3.5.2 位似图形的坐标变换-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（北师大版）

指南针·课堂优化·九年纸上册·数学(BS) 第2课时 位似图形的坐标变换 基 础 学 在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点 的横坐标、纵坐标都乘同一个数（兔≠0），所对应的 图形与原图形位似，位似中心是 ,它 们的相似比为 课 演 练 【基础过关】 知识点①位似图形的坐标变化规律 1.如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为 O(0,0),A(4,3),B(3,0).以点O为位似中 心，在第三象限内作与△OAB的位似比为号 的位似图形△OCD,则点C的坐标为( ) A.(-1,-1) B.(-专，-1) C.(-1,-) D.(-2,-1) 第1题图 第2题图 2.如图，点P(8,6)在△ABC的边AC上，以原 点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩 小到原来的)，得到△A'B'C',点P在A'C'上 的对应点P'的坐标为 () A.(4,3)B.(3,4)C.(5,3)D.(4,4) 3.在平面直角坐标系中有两点A(6,2),B(6, 0),以点O为位似中心，相似比为1：3，把线 段AB缩小得线段A'B',则过A'的函数的解 析式为 ) A.y=4 By 9 C.y- x D.y=18 4.如图，△ABC中，A,B两个顶点在x轴的上 方，点C的坐标是（一1,0），以点C为位似中 心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把 △ABC的边长放大到原来的2倍，记所得的 图形是△A'BC',设点B的对应点B'的横坐 标是a,则点B的横坐标是 () A.- 1 B.-(a+1) C.-2(a-1) D.- 2(a+3) R 第4题图 第5题图 5.如图，将△OBD缩小后得到△OAC,根据图形 可知△OBD与△OAC的相似比为 点B,D的坐标分别为(4,0)，(2,4)，则点A, C的坐标分别为 6.如图，△ABC与△AB'C'是位似图形，且顶点 都在格点上，则位似中心的坐标 是 O123456789101112x 7.如图，直线y=2x十1与x轴交于点A,与y轴 交于点B,△BOC与△B'O'C是以点A为位似 中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的 对应点B的坐标为 0 知识点2位似图形在平面直角坐标系中的 画法 8.已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为 A(0,-3),B(3,-2),C(2,-4),正方形网格 中，每个小正方形的边长是1个单位长度， (1)画出△ABC向上平移6个单位得到的 △A1B1C1; (2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2 C,使△A2B2C与△ABC位似，且△A2B2C与 △ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的 坐标. 9.如图，边长均为1的小正方形网格纸中， △OAB的顶点O,A,B均在格点上，且O是 直角坐标系的原点，点A在x轴上 (1)以O为位似中心，将△OAB放大，使得放 大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为 2:1,画出△OA1B1(所画△OA1B1与△OAB 在原点两侧)； 第三章图形的相似 (2)求出线段A1B所在直线的函数关系式. 【能力提升】 10.如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与 正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似 图形，且相似比为3，点A,B,E在x轴上， 若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为 OA B 第10题图 第11题图 11.正方形ABCD与正方形OEFG中，点D和 点F的坐标分别为(-3,2)和(1，-1)，则这 两个正方形的位似中心的坐标为 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS) 12.如图所示，由位似的正△A1B1C1,正△A2B2 C2,正△A3B3C3,…,正△A B,Cn组成的相 似图形，其中第一个△A1B1C1的边长为1， 点O是B1C1中点，A2是OA1的中点，A3是 OA2的中点，…，An是OAm-1的中点，顶点 B2,B3,…,Bn.C2,C3,…,Cm都在B1C 边上 (1)试写出△A1oB1oC1o和△A7B,C,的相似 比和位似中心； (2)求出第n个三角形△A.B.Cn(n≥2)的 周长 BBB O C;C2 C ·92 【创新拓展】 13.在平面内，先将一个多边形以点O为位似中 心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对 应线段的比为k,并且原多边形上的任一点 P,它的对应点P'在线段OP或其延长线上； 接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时 针旋转一个角度0，这种经过放缩和旋转的 图形变换叫做旋转相似变换，记为O(k,), 其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比， 0叫做旋转角. 图2 图3 (1)填空： ①如图1，将△ABC以点A为旋转相似中 心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60°， 得到△ADE,这个旋转相似变换记为 AC ②如图2，△ABC是边长为1cm的等边三角 形，将它作旋转相似变换A(√3,90°)，得到 △ADE,则线段BD的长为 cm; (2)如图3，分别以锐角三角形ABC的三边 AB,BC,CA为边向外作正方形ADEB,BF GC,CHIA,点O1,O2,O3分别是这三个正方 形的对角线交点，试分别利用△AOO3与 △ABI,△CIB与△CAO2之间的关系，运用 旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2 之间的关系指南针·课堂优化· 14.(1)△BMN是等腰直角三角形，证明略 5.DM=7.5,EK=6,FK=10 (2)△MFN∽△BDC.理由略 6.A7.C8.B9.440cm 第3课时相似三角形的判定(3) 10.(1)0G=6(2)EF=24 基础导学 1.成比例 1.1:329 13.BC=6,BF=2.5 2.(1)两角分别相等的两个三角形相似 (2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 14.(1)AM:AB=1:3(2)证明略(3)证明略 (3)三边成比例的两个三角形相似 第2课时相似三角形判定定理的证阴 课后演练 课后演练 1.B2.B3.34.105.6或126.证明略 1A2.B3.A425.B6.4 7.B8.5:3 7.(1,0)或（一4,0）或（一1,0） 9略10.多11.4号 7 8.(1)证明略(2)△ABC和△DEF相似，理由略 12.(1)证明略 (3)解：如图：△P2P4P (2)解：由(1)得：△ABCp△ADE, 8器 ,AD=4,AB=5,BC=8, 号-品∴DE-器 9.△CDB10.135°1.10或号 13.(I)CF与BD的位置关系是垂直；证明略 (2)AB>AC时，CF⊥BD的结论成立.理由略 12.AB=10,BC=813.(1)证明略(2)证明略 14.(D当x=号时，PQ/BC,(2)存在AP-9 (3③)①点D在线段BC上运动时，CP=号+女 9 第4课时黄金分割 ②点D在线段BC延长线上运动时，CP= 4十x 课后演练 4相似三角形的性质 1.A2.D3.2(W5-1)4.A5.C6.22 7.(40w5-40)cm(80√5-160)cm 第1课时相似三角形的性质(1) 基础导学 8.证明略9.(1)证明略(2)AD=5-1 2 1.对应角 对应边2.对应高 课后演练 10.6-2w511.√5+1 1.A2.A3.A4.C 12.若AC>BC, 5.(1)3:13:1(2)4:14:14:1 (1)AC-BC=6V5-12; 6.487.4.8 (2)AC·BC=36√5-72. 8.AB=12 cm,BC=18 cm,AC=24 cm. 若AC<BC, 9.(1)证明略 (1)AC-BC=12-6W5; (2),'△ABC∽△ACD,CE⊥AB于点E, (2)AC·BC=36√5-72. DF⊥AC于点F, 13.证明略 漂怨 3相似三角形判定定理的证明 10.(1)证明略(2)BE=411,3512.3或号 第1课时平行线分线段成比例 课后演练 1B.1证明略（公荒-是 1.B2.B3.74.12 14.(1)Rt△CPQ的面积为S=20t-4t; 39 九年级上册·数学(BS) (2)当t=3时，CP=20一4t=8cm, CQ=2t=6 cm, 由勾股定理得PQ=√CP+CQ=√82+6 =10cm; (3=3或4-智时，以点CP,Q为顶点的三角 形与△ABC相似. 第2课时相似三角形的性质(2) 基础导学 1.(1)相似比(2)相似比的平方 2.(1)相似比相似比的平方 课后演练 1.B2.B3.55cm4.证明略 5.c6号 7.2 8.(1)证明略 (2)S四边形ABCD=24 =片 4 10.4:911.4 12.(1)证明略 (2DE=号 13,()自变量x的取值范围是：1<x<: (2)AD的长为号或号 5 图形的位似 第1课时位似图形的概念与作图 基础导学 4.(1)位似中心(2)对应点(3)各对应点 课后演练 1.B2.D3.C4.B5.B6.A7.①②③⑤ 8.2：3 9.(1)如图1，△A'B'C'即为所求， (2)如图2，四边形A'BCD'即为所求， 图1 图2 10.1)略(2)号 (3)略 11.34o5212.①③④13.证明略 14.(1)略(2)正方形EF'P'N'的边长为35一3 第2课时位似图形的坐标变换 基础导学 坐标原点 课后演练 1.B2.A3.B4.D5.2:1(2,0),(1,2) 6.(9,0)7.（-8,一3)或(4,3) 8.(1)略(2)图略，A2坐标（一2，一2） 9.(1)略(2)函数关系式为y=2x一8 10.(3,2)11.（-1,0)或(5，-2) 12.(1)正△A,B,Co和正△AB,C,的相似比=名 它们的位似中心为点O; (2)第n个三角形△A.B.Cm(n≥2)的周长 为23 13.(1)①260°②2(2)O1O3=AO2,O1O3⊥AO2 回顾与思考 1Dc3)号252 2 3.(2)两角(3)两边夹角(4)三边 4.(1)对应线段 5.(1)相等比例(2)相似比 (3)相似比相似比的平方 6.同一点相似比 课后演练 1.D2.B3.C4.D5.B6.9:47.12 8.1cm 3-5 2 9.(1)略(2)略(3)点P的坐标为(2a+2,2b). 10.(1)证明略(2)△ABC的面积是45. 11.24cm12.①②③ 13.(1)证明略(2)AB=号 14.(1)两个等式都成立理由略（②-号 第四章投影与视图 1投影 第1课时中心投影 课后演练 1.B2.D3.34.略5.A6.D7.C 40