第02讲 空间向量的数量积运算（知识详解+3典例精讲+课后作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义（人教A版选修第一册）

第02讲 空间向量的数量积运算（知识详解+3典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：空间向量的夹角 知识点02：空间向量的数量积运算 知识点03：空间向量数量积的应用 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：空间向量数量积的概念辨析 题型02：求空间向量的数量积 题型03：空间向量数量积的应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 【例1】已知空间向量与方向相反，且，，求的大小。 解析：结合空间向量夹角的定义及特殊夹角的特征求解： 第一步，明确向量夹角的特殊情况：当两个非零向量方向相反时，它们的夹角为； 第二步，题目中明确与方向相反，且均为非零向量（模不为0），符合方向相反的向量夹角特征； 因此，。 答案： 预习易错提醒：忽略“非零向量”前提，零向量与任意向量的夹角无意义；夹角范围不可超出。 【知识点02】空间向量的数量积运算 1．(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 2.向量的投影 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)． (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 注意点： (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定． ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 【例2】已知空间向量、，，，，求的值。 解析：直接套用空间向量数量积的定义公式，代入已知条件计算： 第一步，明确公式：； 第二步，代入已知数据：，，； 第三步，计算得：。 答案：10 预习易错提醒：数量积结果是实数，不可加向量符号；计算时注意夹角的三角函数值，避免记错特殊角的余弦值。 【知识点03】空间向量数量积的应用 1. 求向量的模：若为非零空间向量，则（由数量积定义推导，）； 2. 判断向量垂直：两个非零空间向量、垂直的充要条件是（由夹角，推导）； 3. 注意：应用时需保证向量为非零向量，零向量与任意向量垂直，但不可用零向量判断其他向量的垂直关系。 【例3】已知空间向量，，且，求实数的值。 解析：利用空间向量垂直的充要条件（数量积为0）求解，结合向量坐标的数量积运算（预习可选学，贴合基础应用）： 第一步，明确垂直条件：非零向量 ⇔ ； 第二步，坐标型向量数量积运算：若，，则； 第三步，代入坐标计算：； 第四步，由，得，解得。 答案： 预习易错提醒：忽略向量非零的前提，若其中一个向量为零向量，无论取何值，数量积均为0，但此时不能说两向量垂直（零向量与任意向量垂直，无实际判定意义）。 【题型01】空间向量数量积的概念辨析 【典例1-1】（24-25高二上·山东·月考）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ）． A．若，，则 B． C．若，则，的夹角是钝角 D． 【答案】B 【分析】由空间向量的位置关系可得A错误；由数量积的运算律可得B正确，D错误；当两向量的夹角为时，也成立可得D错误； 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，由数量积的运算律可知，故B正确； 对于C，若，则，的夹角是钝角或反向共线，故C错误； 对于D，由数量积的运算律可知，等号左面与共线，等号右面与，两边不一定相等，故D错误； 故选：B. 【典例1-2】（23-24高二上·宁夏银川·月考）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A 【典例1-3】（多选）（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 【答案】ACD 【详解】A：由单位向量的大小相等，但方向不一定相同，故空间任意两个单位向量不一定相等，错， B：若时，则， 所以，则存在零向量或非零向量反向共线，即共线，充分性成立， 由共线，如非零向量同向共线时，此时，原等量关系不成立，必要性不成立，对， C：由，若，且，，此时，但，错， D：根据向量的性质，任意两个向量不能比较大小，错. 【变式1-1】（24-25高二上·河南洛阳·月考）如图，在八面体中，平面均垂直于底面，且，则下列向量中与向量在平面上的投影向量相等的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取分别为的中点，连接，结合题意，由面面垂直的性质定理结合共线向量的定义即可求解. 【详解】取分别为的中点，连接， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 同理可得平面， 所以向量在平面上的投影向量为，且. 故选：. 【变式1-2】（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据投影向量的概念，结合长方体的结构，可得答案. 【详解】如图，连接，取的中点，连接.易得， 则所求的投影向量为在上的投影向量，易得， 则，所以在上的投影向量为. 故选：C. 【变式1-3】（多选）（25-26高二上·新疆伊犁·期末）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 【答案】ABD 【分析】根据向量的数量积、平行关系以及向量相等的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，根据数量积定义可得，当时，对于任意的向量和都有，但不一定，故A错误. 对于B，当时，与任意向量平行，故对于任意的向量和，都有，，但此时不一定有，故B错误. 对于C，根据向量相等的定义可知，若，，则和大小相等，方向相同，即，故C正确. 对于D，表示与共线的向量，表示与共线的向量， 和不一定共线，不一定等于，故D错误. 故选：ABD. 【题型02】求空间向量的数量积 【典例2-1】（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方体的棱长为1，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】根据空间向量数量积的运算律，结合垂直关系即可求解. 【详解】, 故选：A 【典例2-2】（多选）（24-25高二上·河南洛阳·月考）已知正方体的棱长为1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】由空间向量数量积的计算和向量的转化可得结果. 【详解】对A，由图可知，，A正确． 对B，，B正确． 对C，，C错误． 对 D，因为侧面，则易知，D错误． 故选：AB. 【典例2-3】（25-26高二上·安徽·期中）如图，平行六面体的底面是正方形，，则___________． 【答案】2 【分析】利用空间向量的基底运算，即可求解. 【详解】设． ， ， . 故答案为： 【变式2-1】（25-26高二上·广东·期末）在棱长为1的正方体中，的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，再利用空间向量求数量积即可． 【详解】如图，以为原点建立空间直角坐标系， ，，，， ， ． 故选：A． 【变式2-2】（多选）（25-26高二上·广东清远·期中）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用空间向量数量积的定义分别求解即可. 【详解】因为E，F分别是AB，AD的中点，所以， 所以，A正确； ，B正确； ，C正确； ，D错误． 故选：ABC. 【变式2-3】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点．    (1)求的值； (2)求证：； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由向量的线性运算及数量积的运算律计算即得； （2）计算得到即可证明. 【详解】（1）正方体中，，， 有，， 所以. （2）证明：正方体中，，， 有，， 因为M和N分别是和的中点，则N为的中点， 所以且，即， 则有， 所以． 【题型03】空间向量数量积的应用 【典例3-1】（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的模的公式计算后可得正确的选项. 【详解】 在 上的投影向量的模为 ， 因为，， 所以 ，， 所以投影向量的模为 ， 故选：A. 【典例3-2】（多选）（25-26高二上·陕西渭南·期中）下列命题是真命题的是（  ） A．空间中，若向量共线，则这两个向量所在直线平行 B．空间中，若与是单位向量，则 C．若空间向量与的数量积，则与的夹角为钝角 D．空间中任意两个向量都共面 【答案】BD 【分析】A：根据直线可能平行或重合作出判断；B：由单位向量的模长均为作出判断；C：根据数量积小于，向量夹角为钝角或作出判断；D：根据空间向量的定义直接判断. 【详解】A：若空间向量共线，则向量所在直线平行或重合，故A错误； B：若与是空间单位向量，则，故B正确； C：若，则与的夹角为钝角或，故C错误； D：由空间中任意两个向量共面，可知D正确； 故选：BD. 【典例3-3】（24-25高二下·江苏·月考）已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 【答案】 【详解】因为为底面内一点，且， 所以，解得，则， 又， 可得 . 【变式3-1】（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得正三角形，过点作，垂足为，从而得到向量在上的投影向量为. 【详解】因为在正方体中，, 所以正三角形，过点作，垂足为. 则，所以向量在上的投影向量为. 故选：B 【变式3-2】（多选）（24-25高二上·辽宁锦州·期末）平行六面体的底面是正方形，，，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点在平面内 C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】ABD 【分析】由平方可判断A；利用空间向量共面的基本定理可判断B选项；求出，利用空间向量数量积的运算性质可判断C选项；利用空间向量数量积的运算性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，如下图所示：    因为， 所以 ， ，故A正确； 对于B选项，由题意可知、分别为正方形、的中心， 所以，同理可得， 所以， 所以 ， 所以， 所以、、共面，故点在平面内，B对； 对于C选项， ，故，C错； 对于D选项， ， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为，D对. 故选：ABD. 【变式3-3】（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用基底表示所求向量，然后将向量的模转化为数量积计算可得； （2）利用基底表示所求向量，根据数量积运算律计算可得. 【详解】（1）， ， ． （2）由题意得， 又由（1）可知， 则 又， ． 一、空间向量数量积定义 设空间两个非零向量 a，b夹角为<a,b>规定： 补充说明：零向量与任意向量数量积为0。 向量夹角范围 二、重要性质公式 1. 向量模长平方 2. 垂直判定（非零向量） 3. 夹角余弦公式 4. 柯西不等式 三、数量积运算律 1. 交换律 2. 数乘结合律 3. 分配律 注意：空间向量数量积不满足结合律，即： 四、坐标形式下的数量积 设空间向量坐标为： 1. 数量积坐标公式 2. 向量模长（坐标形式） 3. 夹角余弦坐标公式 4. 垂直坐标条件 五、常用变形结论 |（注：文档部分内容可能由 AI 生成） 一、单选题 1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据投影向量的计算公式计算即可. 【详解】向量在向量上的投影向量为. 故选：A 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，若，则实数x的值为（    ） A． B．10 C． D．2 【答案】A 【分析】由空间向量的数量积的坐标运算计算即可. 【详解】由于，则， 即， 解得. 故选：A 3．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】借助空间向量线性运算与数量积公式，结合正三棱柱性质计算即可得. 【详解】 . 4．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的数量积运算和夹角余弦公式计算即可. 【详解】由图可得，， 设正四面体的棱长为，则 , 结合题意可得. 因为两条异面直线的夹角的范围是， 故直线与夹角的余弦值为. 故选：D. 5．（25-26高二上·广东江门·期末）如图所示，在两条异面直线上分别取不同的点和，使，且.已知的夹角是，，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，则且，由，平方化简得到，求得，即可得到答案. 【详解】因为，且，的夹角为，且，， 设，则且， 由， 可得 ， 又由 ， 所以，所以，即线段的长度的取值范围为. 故选：A. 6．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】 在直四棱柱中，，， , . 7．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量数量积的运算律求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 8．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】向量在平面上的投影向量是减去在法向量上的投影向量. 【详解】向量在法向量上的投影数量为：， 向量在法向量上的投影向量是：， 则向量在平面上的投影向量是减去在法向量上的投影向量， 即. 二、多选题 9．（25-26高二上·贵州黔南·期末）关于空间向量，下列说法正确的是（   ） A．若向量和向量都是单位向量，则 B．若向量与向量的夹角为钝角，则 C．若四点共面，对空间中任意一点，有，则 D．若，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为 【答案】BCD 【分析】根据单位向量的定义判断A，根据数量积的定义判断B，根据空间共面定理的推论判断C，根据投影向量的定义判断D. 【详解】对于A，向量和向量都是单位向量，所以模相等，但是方向不一定相同，因此与不一定相等，故A错误； 对于B，若、的夹角为钝角，显然向量和向量都不是零向量， 则为负数，因此，故B正确； 对于C，由四点共面，且，所以， 解得，故C正确； 对于D，因为，， 所以，， 所以向量在向量方向上的投影向量为，故D正确． 故选：BCD． 10．（25-26高二上·广东揭阳·期末）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是钝角 C．若向量是共面的向量，则也是共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 【答案】ACD 【分析】利用共线定理和共面定理可判断A；考虑共线反向可判断B；利用反证法判断C；利用空间向量共面的推论判断D即可. 【详解】对于A，因空间中任意两个向量是共面的， 故若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，故A正确； 对于B，若，则与的夹角是钝角或者平角，故B错误； 对于C，若是共面的向量，则存在实数使得， 即，则向量是共面的向量，故C正确； 对于D，因为，， 所以由空间向量共面的推论可知四点共面，故D正确. 故选：ACD 11．（25-26高二上·福建福州·期中）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．平行六面体的体积为 【答案】BD 【分析】A、B选项通过空间向量的模长及数量积进行判断即可；C选项通过空间向量求出，进而求出面积即可；D选项作出平行六面体的高，求出相关边长，即可求出体积． 【详解】因为， 则 ，故，A错误； ，， ，故，B正确；    连接， 则， ， 即，同理，故四边形为矩形， 面积为，C错误；    过作面，在直线上，过作于，连接， 由平面，得平面，平面，得， 故，，， 故平行六面体的体积为，D正确． 故选：BD． 三、填空题 12．（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知，，，则的余弦值是__________. 【答案】/ 【分析】利用空间向量夹角的余弦公式可得结果. 【详解】，， 故， 故答案为： 13．（25-26高二上·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________. 【答案】 【分析】设，则，再根据向量运算求解即可. 【详解】设，则， 所以 因为， 所以 故答案为： 14．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】 如图所示，以为坐标原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 则， 设点，即， 可得，即， 所以， 则， 根据二次函数性质可知当时取得最小值，此时最小值为. 所以的最小值为. 四、解答题 15．（25-26高二上·山东淄博·月考）在平行六面体中，，，，， (1)用表示； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由向量的线性表示求解即可； （2）由（1），再平方，展开，根据向量的数量积的定义计算即可． 【详解】（1）由题意得：； （2） ， 故． 16．（25-26高二上·贵州铜仁·月考）如图，正方体的棱长为1，设，求： (1) (2) 【答案】(1)0； (2)1. 【分析】（1）（2）根据正方体的结构特征，应用向量数量积的运算律求数量积即可. 【详解】（1）由题设，则； （2）由（1）及已知，. 17．（25-26高二上·山东青岛·期中）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，． (1)证明：、、、四点共面； (2)为的中点，求直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）设，，，证明出，结合直线、不重合可证得结论成立； （2）将、用基底、、表示，利用空间向量数量积的运算性质可求出的值，即可得出结果. 【详解】（1）设，，，则、、不共面， 由题意可得，，所以， 又因为直线、不重合，所以，故、、、四点共面. （2）由题意可得，， 由空间向量数量积的定义可得， ，同理可得， 因为为的中点，所以， ， 所以， 故 ， ， ， 所以， 因此直线与所成角的余弦值为. 18．（2025高二·全国·专题练习）在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由向量数量积的定义计算即可； （2）根据数量积为证明垂直； （3）由，再计算模长即可. 【详解】（1）. （2）证明：因为 ， 所以. （3）因为， 所以， . 所以. 19．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据空间向量的加减运算求解即可； （2）根据空间向量的数量积的运算律及数量积的定义运算求解， 【详解】（1） . （2）依题意，， 则 . 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 空间向量的数量积运算（知识详解+3典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：空间向量的夹角 知识点02：空间向量的数量积运算 知识点03：空间向量数量积的应用 典例精讲·例题解析 （举三反三） 题型01：空间向量数量积的概念辨析 题型02：求空间向量的数量积 题型03：空间向量数量积的应用 课后作业·巩固延伸 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 【知识点01】空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 【例1】已知空间向量与方向相反，且，，求的大小。 解析：结合空间向量夹角的定义及特殊夹角的特征求解： 第一步，明确向量夹角的特殊情况：当两个非零向量方向相反时，它们的夹角为； 第二步，题目中明确与方向相反，且均为非零向量（模不为0），符合方向相反的向量夹角特征； 因此，。 答案： 预习易错提醒：忽略“非零向量”前提，零向量与任意向量的夹角无意义；夹角范围不可超出。 【知识点02】空间向量的数量积运算 1．(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0. (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b＝b·a 分配律 (a＋b)·c＝a·c＋b·c 2.向量的投影 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)． (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 注意点： (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定． ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．即a·b＝a·c⇒b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立． 【例2】已知空间向量、，，，，求的值。 解析：直接套用空间向量数量积的定义公式，代入已知条件计算： 第一步，明确公式：； 第二步，代入已知数据：，，； 第三步，计算得：。 答案：10 预习易错提醒：数量积结果是实数，不可加向量符号；计算时注意夹角的三角函数值，避免记错特殊角的余弦值。 【知识点03】空间向量数量积的应用 1. 求向量的模：若为非零空间向量，则（由数量积定义推导，）； 2. 判断向量垂直：两个非零空间向量、垂直的充要条件是（由夹角，推导）； 3. 注意：应用时需保证向量为非零向量，零向量与任意向量垂直，但不可用零向量判断其他向量的垂直关系。 【例3】已知空间向量，，且，求实数的值。 解析：利用空间向量垂直的充要条件（数量积为0）求解，结合向量坐标的数量积运算（预习可选学，贴合基础应用）： 第一步，明确垂直条件：非零向量 ⇔ ； 第二步，坐标型向量数量积运算：若，，则； 第三步，代入坐标计算：； 第四步，由，得，解得。 答案： 预习易错提醒：忽略向量非零的前提，若其中一个向量为零向量，无论取何值，数量积均为0，但此时不能说两向量垂直（零向量与任意向量垂直，无实际判定意义）。 【题型01】空间向量数量积的概念辨析 【典例1-1】（24-25高二上·山东·月考）对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（    ）． A．若，，则 B． C．若，则，的夹角是钝角 D． 【典例1-2】（23-24高二上·宁夏银川·月考）已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【典例1-3】（多选）（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）下列四个命题中，说法不正确的是（    ） A．空间任意两个单位向量必相等 B．是共线的充分不必要条件 C．对于非零向量，由，则 D．若向量满足，则 【变式1-1】（24-25高二上·河南洛阳·月考）如图，在八面体中，平面均垂直于底面，且，则下列向量中与向量在平面上的投影向量相等的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·广西来宾·期中）如图，在长方体中，是的中点，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（多选）（25-26高二上·新疆伊犁·期末）若三个空间向量，，，下列命题为假命题的是（   ） A．若，，满足，则 B．若，，则 C．若，，则 D． 【题型02】求空间向量的数量积 【典例2-1】（23-24高二下·浙江杭州·期中）正方体的棱长为1，则（    ） A．1 B．0 C． D．2 【典例2-2】（多选）（24-25高二上·河南洛阳·月考）已知正方体的棱长为1，则（    ） A． B． C． D． 【典例2-3】（25-26高二上·安徽·期中）如图，平行六面体的底面是正方形，，则___________． 【变式2-2】（多选）（25-26高二上·广东清远·期中）如图所示，在棱长为1的正四面体中，分别是的中点，则下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高二上·陕西咸阳·月考）如图，已知正方体的棱长为1，M和N分别是和的中点．    (1)求的值； (2)求证：； 【题型03】空间向量数量积的应用 【典例3-1】（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知空间向量，，则在上的投影向量的模为（    ） A． B．2 C．1 D． 【典例3-2】（多选）（25-26高二上·陕西渭南·期中）下列命题是真命题的是（  ） A．空间中，若向量共线，则这两个向量所在直线平行 B．空间中，若与是单位向量，则 C．若空间向量与的数量积，则与的夹角为钝角 D．空间中任意两个向量都共面 【典例3-3】（24-25高二下·江苏·月考）已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 【变式3-1】（25-26高二上·四川·阶段检测）在正方体中，向量在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（多选）（24-25高二上·辽宁锦州·期末）平行六面体的底面是正方形，，，，，，则下列说法正确的是（    ） A． B．点在平面内 C． D．直线与所成角的余弦值为 【变式3-3】（25-26高二上·湖北荆州·期末）如图，在平行六面体中，底面为正方形，，设为的中点． (1)求的长； (2)求． 一、空间向量数量积定义 设空间两个非零向量 a，b夹角为<a,b>规定： 补充说明：零向量与任意向量数量积为0。 向量夹角范围 二、重要性质公式 1. 向量模长平方 2. 垂直判定（非零向量） 3. 夹角余弦公式 4. 柯西不等式 三、数量积运算律 1. 交换律 2. 数乘结合律 3. 分配律 注意：空间向量数量积不满足结合律，即： 四、坐标形式下的数量积 设空间向量坐标为： 1. 数量积坐标公式 2. 向量模长（坐标形式） 3. 夹角余弦坐标公式 4. 垂直坐标条件 五、常用变形结论 |（注：文档部分内容可能由 AI 生成） 一、单选题 1．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，，若，则实数x的值为（    ） A． B．10 C． D．2 3．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）在正三棱柱中，，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（25-26高二上·江苏无锡·期末）正四面体（四个面都是正三角形）中，M，N分别是，的中点，直线与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·广东江门·期末）如图所示，在两条异面直线上分别取不同的点和，使，且.已知的夹角是，，则线段的长度的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·甘肃酒泉·期中）已知直四棱柱的棱长均为2，，则（    ） A．4 B．2 C． D． 7．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，二面角的大小为，点分别在半平面内，于点，于点．若，则（   ） A． B．7 C．8 D．9 8．（25-26高二下·江苏连云港·期中）已知空间向量，平面的一个法向量为，则向量在平面上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·贵州黔南·期末）关于空间向量，下列说法正确的是（   ） A．若向量和向量都是单位向量，则 B．若向量与向量的夹角为钝角，则 C．若四点共面，对空间中任意一点，有，则 D．若，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为 10．（25-26高二上·广东揭阳·期末）关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面 B．若，则与的夹角是钝角 C．若向量是共面的向量，则也是共面的向量 D．若对空间中任意一点，有，则四点共面 11．（25-26高二上·福建福州·期中）如图，平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是60°，则（   ）    A． B． C．四边形的面积为 D．平行六面体的体积为 三、填空题 12．（25-26高二上·贵州铜仁·期中）已知，，，则的余弦值是__________. 13．（25-26高二上·江苏南通·期末）在平行六面体中，，则__________. 14．（25-26高二上·浙江杭州·期中）在长方体中，，，点为线段上一动点，则的最小值为__________． 四、解答题 15．（25-26高二上·山东淄博·月考）在平行六面体中，，，，， (1)用表示； (2)求的长． 16．（25-26高二上·贵州铜仁·月考）如图，正方体的棱长为1，设，求： (1) (2) 17．（25-26高二上·山东青岛·期中）如图所示，在平行六面体中，底面是边长为的菱形，，，、分别在线段和上，且，． (1)证明：、、、四点共面； (2)为的中点，求直线与所成角的余弦值． 18．（2025高二·全国·专题练习）在平行六面体中，，，，，． (1)求； (2)求证：； (3)求的长． 19．（25-26高二下·江苏扬州·期中）如图，在三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于为的中点，为线段上靠近的三等分点. (1)设，试用向量表示； (2)求线段的长度. 1 学科网（北京）股份有限公司 $