精品解析：安徽六安市皋城中学等校2025-2026学年度第二学期期末考试八年级数学试题

六安皋城中学2025~2026学年度第二学期期末考试 八年级数学试题 时间：120分钟 满分∶ 150分 一、选择题(每小题4分，共40分) 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须非负，即，解不等式即可确定x的取值范围，进而选出正确选项． 【详解】解：要使在实数范围内有意义， 需满足被开方数， 解得． ∴符合． 故选：D． 2. 将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，，1 C. 3，2，1 D. 3，2， 【答案】D 【解析】 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据立方根、算术平方根的基本运算法则逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】解：A：与不能合并，因此A错误； B：，，因此B正确； C：，因此C错误； D：，D错误． 4. 已知，对于以a，b，c为三边长的三角形的形状，你认为以下判断中最准确的是（ ） A. 锐角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用绝对值、平方、二次根式的非负性求出三边长，再根据勾股定理逆定理判断三角形形状即可． 【详解】解：∵，，，且， ∴ ，，， 解得 ，，， ∵ ∴ 根据勾股定理的逆定理，以为三边长的三角形是直角三角形，三边长度不相等，不属于等腰三角形，因此最准确的判断是直角三角形． 5. 如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（ ） 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方， 然后加上它的3倍，运算结果与这个 数的相反数减4相同． A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】设这个数为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设这个数为， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， ∴这个数是 ． 6. 如图，在中，，是边的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据勾股定理求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由作图可得，，进行解答，即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵是边的中点， ∴； ∵以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接 ∴． 7. 如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（　　） A. 四边形的周长不变 B. 四边形的面积不变 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，由矩形的性质可得，，则可满足四边形是平行四边形，得到，随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变，据此可得答案． 【详解】解：由矩形的性质可得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故D符合题意， 随着一张纸条在转动过程中，不一定等于，四边形周长、面积都会改变，故A、B、C不符合题意， 故选：D． 8. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解； 【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：， ∴， 故选：A 9. 已知二次函数的图象如图所示，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与系数的关系，一次函数图象经过象限与系数的关系．利用二次函数的图象可以判定系数a、b、c的正负号，再判定直线不经过的象限． 【详解】解：由图可知，抛物线开口向下，对称轴在y轴左侧，与y轴的交点位于y轴的正半轴， ，，， ， ，， 直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故选B． 10. 如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段，上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为，的中点，则长度的最大值为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，由勾股定理得，由三角形中位线性质可得，即可得点与点重合时最大，最大值为，进而即可求解. 【详解】解：连接  、  ，如图所示， 在  中，  ，  ，  ，  ，  点  分别为  的中点，  是  的中位线，  ， 由题意得，当点  与点  重合时  最大，最大值为 ，  长度的最大值为 ． 二、填空题(每小题5分，共20分) 11. 比较大小：______ （填“＞”或“＜”或“=”）． 【答案】＜ 【解析】 【详解】解：，，∵18＜20，∴．故答案为＜． 12. 某公司欲招聘工人，对候选人进行三项测试∶语言、创新、综合知识，并按测试得分的比例确定测试总分，已知小王三项得分分别为88，74，50，则小王的招聘得分为_________． 【答案】71分 【解析】 【分析】根据加权平均数的计算方法进行计算即可． 【详解】解：， 小王的招聘得分为：（分）． 13. 如图，有公共顶点A、B的正五边形和正六边形，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为___． 【答案】84°． 【解析】 【分析】据正多边形的内角，可得∠ABE、∠E、∠CAB，根据四边形的内角和，可得答案． 【详解】正五边形的内角是∠ABC＝＝108°， ∵AB＝BC， ∴∠CAB＝36°， 正六边形的内角是∠ABE＝∠E＝＝120°， ∵∠ADE+∠E+∠ABE+∠CAB＝360°， ∴∠ADE＝360°﹣120°﹣120°﹣36°＝84°， 故答案为84°． 【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，利用求多边形的内角得出正五边形的内角、正六边形的内角是解题关键． 14. 定义∶为某个三角形的边，若与其边上的高相等，则称该三角形为边的“伴随三角形”．为边的“伴随三角形”，． ①若，则______． ②若，过点作直线的高，垂足为点，则的长为________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】①根据“伴随三角形”的定义可得，根据等腰直角三角形的性质，即可求解； ②分为两种情况：当是锐角三角形时，根据“伴随三角形”的定义可得，根据勾股定理求得，根据线段的数量关系，即可求解；当是钝角三角形，，根据“伴随三角形”的定义可得，根据勾股定理求得，根据，即可求解． 【详解】解：①如图，∵为边的“伴随三角形” ∴上的高等于的长度， ∵, ∴是边的高， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； ②如图，是锐角三角形，交于点， ∵为边的“伴随三角形”， ∴上的高等于的长度， ∴ 在中，， ∴； ； 如图，是钝角三角形，交于点， ∵为边的“伴随三角形”， ∴上的高等于的长度， ∴， 在中，， ∴； 综上所述，的长为或． 三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 15. 计算∶． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1． （1）请在网格中画出一组邻边长为，的，使各顶点都在网格线的交点上； （2）题（1）中的是矩形吗？答：______．（填“是”或“不是”） 【答案】（1）作图见解析 （2）不是 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理及平行四边形的判定定理作图即可； （2）根据勾股定理的逆定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴， ∴不是矩形， 故答案为：不是． 【点睛】本题考查作图的应用与设计、勾股定理及勾股定理的逆定理、平行四边形的判定和矩形的判定，掌握勾股定理及平行四边形的判定定理是解题的关键． 四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 17. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由方程有两个实数根可判断其根的判别式，即得出关于m的不等式，解出m的解集即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系可得出，即得到关于和的方程组，解出和，再将其中一个值代入原方程组，求出m即可． 【小问1详解】 ∵， ∴． ∵方程有两个实数根， ∴， 解得：； 【小问2详解】 ∵方程的两个实数根为和， ∴． 即得方程组， 解得：． ∴可将代入，得：， 解得：． 【点睛】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数，一元二次方程根与系数的关系．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键． 18. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，与y轴的交点坐标为． （1）求b，c的值； （2）将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向左平移1个单位，直接写出经过两次平移后的二次函数的关系式． 【答案】（1）2，3 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意把和代入即可求得结果； （2）先把（1）中的函数关系式化为顶点式，再根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”求解． 【小问1详解】 解：把和代入得，， 解得，； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到的表达式为． 五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 19. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的对边平行和角平分线的定义可证明，则，据此可证明结论； （2）根据菱形的性质和勾股定理求出的长，进而求出的长，再求出菱形的面积即可求出的长． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）得四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴ 20. 嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… （1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整； （2）【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； （3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子总结出存在的规律． （1）根据前个的规律即可得出答案； （2）根据特例中数字的变化规律分析求解即可，对等式的坐标进行整理，即可求证； （3）利用（2）中的规律进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得：等式④：； 【小问2详解】 解：若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律为， 证明如下：等式左边右边； 【小问3详解】 解：∵（均为正整数）， ∴，， ∴ ． 六、(本题满分12分) 21. 某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查抽取的学生人数为______人，扇形统计图中A的圆心角度数为______； （2）补全频数分布直方图； （3）所抽取的学生成绩的中位数为______分； （4）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 【答案】（1）30； （2）见解析 （3）85 （4）估计成绩为A等级的人数有120人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图、扇形统计图、中位数以及利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计的相关知识是解题的关键； （1）用B组的人数除以其占比即可求出抽取的人数，用A的人数除以总人数再乘以360度即可求出扇形统计图中A的圆心角度数； （2）先求出C组的人数，即可补全统计图； （3）根据中位数的定义求解即可； （4）利用样本估计总体的思想即可求解 【小问1详解】 解：本次调查抽取的学生人数为人， 扇形统计图中A的圆心角度数为； 故答案为：30；； 【小问2详解】 解：C组的人数为：； 补全频数分布直方图如图所示． 【小问3详解】 解：因为， 所以中位数在B组，为第15、16个数的平均数是分； 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计成绩为A等级的人数有120人． 七、(本题满分12分) 22. 综合与实践活动： 农场养殖区的围栏设计 项目背景 某生态农场计划利用自家一面长的旧墙，新建矩形养殖区，用于家禽饲养．农场准备用总长的篱笆完成养殖区的围挡(篱笆全部用完，不剩余)，在保障养殖空间的同时，兼顾投喂通道的设计． 设计方案 农场技术人员给出了两种设计思路： 方案一：直接用篱笆围出一面靠墙的矩形 (如图1)，无需额外分区； 方案二：在大矩形内，再围出一个一面靠墙的小正方形作为投喂缓冲区域(如图2)，且满足． 问题解决： （1）任务一：按照方案一建设农场，若养殖区的目标面积为 ，请你帮农场设计一个围栏方案 (即确定矩形的长和宽)． （2）任务二：为了方便日常投喂，农场决定采用方案2，增设小正方形投喂区．此时整个大矩形养殖区的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）围栏方案为矩形的长为，宽为 （2）整个大矩形养殖区的面积不能达到，理由如下∶ 设，则，， 根据题意得∶， 整理得∶， ， 此方程无解， ∴整个大矩形养殖区面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）设，则，根据矩形的性质得出面积，解一元二次方程得出解并与35比较即可得出答案． （2）设，则，．根据题意列出关于y的一元二次方程，然后再根据根的判别式求解即可． 【小问1详解】 解∶设，则， 根据题意得∶， 整理得∶， 解得∶，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意 答∶围栏方案为矩形的长为，宽为； 【小问2详解】 略； 八、(本题满分14分) 23. 已知：正方形中，P是对角线所在直线上一点． （1）如图1，若在对角线上，连接，过点作交于点．求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，若，求的长； （3）如图3，若在的延长线上，连接，过点作交延长线于点，连接，若，的面积是20，求的长． 【答案】（1）证明：如图1，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴≌， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明≌，可得，进一步证明，可得，进一步可得结论． （2）过点作直线交直线于点E，交于点H，过点P作于点F，由正方形的性质可得，根据，可得，继而可证是等腰三角形，由勾股定理可得，根据矩形的判定可得四边形是矩形和四边形是矩形，继而得到，继而求出，从而得到； （3）过点作，根据正方形的性质可得是的角平分线，由角平分线的性质可得，根据三角形的判定定理可证，继而可得，再由正方形的性质求出，设小正方形的边长为，则大正方形的边长为，根据列方程求出，最后根据勾股定理进行计算． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：过点作直线交直线于点E，交于点H，过点P作于点F， 则，， ∵正方形中，是对角线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 由勾股定理可得：， 即， 解得：， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 同理可证：四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：过点作，如图， ， ∵正方形中， ∴， ∴四边形是矩形， ∵是正方形的对角线，点P在的平分线上， ∴， ∴四边形是正方形， ， ， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵四边形和均为正方形， ∴， ∴， ∴， 设小正方形的边长为，则大正方形的边长为， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 六安皋城中学2025~2026学年度第二学期期末考试 八年级数学试题 时间：120分钟 满分∶ 150分 一、选择题(每小题4分，共40分) 1. 若在实数范围内有意义，则实数x的值可以是（ ） A. B. C. 0 D. 2 2. 将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A. 3，， B. 3，，1 C. 3，2，1 D. 3，2， 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，对于以a，b，c为三边长的三角形的形状，你认为以下判断中最准确的是（ ） A. 锐角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 如图，根据小丽与“豆包”的对话，“豆包”在深度思考后，给出的正确答案是（ ） 豆包 内容由AI生成 有没有这样一个数，先计算它的平方， 然后加上它的3倍，运算结果与这个 数的相反数减4相同． A. B. C. D. 1 6. 如图，在中，，是边的中点，以点为圆心，的长为半径画弧，与线段相交于另一点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示，把两张矩形纸条交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形．固定一张纸条，另一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是（　　） A. 四边形的周长不变 B. 四边形的面积不变 C. D. 8. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 9. 已知二次函数的图象如图所示，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 如图，四边形中，，，，点M，N分别为线段，上的动点(含端点，但点M不与点B重合)，点E，F分别为，的中点，则长度的最大值为（ ） A. 2 B. 2.5 C. D. 二、填空题(每小题5分，共20分) 11. 比较大小：______ （填“＞”或“＜”或“=”）． 12. 某公司欲招聘工人，对候选人进行三项测试∶语言、创新、综合知识，并按测试得分的比例确定测试总分，已知小王三项得分分别为88，74，50，则小王的招聘得分为_________． 13. 如图，有公共顶点A、B的正五边形和正六边形，连接AC交正六边形于点D，则∠ADE的度数为___． 14. 定义∶为某个三角形的边，若与其边上的高相等，则称该三角形为边的“伴随三角形”．为边的“伴随三角形”，． ①若，则______． ②若，过点作直线的高，垂足为点，则的长为________． 三、(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 15. 计算∶． 16. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1． （1）请在网格中画出一组邻边长为，的，使各顶点都在网格线的交点上； （2）题（1）中的是矩形吗？答：______．（填“是”或“不是”） 四、(本大题共2小题，每小题8分，共16分) 17. 已知关于x的一元二次方程 （1）若方程有两个实数根，求m的取值范围； （2）如果方程的两个实数根，求m的值． 18. 已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，与y轴的交点坐标为． （1）求b，c的值； （2）将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向左平移1个单位，直接写出经过两次平移后的二次函数的关系式． 五、(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 19. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点O，平分，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 20. 嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… （1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整； （2）【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； （3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为______． 六、(本题满分12分) 21. 某校为了解七年级学生对消防安全知识掌握的情况，随机抽取该校七年级部分学生进行测试，并对测试成绩进行收集、整理、描述和分析（测试满分为100分，学生测试成绩x均为不小于60的整数，分为四个等级：D：，C：，B：，A：），部分信息如下： 信息一： 信息二：学生成绩在B等级的数据（单位：分）如下：80，81，82，83，84，84，84，86，86，86，88，89． 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查抽取的学生人数为______人，扇形统计图中A的圆心角度数为______； （2）补全频数分布直方图； （3）所抽取的学生成绩的中位数为______分； （4）该校七年级共有360名学生，若全年级学生都参加本次测试，请估计成绩为A等级的人数． 七、(本题满分12分) 22. 综合与实践活动： 农场养殖区的围栏设计 项目背景 某生态农场计划利用自家一面长的旧墙，新建矩形养殖区，用于家禽饲养．农场准备用总长的篱笆完成养殖区的围挡(篱笆全部用完，不剩余)，在保障养殖空间的同时，兼顾投喂通道的设计． 设计方案 农场技术人员给出了两种设计思路： 方案一：直接用篱笆围出一面靠墙的矩形 (如图1)，无需额外分区； 方案二：在大矩形内，再围出一个一面靠墙的小正方形作为投喂缓冲区域(如图2)，且满足． 问题解决： （1）任务一：按照方案一建设农场，若养殖区的目标面积为 ，请你帮农场设计一个围栏方案 (即确定矩形的长和宽)． （2）任务二：为了方便日常投喂，农场决定采用方案2，增设小正方形投喂区．此时整个大矩形养殖区的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 八、(本题满分14分) 23. 已知：正方形中，P是对角线所在直线上一点． （1）如图1，若在对角线上，连接，过点作交于点．求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，若，求的长； （3）如图3，若在的延长线上，连接，过点作交延长线于点，连接，若，的面积是20，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $