，，，的顺序运算后，结果是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则计算即可： （1）根据题意，得，求解即可得到答案； （2）根据题意，得，求解即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，得 （2）根据题意，得 【题型2 有理数的混合运算】 【例2】（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算，先运算乘除，再运算加减，同级运算，从左到右进行计算，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D 【变式2-1】小林在学习完有理数除法运算后，对算式的计算过程如下： 解：原式        ①     ②             ③ ． 根据小林的计算过程回答下列问题： (1)小林在进行第②步运算时，运用了乘法的 律； (2)小林的运算出现了错误，错在第 （只填写序号）步； (3)请给出正确解法． 【答案】(1)分配 (2)③ (3) 【分析】考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘除，后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．有时也可以根据运算定律改变运算的顺序． （1）（2）根据小林的计算步骤分析即可； （3）根据有理数的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）小林在进行第②步运算时，运用了乘法的分配律． 故答案为：分配； （2）∵第③步计算乘法时符号确定错误， ∴小林的运算出现了错误，错在第③步． 故答案为：③； （3）原式 ． 【变式2-2】若在算式的“口”中，填入“+、﹣、×、÷”中一个运算符号，则可使计算出来的值最小的符号是（　　  ） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 【答案】B 【详解】试题解析：在算式 23-（-口36）2中，-+36=；--36=-；-×36=-；-÷36= ∵（-）2>（）2>（-）2>（）2 ∴填入“-” 可使计算出来的值最小 故选B． 【变式2-3】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【答案】 【详解】解： 【题型3 与程序流程图相关的有理数的运算】 【例3】（24-25七年级上·福建漳州·期中）若计算机按如图所示程序工作，若输入的数是4，则输出的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数四则混合运算，程序流程图与有理数计算，解题关键是掌握运算的顺序． 根据程序列出算式计算，直接输出即可． 【详解】解：输入的数是4， 则，， 输入的数是， 则，， 则输出的数是， 故选：A． 【变式3-1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，当为偶数时，就用除以，得到一个新的自然数；当为奇数时，我们先把乘以后，其结果再加上，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称是自然数的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过次运算后结果第一次为，则称的熵．若输入自然数，则自然数的熵_________． 【答案】7 【分析】本题考查了程序流程图与有理数的计算，掌握知识点的应用是解题的关键．根据程序框图列式计算，直至结果为1即可． 【详解】解：输入自然数， 第一次运算， 第二次运算， 第三次运算， 第四次运算， 第五次运算， 第六次运算， 第七次运算， 则自然数 3 的熵， 故答案为：7． 【变式3-2】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）加密方法：将一个字母对应的数字通过某种规定的运算程序化为对应的密文数字x． 运算程序为：例如：字母A对应数字1，通过运算程序后的密文是3，密文3对应字母A．如果密文，那么它是由字母_______加密得到的． 【答案】F 【分析】本题主要考查了与流程图有关的有理数计算，计算出的结果可求出密文所对应的字母所对应的数，据此可得答案． 【详解】解： ， ∴密文对应的字母所对应的数为6，即密文对应的字母为F， 故答案为：F． 【变式3-3】（25-26七年级上·福建厦门·期末）按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查程序流程图与有理数的计算，数字类规律探究．关键是按照流程图正确的列出算式进行计算；计算出前几次的输出结果，概括出数字规律，作答即可． 【详解】解：输入的值是，第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； 第次输出的结果是； …… 由此可见，从第次起，分别为：，……，三个一循环， ∵， ∴余数为， ∴第次输出的结果和循环中的第二个数相同为：． 故选：B． 【题型4 与新定义相关的有理数的运算】 【例4】（24-25七年级上·云南·单元复习）新趋势．新定义  对于任意四个有理数，，c，d定义新运算：，则的值为_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，根据新定义代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：2． 【变式4-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）在数学中，有一个著名的“冰雹猜想”（又称Collatz猜想），它定义了一种运算：对于正整数n，如果n是偶数，则将它变为；如果n是奇数，则将它变为；如此重复运算，最终都会得到1．定义从正整数n开始到第一次得到1的运算次数叫做n的“冰雹步数”．例如：从5开始，运算过程为：5→16→8→4→2→1共进行了5次运算，则5的“冰雹步数”为5．那么，以下四个数中，冰雹步数最大的是（   ） A．3 B．6 C．13 D．20 【答案】C 【分析】本题考查流程图与有理数的计算，计算每个选项的冰雹步数（即从n开始按规则运算到1的次数），并比较大小即可． 【详解】解：从开始，运算过程为：共进行了7次运算，则3的“冰雹步数”为7． 从开始，运算过程为：共进行了8次运算，则6的“冰雹步数”为8． 从开始，运算过程为：共进行了9次运算，则13的“冰雹步数”为9． 从开始，运算过程为：共进行了7次运算，则20的“冰雹步数”为7． ∴冰雹步数最大的是13， 故选：C． 【变式4-2】（25-26七年级上·四川德阳·期末）定义一种对正整数的“F”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，例如，取，则 ，若，则第次“”运算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查有理数的混合运算和数字的规律，解答本题的关键是理解新定义中的运算法则，掌握有理数混合运算的计算方法．根据题意，写出前几次的运算结果，发现其中的规律，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：当，则第次“”运算的结果是：， 第次“”运算的结果是：， 第次“”运算的结果是：， 第次“”运算的结果是：， 第5次“”运算的结果是：， 第6次“”运算的结果是：， … 观察以上结果，从第次开始，结果就只有、两个数循环出现，周期为； 且当次数为奇数时，结果是，次数为偶数时，结果是， 而第次是偶数，所以最后结果是． 故选：A． 【变式4-3】（25-26七年级上·四川达州·期末）定义一种新运算“”：表示在运算作用下的结果． 若表示在运算作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，…… 根据以上定义完成以下问题： 的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了新运算的有关计算及有理数的混合运算，理解新运算的法则是解题的关键． 根据题意可得到，然后把原式变形为，即可求解． 【详解】解：，，，…… 由此发现：， ∴ 故答案为： 【题型5 算24点】 【例5】（24-25七年级上·河南安阳·期末）请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是____．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了有理数的加减乘除运算，熟练掌握运算法则是解题关键．根据有理数的加减乘除运算法则求解即可得． 【详解】解：因为， 所以列出的算式是， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式5-1】在学习了有理数的混合运算后，小明和小刚玩算“24点”游戏．游戏规则：从一副扑克牌(去掉大，小王)中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号)，使得运算结果为24或﹣24．其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．小明抽到的四张牌分别是黑桃1，黑桃3，梅花4，梅花6(都是黑色扑克牌)．小明凑成的等式为6÷(1﹣3÷4)=24，小亮抽到的四张牌分别是黑桃7、黑桃3、梅花7、梅花3(都是黑色扑克牌)：请写出小亮凑成的“24点”等式____． 【答案】7×(3+3÷7)=24 【分析】利用“24点”游戏规则列出等式即可． 【详解】根据题意得：7×(3+3÷7)=24． 故答案为：7×(3+3÷7)=24． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，弄清“24点”游戏规则是解本题的关键． 【变式5-2】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 【变式5-3】数学游戏题： （1）下图是一个三阶幻方，有9个数字构成，并且每横行，竖行和对角线上的3个数字的和都相等，试填出空格中的数； （2）有一种“二十四点”的游戏（即算24游戏），其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如对1，2，3，4，可作如下运算：(1+2+3)×4＝24（上述运算与4×(1＋2＋3)视为相同方法的运算） ①给出有理数4，6，9，12 ；请你写出一个算式使其结果为24； ②在我们学过负数以后这个游戏仍可以玩，如可以列出算式；现给出四个数，请你写出一个算式使其结果为24. 【答案】（1）由题意得： （2）①或或 ②或. 【详解】试题分析：首根据已知条件求出3个数字的和，然后再进行填空；算24点，只要结果正确即可. 试题解析：（1）填右边表格 （2）、①、（12－4）×（9－6）；或4×（9－6）+12；或（4+12）×（9÷6） ②、（－5+6÷3）×（－8）；或[6×（－8）]÷（－5+3） 考点：有理数的计算 【题型6 有理数的巧算】 【例6】阅读例题的解答过程，并解答下列各题． 例：用简便方法计算． 解：   ①   ② ． (1)例题求解过程中，第②步变形的依据是_________； (2)用简便方法计算； (3)用简便方法计算． 【答案】(1)平方差公式 (2) (3)1 【分析】(1)根据平方差公式即可解答； (2)运用两次平方差公式的逆用即可求得答案； (3)根据平方差公式的逆用即可求得答案． 【详解】（1）解：   ①   ② 第②步变形的依据是：平方差公式， 故答案为：平方差公式； （2）解： ； （3）解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式及其逆用，有理数的混合运算，熟练掌握和运用平方差公式及其逆用是解决本题的关键． 【变式6-1】（25-26七年级上·浙江温州·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了有理数乘法运算律的简便运算，掌握乘法分配律是解题的关键． （1）按照乘法分配律和有理数乘法运算法则计算即可； （2）按照乘法分配律和有理数乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【变式6-2】有个填写运算符号的游戏：在“1□2□（﹣6）□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果． （1）计算：1+2﹣（﹣6）﹣9= （直接写出结果）； （2）若1÷2×（﹣6）□9＝6，请推算□内的符号是 ； （3）在“1□2□（﹣6）﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最大，直接写出这个最大数是 ； （4）请在□内填上×，÷中的一个，使计算更加简便，然后计算结果． 计算：□（﹣） 【答案】（1）0；（2）+；（3）4；（4） 【分析】（1）原式利用加减法则计算即可求出值； （2）根据原式结果确定出运算符号即可； （3）填上合适符号，使其得数最大即可； （4）填上“÷”，把除法转换为乘法，运用乘法分配律进行计算即可． 【详解】解：（1）1+2﹣（﹣6）﹣9 =1+2+6-9 =0， 故答案为：0； （2）∵1÷2×（﹣6）□9＝6 ∴-3□9＝6 ∴□内的符号是“+” 故答案为：＋； （3）1-2×（﹣6）-9=1+12-9=4 故答案为：4； （4）填上÷， ÷ = = = = 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【变式6-3】（24-25七年级上·广东梅州·期中）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了有理数运算四则混合运算相关考点，解题关键在于掌握特定运算方法并灵活运用，具体解题思路围绕材料所给方法展开． （1）有理数除法计算以及乘法分配律的运用．通过将除法转化为乘法，再利用乘法分配律简化计算过程，最终求出原式的值； （2）有理数的加减混合运算中的拆项法．考查学生对拆项法这种特殊运算方法的理解和运用能力，利用该方法将复杂的有理数加减运算简化． 【详解】（1）解：原式的倒数为： ， ∴； （2）解： ． 【题型7 有理数混合运算的实际应用】 【例7】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零． 第天 1 2 3 4 5 6 7 路程/km (1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ (2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？ 【答案】(1)/天 (2)元 【分析】（1）先求出7天总路程，再求平均数即可； （2）先分别求出燃油车和电动车的费用，再比较可得答案． 【详解】（1）解：总路程：，平均：/天； 所以这七天平均每天行驶了60千米； （2）解：燃油车费用：元， 电动车费用：元； 节省：元， 所以这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省235.2元． 【变式7-1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为了测一个玻璃瓶的容积，小丽将一袋毫升的牛奶倒入瓶中，测得牛奶高度为厘米；再将瓶子倒放，测得空余部分高度为厘米，小丽计算得到玻璃瓶的容积应该是______毫升． 【答案】 【分析】根据题意得出玻璃瓶的底面积为，然后列式计算即可． 【详解】解：由题意可得：底面积为， ∴玻璃瓶容积为， ∴． 【变式7-2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）布置在公共场所的共享充电宝，解决了手机续航焦虑，为旅客带来便利．哈西站的共享充电宝计费标准如下所示： 租金说明 ①分钟内免费． ②超出部分每小时收费元，不足小时按小时计费． ③租用首个小时收费元．小时后按时计费，每小时收费元，不足小时按小时计费． 小红在哈西站租用了一个共享充电宝，当天忘记归还，共租用了小时，支付时使用了一张满减元的优惠券，小红应付租金______元． 【答案】 【分析】总租用时长为小时，大于小时，需分两段计算租金，先计算前小时的费用，再根据计费规则计算超出小时部分的费用，总费用满足优惠券使用条件，减去优惠金额即可得到应付租金． 【详解】解：根据计费规则，前小时收费为元， 超出小时的时长为：（小时）， 因为不足小时按小时计费，所以小时按小时计费， 超出部分的费用为：（元）， 优惠前总费用为：（元）， ，可使用满减元的优惠券，因此应付租金为：（元）． 【变式7-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，许多重要的历史事件都用它来指称，如“戊戌变法”“辛亥革命”“甲午战争”等，天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀为：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2026年为丙午年，2027年为丁未年…；中国共产党提出第二个一百年奋斗目标，到新中国成立100年时（2049年）建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2049年是（   ）年 A．己酉 B．庚午 C．乙巳 D．己巳 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数混合运算的应用，数字规律探索，先计算目标年份与已知干支年份的差值，再利用天干10年一循环、地支12年一循环的周期规律，分别推算出对应天干和地支，进而确定干支纪年． 【详解】解：∵（年）， 天干共10个，循环周期为10， 2026年天干为丙（对应序号3，甲为1依次排序）， ∵， ∴余数6对应天干为己， 地支共12个，循环周期为12， 2026年地支为午（对应序号7，子为1依次排序）， ∵， ∴余数6对应地支为巳， ∴2049年为己巳年， 故选：D． 模块三 课后作业 1．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 根据有理数的混合运算顺序和运算法则逐个进行计算，即可解答． 【详解】解：A、，故A计算正确，不符合题意； B、，故B正确，不符合题意； C、，故C计算正确，不符合题意； D、，故D计算错误，符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级上·山西晋中·期末）按如图所示的程序进行运算，如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止．当输入的数为5时，输出的数是（   ） A． B．17 C．19 D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数计算与程序流程图，理解题意是解题的关键；根据程序流程图计算即可． 【详解】解：当输入的数为5时，，此时结果不大于10，当输入的数为时，，此时结果大于10，则输出结果，因此输出的数是19． 故选：C． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，一把刻度尺放在数轴上，发现数轴上表示数和3的点分别与刻度尺上和的刻度线对应，则数轴上1个单位的长度是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离，有理数的四则混合运算的应用． 根据数轴上两点之间的距离公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 4．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式，其价格如下表： 购买苹果数量千克 不超过30千克的部分 超过30千克的部分 每千克价格/元 5 4 则小刚一次性购买40千克苹果所付的费用比分两次购买（每次购买20千克）所付的费用少（   ）元 A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数四则混合运算的实际应用，根据分段计价规则，一次性购买40千克时，前30千克按5元/千克计费，超出部分按4元/千克计费；分两次购买每次20千克时，每次均按5元/千克计费．分别计算两种方式的总费用，求差值即可． 【详解】解：一次性购买40千克苹果所付的费用为元， 分两次购买（每次购买20千克）所付的费用为元， ∴小刚一次性购买40千克苹果所付的费用比分两次购买（每次购买20千克）所付的费用少元， 故选：B． 5．（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 【答案】 17 【分析】本题根据有理数混合运算顺序计算，先计算括号内的乘法，再计算括号内的减法，最后计算除法即可得到结果． 【详解】解： ． 6．（25-26七年级上·河南焦作·期末）若在□中填入最小的正整数，在中填入最小的非负数，在○中填入大于且小于4的整数的个数．则式子的结果为_______． 【答案】9 【分析】本题考查了有理数的定义，有理数的混合运算． 根据定义确定□、△和○的值，然后代入计算即可． 【详解】解：最小的正整数是1，故； 最小的非负数是0，故； 大于且小于4的整数有、、、、、0、1、2、3，共9个，故； 则． 故答案为：9． 7．（25-26七年级上·云南文山·期末）任意有理数，定义一种新运算：，例如，；则的值是___________． 【答案】2 【分析】此题考查有理数的混合运算．根据新运算的定义，将和代入公式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：2． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式__________．（写出一种即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查有理数的运算，熟练掌握有理数的运算是解题的关键；因此此题可根据“24点”进行求解． 【详解】解：由题意得：，； 故答案为（答案不唯一）． 9．（25-26七年级上·北京海淀·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则序号为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则序号为12）．以2026年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为农历________年． 【答案】乙卯 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据干支纪年法的计算规则，计算2035年对应的天干和地支余数，并对照表格得出农历年． 【详解】计算天干：，对应天干乙； 计算地支：，对应地支卯． ∴2035年为农历乙卯年， 故答案为：乙卯． 10．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算题： (1)； (2)． 【答案】(1)8 (2) 【详解】（1）解：， ， ， ． （2）解： ， ， ， ， ． 11．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：规定符号表示a，b两个数中小的一个，符号表示a，b两个数中大的一个．例如：，． (1)______；______； (2)求式子的值； (3)求式子的值． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）根据有理数的大小比较，结合新定义，即可求解； （2）根据新定义列出算式进行计算，即可求解； （3）根据新定义列出算式进行计算，即可求解． 【详解】（1）解：，； （2）解： ； （3）解： ． 12．在一节数学课上，刘老师请同学心里想一个非零的有理数，然后把这个数按照下面的程序进行计算后，刘老师立刻说出计算结果． (1)小明同学心里想的数是，列出了下面的算式，请你计算出最后的结果：； (2)小明又试了几个数进行计算，发现结果都相等，于是小明把心里想的这个数记作，并按照程序通过计算进行验证，请你写出这个验证过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先列式，再根据有理数混合运算法则计算即可得到结果； （2）设这个数为a，根据题意列出代数式，去括号整理即可得到结果． 【详解】（1） ． （2）根据题意，得： ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，以及有理数的混合运算，弄清程序中的运算法则是解答本题的关键． 13．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）观察下列各式，解答后面的问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第5个等式是______； (2)第n个等式是______； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干前三个的等式即可求解； （2）根据题干前三个的等式即可求解； （3）根据规律将原式变形为，再由规律求解即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式： ∴第5个等式是：； （2）解：． （3）解：原式 ． 14．（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）某手工坊采购了一批正方形纸片（图1），用于制作明信片．第一步：将正方形纸片剪去一个宽为的长条，制作成书签；第二步：从剩余的长方形纸片中剪去一个宽为的长条，制作成明信片（图2）．已知两次剪下的长条面积正好相等． (1)求正方形纸片的边长； (2)求正方形纸片剩余部分（阴影部分）的面积． 【答案】(1)正方形纸片的边长为 (2) 【分析】（1）设正方形纸片的边长为．根据题意，得，解方程求解即可； （2）阴影部分的面积表示为，求解即可． 【详解】（1）解：设正方形纸片的边长为． 根据题意，得， 解得，经检验，符合题意． 故正方形纸片的边长为． （2）解：正方形纸片剩余部分（阴影部分）的面积为． 15．（2026·安徽·模拟预测）综合与实践 制定排队方案 素材 育才学校八年级学生在劳动实践基地参加研学活动，并按8人一寝分配住宿．根据研学作息时间表，每个寝室8位同学需要在睡前排队完成洗漱，且同一时间仅有一人能进行洗漱．下表为某寝室第一天8人洗漱用时（以每人5分钟为标准，超出记为正数，不足记为负数）． 学生 A B C D E F G H 用时（分） 0 洗漱期间，每人开始洗漱前的时间称为排队时间．第一天，该寝室按的顺序排队，A同学排队时间为0分钟，C同学排队时间为分钟．该寝室同学希望探究出一种最合适的排队方案，使得所有人的总排队时间最短． 任务1：分析数据 计算第一天F同学的排队时间； 任务2：推理计算 计算第一天该寝室所有同学的总排队时间； 任务3：确定方案 请设计一种排队方案，使得该寝室所有人总排队时间最短，并求出最短总排队时间． 【答案】任务1：分钟；任务2：分钟；任务3：最短排队时间方案：，分钟 【分析】任务1：计算每个同学的洗漱时间，再将同学的洗漱时间相加； 任务2：总排队时间等于每位同学的洗漱时间乘以其后面排队的人数，再将所有结果相加； 任务3：按洗漱用时从少至多排序再计算等待时间即可． 【详解】解：任务1：计算每个同学的洗漱时间为： 学生 A B C D E F G H 用时（分） 0 洗漱时间（分） 7 8 5 4 3 6 则F同学的排队时间为（分钟）． 任务2：（分钟）． 任务3：最短排队时间方案：按洗漱用时从少至多排序：， 排队时间为：（分钟）． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 有理数的混合运算（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+1个知识归纳+7个题型+课后作业】 模块二 有理数的混合运算 同学们，大家小时候一定都玩过“24点”的游戏吧？今天我们就要用数学的眼光来重新挑战它！ 规则很简单：老师随手抽出4张扑克牌（J、Q、K分别代表11、12、13），请你们运用加、减、乘、除以及我们刚学过的乘方，让这4个数字经过运算后，结果刚好等于24.每张牌必须用，而且只能用一次！ 现在，老师抽出的牌是：3、4、-6、10.（注意：为了增加难度，我们引入了代表负数的黑色牌） 大家先别急着动笔，在心里想一想： 如果先算3加4，再乘以-6，结果会怎样？ 如果先算10减去4，再乘以3，能不能凑出24？ 面对这么多种加减乘除的组合，到底应该先算哪一步，才能准确又快速地得到24呢？ 其实，不仅仅是玩游戏，我们在解决很多复杂的数学问题时，都会遇到这种既有加减、又有乘除和乘方的算式.到底谁先谁后？有没有一个全世界统一的“交通规则”来指挥它们呢？今天，我们就来学习——有理数的混合运算！ 【知识点 有理数的混合运算】 1. 先乘方，再乘除，最后加减； 2. 同级运算，从左到右进行； 3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 有理数运算分三级，加减是第一级运算，乘除是第二级运算，乘方是第三级运算．运算顺序是先算高级，再算低级；同级运算按从左到右的顺序进行；对于含有多重括号的运算，一般先算小括号内的，再算中括号内的，最后算大括号内的． 【题型1 有理数运算的顺序】 【例1】式子－52＋(－2)÷ 有以下三种运算，对其运算顺序排序正确的是(　　) ①乘方；②加法；③除法． A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 【变式1-1】（25-26七年级上·河北石家庄·期末）如图，四张卡片分别代表一种运算，例如，5经过顺序的运算，可列式为：，8经过运算顺序运算，可列式为．则经过顺序的运算结果为（    ） A．23 B．19 C．18 D．17 【变式1-2】（2025·河北保定·二模）如图，A，B，C三个乒乓球分别代表一种运算，利用这三个乒乓球设计一个数学游戏，我们可以将A，B，C的顺序重新排序，任意选择一个实数进行一次列式计算．例如：若实数2按的顺序运算，则可列算式为． (1)对于实数5，经过的顺序运算后，求出计算结果； (2)对于实数，经过的顺序运算后，要使结果不超过，求出的最小值． 【变式1-3】（24-25七年级上·陕西西安·期中）如图，在数学活动课上，李老师设计了一个游戏活动，四名同学分别代表一种运算，四名同学可以任意排列，每次排列代表一种运算顺序，剩余同学中，一名学生负责说一个数，其他同学负责运算，运算结果既对又快者获胜，可以得到一个奖品．下面我们用、、、四张卡片分别代表四名同学．例如：1经过，，，的顺序运算后，结果是． 列式，并计算： (1)经过，，，的顺序运算后，结果是多少？ (2)5经过，，，的顺序运算后，结果是多少？ 【题型2 有理数的混合运算】 【例2】（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】小林在学习完有理数除法运算后，对算式的计算过程如下： 解：原式        ①     ②             ③ ． 根据小林的计算过程回答下列问题： (1)小林在进行第②步运算时，运用了乘法的 律； (2)小林的运算出现了错误，错在第 （只填写序号）步； (3)请给出正确解法． 【变式2-2】若在算式的“口”中，填入“+、﹣、×、÷”中一个运算符号，则可使计算出来的值最小的符号是（　　  ） A．+ B．﹣ C．× D．÷ 【变式2-3】（24-25七年级上·安徽合肥·开学考试）计算： 【题型3 与程序流程图相关的有理数的运算】 【例3】（24-25七年级上·福建漳州·期中）若计算机按如图所示程序工作，若输入的数是4，则输出的数是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26七年级上·河南郑州·期末）在学习完有理数的混合运算后，小明和同学一起编制了如下一个运算程序：一开始输入一个非零自然数，当为偶数时，就用除以，得到一个新的自然数；当为奇数时，我们先把乘以后，其结果再加上，这样也能得到一个新的自然数．把第一次运算后得到的新的自然数再次代入程序中，按上述法则继续运算，并不断重复这个运算程序次，直到运算的结果第一次为时，终止此程序，我们就称是自然数的熵．例如自然数时，则第一次运算，第二次运算，第三次运算，这样经过次运算后结果第一次为，则称的熵．若输入自然数，则自然数的熵_________． 【变式3-2】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）加密方法：将一个字母对应的数字通过某种规定的运算程序化为对应的密文数字x． 运算程序为：例如：字母A对应数字1，通过运算程序后的密文是3，密文3对应字母A．如果密文，那么它是由字母_______加密得到的． 【变式3-3】（25-26七年级上·福建厦门·期末）按如图所示的程序运算，若输入的值是，第次输出的结果是，则第次输出的结果是（    ） A． B． C． D． 【题型4 与新定义相关的有理数的运算】 【例4】（24-25七年级上·云南·单元复习）新趋势．新定义  对于任意四个有理数，，c，d定义新运算：，则的值为_____． 【变式4-1】（25-26七年级上·湖南长沙·期中）在数学中，有一个著名的“冰雹猜想”（又称Collatz猜想），它定义了一种运算：对于正整数n，如果n是偶数，则将它变为；如果n是奇数，则将它变为；如此重复运算，最终都会得到1．定义从正整数n开始到第一次得到1的运算次数叫做n的“冰雹步数”．例如：从5开始，运算过程为：5→16→8→4→2→1共进行了5次运算，则5的“冰雹步数”为5．那么，以下四个数中，冰雹步数最大的是（   ） A．3 B．6 C．13 D．20 【变式4-2】（25-26七年级上·四川德阳·期末）定义一种对正整数的“F”运算：①当为奇数时，；②当为偶数时，（其中是使为奇数的正整数）…，两种运算交替重复进行，例如，取，则 ，若，则第次“”运算的结果是（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（25-26七年级上·四川达州·期末）定义一种新运算“”：表示在运算作用下的结果． 若表示在运算作用下的结果，它对一些数的运算结果如下：，，，…… 根据以上定义完成以下问题： 的值为______． 【题型5 算24点】 【例5】（24-25七年级上·河南安阳·期末）请选择使用“加、减、乘、除和括号”（可重复），将四个数组成算式（每个数必须用一次且只能用一次），使运算结果为24，你列出的算式是____．（写出一种即可） 【变式5-1】在学习了有理数的混合运算后，小明和小刚玩算“24点”游戏．游戏规则：从一副扑克牌(去掉大，小王)中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算(每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号)，使得运算结果为24或﹣24．其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．小明抽到的四张牌分别是黑桃1，黑桃3，梅花4，梅花6(都是黑色扑克牌)．小明凑成的等式为6÷(1﹣3÷4)=24，小亮抽到的四张牌分别是黑桃7、黑桃3、梅花7、梅花3(都是黑色扑克牌)：请写出小亮凑成的“24点”等式____． 【变式5-2】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【变式5-3】数学游戏题： （1）下图是一个三阶幻方，有9个数字构成，并且每横行，竖行和对角线上的3个数字的和都相等，试填出空格中的数； （2）有一种“二十四点”的游戏（即算24游戏），其游戏规则是这样的：任取四个1至13之间的自然数，将这四个数（每个数用且只能用一次）进行加减乘除四则运算，使其结果等于24.例如对1，2，3，4，可作如下运算：(1+2+3)×4＝24（上述运算与4×(1＋2＋3)视为相同方法的运算） ①给出有理数4，6，9，12 ；请你写出一个算式使其结果为24； ②在我们学过负数以后这个游戏仍可以玩，如可以列出算式；现给出四个数，请你写出一个算式使其结果为24. 【题型6 有理数的巧算】 【例6】阅读例题的解答过程，并解答下列各题． 例：用简便方法计算． 解：   ①   ② ． (1)例题求解过程中，第②步变形的依据是_________； (2)用简便方法计算； (3)用简便方法计算． 【变式6-1】（25-26七年级上·浙江温州·期中）用简便方法计算： (1)； (2)． 【变式6-2】有个填写运算符号的游戏：在“1□2□（﹣6）□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果． （1）计算：1+2﹣（﹣6）﹣9= （直接写出结果）； （2）若1÷2×（﹣6）□9＝6，请推算□内的符号是 ； （3）在“1□2□（﹣6）﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最大，直接写出这个最大数是 ； （4）请在□内填上×，÷中的一个，使计算更加简便，然后计算结果． 计算：□（﹣） 【变式6-3】（24-25七年级上·广东梅州·期中）（1）请你仔细阅读下列材料：计算： 解法1：按常规方法计算 原式 解法2：简便计算，先求其倒数 原式的倒数为： 故原式 根据你对所提供材料的理解，选择合适的方法进行计算：． （2）阅读下题的计算方法： 计算． 解：原式 上面的这种解题方法叫拆项法，按此方法计算：． 【题型7 有理数混合运算的实际应用】 【例7】（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）近几年，新能源汽车产销量大幅增加．明明家把家中的燃油车换成了一辆新能源纯电汽车，他连续7天记录了每天行驶的路程，如表，以50km为标准，多于50km的部分记为正，不足50km的部分记为负，刚好50km的记为零． 第天 1 2 3 4 5 6 7 路程/km (1)请求出明明家的新能源汽车这七天平均每天行驶了多少千米？ (2)已知燃油车每行驶100km需用汽油8升，汽油价8元/升，而新能源汽车每行驶100km耗电量为16度，每度电为0.5元，请计算这7天明明家换成新能源汽车比开燃油车节省多少钱？ 【变式7-1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，为了测一个玻璃瓶的容积，小丽将一袋毫升的牛奶倒入瓶中，测得牛奶高度为厘米；再将瓶子倒放，测得空余部分高度为厘米，小丽计算得到玻璃瓶的容积应该是______毫升． 【变式7-2】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）布置在公共场所的共享充电宝，解决了手机续航焦虑，为旅客带来便利．哈西站的共享充电宝计费标准如下所示： 租金说明 ①分钟内免费． ②超出部分每小时收费元，不足小时按小时计费． ③租用首个小时收费元．小时后按时计费，每小时收费元，不足小时按小时计费． 小红在哈西站租用了一个共享充电宝，当天忘记归还，共租用了小时，支付时使用了一张满减元的优惠券，小红应付租金______元． 【变式7-3】（25-26七年级上·安徽合肥·期末）我国古代两种常用的纪年——年号纪年与干支纪年．干支纪年是中国历法上一直使用的，许多重要的历史事件都用它来指称，如“戊戌变法”“辛亥革命”“甲午战争”等，天干口诀为：“甲乙丙丁戊己庚辛壬癸”，地支口诀为：“子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥”．天干地支依次向后循环滚动，60年一循环，如2026年为丙午年，2027年为丁未年…；中国共产党提出第二个一百年奋斗目标，到新中国成立100年时（2049年）建成富强民主文明和谐美丽的社会主义现代化强国．2049年是（   ）年 A．己酉 B．庚午 C．乙巳 D．己巳 模块三 课后作业 1．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山西晋中·期末）按如图所示的程序进行运算，如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求为止．当输入的数为5时，输出的数是（   ） A． B．17 C．19 D． 3．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）如图，一把刻度尺放在数轴上，发现数轴上表示数和3的点分别与刻度尺上和的刻度线对应，则数轴上1个单位的长度是（    ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·宁夏银川·期末）一水果批发市场某商家批发苹果采取分段计价的方式，其价格如下表： 购买苹果数量千克 不超过30千克的部分 超过30千克的部分 每千克价格/元 5 4 则小刚一次性购买40千克苹果所付的费用比分两次购买（每次购买20千克）所付的费用少（   ）元 A．5 B．10 C．15 D．20 5．（25-26七年级下·重庆·自主招生）计算：________． 6．（25-26七年级上·河南焦作·期末）若在□中填入最小的正整数，在中填入最小的非负数，在○中填入大于且小于4的整数的个数．则式子的结果为_______． 7．（25-26七年级上·云南文山·期末）任意有理数，定义一种新运算：，例如，；则的值是___________． 8．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方运算（可用括号）列一个算式，先得计算结果为“24”者获胜（J，Q，K分别表示11，12，13，A表示1）．小聪抽到的四张牌如图所示，你能算出“24点”吗？请列出算式__________．（写出一种即可） 9．（25-26七年级上·北京海淀·期末）干支纪年法是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称．干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环．我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号．天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数（若余数为0，则序号为10）；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数（若余数为0，则序号为12）．以2026年为例： 天干为：；地支为：； 对照天干地支表得出，2026年为农历丙午年． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 天干 甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 地支 子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 请你依据上述规律推断2035年为农历________年． 10．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）计算题： (1)； (2)． 11．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读理解：规定符号表示a，b两个数中小的一个，符号表示a，b两个数中大的一个．例如：，． (1)______；______； (2)求式子的值； (3)求式子的值． 12．在一节数学课上，刘老师请同学心里想一个非零的有理数，然后把这个数按照下面的程序进行计算后，刘老师立刻说出计算结果． (1)小明同学心里想的数是，列出了下面的算式，请你计算出最后的结果：； (2)小明又试了几个数进行计算，发现结果都相等，于是小明把心里想的这个数记作，并按照程序通过计算进行验证，请你写出这个验证过程． 13．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）观察下列各式，解答后面的问题． 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； …… (1)第5个等式是______； (2)第n个等式是______； (3)计算：． 14．（25-26七年级下·河南鹤壁·阶段检测）某手工坊采购了一批正方形纸片（图1），用于制作明信片．第一步：将正方形纸片剪去一个宽为的长条，制作成书签；第二步：从剩余的长方形纸片中剪去一个宽为的长条，制作成明信片（图2）．已知两次剪下的长条面积正好相等． (1)求正方形纸片的边长； (2)求正方形纸片剩余部分（阴影部分）的面积． 15．（2026·安徽·模拟预测）综合与实践 制定排队方案 素材 育才学校八年级学生在劳动实践基地参加研学活动，并按8人一寝分配住宿．根据研学作息时间表，每个寝室8位同学需要在睡前排队完成洗漱，且同一时间仅有一人能进行洗漱．下表为某寝室第一天8人洗漱用时（以每人5分钟为标准，超出记为正数，不足记为负数）． 学生 A B C D E F G H 用时（分） 0 洗漱期间，每人开始洗漱前的时间称为排队时间．第一天，该寝室按的顺序排队，A同学排队时间为0分钟，C同学排队时间为分钟．该寝室同学希望探究出一种最合适的排队方案，使得所有人的总排队时间最短． 任务1：分析数据 计算第一天F同学的排队时间； 任务2：推理计算 计算第一天该寝室所有同学的总排队时间； 任务3：确定方案 请设计一种排队方案，使得该寝室所有人总排队时间最短，并求出最短总排队时间． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $