第3章 回顾与思考-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（北师大版）

指南针·课堂优化· 14.(1)△BMN是等腰直角三角形，证明略 5.DM=7.5,EK=6,FK=10 (2)△MFN∽△BDC.理由略 6.A7.C8.B9.440cm 第3课时相似三角形的判定(3) 10.(1)0G=6(2)EF=24 基础导学 1.成比例 1.1:329 13.BC=6,BF=2.5 2.(1)两角分别相等的两个三角形相似 (2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 14.(1)AM:AB=1:3(2)证明略(3)证明略 (3)三边成比例的两个三角形相似 第2课时相似三角形判定定理的证阴 课后演练 课后演练 1.B2.B3.34.105.6或126.证明略 1A2.B3.A425.B6.4 7.B8.5:3 7.(1,0)或（一4,0）或（一1,0） 9略10.多11.4号 7 8.(1)证明略(2)△ABC和△DEF相似，理由略 12.(1)证明略 (3)解：如图：△P2P4P (2)解：由(1)得：△ABCp△ADE, 8器 ,AD=4,AB=5,BC=8, 号-品∴DE-器 9.△CDB10.135°1.10或号 13.(I)CF与BD的位置关系是垂直；证明略 (2)AB>AC时，CF⊥BD的结论成立.理由略 12.AB=10,BC=813.(1)证明略(2)证明略 14.(D当x=号时，PQ/BC,(2)存在AP-9 (3③)①点D在线段BC上运动时，CP=号+女 9 第4课时黄金分割 ②点D在线段BC延长线上运动时，CP= 4十x 课后演练 4相似三角形的性质 1.A2.D3.2(W5-1)4.A5.C6.22 7.(40w5-40)cm(80√5-160)cm 第1课时相似三角形的性质(1) 基础导学 8.证明略9.(1)证明略(2)AD=5-1 2 1.对应角 对应边2.对应高 课后演练 10.6-2w511.√5+1 1.A2.A3.A4.C 12.若AC>BC, 5.(1)3:13:1(2)4:14:14:1 (1)AC-BC=6V5-12; 6.487.4.8 (2)AC·BC=36√5-72. 8.AB=12 cm,BC=18 cm,AC=24 cm. 若AC<BC, 9.(1)证明略 (1)AC-BC=12-6W5; (2),'△ABC∽△ACD,CE⊥AB于点E, (2)AC·BC=36√5-72. DF⊥AC于点F, 13.证明略 漂怨 3相似三角形判定定理的证明 10.(1)证明略(2)BE=411,3512.3或号 第1课时平行线分线段成比例 课后演练 1B.1证明略（公荒-是 1.B2.B3.74.12 14.(1)Rt△CPQ的面积为S=20t-4t; 39 九年级上册·数学(BS) (2)当t=3时，CP=20一4t=8cm, CQ=2t=6 cm, 由勾股定理得PQ=√CP+CQ=√82+6 =10cm; (3=3或4-智时，以点CP,Q为顶点的三角 形与△ABC相似. 第2课时相似三角形的性质(2) 基础导学 1.(1)相似比(2)相似比的平方 2.(1)相似比相似比的平方 课后演练 1.B2.B3.55cm4.证明略 5.c6号 7.2 8.(1)证明略 (2)S四边形ABCD=24 =片 4 10.4:911.4 12.(1)证明略 (2DE=号 13,()自变量x的取值范围是：1<x<: (2)AD的长为号或号 5 图形的位似 第1课时位似图形的概念与作图 基础导学 4.(1)位似中心(2)对应点(3)各对应点 课后演练 1.B2.D3.C4.B5.B6.A7.①②③⑤ 8.2：3 9.(1)如图1，△A'B'C'即为所求， (2)如图2，四边形A'BCD'即为所求， 图1 图2 10.1)略(2)号 (3)略 11.34o5212.①③④13.证明略 14.(1)略(2)正方形EF'P'N'的边长为35一3 第2课时位似图形的坐标变换 基础导学 坐标原点 课后演练 1.B2.A3.B4.D5.2:1(2,0),(1,2) 6.(9,0)7.（-8,一3)或(4,3) 8.(1)略(2)图略，A2坐标（一2，一2） 9.(1)略(2)函数关系式为y=2x一8 10.(3,2)11.（-1,0)或(5，-2) 12.(1)正△A,B,Co和正△AB,C,的相似比=名 它们的位似中心为点O; (2)第n个三角形△A.B.Cm(n≥2)的周长 为23 13.(1)①260°②2(2)O1O3=AO2,O1O3⊥AO2 回顾与思考 1Dc3)号252 2 3.(2)两角(3)两边夹角(4)三边 4.(1)对应线段 5.(1)相等比例(2)相似比 (3)相似比相似比的平方 6.同一点相似比 课后演练 1.D2.B3.C4.D5.B6.9:47.12 8.1cm 3-5 2 9.(1)略(2)略(3)点P的坐标为(2a+2,2b). 10.(1)证明略(2)△ABC的面积是45. 11.24cm12.①②③ 13.(1)证明略(2)AB=号 14.(1)两个等式都成立理由略（②-号 第四章投影与视图 1投影 第1课时中心投影 课后演练 1.B2.D3.34.略5.A6.D7.C 40回顾 知识 回顾 1.比例的性质： (1)基本性质：若白-4，则ad C (2)合比性质：若号-台，则- d (3)等比性质：若名-音-=…一(6+d+… n0,则号+积 2.黄金分割：点C把线段AB分成两条线 段AC和DCAC>BC),如果S-器，那么称 线段AB被点C黄金分割，点C叫作线段AB的 黄金分割点，AC和AB的比叫作黄金比，其中 AC_ A ≈0.618. 3.相似三角形的判定： (1)对应角相等，对应边成比例的两个三角 形叫作相似三角形； (2) 对应相等的两个三角形相似； (3) 对应成比例且 相等 的两个三角形相似： (4) 对应成比例的两个三角形 相似. 4.平行线分线段成比例： (1)两条直线被一组平行线所截，所得的 成比例； (2)平行于三角形一边的直线与其他两边 (或两边的延长线)相交，所得的对应线段成 比例. 5.相似三角形的性质： (1)对应角 ,对应边成 (2)对应高的比，对应角平分线的比，对应 中线的比都等于 第三章图形的相似 与思考 (3)周长比等于 ,面积比等于 6.位似图形：若两个相似图形的每组对应 点所在直线都经过 ,那么这两个图 形叫作位似图形，位似图形上任意一对对应点 到位似中心的距离之比等于 后 演 练 【基础过关】 1.在比例尺为1：80000的某市城区地图上，一 个三角形在图中的周长约为2.5cm,它的实 际周长为 A.3200cm B.3200m C.20000cm D.2000m 2已知经号兰则的做是 x十y一z A B.9 C.2 D.3 3.如图，在△ABC中，DE∥ BC,AD=9,DB=3,CE= D 2,则AE的长为 B A.4 B.5 C.6 D.7 4.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB=4, AD=2,∠DAC=∠B.如果△ABD的面积为 15,那么△ACD的面积为 () A.15 B.10 5 C.2 D.5 第4题图 第5题图 5.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心 的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO 3 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS) =CD.若B(1,0),则点C的坐标为 ( A.(1,2) B.(1,1) C.(2,√2) D.(2,1) 6.如图，EF∥AB,DF∥AC,BF:FC=2:3,则 SAEFC SABDF- A0 D 第6题图 第7题图 7.如图，某一时刻一根2m长的竹竿EF影长 GE为1.2m,此时，小红测得一棵被风吹倾斜 的杨树与地面成30°角，树顶端B在地面上的 影子点D与B到垂直地面的落点C的距离是 3.6m,则树长AB= m. 8.已知点C是AB的黄金分割点(AC>BC),已 知AC=5-1 2cm,则AB= BC= cm. 9.如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点坐 标分别为O0,0),A(1,2),B(3,1)(每个方格 的边长均为1个单位长度) (1)将△OAB向右平移1个单位后得到 △O1A1B1,请画出△O1A1B1; (2)请以O为位似中心画出△O1A1B1的位似 图形，使它与△O1A1B的相似比为2：1； (3)点P(a,b)为△OAB内一点，请直接写出 位似变换后的对应点P的坐标为 9 10.如图，在△ABC中，点D,E,F分别在AB, BC,AC边上，DE∥AC,EF∥AB. (1)求证：△BDE∽△EFC; (2)若瓷=，△EPC的面积是20，求 △ABC的面积. 【能力提升】 11.如图是一块三角形钢材ABC,其中边BC= 60cm,高AD=40cm,把它加工成正方形零 件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点 分别在AB,AC上，则这个正方形零件的边 长是 B 12.如图，正五边形的边长为2，连接对角线AD, BE,CE,线段AD分别与BE和CE相交于点 M,N.给出下列结论：①∠AME=108°；② AN2=AM·AD;③MN=3-√5；④SABC= 2√5一1.其中正确结论的序号是 4 第三章图形的相似 13.如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边 【创新拓展】 AD上一点，连接AC,BE,它们相交于点F, 且∠ACB=∠ABE 14.如图①所示，在等边三角形ABC中，线段 (1)求证：AE2=EF·BE; AD为其角平分线，过D的直线B1C1⊥AC (2)若AE=2,EF=1,CF=4,求AB的长. 于C1,交AB的延长线于B1 ④请你探究：器-品品6是香都 成立？ (2)如图②所示，在Rt△ABC中，∠ACB= 90,AC=8,AB-9,E为AB上-点，且 AE=5,CE交△ABC的角平分线AD于F, 试球的值 图① 图② ·95·