精品解析：安徽省六安市汇文中学2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题

汇文学校 汇文中学2024~2025学年度第二学期期末素质评估 八年级数学 试题卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 过多边形的一个顶点可以作3条对角线，则这个多边形的边数是（ ）． A. 五 B. 六 C. 七 D. 八 4. 某校7名学生在某次测量体温（单位：℃）时得到如下数据：36.3，36.4，36.5，36.7，36.6，36.5，36.5，对这组数据描述正确的是（　　） A. 众数是36.5 B. 中位数是36.7 C. 平均数是36.6 D. 方差是0.4 5. 已知关于的一元二次方程的一个解是，则方程的另一个解为（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 某景区五一期间2022年比2021年旅游人数增加了，2023年比2022年旅游人数增加了，已知2021年至2023年景区旅游人数平均年增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，，、是线段上的两点，则以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A B. C. D. ， 8. 如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，与交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在等边三角形中，，，，垂足分别为点、．为中点，为中点．连接，则的值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 10. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 方程的两个根分别为，，则_____ 12. 已知的方差为5，则的方差为_____ 13. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为_________. 14 如图，抛物线与x轴交于A、B两点 （1）求线段的长_____； （2）已知点在抛物线上，在抛物线上找一点（位于对称轴左侧），使，请求出点坐标_____． 三、解答题（每题8分，共16分） 15. 计算： 16. 解方程： 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度， （1）请在所给的网格内画出以线段为边的菱形，并写出点D的坐标　 　． （2）线段的长为　 　，菱形的面积等于　 　 18. 已知抛物线顶点坐标为，且过点． （1）求其解析式； （2）把该抛物线向右平移_______个单位，则它过原点． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 某学校为了解学生的身高情况，各年级分别抽样调查了部分同学的身高，并分年级对所得数据进行处理．下面的频数分布直方图（部分）和扇形统计图是根据七年级的调查数据制作而成．（每组含最低值不含最高值，身高单位：，测量时精确到）： 年级 七 八 九 157 160 169 0.8 0.6 0.9 （1）请根据以上信息，完成下列问题： ①七年级身高在范围内的学生有________人；并补全频数分布直方图． ②七年级样本的中位数所在范围是________． ③由以上表格可知，________年级的学生身高比较整齐，理由是________________________． （2）已知七年级共有1000名学生，若身高低于，则认定该学生身高偏矮．请估计该校七年级身高偏矮的共有多少人？ 20. 如图，某校组织学生到地开展社会实践活动，车到达地后，发现地恰好在地的正北方向，且距离地10千米．导航显示车辆应沿北偏东方向行驶至地，再沿北偏西方向行驶一段距离才能到达地．求两地间的距离． 六、（本大题共12分） 21. 有一列数：，，，，，… （1）请按前5个数规律写出这列数的第个数字（用含的代数式表示）； （2）这列数从第多少个开始为负数? （3）用表示这列数前个数的和，你认为是有最大值呢，还是有最小值？说明理由，并求出当取最大值或最小值时的值． 七、（本大题共12分） 22. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm. （1）若花园的面积为192m2, 求x的值； （2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值. 八、（本大题共14分） 23. 如图，正方形中，，点为上的一个动点，连接交于点，过点作，交于点． （1）如图1，求证：． （2）如图2，过作于点． ①试探索线段和的数量关系，并加以证明； ②如图3，连接，则的周长为________．（直接写出结果，不需要推理过程） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汇文学校 汇文中学2024~2025学年度第二学期期末素质评估 八年级数学 试题卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的加法与乘法运算，完全平方公式，二次根式的性质化简，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A. 与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不正确，不符合题意； B ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了次根式的加法与乘法运算，完全平方公式，二次根式的性质，正确的计算是解题的关键． 2. 下列各组数是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】C 【解析】 【分析】勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，由此即可求解． 【详解】解：、，但不是正整数，不是勾股数，故原选项错误，不符合题意； 、，但都不是正整数，不是勾股数，故原选项错误，不符合题意； 、，是勾股数，故原选项正确，符合题意； 、，不是勾股数，故原选项错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查勾股数的概念，勾股定理的运用，掌握以上知识是解题的关键． 3. 过多边形的一个顶点可以作3条对角线，则这个多边形的边数是（ ）． A. 五 B. 六 C. 七 D. 八 【答案】B 【解析】 【分析】过n边形的一个顶点可以作条对角线，据此解答即可． 【详解】解：∵过多边形的一个顶点可以作3条对角线， ∴这个多边形的边数为； 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的对角线，掌握过n边形的一个顶点可以作条对角线是解题关键． 4. 某校7名学生在某次测量体温（单位：℃）时得到如下数据：36.3，36.4，36.5，36.7，36.6，36.5，36.5，对这组数据描述正确的是（　　） A. 众数是36.5 B. 中位数是36.7 C. 平均数是36.6 D. 方差是0.4 【答案】A 【解析】 【分析】根据众数、中位数的概念求出众数和中位数，根据平均数和方差的计算公式求出平均数和方差即可得出答案． 【详解】解：A、7个数中36.5出现了三次，次数最多，即众数为36.5，故符合题意； B、将7个数按从小到大的顺序排列为：36.3，36.4，36.5，36.5，36.5，36.6，36.7，第4个数为36.5，即中位数为36.5，故不符合题意； C、平均数＝×（36.3+36.4+36.5+36.5+36.5+36.6+36.7）＝36.5，故不符合题意； D、方差，故不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了数据分析，熟练掌握众数、中位数的概念及平均数和方差的计算方法是解题的关键． 5. 已知关于的一元二次方程的一个解是，则方程的另一个解为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设方程的另一个解为，根据一元二次方程的根与系数的关系求解即可得. 【详解】解：设方程的另一个解为， 根据根与系数的关系可得：， 解得：； 故选：D. 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，若是方程的两根，则. 6. 某景区五一期间2022年比2021年旅游人数增加了，2023年比2022年旅游人数增加了，已知2021年至2023年景区的旅游人数平均年增长率为，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，可以先设2021年的旅游人数，根据题意可以题意可得按照两种不同的方法算得的2023旅游人数应该相等，列出相应的方程，从而解答． 【详解】解：设2021年旅游的人数为a人， 根据题意可得， 即， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用一元二次方程解决实际问题，明确题意，得到正确的等量关系是解题的关键． 7. 如图，，，、是线段上的两点，则以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】连接、、交于点，根据平行四边形的对角线互相平分可得，，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，只要证明得到即可，然后根据各选项的条件分析判断结合平行四边形的判定即可得解． 【详解】解：连接，， ，， 四边形是平行四边形， 连接交于， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故A不符合题意； ， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故B不符合题意； ，故无法判定四边形是平行四边形，故C符合题意； ，， ， 以下的证明与B相同，故D选项不符合题意； 故答案为：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 8. 如图，已知的面积为，点在线段上，点在线段的延长线上，且，四边形是平行四边形，与交于点，则图中阴影部分的面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，三角形的面积的应用，根据等底等高的三角形面积相等得出的面积和的面积相等，的面积和的面积相等，推出阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，求出的值即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，设点到距离为， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵边上的高和的边上的高相同， ∴的面积和的面积相等，同理的面积和的面积相等，即阴影部分的面积等于平行四边形的面积的一半，是， ∵的面积是，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积是， 故选：． 9. 如图，在等边三角形中，，，，垂足分别为点、．为中点，为中点．连接，则的值为（ ） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等边三角形的性质，解题的关键在于掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．取的中点，连接、，根据三角形中位线定理证明为等边三角形，再根据等边三角形的性质解答即可． 【详解】解：取的中点，连接、， 为等边三角形，， ，， ，，， ， 同理：， 、分别为、的中点， 是的中位线， ，， ， 同理可得：，， ，， 为等边三角形， ， 故选：B． 10. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象过正方形的三个顶点、、，则的值是多少？（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，设正方形的对角线长为，则，，，然后代入得，解得，然后求出的值即可，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：设正方形的对角线长为，则，，， 把，的坐标代入解析式可得：， 解得， ∴， 故选：． 二、填空题（每小题5分，共20分） 11. 方程的两个根分别为，，则_____ 【答案】37 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形， 正确把握根与系数关系是解题关键，根据，结合可得答案． 【详解】解：∵是方程的两根， ， ， 故答案为：37． 12. 已知的方差为5，则的方差为_____ 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查方差，当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍． 先设这组数据的平均数为，方差，则另一组新数据的平均数为，方差为，代入公式计算即可． 【详解】解：设这组数据的平均数为， 则， ， 则另一组新数据的平均数为， ， ∴另一组数据的方差为 ， 故答案为：20． 13. 如图，在菱形ABCD中，AB=5，对角线AC=6．若过点A作AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为_________. 【答案】 【解析】 【分析】设BE=x,则CE=5-x，在Rt△ABE和Rt△ACE中,由勾股定理表示出AE的平方，列出方程求解并进一步得到AE的长. 【详解】设BE=x,则CE=5-x，在Rt△ABE和Rt△ACE中,由勾股定理可得： 所以 解得， 所以AE=. 考点：1.菱形的性质；2.勾股定理. 14. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点 （1）求线段的长_____； （2）已知点在抛物线上，在抛物线上找一点（位于对称轴的左侧），使，请求出点坐标_____． 【答案】 ①. 5 ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数（， ，是常数，）与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）解方程得，，然后求两点的横坐标之差得到的长； （2）先利用抛物线解析式确定点坐标，设，利用三角形面积公式得到，即或，然后解关于的方程可得到满足条件的点坐标． 【详解】解：（1）当时，， 解得，， ∴，， ∴； 故答案为：5； （2）当时，， ∴， 设， ∵， ∴， 即或， 解方程得，（舍去），此时点坐标为， 解方程得，（舍去），此时点坐标为， 综上所述，点坐标为或． 故答案为：或． 三、解答题（每题8分，共16分） 15 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘方，零指数幂，二次根式和绝对值的化简，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先化简零指数幂，有理数的乘方，二次根式和绝对值，然后按照加减运算法则进行计算，即可求解； 【详解】解： ； 16. 解方程： 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．根据公式法求解即可． 【详解】解：， ，，， ， ， 解得：，． 四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分） 17. 如图，在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度， （1）请在所给的网格内画出以线段为边的菱形，并写出点D的坐标　 　． （2）线段的长为　 　，菱形的面积等于　 　 【答案】（1）见解析， （2） ，15 【解析】 【分析】此题考查勾股定理；菱形面积计算；解题的关键：根据勾股定理求出菱形对角线长度，再利用菱形对角线可求出菱形面积； （1）用平移的方法画出图形，根据图形写出点D的坐标； （2）根据勾股定理，根据勾股定理求出；求出菱形对角线长度，利用菱形对角线可求出菱形面积.即可. 【小问1详解】 解：如图， ； 【小问2详解】 连接， 由勾股定理得： =；, , 所以 18. 已知抛物线顶点坐标为，且过点． （1）求其解析式； （2）把该抛物线向右平移_______个单位，则它过原点． 【答案】（1） （2）1或3 【解析】 【分析】（1）根据抛物线顶点坐标可设该抛物线解析式为，再将点代入，求出a的值，即得出该抛物线解析式； （2）根据（1）所求解析式可求出其图象与x轴交点坐标，进而即可解答． 【小问1详解】 ∵抛物线顶点坐标为， ∴可设该抛物线解析式为． ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 对于， 令，则， ∴， 解得：， ∴该抛物线与x轴的两个交点分别为，， ∴把该抛物线向右平移1个单位或3个单位，则它过原点． 故答案为：1或3． 【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象的平移．根据题意设出为顶点式的抛物线解析式，再根据待定系数法求出该解析式是解题关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分） 19. 某学校为了解学生的身高情况，各年级分别抽样调查了部分同学的身高，并分年级对所得数据进行处理．下面的频数分布直方图（部分）和扇形统计图是根据七年级的调查数据制作而成．（每组含最低值不含最高值，身高单位：，测量时精确到）： 年级 七 八 九 157 160 169 0.8 0.6 0.9 （1）请根据以上信息，完成下列问题： ①七年级身高在范围内的学生有________人；并补全频数分布直方图． ②七年级样本的中位数所在范围是________． ③由以上表格可知，________年级的学生身高比较整齐，理由是________________________． （2）已知七年级共有1000名学生，若身高低于，则认定该学生身高偏矮．请估计该校七年级身高偏矮的共有多少人？ 【答案】（1）①18，见解析；②；③八，方差越小，数据就越稳定（或整齐）； （2）180人 【解析】 【分析】（1）①先根据身高在范围内的学生及其占比求出七年级的总人数，再乘以身高在范围内的学生占比即可求出其人数，进而可补全频数分布直方图． ②根据中位数的定义求解即可得； ③根据方差的意义解答即可； （2）利用样本估计总体的思想解答即可． 【小问1详解】 ①七年级抽查的总人数为人， 所以七年级身高在范围内的学生有人； 补全频数分布直方图如下： ②将七年级的数据按照从小到大排列后，第50，51两个数据都在范围内， ∴七年级样本的中位数所在范围是； ③∵三个年级数据的方差中，八年级的方差最小， ∴八年级的学生身高比较整齐，理由是：方差越小，数据就越稳定（或整齐）； 【小问2详解】 人， 所以估计该校七年级身高偏矮的共有180人． 【点睛】本题考查了频数分布直方图、中位数、扇形统计图、方差和利用样本估计总体等知识，具有一定的综合性，正确理解题意、熟练掌握统计的相关知识是解题的关键． 20. 如图，某校组织学生到地开展社会实践活动，车到达地后，发现地恰好在地的正北方向，且距离地10千米．导航显示车辆应沿北偏东方向行驶至地，再沿北偏西方向行驶一段距离才能到达地．求两地间的距离． 【答案】（15﹣5）千米． 【解析】 【分析】先过点C向AB作垂线，构造直角三角形，利用60°和45°特殊角，表示出相关线段，利用已知AB长度为10千米，建立方程，解出这些相关线段，从而求得A、C两地的距离． 【详解】解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，则∠CBD＝60°，∠DCA＝45°，∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴AD＝DC，∠BCD＝30° ∴设BD＝x千米， ∴BC＝2x千米 DC＝＝x，AC＝＝DC， ∴AD＝DC＝x， ∵AB＝10千米， ∴x+x＝10， ∴x＝5（﹣1）， ∴AC＝DC＝××5（）＝（15﹣5）（千米）， ∴A、C两地间的距离为（15﹣5）千米． 【点睛】本题属于勾股定理的应用题，首先构造直角三角形，然后利用特殊角表示相关线段，从而求解．本题中等难度． 六、（本大题共12分） 21. 有一列数：，，，，，… （1）请按前5个数的规律写出这列数的第个数字（用含的代数式表示）； （2）这列数从第多少个开始为负数? （3）用表示这列数前个数的和，你认为是有最大值呢，还是有最小值？说明理由，并求出当取最大值或最小值时的值． 【答案】（1） （2）这列数从第个开始为负数 （3）有最大值，理由见解答，取最大值值为 【解析】 【分析】本题考查数字的变化类、列代数式，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点． （1）根据题目中的数据，可以写出这列数的第个数字； （2）令（2）中第个数小于0，即可求得的值； （3）先判断是否有最大值和最小值，然后根据题意和（2）中的结果，即可说明理由． 【小问1详解】 解：由题目中的数据可得， 每两个数字相差4，数字由大变小， ∴第个数为：， 即第个数字为； 【小问2详解】 解：令， 可得， ∴这列数从第个开始为负数； 【小问3详解】 解：由题意可得， 有最大值， 理由：这列数从开始变小，每两个相邻数之间相差4，从第个开始为负数， 故取最大值的值为． 七、（本大题共12分） 22. 在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm. （1）若花园的面积为192m2, 求x的值； （2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值. 【答案】（1）12m或16m；（2）195m2. 【解析】 【分析】（1）根据AB=x可得BC=28－x，然后根据面积列出一元二次方程求出x的值； （2）根据题意列出S和x的函数关系式，然后根据题意求出x的取值范围，然后根据函数的性质求出最大值. 【详解】解：（1）∵AB=xm，则BC=（28﹣x）m， ∴x（28﹣x）=192， 解得：x1=12，x2=16， 答：x的值为12m或16m （2）∵AB=xm， ∴BC=28﹣x， ∴S=x（28﹣x）=﹣x2+28x=﹣（x﹣14）2+196， ∵在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m， ∵28-x≥15，x≥6 ∴6≤x≤13， ∴当x=13时，S取到最大值为：S=﹣（13﹣14）2+196=195， 答：花园面积S的最大值为195平方米． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法，得出S与x的函数关系式是解题关键． 八、（本大题共14分） 23. 如图，正方形中，，点为上的一个动点，连接交于点，过点作，交于点． （1）如图1，求证：． （2）如图2，过作于点． ①试探索线段和的数量关系，并加以证明； ②如图3，连接，则的周长为________．（直接写出结果，不需要推理过程） 【答案】（1）见解析 （2）①，证明见解析；②4 【解析】 【分析】（1）连接，证明，可得，再利用角度等量代换证明，即可解答； （2）连接交于点O，证明只需要证明即可，根据，可得，即可解答； （3）作辅助线如解析图，证明，可得，同理可得，故的周长为边的长，进而求解． 【小问1详解】 证明：如图，连接， 在正方形中，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①， 证明：如图，连接交于点O， 可得， ， ， 在与中， ， ， ， ； ②解：如图，延长至点，使得，过点作，连接，延长交于点， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ，， ， ， 根据（1）中同理，可得， ， ， ， 的周长等于． 【点睛】本题是四边形综合体，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $