3.5.1 位似图形的概念与作图-【指南针·课堂优化】2026-2027学年新教材九年级上册数学（北师大版）

指南针·课堂优化· 14.(1)△BMN是等腰直角三角形，证明略 5.DM=7.5,EK=6,FK=10 (2)△MFN∽△BDC.理由略 6.A7.C8.B9.440cm 第3课时相似三角形的判定(3) 10.(1)0G=6(2)EF=24 基础导学 1.成比例 1.1:329 13.BC=6,BF=2.5 2.(1)两角分别相等的两个三角形相似 (2)两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 14.(1)AM:AB=1:3(2)证明略(3)证明略 (3)三边成比例的两个三角形相似 第2课时相似三角形判定定理的证阴 课后演练 课后演练 1.B2.B3.34.105.6或126.证明略 1A2.B3.A425.B6.4 7.B8.5:3 7.(1,0)或（一4,0）或（一1,0） 9略10.多11.4号 7 8.(1)证明略(2)△ABC和△DEF相似，理由略 12.(1)证明略 (3)解：如图：△P2P4P (2)解：由(1)得：△ABCp△ADE, 8器 ,AD=4,AB=5,BC=8, 号-品∴DE-器 9.△CDB10.135°1.10或号 13.(I)CF与BD的位置关系是垂直；证明略 (2)AB>AC时，CF⊥BD的结论成立.理由略 12.AB=10,BC=813.(1)证明略(2)证明略 14.(D当x=号时，PQ/BC,(2)存在AP-9 (3③)①点D在线段BC上运动时，CP=号+女 9 第4课时黄金分割 ②点D在线段BC延长线上运动时，CP= 4十x 课后演练 4相似三角形的性质 1.A2.D3.2(W5-1)4.A5.C6.22 7.(40w5-40)cm(80√5-160)cm 第1课时相似三角形的性质(1) 基础导学 8.证明略9.(1)证明略(2)AD=5-1 2 1.对应角 对应边2.对应高 课后演练 10.6-2w511.√5+1 1.A2.A3.A4.C 12.若AC>BC, 5.(1)3:13:1(2)4:14:14:1 (1)AC-BC=6V5-12; 6.487.4.8 (2)AC·BC=36√5-72. 8.AB=12 cm,BC=18 cm,AC=24 cm. 若AC<BC, 9.(1)证明略 (1)AC-BC=12-6W5; (2),'△ABC∽△ACD,CE⊥AB于点E, (2)AC·BC=36√5-72. DF⊥AC于点F, 13.证明略 漂怨 3相似三角形判定定理的证明 10.(1)证明略(2)BE=411,3512.3或号 第1课时平行线分线段成比例 课后演练 1B.1证明略（公荒-是 1.B2.B3.74.12 14.(1)Rt△CPQ的面积为S=20t-4t; 39 九年级上册·数学(BS) (2)当t=3时，CP=20一4t=8cm, CQ=2t=6 cm, 由勾股定理得PQ=√CP+CQ=√82+6 =10cm; (3=3或4-智时，以点CP,Q为顶点的三角 形与△ABC相似. 第2课时相似三角形的性质(2) 基础导学 1.(1)相似比(2)相似比的平方 2.(1)相似比相似比的平方 课后演练 1.B2.B3.55cm4.证明略 5.c6号 7.2 8.(1)证明略 (2)S四边形ABCD=24 =片 4 10.4:911.4 12.(1)证明略 (2DE=号 13,()自变量x的取值范围是：1<x<: (2)AD的长为号或号 5 图形的位似 第1课时位似图形的概念与作图 基础导学 4.(1)位似中心(2)对应点(3)各对应点 课后演练 1.B2.D3.C4.B5.B6.A7.①②③⑤ 8.2：3 9.(1)如图1，△A'B'C'即为所求， (2)如图2，四边形A'BCD'即为所求， 图1 图2 10.1)略(2)号 (3)略 11.34o5212.①③④13.证明略 14.(1)略(2)正方形EF'P'N'的边长为35一3 第2课时位似图形的坐标变换 基础导学 坐标原点 课后演练 1.B2.A3.B4.D5.2:1(2,0),(1,2) 6.(9,0)7.（-8,一3)或(4,3) 8.(1)略(2)图略，A2坐标（一2，一2） 9.(1)略(2)函数关系式为y=2x一8 10.(3,2)11.（-1,0)或(5，-2) 12.(1)正△A,B,Co和正△AB,C,的相似比=名 它们的位似中心为点O; (2)第n个三角形△A.B.Cm(n≥2)的周长 为23 13.(1)①260°②2(2)O1O3=AO2,O1O3⊥AO2 回顾与思考 1Dc3)号252 2 3.(2)两角(3)两边夹角(4)三边 4.(1)对应线段 5.(1)相等比例(2)相似比 (3)相似比相似比的平方 6.同一点相似比 课后演练 1.D2.B3.C4.D5.B6.9:47.12 8.1cm 3-5 2 9.(1)略(2)略(3)点P的坐标为(2a+2,2b). 10.(1)证明略(2)△ABC的面积是45. 11.24cm12.①②③ 13.(1)证明略(2)AB=号 14.(1)两个等式都成立理由略（②-号 第四章投影与视图 1投影 第1课时中心投影 课后演练 1.B2.D3.34.略5.A6.D7.C 40第三章田形的相似 5 图形的位似 第1课时 位似图形的概念与作图 基础导学 1.如果两个相似多边形任意一组对应顶点 P,P所在的直线都经过同一点O,且有OP'= k·OP(≠0)，那么这样的两个多边形叫作位似 多边形，点O叫作位似中心，k就是这两个相似 A.2 B.3 C.4 D.1 多边形的相似比. 2.在下列图形中，不是位似图形的是 2.位似图形与相似图形的关系：位似图形 定是相似图形，而相似图形不一定是位似图 B 形，位似是相似的特殊情况： 3.位似图形的性质 (1)位似图形对应顶点的连线所在直线必 过位似中心. 3.下列实际生活事例形成位似关系的有() (2)位似图形任意一组对应点到位似中心 的距离之比等于相似比. ①放电影时胶片和屏幕上的画面；②望远镜 (3)位似图形的对应线段所在直线平行（或 中看到的画面和实际画面；③照相时人物和 共线)，且对应线段之比相等 底片上的影像；④同一底版大小不同的两张 (4)如果两个图形是位似图形，则这两个图 照片 形必相似，其周长比等于相似比，面积比等于相 A.1个 B.2个 似比的平方. C.3个 D.4个 4.利用位似的方法，可以把一个图形放大 知识点2位似图形的性质及画法 或缩小，把一个多边形放大或缩小的步骤是： (1)选取 ;(2)截取固定化的 4.如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的 线段确定各顶点的 ;(3)连 中心投影组成，相似比为2：5，且三角尺的一 接 即得到位似图形 边长为8cm,则投影三角形的对应边长为 课 后 演 练 ( ) 【基础过关】 知识点①)位似图形的识别 投影 1.下列各选项的两个图形中，是位似图形的有 A.8 cm B.20 cm 几个 ( C.3.2 cm D.10 cm ·87 指南针·课堂优化·九年级上册·数学(BS) 5.如图，五边形ABCDE和五边形A1B1C1D1E1 是位似图形，且PA:=号PA,则AB:A,R等 ●0 于 图① 图② A号 B.3 c. D 10.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形， △ABC与△A'B'C'是以点O为位似中心的 6.图中的两个三角形是位似图形，它们的位似 位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶 中心是 ( ) 点上 A.点P B.点OC.点MD.点N 7.有下列说法：①位似图形一定是相似图形；② 相似图形不一定是位似图形；③位似图形上 (1)画出位似中心点O; 任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 (2)求出△ABC与△A'B'C的相似比； 相似比；④位似图形上每组对应点所在的直 (3)以点O为位似中心，再画一个△ABC, 线互相平行；⑤若五边形ABCDE与五边形 使它与△ABC的位似比等于3：2. A'BC'D'E是位似图形，则其中的△ABC与 △A'B'C也是位似图形，且相似比相等；⑥两 个位似图形一定在位似中心的同侧.其中正 确的说法有 (填序号) 8.如图，△ABC与△DEF位似，位似中心为点 O,且△ABC的面积等于△DEF面积的号，则 AB:DE= 【能力提升】 9.按要求画出符合条件的一个位似图形： 11.如图，正方形A1B1C1D1可看成是分别以A, (1)如图①，以点O为位似中心，将△ABC放 B,C,D为位似中心将正方形ABCD放大一 大2倍； 倍得到的图形（正方形ABCD的边长放大到 (2)如图②，以点O为位似中心，将四边形ABCD 原来的3倍)，由正方形ABCD到正方形 ABC1D1,我们称之作了一次变换，再将正方 缩小号 形A1BC1D作一次变换就得到正方形 ·88· 第三章图形的相似 A2B,C2D2,…,依此下去，作了2026次变换后得 到正方形A22sB22sC22sD226,若正方形ABCD 【创新拓展】 的面积是1，那么正方形A22sB2sC22sD22s的 14.如图，正三角形ABC的边长为3+√3 面积是 (1)如图，正方形EFPN的顶点E,F在边AB B A 上，顶点N在边AC上.在正三角形ABC及 其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN 的位似正方形EFP'N',且使正方形EFP 第11题图 第12题图 N'的面积最大（不要求写作法）； 12.如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位 (2)求(1)中作出的正方形EF'P'N'的 似图形，且AC:AF=2:3,则下列结论正确 边长 的选项是 ①四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形 ②AD与AE的比是2：3 ③四边形ABCD与四边形AEFG的周长比 是2：3 ④四边形ABCD与四边形AEFG的面积比 是4：9 13.如图，用下面的方法可以画△AB0的内接等 边三角形，阅读后证明相应问题，画法： ①在△AOB内画等边三角形CDE,使点C 在OA上，点D在OB上； ②连接OE并延长，交AB于点E,过点E 作E'C∥EC,交OA于点C',作ED'∥ED, 交OB于点D'; ③连接CD',则△CD'E'是△AOB的内接 三角形 求证：△CD'E是等边三角形 ·89·