专题8 二次函数图象与系数a、b、c的关系 专项练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 该专项聚焦二次函数图象与系数a、b、c的关系，通过两类题型系统训练从图象抽象系数符号及数量关系的推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |图象共存问题|4题|二次函数与一次函数图象组合判断，需关联系数符号一致性|从单一函数图象到多函数图象的系数关联性推理，体现几何直观与抽象能力| |系数关系判断|13题|结合图象特征（开口、对称轴、与坐标轴交点）判断含a、b、c的代数式符号及数量关系|从图象性质逆向推导系数关系，培养推理意识与模型观念|

专题8 二次函数图象与a、b、c关系 类型一 图象共存问题 1．（2025秋•游仙区期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 2．（2024秋•盂县校级月考）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A．B． C． D． 3．（2026•深圳校级二模）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 4．（2026•广州校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+bc的图象可能是（　　） A． B． C． D． 类型二 二次函数图象与a、b、c关系 5．（2026•潘集区一模）若二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx﹣c（ab≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．a+b+c＜0 C．a+c＜0 D．a＜b＜2a 6．（2026•沛县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的是（　　） A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 7．（2026•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）、（m，0），且2＜m＜3．下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③﹣4a＜y最小值；④若方程ax2+bx+c0有实数根，则b2﹣4ac＞a．其中正确结论的序号为（　　） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 8．（2026•达州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，c＜0）的自变量x与函数y的部分对应值如表： x … ﹣2 0 2 … y … 0 c c … 在下列结论中：①a＞0；②2a+b＝0；③当x＜1时，y的值随着x值的增大而增大；④x1＝﹣2，x2＝4是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根．正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（2026•海安市校级二模）如图，在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当a+b+c取得最大值时，图象经过这四个点中的（　　） A．ABC B．ABD C．ACD D．BCD 10．（2026•西安模拟）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列由该二次函数的图象得出的结论： ①a+c＞1；②2a＞b；③a＝b；④a﹣2b+c＜0．其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 11．（2025秋•番禺区期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，顶点P为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③3b＞2c；④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且△PAB是等边三角形，则．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 12．（2026•莲池区二模）在平面直角坐标系中，已知点A（3，1），B（3，3），抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t，当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（　　） A．3≤t≤4 B．2≤t≤3或4≤t≤5 C．3≤t≤4，5≤t≤6 D．2≤t≤5 13．（2026•乌鲁木齐模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，以下4个结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③若点A（m，n）在该抛物线上，且m＞1，则am+a+b＜0；④3a+c＞0．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．（2026•浔阳区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③b2﹣4ac＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 15．（2026•江岸区校级二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），且a﹣b+c＝0．下列四个结论： ①抛物线经过定点（﹣1，0）； ②若b＝﹣2a，则抛物线经过点（3，0）； ③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点； ④一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝3； ⑤点A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线上，若当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2，则5a+c≤0． 其中正确的是　 （填写序号）． 16．（2026•江夏区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，顶点为（1，3），下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③关于x的方程ax2+（b﹣k）x+c+k﹣2＝0（k为常数）有实数根；④若一元二次方程a（x+1）2+3＝0两根为m，n（m＜n），则0＜n＜1，﹣3＜m＜﹣2．其中正确的是　 　 ． 17．（2026•江汉区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（m，0），m＞0，且4a﹣2b+c＝0，则下列五个结论：①c＞0；②a﹣b+c＞0；③若方程ax2+bx+c＝b有两个不相等的实数根x1，x2（且x1＜x2），则x2＜m；④抛物线y＝ax2+bx+c上有两点A（x1，y1），（x2，y2），当x1+2＝m﹣x2时，y1＝y2；⑤若0＜m＜2，抛物线过点（0，1），且s＝a+b+c，则．其中正确的结论是　 　 （填写序号）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8 二次函数图象与a、b、c关系 类型一 图象共存问题 1．（2025秋•游仙区期中）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＜0，b＞0，c＞0，由此即可得出：二次函数y＝a2x+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x0，与y轴的交点在y轴正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论． 【解答】解：观察函数图象可知：a＜0，b＞0，c＞0， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x0，与y轴的交点在y轴正半轴． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数的图象以及二次函数的图象，根据二次函数图象和一次函数图象经过的象限，找出a＜0、b＞0、c＞0是解题的关键． 2．（2024秋•盂县校级月考）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y＝2ax+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致． 【解答】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项符合题意； B、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项不符合题意； C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，故本选项不符合题意； D、由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＜0，故本选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质． 3．（2026•深圳校级二模）直线y＝ax+b与抛物线y＝ax2+bx+2在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】逐一分析四个选项，根据二次函数图象的开口以及对称轴与y轴的关系即可得出a、b的正负，由此即可得出一次函数图象经过的象限，再与函数图象进行对比即可得出结论． 【解答】解：A、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴右侧， ∴a＞0，b＜0， ∴一次函数图象应该过第一、三、四象限，A错误； B、∵二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧， ∴a＞0，b＞0， ∴一次函数图象应该过第一、二、三象限，B正确； C、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴左侧， ∴a＜0，b＜0， ∴一次函数图象应该过第二、三、四象限，C错误； D、∵二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∴a＜0，b＞0， ∴一次函数图象应该过第一、二、四象限，D错误． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象以及一次函数图象与系数的关系，根据a、b的正负确定一次函数图象经过的象限是解题的关键． 4．（2026•广州校级模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+bc的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】首先根据二次函数图象得出a，b，c的符号，进而利用一次函数性质得出图象经过的象限． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴交点在正半轴， ∴c＞0， ∴bc＞0， ∴一次函数y＝ax+bc的图象过一、二、四象限，只有D选项符合要求． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象和一次函数图象和性质，掌握它们的性质是解题的关键． 类型二 二次函数图象与a、b、c关系 5．（2026•潘集区一模）若二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx﹣c（ab≠0）的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　） A．abc＞0 B．a+b+c＜0 C．a+c＜0 D．a＜b＜2a 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴和与y轴的交点，确定a、b、c的符号进行判断即可． 【解答】解：由图象可知a＞0，b＞0，c＜0， ∴abc＜0；故A错误，不符合题意； 当x＝﹣1时，二次函数y＝a，一次函数y＝﹣b﹣c（ab≠0）， 从图象上看，a＞﹣b﹣c，即a+b+c＞0；故B错误，不符合题意； 当x＝1时，二次函数y＝a，一次函数y＝b﹣c（ab≠0）， a＞b﹣c 故a+c＞b， ∵b＞0， ∴a+c＞0， 当x＝2时，由函数图象可知4a＝2b﹣c， ∴c＝2b﹣4a， ∵a+b+c＞0， 即a+b+2b﹣4a＞0，解得b＞a， ∵4a＝2b﹣c，c＜0， ∴4a＞2b， 即b＜2a， ∴a＜b＜2a； 故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象判断式子的符号，抛物线与x轴的交点问题等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 6．（2026•沛县模拟）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），下列说法：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2.5，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2，其中说法正确的是（　　） A．①②③ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【分析】根据图象分别求出a、b、c的符号，即可判断①，根据对称轴求出b＝2a，代入2a﹣b即可判断②，把x＝2代入二次函数的解析式，再根据图象即可判断③，求出点（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标，根据对称轴即可判断y1和y2的大小． 【解答】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴a＞0， ∵二次函数的图象交y轴的负半轴于一点， ∴c＜0， ∵对称轴是直线x＝﹣1， ∴1，∴b＝2a＞0， ∴abc＜0，∴①正确； ∵b＝2a， ∴2a﹣b＝0，∴②正确； 把x＝2代入y＝ax2+bx+c得：y＝4a+2b+c， 从图象可知，当x＝2时y＞0， 即4a+2b+c＞0，∴③错误； ∵（﹣5，y1）关于直线x＝﹣1的对称点的坐标是（3，y1）， 又∵当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，3＜5， ∴y1＞y2，∴④正确； 即正确的有3个①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系的应用，关键是注意：当a＞0时，二次函数的图象开口向上，当a＜0时，二次函数的图象开口向下． 7．（2026•遂宁）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）、（m，0），且2＜m＜3．下列结论：①abc＞0；②3a+c＞0；③﹣4a＜y最小值；④若方程ax2+bx+c0有实数根，则b2﹣4ac＞a．其中正确结论的序号为（　　） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴、与坐标轴交点判断系数符号，利用抛物线解析式及m的范围推导最小值范围；利用一元二次方程根的判别式判断结论④． 【解答】解：①∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵与x轴的两个交点坐标分别为（﹣1，0）、（m，0）， ∴对称轴，a﹣b+c＝0，y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m）x﹣am， ∴b＝（1﹣m）a，c＝﹣am， ∵2＜m＜3， ∴， ∴对称轴在y轴右侧， ∴， ∴b＜0， ∵抛物线与y轴交于负半轴， ∴c＜0， ∴abc＞0，故①正确； 3a+c＝3a﹣am＝a（3﹣m）， 由a＞0和2＜m＜3可得3a+c＝a（3﹣m）＞0，故②结论错误； ③当时，抛物线有最小值，， ∵2＜m＜3，， ∴当2＜m＜3时，随m增大而减小， 当m＝2时，； 当m＝3时，y最小值＝﹣4a； ∴，故③正确； ④∵方程有实数根， ∴，即b2﹣4ac﹣2a≥0， ∴b2﹣4ac≥2a， ∵a＞0， ∴2a＞a， ∴b2﹣4ac＞a，故④正确． 综上所述，正确的结论是①③④． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 8．（2026•达州）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，c＜0）的自变量x与函数y的部分对应值如表： x … ﹣2 0 2 … y … 0 c c … 在下列结论中：①a＞0；②2a+b＝0；③当x＜1时，y的值随着x值的增大而增大；④x1＝﹣2，x2＝4是关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根．正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果． 【解答】解：因为 x … ﹣2 0 2 … y … 0 c c … ，c＜0， ∴当﹣2＜x＜0，y随x的增大而减小， ∴开口向上，a＞0，故①正确； 当x＝0，x＝2时，y为c， ∴对称轴为直线x1， 即1， 即2a+b＝0，故②正确； ∵开口向上，对称轴为直线x1， ∴当x＜1时，y的值随着x值的增大而减小，故③错误； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝1，函数图象过点（﹣2，0）， ∴二次函数y＝ax2+bx+c过x轴的另一个交点为（4，0）， ∴ax2+bx+c＝0的两个根分别为x1＝﹣2，x2＝4，故结论④正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 9．（2026•海安市校级二模）如图，在“探索二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的系数a，b，c对函数图象的影响”活动中，老师给出了坐标系中的四个点：A（0，1），B（2，1），C（4，1），D（3，2）．同学们分别画出了经过这四个点中的三个点的若干个二次函数图象，当a+b+c取得最大值时，图象经过这四个点中的（　　） A．ABC B．ABD C．ACD D．BCD 【分析】首先确定抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D，画出图象后，只有经过A、D、C三点的抛物线，当x＝1时，y的值最大． 【解答】解：∵A、B、C的纵坐标相同， ∴抛物线不会同时经过A、B、C三点，分三种情况讨论，如图所示： 抛物线可能经过A、D、C或者B、D、C或者A、B、D， 经过A、D、C三点的抛物线，当x＝1时，y的值最大， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式及求函数值等知识，数形结合是解题的关键． 10．（2026•西安模拟）如图，是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象，则下列由该二次函数的图象得出的结论： ①a+c＞1； ②2a＞b； ③a＝b； ④a﹣2b+c＜0． 其中正确的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【分析】由二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴而且在点（0，1）上方，可得a＞0，c＞1，进而可得a+c＞1，抛物线对称轴位置可得，从而判断②错误；进而可得③也错误，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，即可判断④． 【解答】解：根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可得： ∵二次函数的图象开口向上，与y轴交于正半轴而且在点（0，1）上方， ∴a＞0，c＞1， ∴a+c＞1，故结论①正确； 根据抛物线对称轴位置可知：， ∴b＞2a，故结论②错误； ∵a＞0， ∴b＞2a＞a，故结论③错误； 由图象可得，当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0， ∴a﹣b+c﹣b＜﹣b，即a﹣2b+c＜﹣b 又∵﹣b＜0， ∴故a﹣2b+c＜0，故结论④正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，正确进行计算是解题关键． 11．（2025秋•番禺区期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象与x轴的一个交点A位于（﹣2，0）和（﹣1，0）之间，顶点P为（1，n）．下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③3b＞2c；④若该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，且△PAB是等边三角形，则．其中正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．②③④ 【分析】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧，a＜0，b＞0，c＞0，可得①符合题意；由，可得②符合题意，根据a﹣b+c＞0，可得3b＜2c，可得③不正确；由PH＝tan60°•AH，记A，B的横坐标分别为x1，x2，可得，结合n＝a+b+c＝c﹣a，可得a（a﹣c）＝3，可得④符合题意． 【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象的开口向下，与y轴交于正半轴，对称轴在y轴的右侧， ∴a＜0，b＞0，c＞0， ∴abc＜0，故①符合题意； ∵顶点P的坐标为（1，n）， ∵对称轴为直线x＝1， ∴，则2a+b＝0，故②正确，符合题意， 由题意可得：a﹣b+c＞0， ∴，， ∴3b＜2c，故③不正确，不符合题意； 如图，△PAB为等边三角形， ∴PA＝AB＝PB，PH⊥AB，HA＝HB，∠PAB＝60°， ∴PH＝tan60°•AH， 记A，B的横坐标分别为x1，x2， ∴， ∴， 当y＝ax2+bx+c＝0，则，， ∴， ∴， ∵n＝a+b+c＝c﹣a， ∴， ∴a（a﹣c）＝3， ∴， 故④符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，等边三角形的性质，锐角三角函数的性质，正确进行计算是解题关键． 12．（2026•莲池区二模）在平面直角坐标系中，已知点A（3，1），B（3，3），抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t，当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（　　） A．3≤t≤4 B．2≤t≤3或4≤t≤5 C．3≤t≤4，5≤t≤6 D．2≤t≤5 【分析】线段AB上所有点横坐标均为3，纵坐标满足1≤y≤3，由抛物线L与线段AB有公共点结合图象求解即可． 【解答】解：在平面直角坐标系中，已知点A（3，1），B（3，3），抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t，当L与线段AB有公共点时， ∵点A（3，1），B（3，3）， ∴线段AB上所有点横坐标为3，且1≤y≤3． ∵抛物线L与线段AB有公共点，如图， 当抛物线过A（3，1）时， ∴﹣（3﹣t）2+t＝1， 解得：t＝2或t＝5， 当抛物线过B（3，3）时，如图， ∴﹣（3﹣t）2+t＝3， 解得：t＝3或t＝4， ∵抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t，L与线段AB有公共点， ∴2≤t≤3或4≤t≤5． 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，正确进行计算是解题关键． 13．（2026•乌鲁木齐模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线x＝1，以下4个结论：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③若点A（m，n）在该抛物线上，且m＞1，则am+a+b＜0；④3a+c＞0．其中正确结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】利用二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点坐标即可求出①；令x＝2即可判断②；利用x＝1时函数值最大，即可判断③；令x＝3即可判断④． 【解答】解：①根据图象可知a＜0，c＞0，b＞0 ∴abc＜0，故①正确； ②当x＝0时，y＞0，对称轴为直线x＝1， ∴当x＝2时，y＞0， ∴4a+2b+c＞0，故②正确； ③当x＝1时，y最大＝a+b+c， 而当x＝m时，y＝am2+bm+c， ∴a+b+c＞am2+bm+c， ∴am2﹣a+bm﹣b＜0， ∴a（m﹣1）（m+1）+b（m﹣1）＜0，即（m﹣1）（am+a+b）＜0， ∵m＞1， ∴m﹣1＞0， ∴am+a+b＜0，故③正确； ④当x＝﹣1时，y＜0，对称轴为直线x＝1， ∴b＝﹣2a ∴当x＝3时，y＜0， ∴9a+3b+c＜0， ∴3a+c＜0，故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟悉函数的图象和性质是解题关键． 14．（2026•浔阳区校级二模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，下列结论：①4a+b＝0；②9a+c＞3b；③b2﹣4ac＞0；④当x＞﹣1时，y的值随x值的增大而增大；⑤当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5．其中正确的结论有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】①根据抛物线的对称轴为直线x2，则有4a+b＝0； ②观察函数图象得到当x＝﹣3时，函数值小于0，则9a﹣3b+c＜0，即9a+c＜3b； ③根据图象与x轴有两个交点，b2﹣4ac＞0； ④由于对称轴为直线x＝2，根据二次函数的性质得到当x＞2时，y随x的增大而减小； ⑤由抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（﹣1，0），得出抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0），再根据抛物线开口向下得出当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5． 【解答】解：①∵抛物线的对称轴为直线x2， ∴b＝﹣4a，即4a+b＝0，故本结论正确； ②∵当x＝﹣3时，y＜0， ∴9a﹣3b+c＜0， 即9a+c＜3b，故本结论错误； ③∵抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，故本结论正确； ④∵对称轴为直线x＝2， ∴当﹣1＜x＜2时，y的值随x值的增大而增大， 当x＞2时，y随x的增大而减小，故本结论错误； ⑤∵抛物线的对称轴为直线x＝2，与x轴的一个交点为（﹣1，0）， ∴抛物线与x轴的另外一个交点为（5，0）， ∴当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣1或x＞5，故本结论正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定，Δ＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 15．（2026•江岸区校级二模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），且a﹣b+c＝0．下列四个结论： ①抛物线经过定点（﹣1，0）； ②若b＝﹣2a，则抛物线经过点（3，0）； ③抛物线与x轴一定有两个不同的公共点； ④一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝3； ⑤点A（x1，y1）、B（x2，y2）在抛物线上，若当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2，则5a+c≤0． 其中正确的是　①②④　 （填写序号）． 【分析】①把点（﹣1，0），代入验证即可；由题意可得，抛物线的对称轴为直线x＝1，图象经过点（﹣1，0），由抛物线的对称性即可判断②；由Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0，即可判断③；由a﹣b+c＝0，则方程a（2﹣x）2+b（2﹣x）+c＝0在2﹣x＝﹣1是成立，求得x＝3，即可判断④；由题意可知，由题意可知，抛物线开口向上，且2，则﹣b≤4a，结合a﹣b+c＝0，即可判断⑤． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），a﹣b+c＝0， ∴（﹣1，0）是抛物线与x轴的一个交点，故①正确； ②∵b＝﹣2a， ∴对称轴为直线x1， ∵抛物线经过点（﹣1，0）， ∴抛物线经过点（3，0），即②正确； ③Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0， ∴抛物线与x轴一定有公共点， 但无法确定有两个，故③错误； ④方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c整理得，a（2﹣x）2+b（2﹣x）+c＝0， ∵a﹣b+c＝0， ∴当2﹣x＝﹣1时，a﹣b+c＝0， ∴x＝3， ∴一元二次方程﹣a（x﹣2）2+bx＝2b+c有一个根x＝3；故④正确； ⑤由题意可知，抛物线开口向上，且2， ∴﹣b≤4a， ∵a﹣b+c＝0， ∴﹣b＝﹣a﹣c， ∴﹣a﹣c≤4a， ∴5a+c≥0．故⑤错误． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数图象与x轴的交点等问题，掌握相关知识是解题基础． 16．（2026•江夏区一模）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，顶点为（1，3），下列结论：①abc＞0；②3a+c＜0；③关于x的方程ax2+（b﹣k）x+c+k﹣2＝0（k为常数）有实数根；④若一元二次方程a（x+1）2+3＝0两根为m，n（m＜n），则0＜n＜1，﹣3＜m＜﹣2．其中正确的是　②③④　 ． 【分析】观察图象可知a＜0，b＞0，c＞0可判断①，由对称轴为直线x＝1可得b＝﹣2a，根据对称性可得当x＝﹣1时，y＜0，a﹣b+c＜0，化简整理可判断②，关于x的方程ax2+（b﹣k）x+c+k﹣2＝0可变形为ax2+bx+c＝kx﹣k+2，证明直线y＝kx﹣k+2与二次函数y＝ax2+bx+c始终有两个交点，即可判断③，由一元二次方程a（x+1）2+3＝0两根为m，n（m＜n）可得二次函数y＝a（x+1）2+3与x轴相交于点（m，0）、（n，0），画出其图象，根据对称性质可判断④． 【解答】解：观察图象可知a＜0，b＞0，c＞0，则abc＜0， 故错误； 观察图象可知抛物线与x轴的右边交点坐标的横坐标在2和3之间，对称轴为直线x＝1， 则抛物线与x轴的左边交点坐标的横坐标在﹣1和0之间， 故当x＝﹣1时，y＜0， 即a﹣b+c＜0， 又∵， ∴b＝﹣2a， 即a﹣b+c＝3a+c＜0，故②正确； 关于x的方程ax2+（b﹣k）x+c+k﹣2＝0可变形为ax2+bx+c＝kx﹣k+2， 令y＝ax2+bx+c，y＝kx﹣k+2， 且函数y＝kx﹣k+2恒过定点（1，2）， 则直线y＝kx﹣k+2与二次函数y＝ax2+bx+c始终有两个交点， 即关于x的方程ax2+（b﹣k）x+c+k﹣2＝0（k为常数）有实数根，故③正确； ∵一元二次方程a（x+1）2+3＝0两根为m，n（m＜n）， ∴二次函数y＝a（x+1）2+3与x轴相交于点（m，0）、（n，0）， 画出其图象如图所示， 则y＝a（x+1）2+3的图象与y＝ax2+bx+c的图象关于y轴对称， 故由对称性易知0＜n＜1，﹣3＜m＜﹣2，即④正确， 故正确的是：②③④， 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和系数的关系，二次函数与一元二次方程的联系，图象对称的性质，熟练掌握以上知识点是解题关键． 17．（2026•江汉区一模）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（m，0），m＞0，且4a﹣2b+c＝0，则下列五个结论：①c＞0；②a﹣b+c＞0；③若方程ax2+bx+c＝b有两个不相等的实数根x1，x2（且x1＜x2），则x2＜m；④抛物线y＝ax2+bx+c上有两点A（x1，y1），（x2，y2），当x1+2＝m﹣x2时，y1＝y2；⑤若0＜m＜2，抛物线过点（0，1），且s＝a+b+c，则．其中正确的结论是　①②④⑤　 （填写序号）． 【分析】依据题意，可得抛物线过点（﹣2，0），对称轴是直线x，再结合二次函数的图象与性质逐个进行判断可以得解． 【解答】解：∵4a﹣2b+c＝0， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（﹣2，0）， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（m，0），m＞0， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）交y轴的正半轴， ∴c＞0， 故①正确； 由题意可知x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， 故②正确； ∵若方程ax2+bx+c＝b有两个不相等的实数根x1，x2（且x1＜x2），若b＞0，则x2＜m； 若b＜0，则x2＞m， 若b＝0，则x2＝m． 故③不正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（﹣2，0），点（m，0），m＞0， ∴抛物线对称轴为直线x， ∵抛物线y＝ax2+bx+c上有两点A（x1，y1），（x2，y2），且x1+2＝m﹣x2， ∴x1+x2＝m﹣2，即， ∴点A（x1，y1），（x2，y2）关于对称轴对称， ∴y1＝y2， ∴④的结论正确． ∵抛物线过点（0，1）， ∴c＝1． ∵4a﹣2b+c＝0， ∴ab， ∴s＝a+b+cb+1b， ∵抛物线对称轴为直线x， ∵0＜m＜2， ∴0， ∴抛物线的对称轴在y轴的左侧， ∴a，b同号， ∵a＜0， ∴b＜0， ∴b， ∴． ∴⑤的结论正确． 故正确的有：①②④⑤． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，数形结合的思想方法，不等式的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $