4.2 认识一次函数 课件 2026-2027学年数学北师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数与正比例函数，通过驱蚊线香燃烧、滴漏水龙头等生活情境导入，引导学生从“均匀变化”现象抽象数量关系，搭建从具体实例到数学概念的学习支架。 其亮点是以生活实例为载体，通过数据表格分析、描点观察规律，培养抽象能力与几何直观，体现数学眼光。结合实例推导关系式，发展推理意识，落实数学思维。分段计费问题引导建立函数模型，提升模型意识，助学生联系生活，教师教学更具操作性。

2 认识一次函数 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 第1课时 认识生活中的“均匀”变化的现象 学习目标 1.能识别生活中“均匀”变化的现象。（重点） 2.描述具体是如何“均匀”变化，并写出关系式。（难点） 3.会用数学知识表达生活中的“均匀”变化的现象。 情境导入 为了估计一根驱蚊线香可燃烧的时间，小颖点燃一根香，并每隔1 min测量一次香可燃烧部分的长度，数据如下：   燃烧时间t/min 1 2 3 4 5 … 香可燃烧部分的长度l/cm 22.4 21.9 21.4 20.9 20.4 … （1）根据小颖得到的数据，在平面直角坐标系中描出(t，l)对应的点． （2）估计燃烧10 min后这根香可燃烧部分的长度，并说明理由． （3）估计这根香可燃烧的时间，并说明理由． （4）试写出这根香可燃烧部分的长度l与燃烧时间t之间的关系式． 例1 一个滴漏的水龙头一年的漏水量大约有多少？够一个人一年使用吗？先猜一猜，再设计一个方案具体估算一下，并与同伴进行交流． (1)将水龙头拧到适当位置，造成滴漏现象，在水龙头下方放一个量杯．每隔1 min，记录一下量杯中的水量，并将数据填入下表．在坐标纸上描出(t，V)对应的点．你认为漏水量的变化具有什么规律？请你估计：这个水龙头一天的漏水量是多少？ 时间t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 漏水量V/mL                       　　(2)下表是小明通过实验得到的数据．请你根据小明得到的数据，在坐标纸上描出(t，V)对应的点，并据此估计：小明实验用的这个水龙头一天的漏水量有多少？一年呢？够一个人一年使用吗？ 时间t/min 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 漏水量V/mL 5.5 11.0 16.5 22.0 27.5 33.0 38.5 44.0 49.5 55.0 … (3)分析小明的实验数据，你能帮他写出漏水量V与时间t之间的关系式吗？ (4)你的实验结果与小明的实验结果有何异同？ 解：时间每增加1 min，漏水量增加5.5 mL.也就是说，随着时间的增加，水龙头漏水量在“均匀”地增加. 所谓“均匀变化”是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的． 知识总结 知识讲解 知识点 认识生活中的“均匀”变化 “均匀变化”是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的。 例2  一蓄水池中装有40 m3水，按一定的速度放水，水池里的水量y(m3)与放水时间t(min)满足如下关系： 放水时间t/min 1 2 3 4 … 水池中的水量y/m3 38 36 34 32 … (1)在平面直角坐标系中描出(t，y)对应的点. (2)估计8 min后水池内的水量，并说明理由. (3)试着写出水池里的水量y与放水时间t之间的关系式. 解：(1)图略. (2)由表中数据可知，时间每增加1 min，水池中的水量减少2 m3，所以8 min后水池内的水量为24 m3. (3)y与t之间的关系式为y＝40－2t. (4)20 min. 例3 一个水库的水位在最近5 h内持续上涨．下表记录了这5 h内6个时间点的水位高度，其中t表示时间，y表示水位高度． t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，由此你能发现水位变化有什么规律吗？ (2)据估计这种上涨规律还会持续2 h，预测再过2 h水位高度将达到多少米. (3)试写出水位高度y与时间t之间的关系式. 解：(1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，如图.   由此可知，这些点在同一条直线上.水位变化的规律：每经过1 h，水位上涨0.3 m. (2)若这种上涨规律还会持续2 h，则t＝7，当t＝7时，y＝0.3×7＋3＝5.1，∴再过2 h水位高度将达到5.1 m. (3)水位高度y与时间t之间的关系式为y＝0.3t＋3. 随堂小测 1.下列变化过程属于均匀变化的是          (      ) A.春天到了，竹笋的生长过程 B.百米赛跑时，运动员从起点到终点的速度随时间的变化 C.车辆以恒定的速度从甲地行驶到乙地时，油箱中剩余油量的变化 D.体育课上，投掷出的铅球飞行高度的变化 C 2.某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据如下： 温度T/℃ －20 －10 0 10 20 30 声速v/(m·s－1) 318 324 330 336 342 348 根据表格所得到的信息，下列说法正确的是           (      ) A.声速v不是温度T的函数 B.温度越低，声速越快 C.当温度每升高10 ℃时，声速增加6 m/s D.声速v与温度T之间的关系式为T＝0.6v C 3.一蓄水池中最多可以容纳40 m3水，配有两根相同的进水管道，设水池中的水量为y(m3)，进水时间为x(min)，若打开一根进水管道进水，则它们的变化情况如下表： 进水时间x/min 1 2 3 4 5 … 水池中的水量y/m3 1.5 3 4.5 6 a … 回答下列问题： (1)当x每增加1，y增加的值为1.5，表格中a＝7.5. (2)在如图所示的平面直角坐标系中描出(x，y)对应的点，并写出此时y与x之间的关系式. (3)若同时打开两根进水管，请在平面直角坐标系中描出此时(x，y)对应的点，并写出此时y与x之间的关系式. (4)观察发现，打开一根进水管与同时打开两根进水管，对于图象有什么影响？ 解：(2)y＝1.5x.(3)y＝3x. (4)同时打开两根进水管时，图象更陡一些(言之有理即可). 课堂小结 这节课我们学习了“均匀变化”，所谓“均匀变化”是指：一个变量增加固定的数值时，另一个变量的改变量是相同的． 2 认识一次函数 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 第2课时 在简单实际问题中认识一次函数与正比例函数 学习目标 1.掌握一次函数、正比例函数的概念。（重点） 2.能根据条件求出一次函数的关系式。（难点） 情境导入 什么叫函数? 在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定一个y值，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量. 函数有图象、表格、关系式三种表达方式. 复 习 回 顾 知识讲解 知识点1 一次函数与正比例函数的定义 某弹簧的自然长度为3 cm.在弹性限度内，所挂物体的质量x每增 加1 kg,弹賛长度y增加0.5 cm. (1)计算所挂物体的质量分别为1kg，2 kg，3 kg，4 kg，5 kg时 弹簧的长度，并填入下表： (2)你能写出y与x之间的关系式吗？ x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5 y=3+0.5x 做一做 某辆汽车油箱中原有汽油40 L，汽车每行驶50 km耗油4 L. （1）完成下表： （2）你能写出耗油量y（L )与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？ （3）你能写出油箱剩余油量z ( L )与汽车行驶路程x( km)之间的关系式吗？ 汽车行驶路程x/km 0 50 100 150 200 300 耗油量y/L 0 4 8 12 20 24 y=x= z=40-x=40- 一次函数： 如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0) 的形式，那么称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。 例1 下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ (1)y＝－x－4; (2)y＝5x2－6； (3)y＝2πx; (6)y＝8x2＋x(1－8x) 解：(1)是一次函数，不是正比例函数； (2)不是一次函数，也不是正比例函数； (3)是一次函数，也是正比例函数； (4)是一次函数，也是正比例函数； (5)不是一次函数，也不是正比例函数； (6)是一次函数，也是正比例函数． 随堂小测 1.下列函数①y＝2x－1，②y＝πx，③y＝ ，④y＝x2中，一次函数的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2.下列y关于x的函数中，是正比例函数的为(　　) A．y＝x2　　　　　　 B．y＝ C．y＝ D．y＝ B C 3.已知函数y＝(m－1)x＋1－3m. (1)当m为何值时，y是x的一次函数？ (2)当m为何值时，y是x的正比例函数？ 1.判断一个函数是一次函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零； 2.判断一个函数是正比例函数的条件： 自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零。 知识拓展 知识讲解 知识点2 确定一次函数（正比例）函数的关系式 1.一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数．当b＝0时，y＝kx＋b即为y＝kx，所以说正比例函数是特殊的一次函数。 2.正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 例2 写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程 y( km )与行驶时间x (h)之间的关系； （2）圆的面积y（cm2)与它的半径x (cm)之间的关系； （3）某水池有水15 m3,现打开进水管进水，进水速度为5 m3/h, x h后这个水池内有水y m3. 解：（1）由路程=速度×时间，得y=60x，y是x的一次函数，也是x的正比例函数； （2）由圆的面积公式，得y= πx2, y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数； （3）这个水池每时增加5 m3水，x h增加5x m3水，因而y=15+5x, y是x的一次函数，但不是x的正比例函数. 随堂小测 1.为了增强居民的节约用水意识，某市制定了新的水费标准：每户每月用水量不超过5 t的部分，自来水公司按每吨2元收费；超过5 t的部分，按每吨2.6元收费.设某用户月用水量x吨，自来水公司应收的水费为y元. （1）试写出y（元）与x（t）之间的函数关系式. （2）该户今年5月份的用水量为8 t，自来水公司应收水费多少元？ 解:（1）当x≤5时，y＝2x； 当x>5时，y＝10＋（x－5）×2.6＝2.6x－3； （2）因为x＝8>5 ， 所以y＝2.6×8－3=17.8（元）. 课堂小结 一次函数和正比例函数： 一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的函数叫作一次函数，其中x是自变量，y是x的函数。特别地，当b＝0时，y＝kx(k为常数，k≠0)，y叫作x的正比例函数。 说明： （1）正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包括正比例函数； （2）判断一个函数是否是一次函数，必须将其化成最简形式。 2 认识一次函数 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 第3课时 在分段计费问题中认识一次函数与正比例函数 学习目标 1.能利用一次函数解决方案选择问题。（重点） 2.能利用一次函数解决分段计费问题。（难点） 3.会建立函数模型解决实际问题。 情境导入 什么叫一次函数? 如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的一次函数。特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数。 复 习 回 顾 知识讲解 知识点 在分段计费问题中认识一次函数与正比例函数 例1 为了鼓励市民节约用水，某市采用分档计费的方式计算水费．下表是家庭人口不超过4人时户年用水量及分档计费标准： (1)当220<x≤300时，写出水费y(单位：元)与x之间的关系式. (2)某户一年用水量是250 m3，求该户这一年的水费. (3)某户去年一年的水费是1 000.5元，求该户去年一年的用水量. 计费档 户年用水量x/m3 单价（元/m3） 第一档 0＜x≤220 3.45 第二档 220＜x≤300 4.83 第三档 x＞300 5.83 解：（1）当220<x≤300时，用水量属于第二档．于是y=4.83x-303.6。 （2）当x＝250时，y＝4.83×250－303.6＝903.9(元). （3）因为3.45×220＝759，4.83×300－303.6＝1 145.4，759<1 000.5<1 145.4，所以该户年用水量属于第二档.设该户去年一年的用水量为x m3，则1 000.5＝4.83x－303.6。解这个方程，得x＝270.因此，该户去年一年的用水量为270 m3。 例2  某蔬菜加工厂承担出口蔬菜加工任务，有一批蔬菜需要装入某一规格的纸箱．供应这种纸箱有两种方案可供选择： 方案一：从纸箱厂购买，每个纸箱价格为4元． 方案二：由蔬菜加工厂租赁机器自己加工制作这种纸箱．工厂需要一次性投入机器安装费16 000元，每加工一个纸箱还需成本费2.4元． （1）若需要这种规格的纸箱x个，请分别写出两种方案中所需费用y(元)与x(个)之间的关系式. 解：（1）方案一：y＝4x； 方案二：y＝2.4x＋16 000. （2）在（1）的条件下，需要制作多少个纸箱时，选择方案一和方案二的费用相同？ 解：（2）由题意，得2.4x＋16 000＝4x， 解得x＝10 000. 答：需要制作10 000个纸箱时，选择方案一和方案二的费用相同. 随堂小测 1.新能源汽车在保障能源安全、改善空气质量等方面较燃油汽车都有明显优势．某品牌新能源汽车为了满足客户需求，提升服务质量，推出如下新能源汽车充电售后服务表： 新能源汽车充电售后服务表     充电方式 安装费用/元 充电服务费标准/[元·(kW·h)－1] 安装私人充电桩 2 700 0.6 品牌公共充电桩 0 1.8 温馨提示：综合情况下，1 kW·h电汽车可行驶8 km     设充电方式为安装私人充电桩的总费用为y1(元)，充电方式为品牌公共充电桩的总费用为y2(元)，累计充电量为x(kW·h). 根据以上信息，解决下列问题： （1）请分别求出y1，y2与x之间的关系式. （2）若某客户计划两年内居住在同一地方，且每年汽车行驶里程约10 000 km，请你分析该客户选择哪种充电方式更合算，并说明理由. 解：（1）由表格，得y1＝0.6x＋2 700，y2＝1.8x. （2）∵该客户两年内汽车累计充电量为2×10 000÷8＝2 500(kW·h)， ∴当x＝2 500时， y1＝0.6×2 500＋2 700＝4 200(元)， y2＝1.8×2 500＝4 500(元). ∵4 500>4 200， ∴客户选择安装私人充电桩更合适. 2.北方某市对城市居民该冬季的采暖收费标准如下表：(以户为单位) 阶梯 采暖用气 销售价格 第一阶梯 0～1 500 m3(含1 500)的部分 2.67元/m3 第二阶梯 1 500～2 500 m3(含2 500)的部分 3.15元/m3 第三阶梯 2 500 m3以上的部分 3.63元/m3 根据表中所给的数据回答以下问题： （1）设某户这个冬季用气量为x m3(1 500＜x≤2 500)，缴纳燃气费用为y元，求y与x之间的关系式. （2）某户用气量为2 000 m3，求此户需缴纳的燃气费用. （3）已知某户该冬季缴纳燃气费用为5 895元，求该户用了多少立方米的燃气. 解：（1）当1 500<x≤2 500时，y＝1 500×2.67＋3.15×(x－1 500)＝3.15x－720. （2）当x＝2 000时，y＝3.15×2 000－720＝5 580. ∴此户需缴纳的燃气费用为5 580元. （3）设该户用x m3的燃气. 当用气量为1 500 m3时，费用为1 500×2.67＝4 005(元)<5 895元， 当用气量为2 500 m3时，费用为3.15×2 500－720＝7 155(元)＞5 895元. ∴该用户燃气用量属于第二阶梯. ∴3.15x－720＝5 895， 解得x＝2 100. ∴该户用了2 100 m3的燃气. 课堂小结 在分段计费问题中认识一次函数与正比例函数 1.方案选择问题。 2.分段计费问题。 $