4.4 一次函数的应用 课件 2026-2027学年数学北师大版八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数的应用，涵盖表达式确定及单个、两个函数图象的应用。通过物体下滑、赛跑等情境导入，结合复习回顾的一次函数定义与性质，搭建新旧知识支架，引导学生从实际问题中抽象函数关系。 其亮点是以情境驱动教学，如水库蓄水、租车方案等实例，培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（待定系数法推理）、数学语言（函数模型表达）。采用数形结合方法，小结结构化（设→代→求→还原），助力学生提升实际问题解决能力，为教师提供系统教学资源。

4 一次函数的应用 第1课时 借助一次函数的表达式解决实际问题 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 学习目标 1.会确定正比例函数的表达式。（重点） 2.会确定一次函数的表达式。（重点） 复习回顾 （1）若y=kx+b(k,b为常数，k≠0)，则称y是x的一次函数。 （2） y＝kx(k≠0)则y是x的正比例函数。 （3）一次函数y=kx+b有下列性质： 当k＞0时，y随x的增大而增大； 当k＜0时，y随x的增大而减小。 情境导入 1.某物体沿一个斜坡下滑，它的速度v（m/s)与其下滑时间t（s）的关系如图所示。 (1)写出v与t之间的关系式； (2)下滑3s时物体的速度是多少？ v/(米/秒) t/秒 O （2，5） 5 2 3 4 1 2 3 4 1 解：（1）v=2.5t; （2）v=2.5×3=7.5 (m/s)。 2.假定甲、乙二人在一项赛跑中路程与时间的关系如图所示。 （1）这是一次多少米的赛跑？ （2）甲、乙二人谁先到达终点？ （3）甲、乙二人的速度分别是多少？ （4）求甲、乙二人y与x的函数关系式。 解：（1）100米。 （2）甲先到达终点。 （3）甲：5 m/s；乙：4m/s。 （4）甲：y=5x；乙：y=4x。 20 100 25 O x/s y/m 甲 乙 一个 两个 1.确定正比例函数的表达式需要几个条件？ 2.确定一次函数的表达式呢？ 思 考 知识讲解 知识点1 确定正比例函数的表达式 例 已知：y与2x成正比例，且当x＝3时，y＝12，求y与x的函数关系式。 【点拨】根据正比例函数的定义，按求正比例函数关系式的步骤求解。 解：设y＝k·2x(k≠0)。 因为当x＝3时，y＝12， 所以12＝2×3×k.所以k＝2。 所以所求的函数关系式为y＝4x。 例 在弹性限度内，弹簧的长度y（厘米）是所挂物体质量x（千克）的一次函数.一根弹簧不挂物体时长14.5厘米；当所挂物体的质量为3千克时，弹簧长16厘米.请写出y与x之间的关系式，并求当所挂物体的质量为4千克时弹簧的长度. 解：设 y=kx+b(k≠0).由题意得14.5=b，16=3k+b， 解得b=14.5， k=0.5，即y=0.5x+14.5。 所以在弹性限度内，当 x=4时，y=0.5×4＋14.5=16.5（厘米）。 即当所挂物体的质量为4千克时，弹簧的长度为16.5厘米。 知识点2 确定一次函数的表达式 怎样求一次函数的表达式？ 1. 设一次函数表达式； 2. 根据已知条件列出有关方程; 3. 解方程； 4. 把求出的k，b代回表达式即可。 这种求函数解析式的方法叫做待定系数法。 总结归纳 1、两条直线平行的规律： 两条直线平行 k值相等 2、平移规律：“上加下减”，上、下是形的平移，加、减是数的变化： 直线y＝kx＋b可以看作由直线 y＝kx平移得到： ①当b＞0时，把直线y＝kx向上平移b个单位得到直线y＝kx＋b； ②当b＜0时，把直线y＝kx向下平移|b|个单位得到直线y＝kx＋b。 知识拓展 由平移规律确定一次函数的表达式 随堂小测 2.若一次函数y=2x+b的图象经过A（-1，1），则b=___，该函数图象经过点B(1，__）和点C（___，0）。 1.如图，直线l是一次函数y=kx+b的图象，求它的表达式。 y=-3x 5 3 O -3 -2 -1 -1 -2 -3 1 2 3 1 2 3 x y 3.已知正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点（1，-2），则这个正比例函数的解析式为( ) A．y=2x　　 B．y=-2x　 　 　　 C． D． 　　 A 4.已知函数y=kx+b(k≠0)的图象与y轴交点的纵坐标为-2，且当x=2时，y=1，那么此函数的解析式为 。 5.已知一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点（0,2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式。 解：因为一次函数y=kx+b(k≠0)的图象过点（0,2）， 所以交点到x轴的距离是2，b=2。 设一次函数的图象与x轴的交点是(a,0),则 解得a=2或-2。 故y=x+2或y=-x+2。 7.一个一次函数的图象平行于直线y＝－2x，且过点A(－4，2)，求这个函数的表达式。 解：因为一次函数图象与直线y= -2x平行，所以设y= -2x +b， 把点A（-4, 2）代入上式得，2= -2×（-4）+b,所以b= -6。 所以这个函数的表达式为y= -2x -6。 6.用每张长6 cm的纸条，重叠1 cm粘贴成一条纸带，如图。纸带的长度y(cm)与纸条的张数x之间的函数表达式是(　　) A．y＝6x＋1 B．y＝4x＋1 C．y＝4x＋2 D．y＝5x＋1 D 课堂小结 确定一次函数的关系式，就是确定一次函数关系式y=kx+b(k≠0)中常数k , b的值。 2. 求一次函数关系式的步骤为： 设→代→求→还原，即： （1）设：设出一次函数关系式y=kx+b； （2）代：将所给数据代入函数关系式； （3）求：求出k的值； （4）还原：写出一次函数关系式。 4 一次函数的应用 第2课时 借助单个一次函数的图象解决实际问题 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 学习目标 1.掌握单个一次函数图象的应用。（重点） 2.了解一次函数与一元一次方程的关系。（难点） 1.利用函数方法解决实际问题，关键是分析题中的数量关系，联系实际生活及以前学过的内容，将实际问题抽象、升华为一次函数模型，即建模，再利用函数的性质解决问题。一次函数的应用主要有两种类型：(1)给出了一次函数关系式，直接应用一次函数的性质解决问题；(2)只用语言叙述或用表格、图象提供一次函数的情境时，应先求出关系式，进而利用函数性质解决问题。 知识讲解 2.要点精析：“建模”可以把实际问题转化为关于一次函数的数学问题，它的关键是确定函数与自变量之间的关系式，并确定实际问题中自变量的取值范围。 知识讲解 我们前面学习了有关一次函数的一些知识及如何确定解析式，如何利用一次函数知识解决相关的实际问题呢？例如下面这个实例。 由于持续高温和连日无雨,某水库的蓄水量随着时间的增加而减少。蓄水量V(万m3)与干旱持续时间 t( 天)的关系如图所示,回答下列问题: 知识点1 一次函数的实际应用 V/万米3 0 10 20 30 40 50 t/天 (2)干旱持续10天,蓄水量为多少? 1000 (1)水库干旱前的蓄水量是多少? 1200 1200 1000 800 600 400 200 回 答 下 列 问 题 0 10 20 30 40 50 t/天 V/万米3 (3)蓄水量小于400时,将发生严重 的干旱 警报。干旱多少天后将 发出干旱警报? 40 60天 (4)按照这个规律,预计持续干旱 多少天水库将干涸? 1200 100 800 600 400 200 回 答 下 列 问 题 如何解答实际情景函数图象的信息 1.理解横、纵坐标分别表示的的实际意义； 3.利用数形结合的思想： 将“数”转化为“形” 由“形”定“数” 2.分析已知条件，通过作x轴或y轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值； 例1 某植物t天后的高度为y cm，图l 中的反映了y与t之间的关系，根据图象回答下列问题： 9 6 3 12 15 18 21 24 y/cm 2 4 6 8 10 12 14 t/天 （3，12） （12，21） （1）植物刚栽的时候多高？ （2）3天后该植物多高？ （3）几天后该植物高度可达21cm？ 9cm 12cm 12天 随堂小测 1.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y元与行李质量x千克的关系如图： (1)旅客最多可免费携带多少千克行李？ ⑵超过30千克后，每千克需付多少元？ 30千克 0.2元 知识点2 一次函数与一元一次方程的关系 做一做 如图是某一次函数的图象，根据图象填空： （1）当y=0时，x=_________； （2）这个函数的表达式是_________。 议一议 一元一次方程0.5x+1=0与一次函数y=0.5x+1有什么联系？ 1.一般地，当一次函数y=kx+b的函数值为0时，相应的自变量的值就是方程 的解。从图象上看，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点的横坐标就是方程 的解。 2．利用一次函数图象解一元一次方程的步骤： (1)转化：将一元一次方程转化为一次函数； (2)画图象：画出一次函数的图象； (3)找交点：找出一次函数图象与x轴的交点，得到其横坐标，即 为一元一次方程的解。 例2 已知一次函数y＝2x＋n的图象如图所示，则方程 2x＋n＝0的解是(　　) A．x＝1 B．x＝ C．x＝－ D．x＝－1 C 随堂小测 1.一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，且k≠0)的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx＋b＝0的解为(　　) A．x＝－1 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝3 【解析】由函数经过点(0，1)可得b＝1，再将点(2，3)代入y＝kx＋1，可求出k的值为1，故一次函数的表达式为y＝x＋1，再求出方程x＋1＝0的解为x＝－1。 方法总结：此题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，关键是正确利用待定系数法求出一次函数的关系式。 A 2.如图,根据函数y =kx +b (k ,b 是常数，且k ≠0)的图象,求: (1)关于x 的方程kx +b=0的解; (2)关于x的方程kx+b=-3的解. 解：(1)由图象可知， 当y=0时，x =2。 故方程kx +b=0的解是x=2。 (2)根据图象知， 当y=-3时，x =-1。 故方程kx +b=-3的解是x=-l。 课堂小结 一次函数的应用 一次函数与一元一次方程的关系 单个一次函数图象的应用 4 一次函数的图象 第3课时 借助两个一次函数的图象解决问题 情境导入 知识讲解 随堂小测 课堂小结 学习目标 1.掌握两个一次函数图象的应用。（重点） 2.能利用函数图象解决数学问题。（难点） 情境导入 小聪和小慧去某风景区游览，约好在飞瀑见面，上午7：00小聪乘电动汽车从古刹出发，沿景区公路去飞瀑，车速为36 km/h，小慧也于上午7：00从塔林出发，骑电动自行车沿景区公路去飞瀑，车速为26 km/h，如图。 10 km 10 km 25 km （1）当小聪追上小慧时，他们是否已经过了草甸？ （2）当小聪到达飞瀑时，小慧离飞瀑还有多少千米？ 【分析】（1）两个人是否同时出发？ （3）这个问题中的两个变量是什么？它们涉及的是什么函数关系？ （2）在两个人到达之前所用时间是否相同？所行驶的路程是否相同？出发地点是否相同？两个人的速度各是多少？ （4）如果用s表示路程，t表示时间，那么他们的函数解析式一样吗？ （5）当小聪追上小慧时，说明他们两个人的什么量是相同的？ 【思考】你会选择用哪种方式来解决？图象法？还是解析法？ 解：设经过t时，小聪与小慧离古刹的路程分别为s1，s2，由题意得s1=36t，s2=26t+10。 将这两个函数解析式画在同一个直角坐标系上，如图，观察图象，得 36 5 10 20 30 40 50 60 15 25 35 45 55 0.25 O 0.5 0.75 1 1.25 1.5 1.75 s1=36t s2=26t+10 t（时） s（km） （1）两条直线 s1=36t， s2=26t+10的交点坐标为 （1，36）。 这说明当小聪追上小慧时，s1=s2=36 km，即离古刹36 km，已超过35 km，也就是说，他们已经过了草甸。 （2）当小聪到达飞瀑，即s1=45 km 时，此s2=42.5 km，所以小慧离飞瀑还有45－42.5=2.5（km）。 【思考】用解析法如何求得这两个问题的结果？ 知识讲解 知识点 从图表中获取信息的应用 例 公司有330台机器需要一次性运送到某地，计划租用甲、乙两种货车共8辆，已知每辆甲种货车一次最多运送机器45台，租车费用为400元，每辆乙种货车一次最多运送机器30台，租车费用为280元。 315 (1)设租用甲种货车x辆(x为非负整数)，试填写表格。 【表一】 租用甲种货车的数量/辆 3 7 x 租用的甲种货车最多运送机器的数量/台 135     租用的乙种货车最多运送机器的数量/台 150     45x 30 －30x＋240 【表二】 租用甲种货车的数量/辆 3 7 x 租用甲种货车的费用/元   2 800   租用乙种货车的费用/元   280   1 200 400x 1 400 －280x＋2 240 315 （1）设租用甲种货车x辆（x为非负整数），试填写表格。 【表一】 租用甲种货车的数量/辆 3 7 x 租用的甲种货车最多运送机器的数量/台 135     租用的乙种货车最多运送机器的数量/台 150     45x 30 －30x＋240 又因为45x＋(－30x＋240)≥330，所以x≥6。 因为120＞0，所以在函数y＝120x＋2 240中，y随x的增大而增大。 所以当x＝6时，y取得最小值，即能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲种货车6辆，乙种货车2辆。 解：能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案是甲种货车6辆，乙种货车2辆。理由：当租用甲种货车x辆时，设两种货车的总费用为y元，则两种货车的总费用y＝400x＋(－280x＋2 240)＝120x＋2 240。 （2）给出能完成此项运送任务的最节省费用的租车方案，并说明理由。 例　　左图是某景区游览线路示意图。甲在观景台1联系乙，发现乙在观景台2，于是沿着游览线路追赶乙。右图中，分别表示两人到观景台1的路程与追赶时间之间的关系。 假设甲、乙两人保持现有的速度，根据图象湖大下列问题： （1）哪条线表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系？ 解：当t=0时，加到观景台1的路程为0 m，即表示甲到观景台1的路程与追赶时间之间的关系。 （2）甲和乙哪个人的速度快？ （2）t从0增加到20时，上点的纵坐标增加了1000，上点的纵坐标增加了600，即20min内，甲行走了1000m，乙行走了600m，所以甲的速度快。 （3）如图，延长，，可以看出，当t=30时，上的对应点在上对应点的下方，这表明，30min时甲尚未追上乙。 （3）30min内甲能否追上乙？ （4）到达观景台3后道路分岔，甲能否在到达观景台3前追上乙？ （4）在图中，与的交点P的纵坐标小于（800+1300=）2100，这说明，甲能在到达观景台3前追上乙。 （5）设与对应的两个一次函数分别为s=t+与，，的实际意义各是什么？甲、乙两人的速度各是多少？ （5）表示甲的速度，表示乙的速度。甲的速度是50m/min，乙的速度是30m/min。 随堂小测 1.甲、乙两商店销售同一种产品的销售价y(元)与销售量x(件)之间的图象如图所示．下列说法：①买2件甲、乙两家销售价一样；②买1件买乙家的合算；③买3件买甲家的合算；④买乙家的1件销售价约为3元，其中正确的说法是(　　) A．①② B．②③④ C．②③ D．①②③ D 2.小亮和小明周六到距学校24km的滨湖湿地公园春游，小亮8：00从学校出发，骑自行车去滨湖湿地公园，小明8：30从学校出发，乘车沿相同路线去滨湖湿地公园，在同一平面直角坐标系中，小亮和小明的行进路程S（km）与时间t（时）的函数图象如图所示。根据图象得到结论，其中错误的是（　　） A．小亮骑自行车的平均速度是12km/h B．小明比小亮提前0.5小时到达滨湖湿地公园 C．小明在距学校12km处追上小亮 D．9：30小明与小亮相距4km D 3.在一次800 m的长跑比赛中，甲、乙两人所跑的路程s(m)与各自所用时间t(s)之间的函数图象分别为线段OA和折线OBCD，则下列说法正确的是(　　) A．甲的速度随时间的增加而增大 B．乙的平均速度比甲的平均速度大 C．在起跑后第180 s时，两人相遇 D．在起跑后第50 s时，乙在甲的前面 D 4. 如图，射线OA、BA分别表示甲、乙两人骑自行车运动过程的一次函数的图象，图中s、t分别表示行驶距离和时间，则这两人骑自行车的速度相差 km/h。 解析：根据图象可得出：甲的速度为 120÷5=24（km/h）， 乙的速度为(120﹣4)÷5=23.2（km/h）， 速度差为24﹣23.2=0.8（km/h）。 0.8 B 解析：设小明的速度为a米/秒，小刚的速度为 b米/秒，由题意得 1600+100a=1400+100b, 1600+300a=1400+200b, 解得a=2,b=4。 故这次越野跑的全程为1600+300×2=220米。 5.一次越野跑中，当小明跑了1600米时，小刚跑了1400米，小明、小刚所跑的路程y（米）与时间t（秒）之间的函数关系如图，则这次越野跑的全程为 米。 2200 课堂小结 从函数图象得到需要的信息，再求出函数表达式 从而解决实际问题和几何问题，是一次函数应用价值 的体现，这种题型常与一些热点问题结合，考查学生 综合分析问题、解决问题的能力。 $